《数值分析》实验报告1

《数值分析》实验报告

一、问题的提出

由于计算机的实质计算是在一个有限的浮点数集合上进行的，在大量运算中的误差积累会使得计算过程出现不稳定，通过实验深入了解高斯消元法从理论算法到数值算法，能稳定的关键是选主元。

二、实验名称

运用MATLAB编程实现高斯消去法和高斯列主元消去法。

三、实验目的

1、熟悉了解高斯消去法和高斯列主元消去法的算法。

2、学习MATLAB软件的功能。

四、基本原理

五、实验环境

操作环境：Windows10

实验平台：Matlab7.1软件

六、实验设计

1 高斯顺序消去法

（1）算例：课本p10例1

（2）程序清单

高斯消去法的MATLAB函数文件gauss.m如下：

clc

clear all

A=[1,1,1;0,4,-1;2,-2,1];

r=[6;5;1];

[row,col]=size(A);

n=row;

%-------------------------------------------------------------------

B=A;

b=r;

C=B;

c=b;

for i=1:n

[maxi,row]=max(abs(C(:,i)));

if C(row,i)<0

maxi=-maxi;

end

B(i,:)=C(row,:);

B(row,:)=C(i,:);

b(i)=c(row);

b(row)=c(i);

B(i,:)=B(i,:)/maxi;

b(i)=b(i)/maxi;

C=B;

for j=i+1:n

B(j,:)=B(j,:)-C(j,i)*B(i,:);

b(j)=b(j)-C(j,i)*b(i);

end

C=B;

C(i,:)=0;

C(:,i)=0;

c=b;

end

%-------------------------------------------------------------------

x(n)=b(n);

for i=n-1:-1:1

sum=0;

for j=i+1:n

sum=sum+B(i,j)*x(j);

end

x(i)=(1/B(i,i))*(b(i)-sum);

end

%-------------------------------------------------------------------

% Input

% Ax=r

disp(' 输入 Ax=r')

disp('输入矩阵 A =')

disp(A)

disp(' r =')

disp(r)

% Output

% Bx=b

disp(' 输出 Bx=b')

disp(' 上三角矩阵 B =')

disp(B)

disp(' b=')

disp(b)

disp(' 求得方程组的解 :')

x=x'

（3）实验结果及分析：

Ax=r

输入矩阵 A =

1 1 1

0 4 -1

2 -2 1

r =

6

5

1

输出 Bx=b

上三角矩阵 B =

1.0000 -1.0000 0.5000

0 1.0000 -0.2500

0 0 1.0000

b=

0.5000

1.2500

3.0000

求得方程组的解 :

x =

1

2

3

2 列主元消去法

（1）算例：课本p10页例1

（2）程序清单

高斯列主元消去法的MATLAB函数文件gauss_lie.m如下：

function x=gauss_lie(A,b)

%采用高斯列主元法求解方程组Ax=b

n=length(b);

p=1:n;lu=A;

y=[];

for k=1:n

[c,i]=max(abs(lu(k:n,k)));

ik=i+k-1;

if ik~=k

m=p(k);p(k)=p(ik);p(ik)=m;

ck=lu(k,:);lu(k,:)=lu(ik,:);lu(ik,:)=ck;

end

if k==n

break;

end

lu(k+1:n,k)=lu(k+1:n,k)/lu(k,k);

lu(k+1:n,k+1:n)=lu(k+1:n,k+1:n)-lu(k+1:n,k)*lu(k,k+1:n);

end

l=diag(ones(n,1))+tril(lu,-1);

u=triu(lu);

y(1)=b(p(1));

for i=2:n

y(i)=b(p(i))-l(i,1:i-1)*y(1:i-1)';

end

x(n)=y(n)/u(n,n);

for i=n-1:-1:1

x(i)=(y(i)-u(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/u(i,i);

end

x=x';

（3）实验结果及分析:

>> A=[1,1,1;0,4,-1;2,-2,1];

>> b=[6;5;1];

>> gauss_lie (A,b);

ans =

1

2

3

七、结果说明

用消去法解方程组的基本思想都是设法消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素，将AX=b化为等价的上三角形方程组，然后再通过回代过程获得方程组的解。

八、实验感想

通过本次的实验了解了高斯消去法和高斯列主元消去法的计算方法，熟悉了MATLAB的一些功能，增强了对数值分析学习的兴趣。