曲线的参数方程PPT课件
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课件1：1.参数方程的概念~2.圆的参数方程
为参数)
名师点睛
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、 纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、 y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义,也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常 是方程组的形式,任意给定一个参数的允许取值就可得到曲 线上的一个对应点,反过来对于曲线上任一点也必然对应着 其中的参数的相应的允许取值．
(1)求常数a； (2)求曲线C的普通方程． 【思维启迪】本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知 点M(5,4)在该曲线上,则点M的坐标应适合曲线C的方程，从 而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程．
解 (1)由题意可知有1at＋2＝2t4＝5，故ta＝＝21.∴a＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为xy＝＝t12＋2t. 由第一个方程得 t＝x－2 1代入第二个方程，得 y＝x－2 12，即(x－1)2＝4y 为所求．
∴x2＋y2 的最大值为 11＋6 2，最小值为 11－6 2.
题型三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习,已知飞机离地面高度为H＝ 2 000 m,水平飞行速度为v1＝100 m/s,如图所示．
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度； (2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车， 欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处 投弹？(g＝10 m/s2)
点击1 考查圆的参数方程的应用 1.已知圆 C 的参数方程为xy＝＝1c＋ os sαin，α(α 为参数)，以原点为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ＝1，则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为________．
曲线的参数方程 课件
【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：
高中数学人教A版选修第二讲参数方程一曲线的参数方程课件
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某救援飞机给灾区投放救援物，已 知飞机离地面有500米，飞机以100m/s的 速度作水平直线运动，为事救援物准确 落于灾区指定地面，飞行员应如何确定 投放时机呢？
y
由物理知识可知，物资投 A 出机舱后的运动轨迹如图，
V=100m/s
.M
它是这两种运动的合成：
O
X
（1）沿OX方向以的速度作匀速直线运动；
（1）判断点M1（0,1）,M2（5,4）与曲线 C的位置关系；
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a 的值.
高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT)
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解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组 中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点 M2（5，4）代入方程组中,得
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上节课我们学习了参数方程 的概念，也了解参方程和普通 方程的同异之处.现在大家来想 想：圆心在原点半径为r的圆， 我们用什么样的参数方程去表 示它呢？
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高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 课件(共43张PPT) 高中数学人教A版选修4-4 第二讲 参数方程 一 曲线的
(t ), (t )
求出唯一对应x,
y
的值，而且大多数情况下，参数方程中
参数的变化范围是有限制的.
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某救援飞机给灾区投放救援物，已 知飞机离地面有500米，飞机以100m/s的 速度作水平直线运动，为事救援物准确 落于灾区指定地面，飞行员应如何确定 投放时机呢？
y
由物理知识可知，物资投 A 出机舱后的运动轨迹如图，
V=100m/s
.M
它是这两种运动的合成：
O
X
（1）沿OX方向以的速度作匀速直线运动；
（1）判断点M1（0,1）,M2（5,4）与曲线 C的位置关系；
（2）已知点M1（6，a）在曲线C上，求a 的值.
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解:（1）把点M1（0，1）的坐标代入方程组 中，得t=0，所以点M1在曲线C上；同理，把点 M2（5，4）代入方程组中,得
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上节课我们学习了参数方程 的概念，也了解参方程和普通 方程的同异之处.现在大家来想 想：圆心在原点半径为r的圆， 我们用什么样的参数方程去表 示它呢？
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(t ), (t )
求出唯一对应x,
y
的值，而且大多数情况下，参数方程中
参数的变化范围是有限制的.
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圆锥曲线的参数方程 课件
已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2 －y2＝1 上一点 Q，求 P、Q 两点距离的最小值．
【分析】 圆具有对称性，可转化为用参数法求 Q 到圆心的 距离的最小值．
【解】 设 Q(sec θ，tan θ)， 易知 O1(0,2)， 则|O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4) ＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3. 当 tan θ＝1，即 θ＝4π时，|O1Q|2 取最小值 3， 此时有|O1Q|min＝ 3. ∴|PQ|min＝ 3－1.
圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程 普通方程 ax22＋by22＝ 1(a>b>0)
ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)
参数方程 x＝acos φ， y＝bsin φ (φ
为参数) x＝bcos φ， y＝asin φ (φ
为参数)
问题探究：椭圆的参数方程xy＝＝abcsions
φ， φ
中的参数 φ 与圆的
双
曲线ax22
－
y2 b2
＝
1(a>0
，b>0)的参数
方程为
x＝asec y＝btan
φ， φ.
(φ
为参数)
3．抛物线的参数方程 普通方程
参数方程
y2＝2px(p>0)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
y2＝－2px(p>0)
x＝－2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
x2＝2py(p>0)
x＝2pt， y＝2pt2
示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参
常见曲线的参数方程PPT课件
2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
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46
双曲线的参数方程 课件
(2)将方程y＝11－ ＋ccooss
2t 2t
化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；(2)利 用代入法消去 t.
[解析] (1)将xy＝＝62se3ctαan α， 化为3y62 －1x22 ＝1， 可知双曲线焦点在 y 轴，且 c＝ 36＋12＝4 3， 故焦点坐标是(0，±4 3)． (2)由 y＝11－ ＋ccooss 22tt＝22csions22tt＝tan2t， 将 tan t＝x 代入上式，得 y＝x2，即为所求方程． [答案] (1)(0，±4 3)；(2)y＝x2.
[例2] 连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长 OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它 是何曲线．
[思路点拨] 由条件可知，M点是线段OP的中点，利 用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类 型．
ห้องสมุดไป่ตู้
[解] 设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在 OM 的延长线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程 为xy＝＝22tt2， 用中点公式得xy00＝＝44tt2，.
变形为 y0＝14x20，即 P 点的轨迹方程为 x2＝4y. 表示抛物线．
φ， φ.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为xy＝＝22pptt2， t∈R. (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数．
[例 1] (1)双曲线xy＝＝62se3ctαan α， (α 为参数)的焦点坐
标是________．
x＝tan t，
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线ax22－by22＝1 的参
参数方程12 PPT
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联立方程 xy522＋＝y452x＝，1，
得 x＝1 或 x＝－5(舍去)．
把 x＝1 代入 y2＝45x，得 y＝255或 y＝－255(舍去)，所以交 点坐标为(1，2 5 5)．
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例 1 把下列参数方程化为普通方程．
x＝1＋12t，
【答案】 (1) 3x－y＋5－ 3＝0 (2)y＝1－x2(|x|≤1)
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探究 1 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中 的参数，此时要注意其中的 x，y(它们都是参数的函数)的取值范 围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等 价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减 消元、平方后相加减消元、整体消元等．
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思考题 1 将下列参数方程化成普通方程．
x＝tt＋ －11， (1)
y＝t3－2t 1；
x＝tp2＋pt2， (2)y＝pt －pt.
【解析】 (1)由 x＝tt＋－11，得 t＝xx－＋11，代入 y＝t3－2t 1，化简
得 y＝x＋31x2＋x－1 12(x≠1)．
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参数方程
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1．参数方程的概念 如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个
变量 t 的函数xy＝ ＝fgtt，. 反过来，对于 t 的每个允许值，由函数式xy＝ ＝fgtt，， 所确定
的点 P(x，y)都在曲线 C 上，那么方程xy＝ ＝fgtt，， 叫做曲线 C 的
圆锥曲线的参数方程 课件
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，
两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
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o y L
M(x,y)
Q
α α
α Q Mo(xo,yo)
M(x,y)
x
例3：由圆外一点Q (a,b)向圆x2+y2=r2作割线,交圆周于A,B两点, 求AB中点P的轨迹的参数方程。 y y
Q(a,b) Q(a,b)
分析：割线过点Q (a,b)， 故割线PQ方程为： y-b=k(x-a), 依题意，OP⊥PQ于P，于是 OP方程为： 1 y= - k x，所以斜率k可作为参数。
x
例2：求经过点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线L的参数方程。 解：设点M(x,y)是直线L上任意一点， 过点M作y轴的平行线，过点M0作x轴的平 行线，两直线相交于点Q。规定直线L向上 的方向为正方向（如图）。 当M0M与L同方向，或两点M，M0重合时， 因M0M=|M0M|，所以有： M0Q=M0Mcosα ; QM=M0Msinα 当M0M与L反方向时，M0M，M0Q，QM同时改变符号，上 述式子仍然成立。（如图） 设M0M=t，取t为参数，∵M0Q=x-x0 , QM=y-y0 ; ∴x-x0=tcosα, y-y0=tsinα x=x0+tcosα 所以直线L的参数方程为： y=y0+tsinα
C A A O O P(x,y) P(x,y) D x x
解：设过点Q的直线方程是： y-b=k(x-a),， 由OP⊥PQ于P，则圆心O与AB中点P的连线方程 为y= - 1 x，此两直线的交点即为P。 k k(ka-b) y-b=k(x-a) x= k2+1 解方程组 y= - 1 x k （ k为参数范围如图）
二.建立曲线的参数方程： 例1：以原点为圆心，分别以a,b为半径作两个圆，点B是大圆 半径与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM ⊥ AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的 参数方程。 解：设点M的坐标为（x,y)，θ是以Ox为始边， OA为终边的 y 正角取为参数。则 x=ON=|OA|cos θ 即： A y=NM=|OB|sin θ B M(x,y) x=acos θ y=bsin θ θ 这就是所求的点M的轨迹的 o a b N 参数方程,图形是一个椭圆。 其中θ叫做椭圆的离心角。 θ=∠xOA ≠∠xOM（椭圆上 点M与中心O连线的倾角）
B B
得点P的轨迹的参数方程为：
y= b： 一.参数方程： 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数 x=f(t) y=g(t) 并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y)都 在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x,y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数。 二.几种曲线的参数方程: x= v0cosθ. t 1.炮弹弹道方程: y= v0sinθ.t- 1 gt2 2 x=acos θ 2.椭圆曲线方程: y=bsin θ 3.圆的参数方程: x=rcos θ y=rsin θ x=x0+tcosα 4.直线的参数方程： y=y0+tsinα