第二讲 参数方程曲线的参数方程
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
曲线的参数方程
如果t 是常数,θ 是参数,那么可以利用公式
������
sin2θ+cos2θ=1 消参;如果 θ 是常数,t 是参数,那么适当变形后可以利
用
������ + 1
2
−
������
������-
1 ������
2
= 4 消参.
-13-
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
所以圆的参数方程为
������ ������
= =
3cos������, 3 + 3sin������
(������为参数).
-9-
∗
, 并且对于������的每一个允许值, 由方程组
∗ 所确定的点������ ������, ������ 都在这条曲线上, 那么方程 ∗ 就叫做这条曲
线的参数方程, 联系变数������, ������的变数������叫做参变数, 简称参数. 相对于
参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意
义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.
-4-
一 曲线的参数方程
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HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
【做一做 1】
若点 P(2,4)在参数方程
第二讲：曲线的参数方程
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t),
y
g (t ).
（2）
那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t叫做参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
x 1 cos
∴
参数方程为
y
3
sin
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当 点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的 参数方程。
y
P M
o
Qx
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1t2
y 2t
y 2t
小结：
（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2= r2
x x0 r cos
y
y0
r sin
（为参数）
（2）椭圆：x
a
2 2
y2 b2
1,(a
b
0)
（3）双曲线：ax22
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x
y
3 c os (为参数) 2sin
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94
人教版高数选修4-4第2讲：参数方程(学生版)
参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则yx 的取值范围为______.练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.练习1：已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.例5：已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数，a ＞0，b ＞0)化为普通方程．类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21B ．221C.29D ．2293.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t－e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个．6．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 8.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π22．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP的斜率为( )A.33B. 3C.332D.2396.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.7.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________．8.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．011．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．12.在平面直角坐标系xOy中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．13.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．14.(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．课程顾问签字： 教学主管签字：。
第2讲1第1课时参数方程的概念及圆的参数方程课件人教新课标
解答
(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围. 解 x＋2y＝cos θ＋2＋2sin θ＝ 5sin(θ＋φ)＋2，tan φ＝12. ∵－1≤sin(θ＋φ)≤1， ∴－ 5＋2≤x＋2y≤ 5＋2. 即 x＋2y 的取值范围是[－ 5＋2， 5＋2].
弦所在直线 l 的方程为_x_－__y_－__3_＝__0__.
解析 圆心O′(1,0)，∴kO′P＝－1，即直线l的斜率为1. ∴直线l的方程为x－y－3＝0.
12345
解析 答案
规律与方法
1.参数方程 (1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量， 起到了桥梁的作用. (2)参数方程是通过变数反应坐标变量x与y之间的间接联系. 2.求曲线参数方程的步骤 第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点； 第二步，选参数，比如选参数t； 第三步，建立x，y与参数间的关系，即xy＝＝fgtt，.
12345
解析 答案
4.已知xy＝ ＝tt＋ 2 1， (t 为参数)，若 y＝1，则 x＝__0_或__2___.
解析 ∵y＝t2＝1， ∴t＝±1. ∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0.
12345
解析 答案
5.若 P(2，－1)为圆 O′：xy＝ ＝15s＋in5θcos θ， (0≤θ<2π)的弦的中点，则该
_－_6_y_－__3_＝__0_)_.
4x
解析 将参数方程化为标准方程，得(x－3)2＋(y＋2)2＝16，
故圆心坐标为(3，－2).
高中数学 第二讲 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 新人教A版选修4-4
[解] 法一 设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线
交x轴于Q. 如图所示，则
Rt△OAB≌Rt△QBP. 取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．
[解] (1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，得：01＝＝32tt2，＋1. 解得：t＝0.∴点 M1 在曲线 C 上． 同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M3(6，a)在曲线 C 上，∴6a＝＝32tt，2＋1. 解得：t＝2，a＝9. ∴a＝9.
|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ，
(θ 为参数，0＜θ＜π2)．
求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一 点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以 利于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两 点：一是曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如， 在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题 时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距 离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
由图可知：xy＝＝22scions
θ， θ，
（θ 为参数）
又 θ＝6π0·t，故参数方程为：xy＝＝22scions66ππ00tt.，
（t 为参数）
2．选取适当的参数，把直线方程 y＝2x＋3 化为参数方程． 解：选 t＝x，则 y＝2t＋3 由此得直线的参数方程为xy＝＝2t，t＋3， (t 为参数)． 也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1. 参数方程为：xy＝＝2t－t＋11，. (t 为参数)
2019_2020学年高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程3参数方程和普通方程的互化讲义(含解析)新人教A版
3．参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．[例1] (1)(x －1)23＋(y －2)25＝1，x ＝3cos θ＋1，(θ为参数)；(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1，(t 为参数)．[解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)23＋(y －2)25＝1，得y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)．这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0，得y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1(t 为参数)．这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时的注意点(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝tan 2θ＋tan θ－1(θ为参数)．1.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______________．解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在x 轴上，半径为12，则该圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)，注意α为圆心角，θ为圆弧所对的圆周角，则有α＝2θ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos 2θ，y ＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)[例2] (1)⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝1＋2t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)．[思路点拨] (1)可采用代入法，由x ＝1－t 解出t ，代入y 的表达式； (2)采用三角恒等变换求解．[解] (1)由x ＝1－t 得 t ＝1－x ，将其代入y ＝1＋2t 得y ＝3－2x .因为t ≥0，所以x ＝1－t ≤1，所以参数方程化为普通方程为y ＝3－2x (x ≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝4sin θ－1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5 ①sin θ＝y ＋14②，①2＋②2得x 225＋(y ＋1)216＝1(－5≤x ≤5，－5≤y ≤3)．将参数方程化为普通方程的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0)点 D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1,0)点解析：选D 结合题意，x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D.3．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为( )A ．y 2＝1＋x B ．y 2＝1－x C ．y 2＝1－x (－2≤y ≤2)D ．以上都不对解析：选C 因为y ＝cos θ－sin θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以y ∈[－2， 2 ]，由y 2＝1－2sin θcos θ＝1－sin 2θ，得y 2＝1－x ，y ∈[－2， 2 ]，故选C.一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 方程可化为y ＝x －2，x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故选C.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．线段D ．射线解析：选C x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin 2θ∈[0,1]， ∴x ＋y ＝1(x ∈[0,1])为线段．3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y ＝－2x 上，故选B.4．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝a ＋22t (t 为参数)，A (－1,0)，B (1,0)，若曲线C 上存在点P 满足AP ―→·BP ―→＝0，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 B ．[－1,1] C ．[－2，2]D ．[－2,2]解析：选C 设P (x ，y )，∵A (－1,0)，B (1,0)，点P 满足AP ―→·BP ―→＝0， ∴P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1，表示圆心为(0,0)，半径为1的圆．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝a ＋22t (t 为参数)化成普通方程为x －y ＋a ＝0，由题意知，圆心(0,0)到直线x－y ＋a ＝0的距离d ＝|a |2≤1，∴－2≤a ≤ 2.二、填空题5．x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化成标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，表示圆心为(－1,2)，半径为2的圆，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9，表示以(0,0)为圆心，3为半径的圆．圆心(0,0)到直线的距离为12＝22，小于半径3，所以直线与圆相交．因此，交点的个数为2. 答案：27．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________________．解析：曲线C 的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，y ＝t ＋1(t 为参数，t ≥0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t (π≤t ≤2π)．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2，①y ＝t ＋1，②由②得t ＝y －1，又t ≥0，所以y ≥1.所以x ＝－4(y －1)2(y≥1)，即(y －1)2＝－14x (y ≥1)．方程表示的是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t ，得x 24＋y 29＝1.∵π≤t ≤2π，∴－2≤x ≤2，－3≤y ≤0. ∴所求方程为x 24＋y 29＝1(－3≤y ≤0)，它表示半个椭圆⎝ ⎛⎭⎪⎫椭圆x 24＋y 29＝1在x 轴下方的部分. 9．如图所示，经过圆x 2＋y 2＝4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程．解：圆x2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．在此圆上任取一点P (2cos θ，2sin θ)， 则PQ 的中点为M (2cos θ，sin θ)， 所以PQ 中点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，化成普通方程x 24＋y 2＝1.10．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)得(x ＋2)2＋y 2＝10，∴曲线C 1的普通方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋6y ，即(x －1)2＋(y －3)2＝10. ∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10. (2)∵圆C 1的圆心为(－2,0)，圆C 2的圆心为(1,3)， ∴|C 1C 2|＝(－2－1)2＋(0－3)2＝32＜210，∴两圆相交．设相交弦长为d ，∵两圆半径相等，∴公共弦平分线段C 1C 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝(10)2，解得d ＝22，∴公共弦长为22.。
2 第2讲 参数方程
第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.(2)利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．(3)将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围，保持等价转化． (4)确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值． 解：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3.已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，求它们的交点坐标．解：根据题意，两曲线分别是椭圆x 25＋y 2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y 2＝45x ，联立易得它们的交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．解：化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l 的普通方程是x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0，标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.圆心(2，0)到直线的距离为|2－4|2＝2， 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝24－2＝2 2.参数方程与普通方程的互化[典例引领]已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝3k 1＋k 2，y ＝6k 21＋k 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.解：(1)两式相除，得k ＝y2x ，将其代入得x ＝3·y 2x1＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2，化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y 2＝2－x . 即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0，2]．参数方程的应用[典例引领](2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解】 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117， 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等． (2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2018·广东惠州模拟)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，l 与C 分别交于点M ，N .(1)写出C 的直角坐标方程和l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a >0)； 直线l 的普通方程为x －y －2＝0.(2)将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.(*) 由题意知Δ＝8a (4＋a )>0， 又a >0，所以4＋a >0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1，t 2恰为方程(*)的根． 易知|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|， 即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|.又由(*)得t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )>0， 则有(4＋a )2－5(4＋a )＝0， 解得a ＝1或a ＝－4. 因为a >0，所以a ＝1.极坐标方程与参数方程的综合问题[典例引领](2018·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α， 把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，π6<α≤π4)．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4t cos α＝0. 解得t 1＝0，t 2＝4cos α.故|OA |＝|t 2|＝4cos α. 同理可得|OB |＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2018·成都市第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ－4sin θ＝0. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1，0)．若点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ |的值．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝tan α·(x －1)．由ρcos 2θ－4sin θ＝0得ρ2cos 2θ－4ρsin θ＝0，即x 2－4y ＝0. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)因为点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，所以点M 的直角坐标为(0，1)．所以tan α＝－1，直线l 的倾斜角α＝3π4.所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)．代入x 2＝4y ，得t 2－62t ＋2＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2. 因为Q 为线段AB 的中点，所以点Q 对应的参数值为t 1＋t 22＝622＝3 2.又点P (1，0)，则|PQ |＝|t 1＋t 22|＝3 2.直线参数方程的应用已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(1)若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2.(2)若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22.(3)若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.[注意] 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．圆的参数方程的应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．[注意] 把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围而导致出错．圆与椭圆参数方程的异同1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小． 解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32， 故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆； 曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8；可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2018·惠州市第三次调研考试)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14，求直线l 的倾斜角α的值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ. 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos αt 1t 2＝－3. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝14，所以4cos 2α＝2，cos α＝±22，α＝π4或3π4.4．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22ty ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋42＝0. 曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1.圆心⎝⎛⎭⎫22，－22到直线x －y ＋42＝0的距离d ＝|52|2＝5>1， 所以直线l 与曲线C 的位置关系是相离．(2)设M ⎝⎛⎭⎫22＋cos θ，－22＋sin θ，(θ为MC 与x 轴正半轴所成的角) 则x ＋y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 因为0≤θ<2π， 所以x ＋y ∈[－2，2]．5．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )． (1)写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标；(2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点，求△PMN 面积的最大值． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.直线l 的直角坐标方程为y ＝x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2－2x ＋y 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以点M ，N 的极坐标分别为(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (2)由(1)易得|MN |＝ 2.因为P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点， 设P 点坐标为(3cos θ1，sin θ1)．则P 到直线y ＝x 的距离d ＝|3cos θ1－sin θ1|2，所以S △PMN ＝12|MN |d ＝12×2×|3cos θ1－sin θ1|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ1＋π62≤1，当θ1＝k π－π6，k ∈Z 时，S △PMN 取得最大值1.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ－sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110， 代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·安徽省两校阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos ty ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2， 所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos （t ＋π4）|2. 所以d min ＝42＝22， 又|AB |＝2 2.所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4. 3．(2018·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2ty ＝1＋2t ， 所以其普通方程为x －y －a ＋1＝0. 因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t y ＝1＋2t， 得2t 2－22t ＋1－4a ＝0. Δ＝(22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0，由根与系数的关系得⎩⎨⎧t 1＋t 2＝2t 1·t 2＝1－4a 2.根据参数方程的几何意义可知|P A |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又|P A |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2t 1·t 2＝2t 22＝1－4a 2，解得a ＝136>0，符合题意． 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94>0，符合题意．1 36或9 4.综上所述，实数a的值为。
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r
r
即
? x ? r cos? t
? ?
y
?
r
sin
?
t
(t为参数)
这就是圆心在原点 O，半径为 r 的圆的参数方程
参数 t 有物理意义 (质点作匀速圆周运动的时刻 )
考虑到θ=ωt ，也可以取 θ为参数，于是有
? x ? r cos?
? ?
y
?
r
sin ?
(? 方程 .
?
2
?
12t
5、由方程x 2 ? y2 ? 4tx ? 2ty ? 5t 2 ? 4 ? 0(t为
参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是 D
A 一个定点 B 一个椭圆 C 一条抛物线 D 一条直线
5下列在曲线
? x ? sin 2?
? ?
y
?
cos?
?
sin ?
(? 为参数)
上的点是
( B)
A
(1 , ? 2
圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，
怎样刻画运动中点 的位置呢？
y
M(x, y)
r
?
M0
o
x
如果在时刻 t，点M转过的角度是 θ，坐标是 M(x, y) ， 那么θ=ωt. 设|OM|=r ，那么由三角函数定义，有
cos ? t ? x ,sin ? t ? y
(2)已知点 M 3（6，a ）在曲线 C 上，求 a 的值。
解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得 t=0，所
以M1在曲线上．
?5 ? 3t
把点M 2的坐标 (5,4)代入方程组，得到
? ?4 ?
2t2 ? 1
这个方程无解，所以点 M2不在曲线C上．
?6 ? 3t
(2)因为点
M
3(6,a)
( D)
A(2，7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1 ，0)
3
已知曲线
C 的参数方程是
? ? ?
x y
? ?
1? at 2
2t (t为参数， a
?
R)点M(5,4)
该曲线上 . (1)求常数a; （2）求曲线 C的普通方程
(1)由题意可知 : 1+2t=5 ，at 2=4；a=1 ，t=2；
y=gt 2/2=10×102/2=500m.
练习
1、曲线
?x ? ?y
? ?
1 ? t 2 (t为参数）与x轴的交点坐标是
4t ? 3
(
B)
A(1，4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D( ±25/16, 0)
2、方程
? ? ?
x y
? ?
sin ? cos?
(?为参数
)所表示的曲线上一点的坐标是
投放点
由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，
因此,不易直接建立 x,y所满 足的关系式。
？ 救援点
物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
（1）沿ox作初速为 100m/s 的匀速直线运动；
（2）沿 oy反方向作自由落体运动。
在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有
什么关系？
y
t 时刻，水平位移为
(2)t ? x ? 1 代入第二个方程得 : y=(x-1) 2/4 2
4 动点M作等速直线运动 , 它在x轴和y轴方向的速 度分别为 5和12 , 运动开始时位于点 P(1,2), 求点M的轨迹 参数方程 .
解：设动点 M (x,y) 运动时间为 t，依题意，得
? x ? 1 ? 5t
? ?
y
2)
B
(? 3 , 1) 42
C
(2,
3)
D (1, 3)
参数方程求法 : （1）建立直角坐标系 , 设曲线上任一点 P坐标为; （2）选取适当的参数 ;
（3）根据已知条件和图形的几何性质 , 物理意义 , 建 立点P坐标与参数的函数式 ;
（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程 .
圆的参数方程
在曲线
C
上，所以?
?
a
?
2t 2
?
1
解得t=2, a=9 所以，a=9.
练习：一架救援飞机以 100m/s 的速度作水平直线 飞行.在离灾区指定目标 1000m 时投放救援物资（不计空 气阻力,重力加速 g=10m/s ）问此时飞机的飞行高度约是 多少？（精确到 1m）
x=100t=1000, t=10,
参数方程的概念：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数
?x ? f (t),
? ?
y
?
g(t).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，
那么方程组就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系变数
x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。
500
x=100t ，离地面高度 y，即：
y=500-gt 2/2，
?? x ? 100t,
? ??
y
?
500 ?
1 2
gt 2.
物资落地时，应有 y=0，
o
x
即500-gt 2/2=0，解得， t≈10.10s ， 得x≈1010m ；
因此飞行员在距离救援点水平距离约为 1010米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。
? x ? r cos?
? ?
y
?
r
sin ?
(? 为参数)
其中参数 θ的几何意义是 OM 0绕点O逆时针旋转到
OM的位置时， OM 0转过的角度
y
P
圆心为O1(a, b) ，
b
r? y
半径为r 的圆的参数方程
v
? ? ?
x y
? ?
a b
? ?
r r
cos? sin ?
(?为参数 )
O
ax x
一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，
第二讲：参数方程
曲线的参数方程
一架救援飞机在离灾区地面 500m 高处100m/s 的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？
即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？
如图，建立平面直角坐标系。
x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度，
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做 普通方程。
参数是联系变数 x, y的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
?x ? 3t
例1:
已知曲线 C的参数方程是
? ?
y
?
2t2
?
1（t为参数）
(1)判断点 M 1(0，1)， M 2(5，4)与曲线 C 的位置关系；
另外，要注明参数及参数的取值范围。
例1 已知圆方程 x2+y2+2x-6y+9=0, 将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0 化为标准方程 , (x+1)2+(y-3)2=1
∴参数方程为
? x ? ?1? cos?
? ?
y
?
3
?
sin?
(θ 为参数 )
练习：判断点 A(2,0),