一维连续型随机变量及其概率密度.ppt
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连续型随机变量的概率密度
x
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.
F ( x) f ( x)dx
则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率密度函数，简称 概率密度或密度.
概率论与数理统计
2
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 从几何上看, 连续型随机变量X的分
布函数是由概率密度曲线 f (x), x轴,
概率论与数理统计
3
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
x
F ( x) f ( x)dx
➢ 根据高等数学的知识，容易得到，连续型随机变量的分布函
数一定是连续函数，且在F(x)的导数存在的点上有
F( x) f (x).
➢ 由上述定义，显然，对于任意的实数 x1 x2 ，均有
P
x1 X x2
试求(1)
常数A,
1 Aex1 , x 1.
B的值；(2) 概率密度f
(x)；
(3)
P(X
1 ).
2
➢ 解 (1) 由分布函数的连续性知 lim F( x) F(0), lim F( x) F(1),
x0
x1
可得
A
B,1
A
B,
则
A
B
1 2
.
1 2
e
x
,
故分布函数为：F
(
x
)
1
,
2
x 0, 0 x 1,
概率论与数理统计
❖ 一.连续型随机变量的概率密度 1.概念
➢ 由于连续型随机变量是在实数集上连续取值的随机变量，其 概率分布与离散型完全不同，由于其取值有无穷多个，不能 一一列举，需要用新的方法来研究其分布律. 对于这类随机变 量，用概率密度来描绘连续型随机变量的概率分布.
2.3一维连续型随机变量及其概率密度
2 解： (1) f ( x ) dx 0 (ax b)dx 2a 2b 1
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
P{1 X 3}
3 1 f
( x )dx
2 1 (ax b)dx
1.5a b 0.25
a 0.5, b 1
0.5 x 1 0 x 2 f ( x) 其他 0
0t 2 其他
t f (t ) 2 0
F ( x)
x
f ( t )dt
定义2.3.1 设随机变量X 的分布函数为F (x), 若存 在非负函数 f (x), 使得对 x R 有
x F ( x) f ( t )dt
则称X 为连续型随机变量, f (x)为X 的概率密度函数,
u
x
t
1 e 2
( t )2 2 2
dt
x dt du
( x )
1 2
u2 e 2
du
* X ~ N ( , 2 ),
x X x F ( x ) P{ X x } P b a P {a X b} a P{ X a } 2 1
b a
f ( x )dx
(4) 在 f ( x ) 的连续点x 上，F ( x ) f ( x )；
(5) c R,
P{ X c} 0.
性质（4）： 在 f (x)的连续点 x 处
F ( x x ) F ( x ) f ( x ) lim x 0 x P { x X x x } lim x 0 x
连续型随机变量及其概率密度函数
是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
概率论与数理统计课件 2.1一维连续型随机变量
x
70 10
0.7053
x 70 0.54 10
3准则
X ~ N(, 2)
X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径 的区间内。这是因为：
P 3 X 3 (3) (3)
(3) [1 (3)] 2(3) 1 0.9974
F(x) 0.9974
X 3
是小概率事件
3
3
例 设已知测量误差X～N（0，102 ），现独立 重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的 次数不少于3的概率。
解：第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值 超过19.6”的事件，则有 P( A) P{ X 19.6} 1 P{ X 19.6} 1 P{ X 1.96} 2 2(1.96) 0.05 10
0.617910.6915 0.3094
P(a X b) (b ) ( a )
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人
报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N (, 2 )
已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到 低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？
解：设X表 示 行 车 时 间 。 (1) 有70分 钟 可 用 时 走 第 一 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P{ X 70} ( 70 50) 0.9772 10
走 第 二 条 路 线 及 时 赶 到的 概 率 为 ：
P{ X
70}
(70
60 )
0.9938
4
应走第二条路线。
一个事件的概率为零，这个事件不一定是不 可能事件、同样的这个事件的概率为1，这 个事件也不一定是必然事件。
对 x 0
连续型随机变量及其概率密度函数
§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
第二章第四节 连续型随机变量及其密度函数 概率论课件
ba
当x b时，
x
a
b
x
F(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0 xa
F(x)P(Xx)bx1aa
axb xb
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点 后某一位小数引入的误差，例如对小数点后 第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差 服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。
P(aXb) P(aXb)
2) 由P(X=a)=0 可推知
P (X R a ) f(x )d P x (X a ) 1 而 {X=a} 并非不可能事件 {XR{a}}并非必然事件
可见，由P(A)=0, 不能推出 A
由P(B)=1, 不能推出 B=S
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
解：以7:00为起点0，以分为单位
依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f(x) 310, 0 x30 0, 其它
从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，
为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.
f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与 P(Xxk)pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
4. 连续型r.v取区间值的概率.
对一个连续型随机变量X，若已知其密度 函数为f(x),则根据定义，可求得其分布函 数F(x)，同时，还可以求得X的取值落在 任意区间(a,b]上的概率：
b
P(aXb)F(b)F(a)f(x)d.x
一维连续型随机变量及其概率密度共42页
kx, 0 x 3,
p(
x)
2
x 2
,
3 x 4,
0,
其它.
(1) 确定常数k; (2) 求 X 的分布函数;
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解 (1)由 p(x)dx1,
得 3 kd x x 4 ( 2 x )d x 1 ,解之k得 1.
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P { a X b } P { a X b } P { a X b }
b
P {aXb} a p(x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p逝
第2.3节 一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义
设X为 随 机， 变F(量 x)为X的 分 布,若 函 存 数 在
非 负 可 积 p(x函 ),使数对 于 任 意 x有实 数
x
F(x) p(t)dt,
则 称 X为 连 续 型 随,其 机中 变 p(x)量 称 为 X的 概
率密度,简 函称 数概率 . 密度
性质
(1)对任x意 ,p(x)的 0. (2)
p(x)dx1.
证明 (2)
x
1F () limp (t)dt p(x)dx.
x
p( x)
S p(x)dx1
S1
0
a•
•
b
x
注意
不可能事件的概率一定为0,而概率为0 的事件不一定是不可能事件.
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1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F (2000) 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
3. 正态分布(或高斯分布)
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
图形演示 p(x)
1
e
(
xμ) 2σ 2
2
,
x
,
2 πσ
而F(x)在R上连续, 所以P{X=a}=0.
由此可得
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
b
P{a X b} a p(x)dx s1
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 p( x)
S1
0
a•
•
b
x
注意
不可能事件的概率一定为0,而概率为0 的事件不一定是不可能事件.
(1) 确 定 常 数k; (2) 求 X 的 分 布 函 数;
(3) 求 P{1 X 7}. 2
解
(1) 由
p(x) d x 1,
得
3
kx d x
4
(2
x)d
x
1,
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
解之得
k 1. 6
x 6
,
p( x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其 它.
x1
同时得以下计算公式
P{X a} F(a)
a
p( x)d
x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
p(x) d x p(x) d x
a p(x) d x.
(4) 若 p( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) p( x).
(5)P{X=a}=0. 证: 由于P{X=a}=F(a)-F(a-0),
解 X 的分布密度函数为
p(
x)
1 3
,
0,
2 x 5, 其 它.
设 A 表示“一次观测中X的值大于 3 ”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 Y ~ B 3, 2 . 3
因而有
P{Y
2}
C2032.
F(x) 0,
x 0.
3 1
1 2
指数分布分布函数图形演示
应用与背景
某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
=1/2000的指数分布(单位:小时)
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
若X是连续性随机变量,则
P{X a} 0,
显然 {X a} 是可能发生的
事实上:
x R, p(x) 0; p(x)dx 1
是 p(x) 是某连续性随机变量X的密度函数的充要条件.
例1 设随机变量X 具有概率密度
kx, 0 x 3,
p( x)
2
x 2
,
3 x 4,
0,
其 它.
上的概率.
(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以
上,求还能使用1000小时以上的概率.
解 X 的分布函数为
F
(
x)
1
e
1 2000
x
,
x 0,
0,
x 0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607.
(2) P{ X 2000 X 1000} P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
则 称 X 为 连 续 型 随 机 变 量, 其 中 p( x) 称 为 X的 概
率 密 度 函 数,简 称 概 率 密 度.
性质 (1) 对任意的x, p( x) 0. (2)
p(x) d x 1.
证明 (2) 1 F () lim
x
p(t) d t p(x) d x.
x
p( x)
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为μ, σ
S p(x) d x 1
1
0
x
(3)
P{ x1
X
x2 }
F(x2)
F ( x1)
x2 x1
p( x)dx
证明 P{x1 X x2} PX x2 X x1 PX x2 PX x1 F(x2) F(x1)
x2 p( x) d x
x1 p( x) d x
x2 p( x)d x.
2 3
2
1
2 3
C33
2 3
3
1
2 3
0
27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为的指数
分 布.
p(x)
3
1
1 2
指数分布密度 函数图形演示
分布函数
1 ex , x 0,
由 F (x) x p(t) d t 得
当x 0时 ,
x
F (x) 0dt 0
x
当 0 x 3时 , F (x) p(t)dt
0
0dt
xt
dt x2
06
12
当3
x
4时
,F ( x)
0
0dt
3
0
t 6
dt
x
3 (2
t )dt 2
3 2x x2
4
当x 4时 ,
第2.3节 一维连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在
非 负 可 积 函 数p( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) p(t)d t,
F(x)
0
0dt
3 t dt
4 2 t dt
x
0dt
06
3 2
4
1
0,
x 0,
x
2
,
0 x 3,
即ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)
P{1
X
7} 2
F(7) 2
F (1)
41 . 48
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
p(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其 它,
则称 X 在区间(a, b)区间上服从均匀分布,
记为 X ~ U(a,b).
概率密度
p( x)
函数图形
ao
b
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率.