数列的性质-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(新高考地区专用)
1 专题28 数列的性质
【方法点拨】
1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调性（判断数列的增减性和确定数列中最大（小）项，求数列最值等）等；
2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数，一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量,不连续，这给研究数列的单调性带来了难度,其一般解决方法是作差或作商.
【典型题示例】
例1 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1
>a －7对一切正整数n 都成立，则正整数a 的最大值为________．
【答案】8
【分析】要求正整数a 的最大值，应先求a 的取值范围，关键是求出代数式1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋13n ＋1
的最小值，可将其视为关于n 的函数，通过单调性求解． 【解析】令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1
(n ∈N *)， 对任意的n ∈N *，f (n ＋1)－f (n )＝
13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1n ＋1＝23n ＋13n ＋23n ＋4
>0， 所以f (n )在N *上是增函数．
又f (1)＝1312，对一切正整数n ，f (n )>a －7都成立的充要条件是1312
>a －7， 所以a <9712
，故所求正整数a 的最大值是8. 点评：本题是构造函数法解题的很好的例证．如果对数列求和，那就会误入歧途．本题构造函数f (n )，通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题．利用函数思想解题必须从不等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通. 例 2 已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足：11a =，()
11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）．若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是 ．
【答案】13
λ>。
压轴题01 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题01数列压轴题题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合题型/考向三：数列综合应用一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一等差数列、等比数列性质的综合1．已知等比数列{}n a 满足123434562,4a a a a a a a a +++=+++=，则11121314a a a a +++=（）A ．32B ．64C ．96D ．128【答案】B【详解】设{}n a 的公比为q ，则()234561234a a a a q a a a a +++=+++，得22q =，所以()()1051112131412341234264a a a a a a a a q a a a a +++=+++⨯=+++⨯=．故选:B2．已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，前n 项积为n T ，若106T T =，则下列结论正确的是（）A ．671a a =B ．781a a =C ．891a a =D ．9101a a =【答案】C3．已知等差数列n 满足15，36，数列n 满足12n n n n ++=⋅⋅．记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使0n S <的n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1536446a a a a =⎧⎨=+⎩得：111141624206a a da d a d =+⎧⎨+=++⎩，解得：1163a d =⎧⎨=-⎩，()1631319n a n n ∴=--=-+，则当6n ≤时，0n a >；当7n ≥时，0n a <；∴当4n ≤时，0n b >；当5n =时，0n b <；当6n =时，0n b >；当7n ≥时，0n b <；11613102080b =⨯⨯= ，213107910b =⨯⨯=，31074280b =⨯⨯=，474128b =⨯⨯=，()54128b =⨯⨯-=-，()()612510b =⨯-⨯-=，()()()725880b =-⨯-⨯-=-，()()()85811440b =-⨯-⨯-=-，()()()9811141232b =-⨯-⨯-=-，()()()101114172618b =-⨯-⨯-=-，532900S ∴=>，915480S =>，1010700S =-<，100S < ，当10n ≥时，0n b <，∴当10n ≥时，0n S <，则使得0n S <的n 的最小值为10.()()()()()()102120232022k k k k k k k T f a f a f a f a f a f a =-+-++- ，1,2k =，则1T ，2T 的大小关系是（）A ．12T >TB ．12T T <C ．12T T =D ．1T ，2T 的大小无法确定()()101322022...a f a +-)()22023f a -1=125．数列n 满足12，21n n n ++=+∈N ，现求得n 的通项公式为n nn F A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭，,A B ∈R ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则812⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．46○热○点○题○型二以古文化、实际生活等情境综合6．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为P ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元.A ．10MB ．()()1010111MP P P ++-C ．()10110M P +D ．()()99111MP P P ++-7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105B．107C．1012D．1015次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）A．7里B．8里C．9里D．10里【答案】A【详解】设第六天走的路程为1a，第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a，9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）A ．23B ．25C ．27D ．2910次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29，则该数列的第18项为（）A ．172B ．183C ．191D ．211【答案】C【详解】设该数列为{}n a ，则11,(2)n n a a n n --=+≥，○热○点○题○型三数列综合应用11．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则122022111a a a +++= （）A ．20211011B ．40442023C ．20212022D ．2022202312．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()1133n nn n n n S S S S ++-=+，则2023S =（）A ．202331-B ．202331+C ．2022312+D ．2023312+13．已知一族曲线n ．从点向曲线n 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y 的通项为n yC ．当3n >时，1352111nn nx x x x x x--⋅⋅⋅>+ Dnnxy <故D 正确.故选：B.14．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，函数()()()112πcos π2g x x x x =-且()()()12918g a g a g a +++= ，则5a =（）．A ．14B ．13C ．16D ．1915．已知函数()()*ln N f x nx x n =+∈的图象在点,fn n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S 为（）A ．11n +B ．()()235212n nn n +++C ．()41nn +D ．()()235812n nn n +++。
【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第35讲 等比数列(解析版)
为( )
A．－2＋ 2 2
B.－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两根，所以 a3·a15＝a29＝2，
1 (q4)3 1 (q4)2
1 23 1 22
7. 3
1 q
（2）：(基本量法) 设数列 an 的首项是 a1 ，公比为 q ，则由 a3 a2 4 ， a4 16 ，得
a1q a1q
2 3
a1q 16
4
解得
aq122 ， S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 2 4 8 14 .
项 a1＞0，公比 0<q<1 或首项 a1＜0，公比 q＞1，则数列为递减数列；若公比 q＝1，则数列为常数列；公比
q＜0，则数列为摆动数列．
1
an
(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、an 、{a2n}、bn 、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．
1 / 14
变式 2、 (1)[2018·如东中学]在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝
____； (2)[2016·常熟中学]等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若SS150＝3312，则公比 q＝___．
【答案】（1） 51（2）－1 2
解得
q＝1，代入①得 2
a1＝2，
2021年高考数学一轮复习 数列试题 理
2021年高考数学一轮复习数列试题理n n m－1m m＋1则m＝( )．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【xx新课标I版（理）12】设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n ＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a n＋1＝a n，b n＋1＝，c n＋1＝，则( )．A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【答案】：B【xx新课标I版（理）5】已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7【答案】D【xx新课标I版（理）14】若数列{a n}的前n项和，则{a n}的通项公式是a n＝__________. 【答案】：【xx新课标I版（理）16】数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为__________．【答案】1830【xx新课标I版（理）17】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.【答案】（I）由题设，两式相减得由于，所以……6分（II）由题设，，，可得由（I）知，令，解得故，由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，.所以，.因此存在，使得数列为等差数列. ……12分1 ．（河北省唐山市xx届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S5=13,S15=63,则S20= （）A．100 B．90 C．120 D．110【答案】B2 ．（河北省邯郸市xx届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列中,,则（）A．3 B．C．3或D．或【答案】C3 ．（河北省邯郸市武安三中xx届高三第一次摸底考试数学理试题）数列是首项为1,且公比的等比数列,是的前项和,若,则数列的前5项和为（）A．B．5 C．D．【答案】C4 ．（河北省保定市八校联合体xx届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a1+ a5 = 16,则a3等于（）A．8 B．4 C．-4 D．-8【答案】A5 ．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）已知为等差数列,其前项和为,若,,则公差等于（）A．B．C．D．【答案】C6．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）等比数列中,已知对任意自然数,,则等于（）A．B．C．D．【答案】D7．（河北省邯郸市武安三中xx届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列的前项和为,若,则等于（）A．45 B．60 C．D．【答案】B8．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）若数列满足:存在正整数,对于任意正整数都有成立,则称数列为周期数列,周期为. 已知数列满足, 则下列结论中错．误．的是 （ ） A ．若,则B ．若,则可以取3个不同的值C ．若,则数列是周期为的数列D ．且,数列是周期数列 【答案】D 9．（河北省张家口市蔚县一中xx 届高三一轮测试数学试题）在首项为57,公差为的等差数列中,最接近零的是第( ) 项. （ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．11 【答案】C 10．（河北省唐山市xx 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,,则{a n }的前n 项和S n =_______________. 【答案】（河南省安阳市xx 届高三第一次调研）设等差数列{}的前n 项和为，若，是方程－3x ＋2＝0的两个实数根，则＝______________． 答案：11．（河北省邯郸市xx 届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等差数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)设**122(),()(12)n n n n b n N T b b b n N n a =∈=+++∈-,求.【答案】设的公差为,由题意得解得 得: (2)∵ ∵1)111()3121()211(321+=+-+⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=n nn n b b b b T n n 12．（河北省容城中学xx 届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列{a n }的前n 项和(其中),且S n 的最大值为8. (1)确定常数k,求a n . (2)求数列的前n 项和T n . 【答案】(1)当时,取最大值,即,13．（河北省张家口市蔚县一中xx 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数,其导函数为,数列的前项和为点均在函数的图像上. (1)求数列的通项公式;(2)若231231(2),22223n n n n n c a b b b b c =+++++=,求数列的通项公式.【答案】14．（河北省保定市八校联合体xx 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)试求所有的正整数,使得为数列中的项.【答案】[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力.满分14分.(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,(2)(方法一)=,设,则=, 所以为8的约数(方法二)因为1222222(4)(2)86m m m mmm m ma a a aaa a a+++++++--==-+为数列中的项,故为整数,又由(1)知:为奇数,所以经检验,符合题意的正整数只有15．（河北省张家口市蔚县一中xx届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数,且,设当,时,.(Ⅰ)求证:数列是递减数列,数列是递增数列;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)是否存在常数使得对任意,有,若存在,求出的取值范围;若不存在,试说明理由.【答案】(Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解:由,可得.若存在常数使得对任意,有,则对任意,.即对任意成立.即对任意成立.设表示不超过的最大整数,则有.即当时,.与对任意成立矛盾.所以,不存在常数使得对任意,有（河南省安阳市xx 届高三第一次调研）已知等差数列{}的前n 项和为，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设{}是首项为1,公比为3的等比数列，求数列{}的前n 项和. （Ⅰ）依题意得解得， 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……6分 （Ⅱ），n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=-2123232323(21)3n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-+13(13)32(21)32313n n n n n --=+⋅-+=-⋅- ∴ . ………12分16．（河南省中原名校xx 届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知等差数列中,首项a 1=1,公差d 为整数,且满足数列满足前项和为. (1)求数列的通项公式a n ;(2)若S 2为S l ,的等比中项,求正整数m 的值. 【答案】解:(1)由题意,得解得< d <.又d ∈Z,∴d = 2∴a n =1+(n -1)2=2n -1. 4分(2)∵,∴111111[(1)()()]23352121n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+∵,,,S 2为S 1,S m (m ∈)的等比中项, ∴,即, 解得m =12.12分17．（河北省石家庄市xx 届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）已知公差不为0的等差数列{a n }的首项为2,且a 1,a 2,a 4成等比数列. (I )求数列{a n }的通项公式; (II)令,求数列{b n }的前n 项和.【答案】解:(I)设等差数列的公差为d,由, 又首项为,得, 因为,所以,所以(Ⅱ)设数列的前n 项和,由(Ⅰ)知,所以===, 所以==,即数列的前n项和=18．（山西省康杰中学xx届高三第二次模拟数学（理）试题）已知数列的前项和,满足.(Ⅰ)求数列的前三项;(Ⅱ)求证:数列为等比数列,并求出的通项公式.【答案】解:(Ⅰ)在中分别令得:解得:(Ⅱ)由得:两式相减得:故数列是以为首项,公比为2的等比数列.所以32069 7D45 絅 27073 69C1 槁23055 5A0F 娏 25203 6273 扳^28413 6EFD 滽35110 8926 褦38236 955C 镜a26180 6644 晄 28859 70BB 炻。
数列-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)
数列一、选择题1．（2019·山东任城·济宁一中高三月考）在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（）A ．﹣5B ．﹣7C ．﹣9D ．﹣11【答案】B【解析】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，∵a 3＝5，S 4＝24，∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24，联立解得a 1＝9，d ＝﹣2，则a 9＝9﹣2×8＝﹣7．2．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模（理））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（）A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【解析】由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n 项和公式．3．（2020·宁夏惠农·石嘴山市第一中学高三其他（文））我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（）A ．第2天B ．第3天C ．第4天D ．第5天【解析】第一天共挖112+=，前二天共挖220.5 4.5++=，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天.4．（2020·广西七星·桂林十八中高三月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316214S a a -+=，则9S =（）A ．7B ．10C ．63D ．18【答案】C【解析】等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 所以311323332S a d a d ⨯=+=+，615a a d =+，所以111133252814a d a a d a d +-++=+=，所以147a d +=，即57a =，所以1995()99632a a S a +⨯===..5．（2019·安徽省太和中学高三月考（理））已知等差数列{}n a 中，12a =-，公差32d =，则2a 与6a 的等差中项是（）A ．52B ．72C ．112D ．6【答案】A【解析】2a 与6a 的等差中项是4352322a =-+⨯=.6．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（）A ．12-B ．2-C ．2D ．12【解析】由等比数列的性质可得：352a a q =，即：3124q =⨯，解得：12q =.7．（2019·全国高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，8．（2020·勃利县高级中学高一期末）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（）A ．1B ．1-C ．2D ．12【答案】A【解析】()()199155959219552a a S a a S +⋅==⋅=+⋅，故选A.9．（2019·吉林长春·东北师大附中高三月考（理））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且6322S S -=，则789a a a ++的最小值为（）A ．9B ．8C ．6D ．4【答案】B【解析】{}n a 是等比数列，6322S S -= ，即6332S S S -=+，∴36396,,S S S S S --也是等比数列，且96789S S a a a -=++，()()263396S S S S S ∴-=⋅-，可得：()2233396333324444S S S S S S S S S +++-===++48≥=，当且仅当32S =时取等号，∴789a a a ++的最小值为8.10．（2020·安徽屯溪一中高一期中）若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4040B ．4041C ．4042D ．4043【答案】A【解析】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><，202020210a a +>，∴140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040．11．（2020·安徽屯溪一中高一期中）已知n a =，（n ∈+N ），则在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是（）A ．150,a aB ．81,a aC ．89,a aD ．590,a a 【答案】C【解析】因为y =(-∞上单调减，在)+∞单调减，所以当(x ∈-∞时(,1)y ∈-∞，此时81[,](,1)n a a a ∈⊂-∞，当)x ∈+∞时(1,)y ∈+∞，此时509[,](1,)n a a a ∈⊂+∞，因此数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别为89,a a ，选C.12．（2020·安徽蚌埠·高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ．若211n n S n T n -=+，则55a b =（）A ．1911B ．1710C ．32D ．75【答案】B【解析】解：∵n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，∴195959()92922a a a S a +⨯===，即959S a =，∵n T 是等差数列{}n b 的前n 项和，∴195959()92922b b b T b +⨯===，即959T b =，∴5959291179110a Sb T ⨯-==+=，13．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =2(1)()n n S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（）A ．290B ．920C ．511D ．1011【答案】C【解析】由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--，当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以()43n a n n N*=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a Sn n n n n n ++=+=+=+，所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.14．（2020·全国高三其他）已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n A ，n B ，且21n n A nB n =+，则使nna b λ≥恒成立的实数λ的最大值为（）A ．12B ．13C ．1D ．2【答案】B【解析】由题意可得()()12112112112121222122n n n n n n a a a a n a b b b b b n ----++⋅-==++⋅-()()2121211122112241n n A n B n n ---===--+-．设()()112241f n n =--，n *∈N ，因为函数()f n 是增函数，所以当1n =时，函数()f n 取最小值，所以()()113f n f ≥=．故实数λ的最大值为13．15．（2020·河北枣强中学高一期中）已知{}n a 是等差数列，若4256,5a a a +==，数列{}n b 满足1n n n b a a +=，则12111nb b b +++ 等于（）A ．1n n -B ．1n n-C ．1n n+D ．1n n +【答案】D【解析】已知{}n a 是等差数列，且4256,5a a a +==，所以11246,45++==a a d d ，解得11,1a d ==，所以1(1)n a a n d n =+-=，所以()1n b n n =+，所以()111111n b n n n n ==-++，所以12111nb b b +++ ，11111111 (1223341)n n =-+-+-++-+，1111nn n =-=++16．（多选题）（2020·山东文登·高二期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，48a =，则（）A ．226n S n n =-B ．23n S n n=-C ．48n a n =-D ．2n a n=【答案】AC【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则314133038S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得144a d =-⎧⎨=⎩，()()1144148n a a n d n n ∴=+-=-+-=-，()()211421262n n n dS na n n n n n -=+=-+-=-.17．（多选题）（2019·山东薛城·枣庄八中高二期中）若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是（）A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD 【解析】解：因为11(2)(2)0nn n n a a a a -----=,所以120n n a a ---=或120n n a a --=,即：12n n a a --=或12n n a a -=①当10,0n n a a -≠≠时,{}n a 是等差数列或是等比数列.②0n a =或10n a -=时,{}n a 可以既不是等差又不是等比数列18．（多选题）（2020·江苏盐城·高二期末）设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（）A ．当15n =时，n S 取最大值B ．当30n =时，0n S =C ．当0d >时，10220a a +>D ．当0d <时，1022a a >【答案】BC【解析】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-.对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性，所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误.对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭，故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-，22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.19．（多选题）（2020·海南海口·高三其他）已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．2q =B ．2nn a =C ．102047S =D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD【解析】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q =（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．20．（多选题）（2020·山东泰安·高三其他）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-【答案】AC【解析】观察此数列，偶数项通项公式为222n a n =，奇数项是后一项减去后一项的项数，2122n n a a n -=-，由此可得220210200a =⨯=，A 正确；192020180a a =-=，B 错误；C 正确；2(1)n S n n n n =-=-是一个等差数列的前n 项，而题中数列不是等差数列，不可能有(1)n S n n =⋅-，D 错．二、解答题21．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期末）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123n n S --=．由63m S =得()2188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．22．（2020·河北路北·开滦第一中学高一期末）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，正项等比数列{}n b 公比为q ，因为1124351,10,a b a a b a ==+==，所以211310,142,03d d q d d q q +++==+∴=>∴= 因此111(1)221,133n n n n a n n b --=+-⨯=-=⨯=；（2）数列{}n b 的前n 项和131(31)132n n n S -==--23．（2020·安徽高二期末（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()*21n n S n a n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令()()1422n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解析】解：（1）因为()()*21n n S n a n N=+∈，所以112n n S na --=()2n ≥，两式作差可得()()1212n n n a n a na n -=+-≥，整理得()()112n n n a na n -=-≥，则()121n n a n n a n -=≥-，故()32112123222121n n n a a a n a a n n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=≥- ，当1n =时，12a =满足上式，故2n a n =．（2）由（1）可知()()()()()()1441112222241212n n n b a a n n n n n n +====-++++++++，则1231111111123344512n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．112224n n n =-=++．24．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高一期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足226n n S a n =+-，()*N n ∈.（1）证明：数列{}2n a -为等比数列；（2）若()2log 2n n n b a a =⋅-，数列{}n b 的前项和为n T ，求n T .【解析】（1）226n n S a n =+-，则当2n ≥时，()112216n n S a n --=+--，两式相减得：1222n n n a a a -=-+，∴122n n a a -=-，即：()1222n n a a --=-，又1n =时，111226S a a ==+-，解得：14a =，∴1220a -=≠，20n a -≠∴1222n n a a --=-，∴数列{}2n a -是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得：12222n n n a --=⨯=，∴22n n a =+，又()2log 2n n n b a a =⋅-，∴()22n n b n =+，∴()()2312312223222123n n n T b b b b n n =+++⋅⋅⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++++⋅⋅⋅+，设()231122232122n n n A n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，则()23121222122n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减可得：()231121222222212n n n n n A n n ++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-，∴()1122n n A n +=-⋅+，又()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴()()11221n n T n n n +=-⋅+++.25．（2020·江苏南通·高三其他）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且11a =，4a ，6a ，9a 成等比数列，数列{}n b 满足()1121n n i i i a b n ==-+∑．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）若数列{}n c 满足n n n a c b =，且()*m c m ∈N 为整数，求m 的值．【解析】（1）因为11a =，4a ，6a ，9a 成等比数列，所以2649a a a =⋅即()()2(15)1318d d d +=++,解得：1d =或0d =（舍去）所以11n a n n =+-=，（2）因为()1121nn i i i a b n ==-+∑，所以()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+ ，①()1112211221n n n a b a b a b n ---+++=-⋅+ (2)n ≥②①-②得：()()1112222n n n n n a b n n n --=-⋅--⋅=⋅(2)n ≥,又n a n =，所以n b ()122n n -=，当1n =时，111a b =，即11b =，也适合12n n b -=，所以12()n n b n N -*=∈,由11222nn n n b b +-==知数列{}n b 是公比为2的等比数列.（3）12n n n n a n c b -==，当1n =时，11c =，2n =时，21c =，当3n ≥时，由12n n -<知1n c <，不是整数，所以()*m c m ∈N 为整数则1m =或2m =.。
2021新高考数学一轮复习(山东专用)课件：5-5 数列的热点问题
考点三 数列中的数阵问题 【例 3】 观察如图所示的数表：
设 2 018 是该数表第 m 行第 n 列的数，则 mn＝__4_9_8_0___.
所以 a21＋a22＋a23＋…＋a2n<141＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n ＝142－1n.
故 a21＋a22＋a23＋…＋a2n<12.
考点二 数列在数学文化中的应用
【例 2】 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思 想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂 纳 多 ·斐 波 那 契 以 兔 子 繁 殖 为 例 ， 引 入 “ 兔 子 数 列 ” ： 即 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即 F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n －1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构及 化学等领域有着广泛的应用，若此数列被 4 整除后的余数构成一 个新的数列{bn}，又记数列{cn}满足 c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn－bn－ 1(n≥3，n∈N*)，则 c1＋c2＋c3＋…＋c2 019 的值为___3_____．
方法技巧 解答数列应用题需要把好“四关”
审题关 仔细阅读材料，认真理解题意 将已知条件翻译成数学语言，将实
建模关 际问题转化成数列问题，并分清数 列是等差数列还是等比数列
求解关 求解该数列问题 还原关 将所求的结果还原到实际问题中
我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲 生一日，长三尺．莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问 几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高 3 尺，莞草第 一天长高 1 尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长 高前一天的 2 倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述 的已知条件，可求得第__3___天时，蒲草和莞草的高度相同(结果 采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.477 1， lg2≈0.301 0)．
高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其n 前项和，若4511a a +=，则8S =（ ） A ．36B ．40C ．44D ．472．8，2的等差中项是（ ） A ．±5B ．±4C ．5D ．43．已知等比数列{}n a 中，3464,32a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．164．若2(23n a n tn t =++为常数）*n N ∈，且数列{}n a 为单调递增数列，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2t <-B ．2t >-C ．6t <-D ．6t >-5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若(8)(1,2,)n a n n n =-=，则（ ） A ．{}n a 有最大项，{}n S 有最大项 B ．{}n a 有最大项，{}n S 有最小项 C ．{}n a 有最小项，{}n S 有最大项D ．{}n a 有最小项，{}n S 有最小项6．数列{}n a 满足：12a =，()111n n a a +-=，n S 是{}n a 的前n 项和，则2021S =（ ） A ．4042 B ．2021 C ．20232D ．202127．在等差数列{}n a 中，若6a ，7a 是方程2320x x ++=的两根，则{}n a 的前12项的和为（ ） A ．6B ．18C ．-18D ．-68．早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达这个世界.在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为{}n a ，则20212020a a -=（ ）A ．2018B ．2020C ．2022D ．20249．已知数列{}n a 的前n 项和27n S n n =-，若35<<k a ，则k =（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．等比数列{}n b 的前n 项之积为n T ，若456b b b =，则5T =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．数列{}n a 满足1a m =，2212114,4(2)2,4n n n n n a n a n a a n ---⎧<=≥⎨≥⎩，若{}n a 为等比数列，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,9]B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[2,9]D ．[18,)+∞12．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10,n a S >，是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空题13．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a ++++=，设()12n n n n b a a a n *++=∈N ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值组成的集合为______．14．已知数列{}n a 中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列，n S 为其前n 项和，定义()21n n b a =+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若30301,51S T =-=，则数列{}n a 的前30项中0的个数为_______个．15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1212222016,log log log n n n a a a a a +⋅=+++=______．16．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若131n n S a -=⋅+（*n N ∈），则a =______．17．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________.三、解答题18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. （1）求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；（2）分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； （3）{S n }有多少项大于零？19．已知等差数列{}n a 满足37a =，616a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若当2n ≥时，113n n b b a -=，且13b =，求使0n b >的最大正整数n 的值．20．设{}n a 是各项都为正数的单调递增数列，已知19a =，且n a 满足关系式：19n n a a ++=+*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式； （2）若99n n b a n=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .21．已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知1055S =，且2a ，4a ，8a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nn S b n=，求371141n b b b b -+++⋅⋅⋅+的值.22．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，n *∈N ，且2a ，5a ，14a 构成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12nn n b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知d q =，111a b +=，221a b +=，431a b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（3）求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，22=,n n n S a a n N *+∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）记22n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足*21()n n S a n =-∈N ，数列{}n b 满足*1(1)(1)()n n nb n b n n n N +-+=+∈，且11b =．（1）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若12214(1)(1)(32log )(32log )n n n n n c a a -++=-++，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）若n n d a ={}n d的前n 项和为n D ，对任意的*n N ∈，都有n n D nS a ≤-，求实数a 的取值范围。
2021届新高考数学总复习：等比数列的通项及其性质(附答案解析)
10．在等比数列{an}中，若a5＝2a4，a2＝2，则a6＝（ ）
A．64B．16C．8D．32
11．若等比数列{an}满足：a1＝1，a1+a2+a3＝7，则a4＝（ ）
A．8B．﹣27C．8或﹣27D．﹣8或﹣27
12．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（ ）
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a1a3a5＝ •a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．
又a2a4＝ •a3q＝a32＝22＝4．
故选：B．
4．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a3与a7的等比中项为（ ）
A．4B．6C．±6D．±4
【解答】解：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，
A． B．2C．±2D．
7．等比数列{an}中，an∈R+，a5•a6＝32，则log2a1+log2a2+…+log2a10的值为（ ）
A．10B．20C．25D．160
8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（ ）
A．2B．54C．162D．243
9．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（ ）
A．16B．32C．64D．256
16．在正项等比数列{an}中，若a3a7＝4，则 ＝（ ）
A．16B．8C．4D．2
17．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（ ）
A．128或﹣128B．128C．64或﹣64D．64
数列-2021年新高考数学名校地市必刷题(新高考专用)(含解析)
2021年新高考数学名校地市必刷题（新高考专用）数列一、单选题（共10小题）1.（2018•安徽模拟）删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．2062B．2063C．2064D．20652.（2019•定远县三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，，且a2＝a9，则所有满足条件的数列中，a1的最大值为（）A．3B．6C．9D．123.（2019•乌鲁木齐模拟）已知等差数列{a n}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则＝（）A．B．C．D．4.（2019•青岛二模）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．如表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸＝10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，春分晷影长为72.4寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为（）A．14.8寸B．15.8寸C．16.0寸D．18.4寸5.（2020•岳阳一模）已知{a n}为等差数列，a3＝52，a1+a4+a7＝147，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19B．20C．39D．406.（2019•新疆模拟）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且log3a1+log3a2+…+log3a9＝9，则a3a7+a4a6＝（）A．6B．9C．18D．817.（2019•青岛三模）已知{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2﹣11x+16＝0的两实根，则a20等于（）A．3B．±4C．4D．±38.（2019•上海模拟）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n，若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．B．C．D．9.（2019•江西模拟）已知数列{a n}的通项公式是，其中的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2019的值为（）A．﹣1B．0C．D．110.（2018•邵阳三模）在△ABC中，||＝||＝4，＝8，平面ABC内一点P满足＝2+3，若||＝2，则的最大值为（）A．18B．21C．24D．26二、填空题（共8小题）11.（2020•山东模拟）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”，若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，则T＝（用m和p表示）．12.（2019•山东模拟）已知f（n）表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则f（12）＝3；21的因数有1，3，7，21，则f（21）＝21，那么﹣＝．13.（2019•诸暨市模拟）已知数列{a n}的各项都是正数，（n∈N*），若数列{a n}各项单调递增，则首项a1的取值范围；当a1＝时，记，若k＜b1+b2+…+b2019＜k+1，则整数k＝﹣．14.（2019•黄冈模拟）已知函数，数列{a n}的通项公式为，若数列{a n}是单调递减数列，则实数t的取值范围是：．15.（2019•大连模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，，若不等式．对任意的n∈N*恒成立，则k的取值范围是﹣．16.（2018•青浦区一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝a2＝1，平面内三个不共线的向量，，，满足＝（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018＝．17.（2019•黄浦区一模）已知数列{a n}（n∈N*），若a1＝1，a n+1+a n＝（）n，则a2n＝﹣．18.（2019•长沙二模）已知函数f（x）＝ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+8y＝0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S n＝．三、解答题（共6小题）19.（2020•深圳模拟）已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．20.（2020•江苏一模）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．21.（2020•松江区一模）已知数列{a n}满足：①a n∈N（n∈N*）；②当n＝2k（k∈N*）时，；③当n≠2k（k∈N*）时，a n＜a n+1，记数列{a n}的前n项和为S n．（1）求a1，a3，a9的值；（2）若S n＝2020，求n的最小值；（3）求证：S2n＝4S n﹣n+2的充要条件是（n∈N*）．22.（2019•姜堰区校级模拟）定义：从数列{a n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a n}的一个子数列．设数列{a n}是一个公差不为零的等差数列．（1）已知a4＝6，自然数k1，k2，…，k t，…满足4＜k1＜k2＜…＜k t＜…．①若a2＝2，且a2，a4，，，…，，…是等比数列，求k2的值；②若a2＝4，求证：数列a2，a4，，，…，，…不是等比数列．（2）已知存在自然数k1，k2，…，k t，…，其中k1＜k2＜…＜k t＜…．若，，…，，…是{a n}的一个等比子数列，若（m为正整数），求k t的表达式（答案用k1，k2，m，t表示）．23.（2019•静安区二模）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，皆满足S n+a n＝2a（实常数a＞0）．在等差数{b n}（n∈N*））中，b1＝a1，b2＝2S2．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）试判断数列{a n+1}能否成等比数列，并说明理由；（3）若，c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并计算：（已知）．24.（2019•虹口区一模）对于n（n∈N*）个实数构成的集合E＝{e1，e2，…，e n}，记S E＝e1+e2+…+e n．已知由n个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）满足：对于任意不大于S A 的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S A＝（n+1）”（3）若S A＝2018．求证：n的最小值是11，并求n取最小值时，a n的最大值．一、单选题（共10小题）1.（2018•安徽模拟）删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．2062B．2063C．2064D．2065【解答】解：由题意可得，数列可以写成：12，2，3，22，5，6，7，8，32…，第k个平方数与第k+1个平方数之间有2k个正整数，而数列12，2，3，22，5，6，7，8，32…452共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余1980个数，这个数列的第2018项是2025后的第38个数，即是原来数列的第2063项，即为2063；故选：B．【知识点】数列的概念及简单表示法2.（2019•定远县三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，，且a2＝a9，则所有满足条件的数列中，a1的最大值为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：当n＝1时，2S1＝﹣a2，即a1＝＝﹣，由于函数y＝的图象的对称轴为x＝，当且仅当最大时，a1取得最大值．，n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝﹣（﹣a n），化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∴a n+1+a n＝0，或a n+1﹣a n﹣1＝0．∴数列{a n}从第三项开始，每一项是由前一项加1或乘以﹣1得到，又a2＝a9，∴a9＝﹣a2+k，（﹣6≤k≤6，且k为偶数），即﹣a2+k＝a2，可得：a2＝k．当k＝6时，a2取得最大值3，当k＝﹣6时，a2取得最小值为﹣3．∴当a2＝﹣3时，取得最大值，对应a1取得最大值为6．故选：B．【知识点】数列的函数特性3.（2019•乌鲁木齐模拟）已知等差数列{a n}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2，a3，a9成等比数列，∴＝a2•a9，∴＝（a1+d）（a1+8d），a1＝﹣d≠0．则＝＝＝．故选：B．【知识点】等差数列的性质4.（2019•青岛二模）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．如表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸＝10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，春分晷影长为72.4寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷影长应为（）A．14.8寸B．15.8寸C．16.0寸D．18.4寸【解答】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1＝130.0，a7＝72.4，则130.0+6d＝72.4，解得d＝﹣9.6．∴a13＝130.0﹣9.6×12＝14.8．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是14.8寸．故选：A．【知识点】等差数列的通项公式5.（2020•岳阳一模）已知{a n}为等差数列，a3＝52，a1+a4+a7＝147，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大值时n是（）A．19B．20C．39D．40【解答】解：∵{a n}为等差数列，a3＝52，a1+a4+a7＝147，∴，解得a1＝58，d＝﹣3，∴a n＝58+（n﹣1）×（﹣3）＝61﹣3n，由a n＝61﹣3n≥0，得n，∴使得S n达到最大值时n是20．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和6.（2019•新疆模拟）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且log3a1+log3a2+…+log3a9＝9，则a3a7+a4a6＝（）A．6B．9C．18D．81【解答】解：由等比数列{a n}的各项均为正数，∴a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝．∵log3a1+log3a2+…+log3a9＝9，∴＝9，化为：＝39，解得a5＝3．则a3a7+a4a6＝2＝2×32＝18．故选：C．【知识点】等比数列的性质7.（2019•青岛三模）已知{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2﹣11x+16＝0的两实根，则a20等于（）A．3B．±4C．4D．±3【解答】解：∵{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2﹣11x+16＝0的两实根，∴a10a30＝＝16，a10+a30＝11＞0，∴a10，a30都为正数．∴a20＞0．则a20＝4．故选：C．【知识点】等比数列的通项公式、等比数列的性质8.（2019•上海模拟）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n，若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：S n＝＝﹣•，①n为奇数时，S n＝+•，可知：S n单调递减，且＝，∴＜S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n＝﹣•，可知：S n单调递增，且＝，∴＝S2≤S n＜．∴S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t﹣在（0，+∞）上单调递增，∴A≤＝﹣＝．B≥＝＝．∴B﹣A的最小值＝﹣＝．故选：B．【知识点】等比数列的前n项和、数列的应用9.（2019•江西模拟）已知数列{a n}的通项公式是，其中的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2019的值为（）A．﹣1B．0C．D．1【解答】解：由图象可得＝﹣＝，即T＝π，ω＝＝2，再将（，﹣1）代入y＝sin（2x+φ），可得+φ＝2kπ+，k∈Z，即有φ＝2kπ+，k∈Z，可令k＝0，可得φ＝，即f（x）＝sin（2x+），a n＝f（）＝sin，为最小正周期为6的数列，由a1＝，a2＝0，a3＝﹣，a4＝﹣，a5＝0，a6＝，可得一个周期的和为0，则S2019＝336S6+（a1+a2+a3）＝0+0＝0．故选：B．【知识点】数列与三角函数的综合10.（2018•邵阳三模）在△ABC中，||＝||＝4，＝8，平面ABC内一点P满足＝2+3，若||＝2，则的最大值为（）A．18B．21C．24D．26【解答】解：∵||＝||＝4，＝8，∴4×4×cos A＝8，∴cos A＝，即△ABC为等边三角形，建立如图所示的直角坐标系，则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），设P（m，n），M（x，y），由＝2+3，可得（﹣m，2﹣m）＝2（﹣2﹣m，﹣n）+3（2﹣m，﹣n），解得m＝，n＝，由||＝2可得点M的轨迹方程为（x﹣）2+（y+）2＝4，∴•＝（﹣x，2﹣y）•（﹣2﹣x，﹣y）＝（x+1）2+（y﹣）2﹣4，∵＝3，∴•的最大值为（3+2）2﹣4＝21．故选：B．【知识点】数列与解析几何的综合二、填空题（共8小题）11.（2020•山东模拟）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”，若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，则T＝（用m和p表示）．【解答】解：∵数列{a n}是项数为m的有穷正项等比数列，取p＝a1•a m＞0，对数列{a n}中的任意一项a i（1≤i≤m），＝也是数列{a n}中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列{a n}是“倒置数列”．又∵数列{a n}所有项之积是T，∴T2＝（a1a2…a m）（a m a m﹣1…a1）＝，则．故答案为：．【知识点】数列的应用12.（2019•山东模拟）已知f（n）表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则f（12）＝3；21的因数有1，3，7，21，则f（21）＝21，那么﹣＝．【解答】解：f（n）表示正整数n的所有因数中最大的奇数，∴f（n）＝f（2n），且n为奇数时，f（n）＝n，其中n∈[1，100]；f（n）max＝f（99）＝99，f（n）min＝f（64）＝f（2）＝f（4）＝f（8）＝f（16）＝f（32）＝1；那么＝f（51）+f（52）+f（53）+…+f（100）＝51+13+53+27+55+7+57+29+59+15+61+31+63+1+65+33+67+17+69+35+71+9+73+37+75+19+77+39+79+5+81+41+83+21+85+43+87+11+89+45+91+23+93+47+95+3+97+49+99+25＝1+3+5+7+9+11+…+99＝＝2500．那么＝1+1+3+1+5+3+7+1+9+5+11+3+13+7+15+1+17+9+19+5+21+11+23+3+25+13+27+7+29+15+31+1+……+49+25＝（1+3+5+…+29+31+……+49）+（4+9+10+14+9+11+13+15+1+17+9+19+5+21+11+23+1+25）＝+219＝844．∴那么﹣＝2500﹣844＝1656．故选：D．【知识点】数列的求和13.（2019•诸暨市模拟）已知数列{a n}的各项都是正数，（n∈N*），若数列{a n}各项单调递增，则首项a1的取值范围；当a1＝时，记，若k＜b1+b2+…+b2019＜k+1，则整数k＝﹣．【解答】解：由题意，正数数列{a n}是单调递增数列，且，∴，解得a n+1∈（0，2），∴a2∈（0，2）．∴．∵a1＞0，∴0＜a1＜2．又由，可得：．∴．∵，∴+﹣…+＝﹣（+）+（+）﹣…﹣（+）+（+）＝﹣﹣++﹣…﹣﹣++＝﹣+＝﹣+．∵，且数列{}是递增数列，∴a2019，即，∴﹣4＜﹣+＜﹣3．∴整数k＝﹣4．故答案为：（0，2）；4．【知识点】数列递推式14.（2019•黄冈模拟）已知函数，数列{a n}的通项公式为，若数列{a n}是单调递减数列，则实数t的取值范围是：．【解答】解：当x＜3时，f（x）＝（）tx﹣2﹣4为减函数，∴y＝tx﹣2为增函数，则t＞0，且f（x）＞（）3t﹣2﹣4；当x≥3时，f（x）＝﹣tx2+（4﹣t）x+15t﹣18为减函数，∴，解得t≥，此时f（x）≤f（3）＝3t﹣6，∴（）3t﹣2﹣4≥3t﹣6，∴（）3t﹣2≥3t﹣2，设3t﹣2＝m，则m≥﹣，∴（）m≥m，结合函数的图象可得﹣≤m≤，即﹣≤3t﹣2≤，解得≤t≤，故答案为：[，]【知识点】数列与函数的综合15.（2019•大连模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，，若不等式．对任意的n∈N*恒成立，则k的取值范围是﹣．【解答】解：依题意得当n＝1时，2a1＝a12+a1，由于a n2＞0，解得a1＝1；当n≥2时，2S n﹣1＝a n﹣12+a n﹣1，因此有：2a n＝a n2﹣a n﹣12+a n﹣a n﹣1；整理得：a n﹣a n﹣1＝1，所以数列{a n}是以a1＝1为首项，公差d＝1的等差数列，因此a n＝n，S n＝，由2S n+9≥（﹣1）n ka n（n∈N*）得：n2+n+9≥（﹣1）n kn（n∈N*），则有n++1≥（﹣1）n k（n∈N*），令c n＝n++1，则c n﹣c n﹣1＝1+﹣＝，易得当n≤3时，c n＜c n﹣1，当n≥4时，c n＞c n﹣1；所以有c1＞c2＞c3＝7＜c4＝7.25＜c5＜…（1）当n为偶数时，n++1≥k，∴k≤7.25，（2）当n为奇数时，n++1≥﹣k，∴k≥﹣7，综上所述，k的取值范围是[﹣7，7.25]．故答案为：[﹣7，7.25]．【知识点】数列与不等式的综合16.（2018•青浦区一模）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝a2＝1，平面内三个不共线的向量，，，满足＝（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018＝．【解答】解：若A，B，C三点共线，则＝x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足＝（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n＝1，∴a n﹣1+a n+1＝a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1＝a2＝1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018＝6×336+2，∴S2018＝336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1＝2．故答案为：2．【知识点】数列与向量的综合、平面向量的基本定理17.（2019•黄浦区一模）已知数列{a n}（n∈N*），若a1＝1，a n+1+a n＝（）n，则a2n＝﹣．【解答】解：∵数列{a n}（n∈N*）满足a1＝1，a n+1+a n＝（）n，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝，∴．又a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n﹣2﹣a2n﹣1）＝＝．即．∴．∴．【知识点】数列递推式、数列的极限18.（2019•长沙二模）已知函数f（x）＝ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线x+8y＝0垂直，若数列{}的前n项和为S n，则S n＝．【解答】解：函数f（x）＝ax2﹣1的导数为f′（x）＝2ax，可得f（x）在x＝1处的切线斜率为2a，切线与直线x+8y＝0垂直，可得2a＝8，即a＝4，则f（x）＝4x2﹣1，＝＝（﹣），可得S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故答案为：．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、数列与解析几何的综合三、解答题（共6小题）19.（2020•深圳模拟）已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵a n+1a n+a n+1＝2a n，∴，∴，又，∴＝．∴数列{﹣1}为等比数列；（2）解：由（1）可得：＝，化为＝，∴．设T n＝+…+，＝++…++，∴+…+﹣＝﹣＝，∴T n＝，∴数列{}的前n项和S n＝T n+＝﹣．【知识点】数列的求和、等比数列的性质20.（2020•江苏一模）已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．【解答】解：（1）由a n+1＝ka n﹣1，a1＝3，可知a2＝3k﹣1，，∵{a n﹣1}为等比数列，∴，即（3k﹣2）2＝2×（3k2﹣k﹣2），整理，得3k2﹣10k+8＝0，解得k＝2或．①当时，，此时a n＝3，则a n﹣1＝2，∴数列{a n﹣1}的公比为1，不符合题意；②当k＝2时，a n+1﹣1＝2（a n﹣1），所以数列{a n﹣1}的公比，综上所述，实数k的值为2．（2）由（1）知，，∴．则＝（4﹣1）+（4﹣3）+...+[4﹣（2m﹣1）]+4+42+ (4)＝，．∵，∴，∵b2+b3＝5＞0，b1＝3＞0，∴S2m﹣1＞0，S2m＞0．设，则t＝1，3或t为偶数，因为S2m≠S2m﹣1，所以t＝3（即b3＝1）不可能，所以t＝1或t为偶数，①当时，，化简得6m2﹣24m+8＝﹣4m≤﹣4，即m2﹣4m+2≤0，所以m可取值为1，2，3，验证得，当m＝2时，成立．②当t为偶数时，，设，则，由①知m＞3，当m＝4时，；当m＞4时，c m+1﹣c m＞0，所以c4＞c5＜c6＜…，所以c m的最小值为，所以，令，则，即﹣3m2+12m﹣4＝0，而此方程无整数解．综上，正整数m的值为2．【知识点】数列的求和、数列递推式21.（2020•松江区一模）已知数列{a n}满足：①a n∈N（n∈N*）；②当n＝2k（k∈N*）时，；③当n≠2k（k∈N*）时，a n＜a n+1，记数列{a n}的前n项和为S n．（1）求a1，a3，a9的值；（2）若S n＝2020，求n的最小值；（3）求证：S2n＝4S n﹣n+2的充要条件是（n∈N*）．【解答】解：（1）因为a2＝1，a1＜a2，且a1为自然数；∴a1＝0；a4＝2，0≤a3＜a4，且均为自然数∴a3＝0或者a3＝1；a16＝8，0≤a9＜a10＜……a16＝8，a n∈N（n∈N*）；∴a9＝0或者a9＝1．（2）＝2k﹣1，当2k﹣1＜n≤2k（n，k∈N*）时，0≤＜＜…＜＝2k﹣1，∴＝m﹣1或m；m＝1，2，3…2k﹣1﹣1；∴（S64）max＝（0+1）+（1+2）+（1+2+3+4）+…+（1+2+3+…+32）＝1+++++＝714；∴（S128）max＝714+＝2794．∵714＜2020＜2794，∴64＜n＜128；又2020﹣714＝1306，1+2+3+…+50＝1275＜1306＜1+2+3+…+50+51＝1326．∴n的最小值：64+51＝115．（3）必要性：S2n＝4S n﹣n+2；所以S＝4S﹣2n+2 ①故有＝4S﹣（2n+1）+2；②①﹣②得：+＝4﹣1（n∈N*）③，由于，或，或，且，只有当同时成立，等式③才成立，∴，充分性：若，由于1＝＜＜…＜，所以（n∈N*，k∈N*，k≤2n），即，，，…，，又，所以对任意的n∈N*，都有a2n＝a2n﹣1+1，另一方面，有，（n∈N*，k∈N*，k≤2n），所以对任意的n∈N*，都有a2n＝2a n，∴S2n＝a1+a2+…a2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）＝2（a2+a4+…+a2n）﹣n＝2+a2+4（a2+a3+…+a n）﹣n，由于a1＝0，a2＝1，∴S2n＝4（a1+a2+…+a n）﹣n+2＝4S n﹣n+2，证毕．【知识点】数列的应用22.（2019•姜堰区校级模拟）定义：从数列{a n}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称为数列{a n}的一个子数列．设数列{a n}是一个公差不为零的等差数列．（1）已知a4＝6，自然数k1，k2，…，k t，…满足4＜k1＜k2＜…＜k t＜…．①若a2＝2，且a2，a4，，，…，，…是等比数列，求k2的值；②若a2＝4，求证：数列a2，a4，，，…，，…不是等比数列．（2）已知存在自然数k1，k2，…，k t，…，其中k1＜k2＜…＜k t＜…．若，，…，，…是{a n}的一个等比子数列，若（m为正整数），求k t的表达式（答案用k1，k2，m，t表示）．【解答】解：（1）①设数列{a n}的公差为d，因为a2＝2，a4＝6，所以2d＝4，d＝2，a n＝a2+（n﹣2）d＝2n﹣2．设无穷等比数列公比为q，q＝＝3，所以，故k2＝28．②假设数列a 2，a4，，，…，，…是无穷等比数列，则a2，a4，成等比，a4，，成等比，所以得．因为2d＝a4﹣a2＝1，d＝1，a n＝a2+（n﹣2）d＝n+2，所以，k2＝∈N*这与k2为自然数矛盾，所以数列a2，a4，，，…，，…不是无穷等比数列．（2）因为，所以d＝，又，，，…，，…是{a n}的一个等比子数列，＝+（k t﹣k1）d，将d＝代入，得，解得．【知识点】数列与不等式的综合23.（2019•静安区二模）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，皆满足S n+a n＝2a（实常数a＞0）．在等差数{b n}（n∈N*））中，b1＝a1，b2＝2S2．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）试判断数列{a n+1}能否成等比数列，并说明理由；（3）若，c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并计算：（已知）．【解答】解：（1）由S n+a n＝2a（a＞0），令n＝1得，2a1＝2a，所以b1＝a1＝a，S2＝2a﹣a2，所以，b2＝2S2＝3a．……………………（2分）等差数列{b n}的公差d＝2a．……………………（3分）所以数列{b n}的通项公式b n＝2an﹣a……………………（5分）（2）因为对任意正整数n，皆满足S n+a n＝2a（a＞0），所以当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1＝2a，两式相减得：2a n﹣a n﹣1＝0．即，所以数列{a n}是等比数列，公比为.，．……………………（7分）假设数列{a n+1}能成等比数列，则对任意正整数k，，即，因为a＞0，所以，即．显然不成立．因此数列{a n+1}不可能为成等比数列．……………………（10分）（用特殊的项加以说理亦可：例如，假设数列{a n+1}能成等比数列，则数列前3项也成等比，即，，因为a＞0，所以不成立）（3），……………………（11分），，上述两式相减得：，所以．……………………（15分），．……………………（18分）【知识点】数列递推式、数列的极限24.（2019•虹口区一模）对于n（n∈N*）个实数构成的集合E＝{e1，e2，…，e n}，记S E＝e1+e2+…+e n．已知由n个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）满足：对于任意不大于S A 的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．（1）求a1，a2的值；（2）求证：“a1，a2，…，a n成等差数列”的充要条件是“S A＝（n+1）”（3）若S A＝2018．求证：n的最小值是11，并求n取最小值时，a n的最大值．【解答】解：（1）∵由n个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，a n}（a1＜a2＜…＜a n，n≥3）满足：对于任意不大于S A的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m．∴a1＝1，a2＝2．证明：（2）先证明必要性：∵a1＝1，a2＝2，a1，a2，…，a n成等差数列，∴a n＝n，∴S A＝．再证充分性：∵a1＜a2＜…＜a n，a1，a2，…，a n为正整数数列，∴a1＝1，a2＝2，a3≥3，a4≥4，…，a n≥n，∴S A＝a1+a2+…+a n≥1+2+3+…+n＝，∵S A＝（n+1），∴a k＝k，（k＝1，2，3，…，n），∴a1，a2，…，a n成等差数列．（3）先证明，（k＝1，12，3，…，n），假设存在a p＞2p﹣1，且p为最小的正整数，由题意p≥3，则a1+a2+…+a p﹣1≤1+2+…+2p﹣2﹣1，∵a1＜a2＜…＜a n，∴当m∈（2p﹣1﹣1，a p）时，m不能等于集合A的任何一个子集的所有元素之和，∴假设不成立，即（k＝1，2，…，n）成立，∴2018＝a1+a2+…+a p﹣1≤1+2+…+2p﹣2＝2p﹣1﹣1，即2n≥2019，∴n≥11，∵S A＝2018，∴a1+a2+…+a n﹣1＝2018﹣a n，若2018﹣a n＜a n﹣1时，则当m∈（2018﹣a n，a n）时，集合A中不可能有不同元素之和为m，∴2018﹣a n≥a n﹣1，即a n≤1009，此时，可构造集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，498，1009}，∵当m∈{2，2+1}时，m可以等于集合{1，2}中若干个不同元素之和，∴当m∈{22，22+1，22+2，22+3}时，m可以等于集合{1，2，22}中若干个不同元素之和，…∴当m∈{28，28+1，28+2，…，28+255}时，m可以等于集合{1，2，22，…，28}中若干个不同元素之和，∴当m∈{498+3，498+4，…，498+511}时，m可以等于集合{1，2，22，…，28，498}中若干个不同元素之和，∴当m∈{1009，1009+1，1009+2，…，1009+1008}时，m可以等于集合{1，2，22，…，498，1009}，∴集合A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，498，1009}满足题设，∴当n取最小值11时，a n的最大值为1009．【知识点】等差数列的性质、子集与真子集、数列的求和。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》真题汇编附答案解析
新高中数学《数列》专题解析一、选择题1．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30 C ．44 D ．88【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16，得810216a q a ==，得q 2＝2. ∴4624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，又S n 为等差数列{b n }的前n 项和， ∴()1111161111442b b S b+⨯===.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.2．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.3．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n - C ．2n D ．31n -【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2213b b b =，求出q ，即求n S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，112,2n n a a q -=∴=Q ，121n n b q -∴=+，13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，{}n b Q 也是等比数列， 2213b b b ∴=，即()()2221321q q +=+解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S ( ) A ．3 B ．9C ．10D ．13【答案】C 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得260,0q q q --=>，解得q ，再利用求和公式即可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，Q 满足645,3,a a a -成等差数列，()2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.5．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ） AB．CD．3-【答案】B 【解析】 【分析】由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】 ∵()11111611221123a a S a π+===，∴623a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫== ⎪⎝⎭故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21C ．63-D ．21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得21112163S a ==-.【详解】∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.7．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．8,75⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．83,7525⎛⎫⎪⎝⎭D ．83,7525⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知101a >，91a ≤，把1a 的值代入列不等式解得即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 的公差为d ，首项1125a =，则10911a a >⎧⎨≤⎩，即101919181a a d a a d =+>⎧⎨=+≤⎩，解得837525d <≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．8．设函数()mf x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．1nn + B ．21nn + C ．21nn - D ．()21n n+ 【答案】B 【解析】 【分析】函数()mf x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和即可． 【详解】Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，112()()(1)221f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，故选：B ． 【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．9．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D . 【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A ．-3 B ．5C ．-31D ．33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解106S S 的值，得到答案. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，可得313366316(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以101105105516(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.11．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108B ．90C ．72D ．24【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．12．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）A ．4B ．19C ．20D ．23【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果． 【详解】设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，212213d q ++=， 解得2d =，2q =，所以37813271623a a d q +=++=+=，故选D ．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．13．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016B ．20162017C ．20172018D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值．由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．14．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】B 【解析】 【分析】找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.15．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a =∴20201a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.16．等差数列{}n a 中，1599a a a ++=，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( ) A ．11a B ．12aC ．13aD ．14a【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知5113,15a a ==，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为15，故可确定抽走的是哪一项. 【详解】因为1952a a a +=，所以539a =即53a =. 有211521S =得1115a =， 设抽去一项后余下的项的和为S ，则2015300S =⨯=，故抽取的一项的大小为11， 所以抽走的项为11a ，故选A. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.17．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ） A ．23岁 B ．32岁C ．35岁D ．38岁【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案． 【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．19．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．43钱B．73钱C．83钱D．103钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a ＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．20．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．【详解】由程序框图可知，输入，，，第一次运算：，；第二次运算：，；第三次运算：，；第四次运算：，；第五次运算：，；第六次运算：，；第七次运算：，；第八次运算：，；第九次运算：，；第十次运算：，，综上所述，输出的结果为，故选B．【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。
2021高考数学(理)一轮复习专项检测《数列》(解析版)
故选 A。 4．（山东省潍坊市 2019 届高三模拟）如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一
些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有 n 个圆盘，较
a1, a2 ,, an,, 并记相应的极大值为 b1, b2 ,, bn,, 则 a1b1 a2b2 a20b20 的值为（ ）
A．19 320 1 B．19 319 1
C． 20 319 1
D． 20 320 1
【答案】A
【解析】由题当当 0 x 2 时， f x 2x x2 x 12 1, 极大值点为 1，极大值为 1
A.64
B.48
C.36
D.24
【答案】B
【解析】由等差数列性质可知， S17 17a9 272，解得 a9 16 ，故 a3 a9 a15 3a9 48.
故选 B。
6．（山东省日照市 2019 届高三联合考试）已知数列 an 前 n 项和为 Sn ，满足 Sn an2 bn （ a,b 为
常数），且 a9
2
，设函数
f
(x)
2 sin
2x
2 sin 2
x 2
，记
yn f an
，则数列 yn 的前 17 项和为
（）
A． 17 2
【答案】D
B． 9
C．11
D．17
【解析】 因为 f ( x) 2 sin 2x 2 sin 2 x sin 2x cos x 1，
2
由 Sn an2 bn ，得 an Sn Sn1 an2 bn a(n 1)2 b(n 1) 2an a b ，