高中数学选修2-1精品教案 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、预习目标1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2. 会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二、预习内容1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：；2、弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．3、弦长公式 ；4、焦点弦长： ；1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点． 2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ． 3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm 的值为（ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条6．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，（1）若12||2x x -=||AB = ．（2）12||2y y -=||AB = ．7．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ． 8．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条9．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ） ()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的左焦点为F ，离心率为13e =，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，已知线段AB 的中点到椭圆左准线的距离是6，则||AB = ．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内预习学案一、学习目标1、使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．2、通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．3、通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、学习过程1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？2．直线l ：Ax+By+C=0和圆锥曲线C ：f(x ，y)=0有哪几种位置关系？3．点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的距离为d ，则有：4．直线l ∶Ax ＋Bx ＋C=0与圆锥曲线C ∶f(x ，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．例题例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．例4．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数． 例5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．课后练习与提高1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ） ()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．过双曲线22221x y a b-=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是（ ） ()A 2 ()B 12()C 22()D 325．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+等于（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是（ ）()A 2 ()B 5 ()C 5 ()D 5 7．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．8.与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．9.已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =u u u u r u u u r ，求直线l 的斜率．10．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．11．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．二、教材分析1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)三、活动设计四、教学过程(一)问题提出1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．(二)讲授新课1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．3．应用求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．由一名同学演板．解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值范围为m∈(1，5)．解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．故m的取值范围为m∈(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．称，求m的取值范围．解法一：利用判别式法．并整理得：∵直线l′与椭圆C相交于两点，解法二：利用内点法．设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．由教师引导方法，学生演板完成．解答为：设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．又(x′，y′)为曲线C上的点，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．五、布置作业的值．2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．作业答案：k=-41．由弦长公式易求得：当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离六、板书设计11。
高中数学选修2-1精品教案直线与圆锥曲线的位置关系
(A) x 3x 1x 2(B) x^X 1X 3 x 2x 3(C)x x x直线与圆锥曲线的位置关系课前预习学案一、 预习目标1掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关 系的问题转化为研究方程组的解的问题；2.会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一 元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题. 二、 预习内容1直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法： 2、 弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）.3、 弦长公式 ___________________________________________________________ ;4•椭圆mx 2 ny 2 1与直线x y 1交于M,N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率 为2，则m的值为（）2 n2 22.若直线y kx 1和椭圆 — 壬 1恒有公共点，则实数 m 的取值范围为.25 m3.抛物线y ax * 2 1与直线y kx b （k 0）交于A,B 两点，且此两点的横坐标分别为捲,X 2，直线与x 轴的交点的横坐标是 X 3，则恒有（6•设直线y 2x 1交曲线C 于A(x 1, y-i ), B(x 2, y 2)两点，(1 )若 |X 1 X 2I 则 | AB| --------- (2) | y 1 y 21 2则 | AB| __________________7•斜率为1的直线经过抛物线 y 2 4x 的焦点，与抛物线相交于 A, B 两点，则|AB| __________ .2&过双曲线X 2 -1的右焦点作直线I ，交双曲线于 A,B 两点，若|AB| 4，则这样的2直线I 有()(A) 1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条9•已知椭圆x 2 2y 2 4，则以(1,1)为中点的弦的长度是()(A)3.2 (B) 2.3(C)-^0(D)3"6321 10.中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的左焦点为 F ，离心率为e ，过F 作直线I 交椭3圆于A,B 两点，已知线段 AB 的中点到椭圆左准线的距离是 6，则|AB| _________________ . 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内预习学案一、 学习目标1、 使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的 有关问题.2、 通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线 的各方面知识的能力.3、 通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力.二、 学习过程.2(A)T(B)(C)9. 2 2(D)2 3 272 5 •已知双曲线C : X 2J4(A)1 条 (B)2 条 (C)3 条(D)4 条1.点P(x0 , y0)和圆锥曲线C: f(x , y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么?2.直线I : Ax+By+C=0和圆锥曲线C: f(x , y)=0有哪几种位置关系？3.点M(x0, y0)与圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系21 2己知冷召的焦点为片环^r-2r=l(a>0)b>q)a b a b血 + 助+ C二0 临y)=0的焦点为F1、F2, y2=2px(p >0)的焦点为F, —定点为P(xO, yO) , M点到抛物线的准线的距离为d，则有：4.直线I ：Ax+ Bx+ C=0与圆锥曲线C： f(x , y) = 0的位置关系：——直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切•这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直纯：Ax+By+C= 0,消去y(或消古號)得：as3 +bx-l-c = 0, A= b3-4ac P审0.⑴A>0o相交；⑵心<0O相离I(3)A=0-^> 相切.注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件.5.例题9例1.过点(1,6)的直线I与抛物线寸 4x交于代B两点，若只，0), |AP| |BP| ,求I的斜2率.2 2例2•直线I : y kx 1与双曲线C : 2x y 1的右支交于不同的两点A, B ,(I)求实数k的取值范围；(II )是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F ?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.2 •斜率为3的直线交椭圆2 2x y1于A, B两点，则线段AB的中点M的坐标满足方程例3 •已知直线I和圆M : x2 y2 2x 0相切于点T，且与双曲线C : x2 y2 1相交于A,B两点，若T是AB的中点，求直线I的方程.例4.如图，过抛物线y2 2 px( p 0)上一定点P(X o,y o)( y o 0),作两条直线分别交抛物线于A(x i,y i), B(X2, y2),(1)求该抛物线上纵坐标为号的点到其焦点F的距离；(2)当PA与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求孑一吐的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.y o例5•椭圆的中心是原点0，它的短轴长为2 2，相应于焦点F(c,0)(c 0)的准线I与x轴相交于点A , |OF | 2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点.(I)求椭圆的方程及离心率；(II )若OP.OQ 0,求直线PQ的方程；(山)设AP AQ( 1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FM FQ .课后练习与提咼1 •以点(1, 1)为中点的抛物线y2 8x的弦所在的直线方程为( )(A) x 4y 3 0 (B) x 4y 3 0 (C) 4x y 3 0 (D) 4x y 3 02 24•过双曲线务占1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ , F1是左焦点，若a bPFQ 90°，则双曲线的离心率是( )(A)(B) 1 2 (C) 2 & (D) 325•过抛物线y ax (a 0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的3)(A)y 25x(B) y 325x (C)y25x3(D) y 25x33•过点(0,1)与抛物线y2 2 px( p 0)只有一个公共点的直线的条数是(A)0 (B) 1 (C)2 (D)3(A) 24、5(B)-5(C)辽5(D)8^5kx 1的两个交点关于y轴对称，则这两1 1长分别是p,q，则丄丄等于()p q1 4(A)2a (B)丄(C)4a (D)兰2a a2X 26•直线y x m与椭圆y 1交于A、B两点，则| AB |的最大值是( )47•已知双曲线x2 y2 kx y 9 0与直线y个交点的坐标为8•与直线2x y 4 0的平行的抛物线y x2的切线方程是 _____________________19.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F( m,0) ( m是大于0的常数).2(I)求椭圆的方程；(n)设Q是椭圆上的一点，且过点F ,Q的直线I与y轴交于点M ,UULW LUUT若|MQ | 2|QF |，求直线I的斜率.10.一个正三角形的三个顶点都在双曲线x2 ay2 1的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a的取值范围.11•已知直线y kx 1与双曲线3x2 y2 1相交于A, B两点•是否存在实数k，使A, B两点关于直线x 2y 0对称？若存在，求出k值，若不存在，说明理由.点、直线与圆锥曲线的位置关系一、教学目标（一）知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题.（二）能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力.（三）学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力.二、教材分析1重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题.（解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用. ）2•难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围.（解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解.）3.疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件.（解决办法：用图形向学生讲清楚这一点.）三、活动设计四、教学过程（一）问题提出1.点P（x o, y o）和圆锥曲线C: f（x , y）=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P在曲线C内部（含焦点区域）、点P在曲线的外部（不含焦点的区域）.那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一.2.直线I : Ax+By+C=0^圆锥曲线C f（x , y）=0有哪几种位置关系？引导学生类比直线与圆的位置关系回答. 直线I与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离.那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二.（二）讲授新课1点M（x o, y o）与圆锥曲线C: f（x , y）=0的位置关系2 2 1 2 己知笃■+告=l（a>b：>0）閑焦点为已，罕.a b a b的焦点为F1、F2, y2=2px（p >0）的焦点为F, —定点为P（x o, y o）, M点到抛物线的准线的距离为d,则有：Ax + By +C=0(上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明.2.直线I : Ax + Bx + C=0与圆锥曲线C ： f(x , y) = 0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离•对于抛物线来说，平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与 双曲线只有一个交点，但并不相切•这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直鋼:Ax+Ey + C= 0*圆锥曲线C : f(x, y) =0»由消去y (或消古北)得：as 3 4-bx4-c = 0, A= b 3 -4ac P a^O. ⑴相交： ⑵A ＜0«相离！ ©)△=()令相切・注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件.3.应用例1若直线y 七+1与焦点在蚌由上的懒圆芋+疋=1总有爲茯点,□ m求m 的取值范围.曲兰+汇“得 条件可 (0 , 1) 解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要 求. 由一名同学演板•解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上，知：Ovm<5.(m + 5k 2 H-10kz + 5(l-m) =0.又 •••直线与椭圆总有公共点,二上述方程对一实数喊立.即(10k) 2-4x(m+5k 2) x 5(1-m) >0, 亦即5k 2> 1-m 对一切实数k 成立.••• 1-m <0, 即卩 nn> 1. 故m 的取值范围为m€ (1 , 5).解法二：由于直线过定点(0 , 1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点 必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求.另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知：0< m <5.' ----- 又•••直线与椭圆总有公共点. | ... ■- ------ •直线所经过的定点(0 , 1)必在椭圆内部或边界上./. — + 一< 1】即 mRl. 5 m故m 的取值范围为m€ (1 , 5),小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大; 解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷.例2椭圆C ：亍+牛=1上疽相异两点关于直线-:y=4"tn 对称，求m 的取值范围.解法一：利用判别式法.设对称点所在的直绸J 的方程为y = 一卜+山将此代入椭圆方程,并整理得：三慕‘ - 2nx - 12 = C L亦即n 2 -l?Cn 2 - 3)>0, /.Sti由方程可得；術+辱〔3 1 24… yi +y^ = -^(K i 4x 2)+ 2ri = -j^ ~2~又点 ■S 直线1 : y 二生i + m 上. 12n 16ii 13 —m 4又导書 一乎一誑＜孚即一辔 故m 的取值范围为（-零, 学）. 2^13 13解法二：禾U 用内点法.设两对称点为 P i (x 1, y i ) , F 2(x 2, y 2), P 1P 2 的中点为 , y o ),•••直线I '与椭圆C 相交于两点,13 -+-A>0? &P(-2n)3 -4X — - 12) >0,卫GC 竺 2 2两式相减亀 冲Z +咛1L 。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.5 直线与圆锥曲线》
直线与圆锥曲线
一位置关系
【教学目标】
知识与技能：掌握直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系并学会用几何法加以分析。
过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，
分析问题,进一步提高学生解决问题的能力
情感态度价值观：学会正确运用数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法，并且让学生在解决综合性问题的过程中培养计算的严谨性和辩证的看待问题的数学素养。
【学科素养】让学生体会站在代数、几何的不同角度辩证的看待问题的思想,加强对数学抽象能力及数学运算能力等核心素养的培养
【教学重点】
重点：用代数和几何方法来研究直线与圆锥曲线的公共点问题
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。
【教学手段】多媒体一体机、
C
1
2
4
2
2
=
+
y
x l m
x
y+
=2m l C
2
8l1
2
4
2
2
=
+
y
x
1
22=-y x 02=++c bx ax ∆及判别式a 02=++c bx ax C 12
422
=+y x l m x y +=2=0时，直线与该
椭圆相交，交点M,N, C NP 的面积最大值。
【设计意图】通过动画的演示让学生理解这类求面积最值得问题也是与直线位置关系相关的让学生对本节课理解更加透彻。
【课后作业】A70页3,4 B 71页
【板书设计】
直线与圆锥曲线
一位置关系。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.5 直线与圆锥曲线》3
《普通高中新课程标准（人教B版）选修2-1》教学设计盖州市第一高级中学孙广超《2-1 直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计【三维目标】1、知识与技能（1）理解直线与圆锥曲线的三种位置关系；能根据直线、圆锥曲线的方程，判断直线与圆的位置关系；（2）能用直线和圆锥曲线的方程解决一些简单的问题；2、过程与方法（1）经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式；（2）强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力及数形结合的思想。
3、情感态度与价值观（1）让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合的思想；（2）加深对解析法解决几何问题的认识，激发学习热情，培养学生的创新意识和探索精神；【重点难点】1、重点：直线与圆锥曲线的位置关系及其判断方法；2、难点：体会和理解解析法解决几何问题的数学思想；【教学基本流程】【教学设计】一、复习引入回归教材直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去或消去得到关于或关于的一元二次方程．如联立后得到以下方程：A 2＋B ＋C ＝0A ≠0，Δ＝B 2－4AC若Δ0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去后得到关于的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A 1，1，B 2，2，直线AB 的斜率为，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝错误!＝错误!|1－2|＝错误!·错误!用点差法求直线方程在给出的圆锥曲线f ，＝0中，求中点为m ，n 的弦AB 所在直线方程时，一般可设A 1，1，B 2，2，利用A ，B在曲线上，得f1，1＝0，f2，2＝0两式相减，结合1＋2＝2m，1＋2＝2n，可求出AB＝错误!，从而由点斜式写出直线AB的方程．这种方法我们称为点差法．重点辨析1如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情况，为了避免讨论，过焦点Fc，0的直线可设为＝m＋c2解方程组错误!时，若消去，得到关于的方程a2＋b＋c＝0，这时，要考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点Δ＝0不是直线和抛物线或双曲线只有一个公共点的充要条件．二、创设情境问题1：若过原点的直线与双曲线错误!－错误!＝1有两个不同交点，则直线的斜率的取值范围是B．－错误!，错误!∪错误!【解析】∵错误!－错误!＝1，其两条渐近线的斜率分别为1＝－错误!，2＝错误!，要使过原点的直线与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线的斜率的取值范围应是错误!∪错误!问题2．已知倾斜角为60°的直线通过抛物线2＝4的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为________．【解析】直线的方程为＝错误!＋1，由错误!得2－14＋1＝0设A1，1，B2，2，则1＋2＝14∴|AB|＝1＋2＋4a的取值范围，使得椭圆错误!＋错误!＝1上有不同两点关于直线＝4＋m对称．解：设椭圆上两点A1，1，B2，2关于直线＝4＋m对称．设AB的中点为又由错误!得错误!＋错误!＝0∴错误!＋错误!·－错误!＝0∴1＋2＝31＋2，得0＝30代入0＝40＋m，得0＝－m，∴0＝－3m∵点C在椭圆错误!＋错误!＝1内，∴错误!＋错误!0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围．题型三面积问题例3已知点A0，－2，椭圆E：错误!＋错误!＝1a>b>0的离心率为错误!，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为错误!，O为坐标原点．1求E的方程；2设过点A的动直线与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求的方程．【解析】1设Fc，0，由条件知，错误!＝错误!，得c＝错误!又错误!＝错误!，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1又点O到直线PQ的距离d＝错误!，所以△OPQ的面积S△OPQ＝错误!d|PQ|＝错误!设错误!＝t，则t>0，S△OPQ＝错误!＝错误!故E的方程为错误!＋2＝1探究3与面积或最值一起综合考查是解析几何的常见题型，其解法往往是先建立目标函数的解析式，从而转化为函数问题．五、变式训练1、已知A，B为抛物线C：2＝4上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若错误!＝－4错误!，则直线AB的斜率为A．±错误!B．±错误!C．±错误!D．±错误!2．2021·南阳模拟设F1，F2为椭圆错误!＋2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，错误!·错误!的值等于A．0 B．2C．4 D．－2六、知识归纳1．充分借助图形的直观性，达到优化解题思维，简化解题过程．2．直线与圆锥曲线相交时，借助弦长公式来求参数的值，利用判别式可求参数范围七、作业布置对应练习册作业八、教学反思1、本节课主要内容是如何运用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，通过实例，让学生观察分析，合作探究，类比归纳，形成知识体系，帮助同学们养成良好的学习态度，培养勤奋刻苦的精神；2、学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用。
高中数学新人教B版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线
= 2-1,
2
2
-
2
=1
典例透析
题型一
题型二
题型三
正解:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),代入双曲线方程得,
2
12 - 1 = 1,
2
2
22 - 2 = 1.
2
①
②
1
2
①-②得,(x1+x2)(x1-x2)= (1 + 2)(1 − 2).
的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点, ⊥l,垂足为 K,则
△AKF 的面积是(
)
A.4
B.3 3
C.4 3
D. 8
解析:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,
又∠KAF=60°,所以△AFK 是正三角形.
2 = 4,
联立方程组
= 3(-1),
消去 y 得 3x2-10x+3=0,
2
1
4
所以直线 AB 的斜率 kAB= = − .
(0 -)2 (0 -)
+
= 1,
4
3
又
2
2
(
+
)
(0 + )
+ 0
= 1,②
4
3
①
典例透析
题型一
题型二
①-②得,
=
题型三
30
−
, 即y0=3x0.
40
0 = -,
而点 C'在直线 y=4x+m 上,则
0 = -3.
2 = 1, 即
2 − 1 = 0,
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
【公开课教案】《直线与圆锥曲线的位置关系1》教案
直线与圆锥曲线的位置关系1一、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。
2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。
二、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L 的方程是：0=++C By Ax ，圆锥曲线的方程是0),(=y x f ，则由⎩⎨⎧==++0)y ,x (f 0C By Ax 消去）或消去y x (,得：02=++c bx ax )0(≠a …………（*） 设方程（*）的判别式ac b 42-=∆ 交点个数问题①当a ＝0或a ≠0，∆＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a ≠0，∆＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a ≠0，∆＜0时，曲线和直线没有交点。
2、直线L 与圆锥曲线相交时的弦长。
设直线L 与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，直线L 的斜率为k ，则2122122124)(1||1||x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+==||11212y y k -+=2122124)(11y y y y k-+⋅+3、设A （11y ,x ），B （x 2，y 2）是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且21x x ≠，0x x 21≠+，M （x 0，y 0）为AB 的中点，则两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--，22OMAB ab k k -=⋅。
这种方法叫点差法，最后需要检验直线与曲线是否相交。
【典型例题】例1、已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【尝试解答】 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k 2＋2k －4)x ＋(2k ＋1)2＝0，(*)当k ＝0时，方程(*)为－4x ＋1＝0，即x ＝14，此时直线l 和抛物线只有一个交点，当k ≠0时，Δ＝(4k 2＋2k －4)2－4k 2(2k ＋1)2＝－32k 2－16k ＋16，由Δ＝0，即－32k 2－16k ＋16＝0，得 2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1或k ＝12，∴当k ＝－1或k ＝12时，方程(*)有两个相等的实根，当－1＜k ＜12且k ≠0时，方程(*)有两个不等的实根，当k ＜－1或k ＞12时，方程(*)没有实根．综上知 ，当k ＝0或k ＝－1，或k ＝12时，直线与抛物线只有一个公共点，当－1＜k ＜12且k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点，当k ＜－1或k ＞12时，直线与抛物线没有公共点．,例2、过椭圆2222=+y x 的一个焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，求△AOB 的面积的最大值(O 为原点)．解：不妨设AB 过焦点(0,1)， 当AB 斜率不存在时显然不合题意．设AB 的方程为y －1＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋k 2，x 1x 2＝－12＋k 2， 所以|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝221＋k 22＋k 2.又设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝11＋k 2， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝2·1＋k 22＋k 2＝2·1＋k 21＋k 2＋1＝21＋k 2＋11＋k 2≤22，所以S △AOB 的最大值为22.例3. 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设)1,2(A 的中点弦两端点为),(),,(222111y x P y x P ，则有关系2,42121=+=+y y x x ．又据对称性知21x x ≠，所以2121x x y y --是中点弦21P P 所在直线的斜率，由1P 、2P 在双曲线上，则有关系22,2222222121=-=-y x y x ．两式相减是：0))(())((221212121=-+--+y y y y x x x x∴0)(2)(422121=---⋅y y x x ∴42121=--xx y y所求中点弦所在直线为)2(41-=-x y ，即074=--y x ．(2)可假定直线l 存在，而求出l 的方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x方法同(1)，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0122222y x y x ，消去y ,得03422=+-x x然而方程的判别式08324)4(2<-=⋅⋅--=∆，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．四．课堂巩固1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 （）()A 22()B 322()C 229()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条。
2019-2020学年苏教版选修2-1 直线与圆锥曲线的位置关系 教案
直线与圆锥曲线的位置关系一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。
多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。
2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设x=my+a ）； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y 1)B(x 2,y 2);第三步：联立方程组⎩⎨⎧=+=0)y ,x (f bkx y ，消去y 得关于x 的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件⎩⎨⎧>∆0二次系数不为零，⎩⎨⎧=⋅=+2121x x x x第五步：把所要解决的问题转化为x 1+x 2 、x 1x 2 ，然后代入、化简。
3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB 的中点为M(x o ,y o )，先设两个交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y ,x (f ,0)y ,x (f 2211==，两式相减、分解因式，再将o 21o 212y y y ,2x x x =+=+代入其中，即可求出直线的斜率。
4.弦长公式:]x 4x )x x )[(k 1(|x x |k 1|AB |212212212-++=-+=( k 为弦AB 所在直线的斜率)二、例题分析：例1．(2008湖北文)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为)0,2(),0,2(21F F -,点)7,3(P 在曲线C 上. (Ⅰ)求双曲线C 的方程； (Ⅱ)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程例2．.(2005湖北文、理)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1,3）是线段AB 的中点, 线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； (Ⅱ)试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.（只做第一问）例3.(2007重庆文)如图,倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；(Ⅱ)若α为锐角,作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.三、基础训练： 1．（2005广东）在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B满足AO ⊥BO （如图4所示）.△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.2. (2008广东文、理)设b>0，椭圆方程为122222=+by b x ，抛物线方程为)(82b y x -=.如图4所示,过点F (0,b+2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G.已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;(2)设A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上 是否存在点P ，使得△ABP 为直角三角形？若存在，请指出共 有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.四．巩固练习：1.( 2007广东文、理)在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C 与直线y x=相切于坐标原点0．椭圆22219x y a +=与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．(1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2007四川理）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.直线与圆锥曲线的位置关系（参考答案）二、例题分析：例1． (Ⅰ)解法1：依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为142222=--ay a x （0＜a 2＜4）， 将点（3，7）代入上式，得147922=--aa .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2， 故所求双曲线方程为.12222=-y x解法2：依题意得，双曲线的半焦距c =2.2a =|PF 1|－|PF 2|=,22)7()23()7()23(2222=+--++ ∴a 2=2，b 2=c 2－a 2=2.∴双曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-,33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3).设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16,142212kx x k k -=-于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-=|1|32214)(1222212212k k k x x x x k--+=-++∙∙而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+,∴S ΔOEF =.|1|322|1|32211221||21222222k k k k k k EF d --=--++=∙∙∙∙ 若S ΔOEF ＝22，即,0222|1|3222422=--⇔=--k k k k 解得k =±2, 满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =22+x 和.22+-=x y例2．（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x +y －4=0.（Ⅱ）解：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x +y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.例3．（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为px y 22=，则82=p ，从而.4=p因此焦点)0,2(pF 的坐标为（2，0），准线l 的方程为2-=x 。
教案直线和圆锥曲线的位置关系
课题：直线和圆锥曲线的位置关系【教学目标】1． 知识目标：能从“数”和“形”角度判断直线和圆锥曲线的位置关系。
2． 能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。
3． 情感目标：通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。
【教学重点、难点与关键】1． 重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和圆锥曲线的位置关系。
2． 难点：在开放式教学中让学生自己发现问题，提出问题。
3． 关键点：帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。
【教学方法与手段】教学方法：开放式、探究式教学。
教学手段：利用教学软件几何画板辅助教学。
【教学过程及说明】：一、引例：已知椭圆C ：12422=+y x ，直线l ：y =ax +b ①请你具体给出a ，b 的一组值，使直线l 和椭圆C 相交。
②直线l 和椭圆C 相交时，a ，b 应满足什么关系？③若a ＋b ＝1，试判定直线l 和椭圆C 的位置关系。
分析： ②：联立方程：22142y ax b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：（1+2a 2）x 2＋4ab x+2b 2-4=0 （*） 则△＝（4ab ）2-4(1+2a 2)(2b 2-4)>0,整理得：b 2-4a 2<2③：思路一：（1－a ）2－4a 2＝－3a 2-2a +1=-3(a +21433）＋<2恒成立。
所以直线和椭圆相交。
思路二：直线y=a x+（1－a ）过定点（1，1），而点（1，1）在椭圆内部，所以直线和椭圆相交。
引例设计说明：问题①是个开放题，结果不唯一。
学生可以分别从形与数这两个角度考虑这个问题，给出一组符合题意的a ，b 的值。
问题②是在问题①基础上的提升，探求直线和椭圆相交时的一般情况。
切入本节课的主题。
也为后面比较直线和双曲线位置关系的代数处理的异同点，做个铺垫。
原创1：2.5直线与圆锥曲线
9
2
2
∴椭圆的方程为x ＋2y － ＝0，
8
直线l的方程为y＝1－x.
典例分析
例3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C
有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；
解：
∵|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴＝3.
再见
代入双曲线方程3x2－y2＝3，得
3x12 －y12 ＝3, 3x22 －y22 ＝3，
两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
1 −2 1 +2
即
·
1 −2 1 +2
＝3.
所以直线AB的斜率
kAB＝
1 −2
1 −2
＝
3(1 +2 )
1 +2
2
为的椭圆相交
2
1
于B、C两点，直线y＝ x过线段BC的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点
2
关于直线l对称，试求直线l与椭圆的方程．
解：如图，∵e＝
2
2
，∴a2＝2b2，b2＝c2，c＝b.
∴可设椭圆方程为x2＋2y2－2b2＝0.
设B(x1，y1)、C(x2，y2)，
代入椭圆方程并对两式作差得
(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
＝
，
1≤
2
2
2
1+3
3 +|| 2
1
1
2
当且仅当 ＝3|k|，即k ＝ 时，上式等号成立，
直线和圆锥曲线位置关系教学设计
教学过程设计
教学步骤
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
复习
引入
通过复习直线与圆的位置关系的回答，类比得出直线 与圆锥曲线 的位置关系为：相交、相切、相离。
多媒体展示通过观察图形：直观判断直线与圆的位置关系类比判断直线与圆锥曲线 的位置关系。
例1如图当直线分别过点A、B、C、D时，分别能做几条与抛物线y2=4x有一个公共点的直线。
展示几何画板
学生观察并归纳
数形结合的能力的培养
合作探究
例1变式1：直线过定点（0，1）且与抛物线y2=4x只有一个公共点，求直线的方程。
指导学生数形结合，展示学生的成果，并点评，总结。
学生解答并展示
培养学生分类讨论的思想
考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查待定系数法及综合分析与运算能力。
课堂检测
1、如果椭圆被 的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆 恒有公共点，则m的范围（）
教材
分析
本节课是平面解析几何的核心内容之一。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课,着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一。
复习回顾
例1例1变式1