2013年上海市春季高考数学试卷答案与解析
2013年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．
1．（3分）（2013•上海）函数y=log2（x+2）的定义域是（﹣2，+∞）．
2．（3分）（2013•上海）方程2x=8的解是3．
3．（3分）（2013•上海）抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣2．
=2，可得=2
4．（3分）（2013•上海）函数y=2sinx的最小正周期是2π．
=
5．（3分）（2013•上海）已知向量，．若，则实数k=
．
，得﹣
故答案为：
，则6．（3分）（2013•上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是5．
（sinx+cosx==
7．（3分）（2013•上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是．
，代入计算即可得出复数
=
故答案为：
8．（3分）（2013•上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=7．
9．（3分）（2013•上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60°．
10．（3分）（2013•上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选
出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．
人中只有男同学或只有女同学的概率为：，
﹣．
故答案为：．
11．（3分）（2013•上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和
S n=．
，
，
12．（3分）（2013•上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为4836．
二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分．
B
解：根据
由题意得，
﹣1
的反函数，
的反函数，
15．（3分）（2013•上海）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）
，即可得到它的一个方向向量（
k=，
=）
16．（3分）（2013•上海）函数f（x）=的大致图象是（）．．．D．
解：因为﹣＜
B
=，∴
18．（3分）（2013•上海）若复数z 1，z2满足z1=，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，
，则
10
•
•
）上是减函数，在（
根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为= =，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．
==，解之得（舍负）
因此，这两个球的体积之比为=）
23．（3分）（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒
24．（3分）（2013•上海）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（）
，
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤．25．（7分）（2013•上海）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为，求该三棱柱的体积．
C=
C=．
×=2，
=3，
×6=18
26．（7分）（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．
，求得﹣
﹣
27．（8分）（2013•上海）已知数列{a n}的前n项和为S，数列{b n}满足b，求．
时，
=公比为
=．
28．（13分）（2013•上海）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．
系写出两个交点的横坐标的和，把
的方程为．
根据题意知，解得
的方程为
的方程为
由
因为，所以，即
=
=
=，解得
的方程为
29．（12分）（2013•上海）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F．
（1）点A，P满足．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程；
（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
的坐标，由
，所以，
，解得
，解得
或
）和（
30．（13分）（2013•上海）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点P n在x轴上，其横坐标为x n，且{x n} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠P n AP n+1=θn，n∈N*．
（1）若，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（0，8），求θn的最大值及相应n的值．
，知
==
，解得
=
≥，
当且仅当
，）上为增函数，
最大，其最大值为
31．（18分）（2013•上海）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a 和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
=
=
由不等式
=。
数学_2013年上海市高考数学模拟试卷2(理科)_(含答案)
2013年上海市高考数学模拟试卷2（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知行列式|2i 2z |=4+2i ，则复数z =________． 2. 方程组{2x +y =1，3x −2y =0对应的增广矩阵为________． 3. 设函数f(x)={x 2+1(x ≥0)2x(x <0)，那么f −1(10)=________． 4. 在(x −2x )6的二项展开式中，常数项等于________． 5. 已知cosα=−45且α∈(π2, π)，则tan(α+π4=)________． 6. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 5=10，S 10=−5，则公差为________（用数字作答）．7. 阅读右面的程序框图，则输出的S =________．8. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的________（条件）9. 在极坐标系中，由三条直线θ=0，θ=π3，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于________．10. 已知F 1、F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→．若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．11. 如图，已知各顶点都在半球面上的正三棱锥S −ABC ．若AB =a ，则该三棱锥的体积为________．12. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x −4)=−f(x)，且在区间[0, 2]上是增函数．若方程f(x)=m(m >0)在区间[−8, 8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4=________．13. 当0≤x ≤1时，不等式sin πx 2≥kx 成立，则实数k 的取值范围是________．14. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为________（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. “−2≤a ≤2”是“实系数一元二次方程x 2+ax +1=0有虚根”的( )A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件16. 若事件E 与F 相互独立，且P(E)=P(F)=14，则P(E ∩F)的值等于（ ）A 0B 116C 14D 1217. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A 甲地：总体均值为3，中位数为4B 乙地：总体均值为1，总体方差大于0C 丙地：中位数为2，众数为3D 丁地：总体均值为2，总体方差为3 18. 过圆C ：(x −1)2+(y −1)2=1的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，△AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S |+S IV =S ||+S |||则直线AB 有（ ）A 0条B 1条C 2条D 3条三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. 已知ABCD −A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，高AA 1=2， 求（1）异面直线BD 与AB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）求点C 到平面BDC 1的距离及直线B 1D 与平面CDD 1C 1所成的角．20. 已知m →=(2√3,1)，n →=(cos 2A 2,sin(B +C))，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角．（1）当A =π2时，求|n →|的值（2）若BC =1,|AB →|=√3，当m →⋅n →取最大值时，求A 大小及AC 边长．21. 已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅3x，其中常数a，b满足a⋅b≠0 .(1)若a⋅b>0，判断函数f(x)的单调性；(2)若a⋅b<0，求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围．−y2=1，设直线l过点A(−3√2，0)，22. 已知双曲线c：x22（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k>√2时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为√6．223. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85，n∈N∗．（1）证明：{a n−1}是等比数列；（2）求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由．2013年上海市高考数学模拟试卷2（理科）答案1. 2+2i]2. [2113−203. 34. −1605. 176. −17. 308. 充要9. 3−√3410. 311. a31212. −813. k∈(−∞, 1]14. 0.98515. A16. B17. D18. B19. 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系． 则A 1(0, 0, 0)，B 1(1, 0, 0)，C 1(1, 1, 0)，D 1(0, 1, 0)，A(0, 0, 2)，B(1, 0, 2)，C(1, 1, 2)，D(0, 1, 2)，∴ BD →=(−1,1,0)，AB 1→=(1, 0, −2)．∴ cos <BD →，AB 1→>=|BD →||AB 1→|˙=−1√2⋅√5=−√1010． ∴ 异面直线BD 与AB 1所成角=arccos√1010． （2）由（1）可知：BC →=(0,1,0)，C 1D →=(−1,0,2)．设平面BDC 1的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅C 1D →=0˙，即{−x +y =0−x +2z =0，令z =1，则x =2，y =2． ∴ n →=(2,2,1)．∴ 点C 到平面BDC 1的距离d =|n →|˙=2√9=23． （3）由（1）可知：B 1D →=(−1, 1, 2)．∵ A 1D 1⊥平面CDD 1C 1，∴ 可取A 1D 1→=(0, 1, 0)作为平面CDD 1C 1的法向量． 设直线B 1D 与平面CDD 1C 1所成的角为θ．则sinθ=|cos <B 1D →，A 1D 1→>|=|B 1D →||A 1D 1→|˙=1√6×1=√66．20. 解：（1）当A =π2时，n →=(cos 2π4，sin π2)=(12，1)．∴ |n →|=√(12)1+12=√52． （2）∵ m →⋅n →=2√3cos 2A 2+sin(B +C)=√3(1+cosA)+sinA =2sin(A +π3)+√3．∵ 0<A <π，∴ π3<A <4π3． ∴ 当A +π3=π2时，即A =π6时，sin(A +π3)=1，此时m →⋅n →取得最大值2+√3． 由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ×ACcosA ，即12=(√3)2+AC 2−2√3AC ×√32， 化为AC 2−3AC +2=0，解得AC =1或2．21. 解：(1)①若a >0，b >0，则y =a ⋅2x 与y =b ⋅3x 均为增函数， 所以f(x)=a ⋅2x +b ⋅3x 在R 上为增函数；②若a <0，b <0，则y =a ⋅2x 与y =b ⋅3x 均为减函数，所以f(x)=a ⋅2x +b ⋅3x 在R 上为减函数．(2)①若a >0，b <0，由f(x +1)>f(x)得a ⋅2x+1+b ⋅3x+1>a ⋅2x +b ⋅3x ，化简得a ⋅2x >−2b ⋅3x ，即(23)x >−2b a ， 解得x <log 23−2b a ；②若a <0，b >0，由f(x +1)>f(x)可得(23)x <−2b a ，解得x >log 23−2b a ．22. 解：（1）双曲线C 的渐近线m √2y =0， 即x ±√2y =0∴直线l 的方程x ±√2y +3√2=0∴ 直线l 与m 的距离d =√2√1+2=√6．（2）设过原点且平行于l 的直线b:kx −y =0，则直线l 与b 的距离d =√2|k|√1+k 2， 当k >√22时，d >√6． 又双曲线C 的渐近线为x ±√2y =0，∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴ 双曲线C 的右支上的任意点到直线l 的距离大于√6．故在双曲线C 的右支上不存在点Q(x 0, y 0)到到直线l 的距离为√6．23. 解：（1）∵ S n =n −5a n −85，n ∈N ∗．∴ S n+1=n +1−5a n+1−85，n ∈N ∗．两式作差得a n+1=1−5a n+1+5a n ，即6(a n+1−1)=5(a n −1)，即(a n+1−1)=56(a n −1)，n ∈N ∗．故{a n −1}是等比数列（2）由（1）S n+1=n +1−5a n+1−85，n ∈N ∗．得S n+1=n +1−5(S n+1−S n )−85，n ∈N ∗．得6S n+1=n +5S n −84，即6[S n+1−(n +1)]=5(S n −n)−90， 即S n+1−(n +1)=56(S n −n)−15 整理得S n+1−(n +1)+90=56(S n −n +90)故{S n −n +90}是一个等比数列，其公比为56，由于a 1=1−5a 1−85，得a 1=−14 故{S n −n +90}的首项为−14−1+90=75故S n −n +90=75×(56)n−1，即S n =n −90+75×(56)n−1， 由于S n+1−S n =1−756×(56)n−1，令S n+1−S n >0，对n 赋值验证知n >15时成立，即S n 其最小值是S 15。
高中数学--历年高考真题精选7(附答案)
高中数学--历年高考真题精选题号 一 二 三 总分 得分一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A ．B ．C ．D ．3.在5(1)x +-6(1)x +的展开式中,含3x 的项的系数是(A) -5(B) 5(C) -10 (D) 104.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同，记得这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。
在每一个闪烁中，那么需要的时间至少是 A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒 5.由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 26. ( 2x －3 )5的展开式中x 2项的系数为（A ）－2160（B ）－1080 （C ）1080（D ）21607.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 】A ．14B ．16C ．20D ．488.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =9.i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有A.6种B.12种C.24种D.30种二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知圆C 的圆心是直线1,(1x t y t=⎧⎨=+⎩为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为12.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 13.若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14.若变量x,y 满足约束条件 ,4,,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且 2z x y =+的最小值为-6，则k =_______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 是BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E 。
2013年高考上海数学(文)试题精解精析(解析版)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：●如果事件A，B互斥，那么P（A U B）=P（A）+P（B）．●如果事件A，B相互独立，那么P（A·B）=P（A）P（B）．●如果在1次试验中某事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好p k（1－P）n－k．发生k次的概率是P n（k）=C kn●柱体体积公式：V=sh，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高，●锥体体积公式：V=13sh ，其中s 表示锥体底面积,h 表示锥体的高． ●球体体积公式：V=343R π，其中R 表示球体的半径．本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式021xx <-的解为 ．2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y=，则x y += ．【答案】3【解析】易得3x y +=【考点定位】考查行列式的运算，属容易题。
5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331xx+=-的实数解为 ．9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ． 【答案】79-【解析】由题意知：1cos()3x y -=∴()()()27cos 22cos 2()2cos 19x y x y x y -=-=--=- 【考点定位】考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式及计算，属中档题。
圆锥曲线2013
2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013年高考江西卷（理））过点引直线l与曲线y=A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ）A ．y EB BC CD=++B．C． D．【答案】B2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25B ．45 CD【答案】C3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．212x -=【答案】B4 ．（2013年高考新课标1（理））已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C5 ．（2013年高考湖北卷（理））已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D6 ．（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12BC ．1 D【答案】B7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23 D ．26 【答案】D8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B10．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若0MA MB =,则k =（ ）A ．12BCD ．2【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y= C ．12y x =±D．y x =±【答案】B12．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =（ ）ABCD【答案】D13．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x = C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C15．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知 A B 、为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】C16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 （ ）A ．4B 1C ．6-D【答案】A 二、填空题17．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.【答案】x y 43±= 18．（2013年高考江西卷（理））抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF ∆为等边三角形,则P =_____________【答案】619．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ,则C 的离心率为___.【答案】320．（2013年高考上海卷（理））设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4CBA π∠=,若AB=4,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为________【答案】. 21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得ABC ∠为直角,则a 的取值范围为___ _____.【答案】),1[+∞22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,223．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆C 的离心率为_______.【答案】24．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________【答案】1-25．（2013年高考陕西卷（理））双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于___9_____. 【答案】9 26．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,连接,AF BF ,若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】5727．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）抛物线28yx =的准线方程是_______________【答案】2x =-28．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy 1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】1-或1029．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点,过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,,点Q 为线段AB 的中点,若2||=FQ ,则直线的斜率等于________.【答案】1± 三、解答题30．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程. [解](1) (2)【答案】[解](1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,213b = 故椭圆C 的方程为2214133x y +=.(2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=. 当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则2212121111222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++ ，，，，， 因为11F P FQ ⊥ ,所以110F P FQ ⋅=,即 21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271021k k -==+, 解得217k =,即k =故直线l的方程为10x +-=或10x -=.31．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.【答案】解:2+=所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C的离心率c e a ===()II 由()I 知椭圆C 的方程为2212x y +=.设点Q 的坐标为(x,y).(1)当直线l 与x 轴垂直时,直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点,此时Q点坐标为0,2⎛ ⎝ (2) 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上,可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++,则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQ x y k x =+-=+由222211AQAMAN=+,得()()()22222212211111k x k x k x =++++,即 ()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中,得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k >. 由②可知12122286,,2121k x x x x k k +=-=++ 代入①中并化简,得2218103x k =- ③因为点Q 在直线2y kx =+上,所以2y k x-=,代入③中并化简,得()22102318y x --=.由③及232k >,可知2302x <<,即x ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ .又0,2⎛-⎝满足()22102318y x --=,故x ⎛∈ ⎝. 由题意,(),Q x y 在椭圆C 内部,所以11y -≤≤, 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤,则1,22y ⎛∈ ⎝. 所以点Q 的轨迹方程是()22102318y x --=,其中,x ⎛∈ ⎝,1,22y ⎛∈ ⎝32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ,,过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ,求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ,若0k ≠,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值.【答案】解:(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得2b y a =±由题意知221b a =,即22a b = 又ce a == 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2214x y +=204x ≠,将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312x x x -=-,因为204x ≠,12118kk kk +=-=-为定值.33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+,P 是平面上一点,若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点,则称P 为“C 1—C 2型点”.(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线y kx =与2C 有公共点,求证||1k >,进而证明原点不是“C 1—C 2型点”; (3)求证:圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”.【答案】:(1)C 1的左焦点为(F ,过F 的直线x =与C 1交于(,与C 2交于(1))±+,故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”,且直线可以为x =;(2)直线y kx =与C 2有交点,则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩,若方程组有解,则必须||1k >; 直线y kx =与C 2有交点,则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩,若方程组有解,则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点,即原点不是“C 1-C 2型点”. (3)显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥,则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=内部有交点,<化简得,221(1)(1)2t tk k +-<+............① 若直线l 与曲线C 1有交点,则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥-化简得,22(1)2(1)t kt k +-≥-.....②由①②得,222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时,因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<,即①式不成立;当212k =时,①式也不成立综上,直线l 若与圆2212x y +=内有交点,则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点,即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” .34．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在正方形OABC中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ,连结i OB ,过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)iP i N i ∈≤≤. (1)求证:点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(2)过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ,若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1,求直线的方程.【答案】解:(Ⅰ)依题意,过*(,19)∈≤≤i A i Ni 且与x 轴垂直的直线方程为=x i (10,) i B i ,∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ,由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得:2110=y x ,即210=x y , ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上,且抛物线E 方程为210=x y(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ,直线与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设:1122(,)(,)M x y N x y ,则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ,∴124=-x x 分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y,解得32=±k 直线的方程为3+102=±y x ,即32200-+=x y 或3+2200-=x y 35．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线2:2(0)E xpy p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ,且122k k +=,1l E 与相交于点A,B,2l E 与相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为l .(I)若120,0k k >>,证明;22FM FN P < ;(II)若点M 到直线l,求抛物线E 的方程. 【答案】解: (Ⅰ)，设),(),,(),,(),,(),,(),,().2,0(3434121244332211y x N y x M y x D y x C y x B y x A pF 02,221211=++-+=p x pk x E px k y l ：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121p k p k FM p p k y p k x x x p x x p k x x -=⇒+==+=⇒=-=⋅=+⇒),(2,2,222223422134p k p k FN p p k y p k x x x -=⇒+==+=⇒同理. )1(2121222221221+=+=⋅⇒k k k k p p k k p k k FN FM222121221212121212)11(1)1(,122,,0,0p p k k k k p FN FM k k k k k k k k k k =+⋅⋅<+=⋅∴≤⇒≥+=≠>> 所以,22p FN FM <⋅成立. (证毕) (Ⅱ),)]2(2[21)]2()2[(21,212121121p p k p p k p y p y p r r r N M +=++=+++=⇒的半径分别为、设圆,2同理,221211p p k r p p k r +=+=⇒.,21r r N M 的半径分别为、设圆则21212212)()(r y y x x N M =-+-的方程分别为、, 的方程为：，直线l r y y x x 22234234)()(=-+-0-)(2)(2222123421223421212341234=+-+-+-+-r r y y x x y y y x x x .))(-())(())(()(2)(212123412341234123412212212=++--+--+-+-⇒r r r r y y y y x x x x y k k p x k k p2))((1))(()(2)(2)(2222121222222122212212212212++-+++-+-+-+-⇒k k k k p k k k k p k k p y k k p x k k p 0202)(1)(222212221=+⇒=+++++--+⇒y x k k p k k p p y x55758751)41()41(2|512||52|),(212112121212==+-+-⋅≥++⋅=+=p p k k p y x d l y x M 的距离到直线点y x p 1682=⇒=⇒抛物线的方程为.36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到1b =,且242a a =∴=,所以椭圆的方程是2214x y +=;(Ⅱ)因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k=--⇒++=,所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==;由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以28||4D P k x x DP k +=-∴==+所以（第21题图）11||||22ABDS AB DP ∆==⨯====≤=当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- 37．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,离心率e =,过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点,4AA '=.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P ',过,P P '作圆心为Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q 外.若PQ P Q '⊥,求圆Q 的标准方程.【答案】38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设椭圆2222:11x y E a a+=-的焦点在x 轴上 (Ⅰ)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设12,F F 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆E 上的第一象限内的点,直线2F P 交y轴与点Q ,并且11F P FQ ⊥,证明:当a 变化时,点p 在某定直线上. 【答案】解:(Ⅰ)13858851,12,122222222=+=⇒+-==->x x a c a a c a a ，椭圆方程为： .(Ⅱ) ),(),,),,0(),,(),0,(),0,(2221m c QF y c x P F m Q y x P c F c F -=-=-（则设. 由)1,0(),1,0()1,0(012∈∈⇒∈⇒>-y x a a .⎩⎨⎧=++=-⊥=+=0)()(,//).,(),,(112211my c x c ycx c m Q F P F QF P F m c Q F y c x P F 得：由 解得联立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=-+=-⇒=+-⇒22222222222222111.))((c a a c y x a y a x c y x y c x c xy x y x y x yx y y x x -=∴∈∈±=⇒=+-++-⇒1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222 所以动点P 过定直线01=-+y x .39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P与M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线 C.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【答案】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径1r =1,圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.设动圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R.(Ⅰ)∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切,∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4, 由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左右焦点,场半轴长为2,的椭圆(左顶点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-.(Ⅱ)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM|-|PN|=22R -≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2.∴当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=, 当l 的倾斜角为090时,则l 与y 轴重合,可得|AB|=当l 的倾斜角不为090时,由1r ≠R 知l 不平行x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则||||QP QM =1Rr ,可求得Q(-4,0),∴设l :(4)y k x =+,由l 于圆M1=,解得k =±当k时,将y x =+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=,解得1,2x12||x x -=187.当k时,由图形的对称性可知|AB|=187, 综上,|AB|=187或|AB|= 40．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,, 过点F 且与x(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.【答案】41．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b ：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ,直线l 的方程为=4x .(1) 求椭圆C 的方程;(2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P ),设直线AB 与直线l 相交于点M ,记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ,使得123+=.k k k λ?若存在求λ的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b+= ① 依题设知2a c =,则223b c = ② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y yk x x ==--. 所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++ ⑤④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-⋅=---+++, 又312k k =-,所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意.方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--, 令4x =,求得003(4,)1y M x -, 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---,则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-,直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-,所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---,故存在常数2λ=符合题意.42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24xcy =,0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '=设()11,A x y ,()22,B x y (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ 联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y = 所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））平面直角坐标系xOy 中,过椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的右焦点F 作直0x y +=交M 于,A B两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ),C D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】44．（2013年高考湖北卷（理））如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ,B ,C ,D .记mnλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S .(I)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(II)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】解:(I)12S S λ=()m n m n λ⇒+=-,1111m n m n λλλ++∴==--解得:1λ=+(舍去小于1的根)(II)设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :ky x =22221ky x x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩2222221a m k y a m +⇒=A y ⇒= 同理可得,B y =又 BDM ∆和ABN ∆的的高相等12B D B A A B A BS BD y y y y S AB y y y y -+∴===-- 如果存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B y y λλ-=+,第21题图即:()()222222222211a n k a n k λλλλ-+=++,解得()()2222232114a k n λλλλ--+=∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .45．（2013年高考北京卷（理））已知A 、B 、C 是椭圆W :2214x y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由.【答案】解:(I)椭圆W :2214x y +=的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A(1,m ),代入椭圆方程得2114m +=,即m =. 所以菱形OABC 的面积是11||||22||22OB AC m ⋅=⨯⨯=. (II)假设四边形OABC 为菱形. 因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠≠.由2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kmx m +++-=. 设A 1,1()x y ,C 2,2()x y ,则1224214x x km k +=-+,121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M(2414km k -+,214mk+). 因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⋅-≠-,所以AC 与OB 不垂直. 所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 46．（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ)点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y yy y x y x y 直线PQ 方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)47．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )01x =,切线.MA 的斜率为12-. (I)求p 的值;(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为【答案】48．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，,离心率为3，直线2y =与C 的. (I)求,;a b ;(II)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于,A B 两点,且11AF BF ,证明:22AF AB BF 、、成等比数列.【答案】49．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.已知抛物线24C y x =： 的焦点为F .(1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，, 因为F 的坐标为(1 0)，,所以(1 )A A FA x y =-，, 由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，.即2(1)2A A A A x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得2A Ax x y y =-⎧⎨=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为284y x =-.(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,则122yx t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩ 解得3545x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩若Q '在C 上,将Q '的坐标代入24y x =,得24150t t +=,即0t =或154t =-. 所以存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，和15( 0)4-，.。
2013上海高考数学理科试题及答案
2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ= 11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） (A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列{}n a 中，21nn a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j == ）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++ 的最小值、最大值，其中{,,}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M => (B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题1．解：根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．解：2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．解：2220x y xy x y +=-⇒+=．4．解：2222222323303aab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．解：2515()(),2(5)71r r rr a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-．6．解：原方程整理后变为233238034log 4xx x x -⋅-=⇒=⇒=．7．解：联立方程组得(1)1ρρρ-=⇒=，又0ρ≥． 8．解：9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．解：不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C，得24,233b c ==． 10．解：10E x ξ=，|D d ξ==． 11．解：1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．解：(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．解：根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．解：根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．15．解：集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．解：根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ． 17．解：,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j += ，故不同数值个数为18个，选A ．18．解：作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤ ，故选D ．19．解：因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中，11AC D C AD ===，故132AD C S ∆=所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．解：(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥又110x ≤≤，可解得310x ≤≤(2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+故6x =时，max 457500y =元．21．解：(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．解：：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于(，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =（2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。
人教版高二必修四数学第二章平面向量试题
以下是为⼤家整理的关于《⼈教版⾼⼆必修四数学第⼆章平⾯向量试题》的⽂章，供⼤家学习参考！第四部分练习与试卷2.1 平⾯向量的概念及其线性运算（练习）【练习⽬标】1、理解平⾯向量和向量相等的含义，理解向量的⼏何表⽰；2、掌握向量加、减法的运算，并理解其⼏何意义；3、掌握向量数乘的运算，并理解其⼏何意义，以及两个向量共线的含义；4、了解向量线性运算的性质及其⼏何意义。
【⾃我测试】1、下列命题中（1）与⽅向相同（2）与⽅向相反（3）与有相等的模（4）若与垂直其中真命题的个数是 ( )A、0B、1C、2D、32、已知AD、BE是 ABC的边BC、AC上的中线，且，，则为 ( )A、 B、 C、 D、3、O是平⾯上⼀定点，A、B、C是平⾯上不共线的三个点，动点P满⾜，则P的轨迹⼀定经过 ABC的( )A、外⼼B、内⼼C、垂⼼D、重⼼4、若⾮零向量、满⾜| + |=| — |，则与所成⾓的⼤⼩为_________________。
5、已知点M是 ABC的重⼼，若，求的值。
6、 ABC的外接圆的圆⼼为O，两条边上的⾼的交点为H，，求实数的值。
2.2 平⾯向量的坐标运算【练习⽬标】1、知识与技能：了解平⾯向量的基本定理及其意义、掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰；理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件。
2、能⼒⽬标：会⽤坐标表⽰平⾯向量的加、减与数乘运算；3、情感⽬标：通过对平⾯向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学⽣的转化能⼒。
【⾃我测试】1、下列命题正确的是（）A、 B、C、 D、2、已知正⽅形ABCD的边长为1，，则 = （）A、0B、3C、D、3、已知，则共线的条件是（）A、 B、 C、 D、或4、如图，在中D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则（）A、 B、 C、 D、5、若，则实数p、q的值为（）A、 B、 C、 D、6、已知A、B、C是坐标平⾯上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，-1），则是（）A、等腰三⾓形B、等腰直⾓三⾓形C、直⾓三⾓形D、以上都不对2.3 平⾯向量的数量积及其运算【学习⽬标】1．知识与技能：（1）理解向量数量积的定义与性质；（2）理解⼀个向量在另⼀个向量上的投影的定义；（3）掌握向量数量积的运算律；（4）理解两个向量的夹⾓定义；【⾃我测试】1、已知，，和的夹⾓为，则为（）A． B． C． D．2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、在△ABC中，a,b,c分别为三个内⾓A,B,C所对的边，设向量，若 ,则⾓A的⼤⼩为（）A. B. C. D.4、设是任意的⾮零平⾯向量，且它们相互不共线，下列命题：①②③不与垂直④其中正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②④5、若向量与的夹⾓为，，则向量的模为（）A. B. C. D.6、为锐⾓三⾓形的充要条件是（）A． B．C． D．7、设是两个⾮零向量，是在的⽅向上的投影，⽽是在的⽅向上的投影，若与的夹⾓为钝⾓，则（）A． B． C． D．8、在中，若且，则的形状是（）A．等边三⾓形 B．直⾓三⾓形 C．等腰⾮等边三⾓形 D．三边均不相等的三⾓形9、若，则与的夹⾓为； = ．10、已知， ,如果与的夹⾓为锐⾓,则的取值范围是11、 = 时，与垂直12、设向量其中，则的值是．13、已知向量与的夹⾓为，，则 = ．14、已知，⑴求与的夹⾓；⑵求；⑶若，，求的⾯积．15、已知向量且．⑴求及；⑵若的最⼩值是，求的值．2.4平⾯向量的应⽤【学习⽬标】1.经历⽤向量⽅法解决某些简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题的过程，体会向量是⼀种处理⼏何问题、物理问题等的⼯具，发展运算能⼒2.运⽤向量的有关知识对物理中的问题进⾏相关分析和计算，并在这个过程中培养学⽣探究问题和解决问题的能⼒1．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a•b ＜0时，△ABC为（）Ａ．直⾓三⾓形Ｂ．锐⾓三⾓形Ｃ．钝⾓三⾓形Ｄ．等腰三⾓形2．若向量a、b、c满⾜a +b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a b+b c+c a等于（）Ａ． 11 Ｂ． 12 Ｃ． 13 Ｄ． 143．已知点，则∠BAC 的余弦值为．4．已知，且a 与b的夹⾓为钝⾓，则x的取值范围是．5．的顶点为，重⼼．求：（1）边上的中线长；（2）边上的⾼的长．6．已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．7．已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．8、已知O为△ABC所在平⾯内的⼀点，且满⾜，试判断△ABC的形状．9、已知，设C是直线OP上的⼀点，其中O为坐标原点．（1）求使取得最⼩值时向量的坐标；（2）当点C满⾜（1）时，求cos∠ACB．平⾯向量测试卷命题⼈：蓝承⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题4分，共32分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、设向量，，则下列结论中正确的是（）A、 B、C、与垂直D、∥2、在平⾏四边形ABCD中，AC为⼀条对⾓线，若， ,则（）A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4） D．（－3，－5）3、义平⾯向量之间的⼀种运算“ ”如下，对任意的，，令，下⾯说法错误的是（）A.若与共线，则B.C.对任意的，有D.4、已知向量a,b满⾜a•b＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a－b|＝（）A、8B、4C、2D、05、在中，，．若点满⾜，则（）A． B． C． D．6、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）A、8B、4C、 2D、17、中，点在上，平⽅．若，，，，则（）A、 B、 C、 D 、8、已知和点满⾜ .若存在实数使得成⽴，则 =（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 5⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．9、如图，在中，，，则 = 。
2013年上海高考数学(理科)试卷及答案
、填空题 1.计算：艸聽 2013年上海市秋季高考理科数学【解答】根据极限运算法则, lim n n 2013n 1332.设m R , 2 m m 2 (m 22 m m 2 0 【解答】 m2 m1 02 23.若x yx x5则x1 1 y y21）i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则 m【解答】 x 2 2xy 4.已知△ ABC 的内角A 、 2C 所对应边分别为a 、b 、C ,若3a2ab 3b 2 3c 20,则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示） 3a 2 2ab 3b 2 3c 2 0 c 2 a 2 b 2 fab ,cosC 3,C 1 arccos —.3 5•设常数5 若x 2 a 的二项展开式中xx 7项的系数为10，则 a【解答】T r 1C 5(x 2)5r (-)r ,2(5x r) r 7r 1，故 c 5a10 a 2 .6.方程J- 3x 1 1 -3x 1的实数解为 3 【解答】原方程整理后变为 32x3x 80 3x 4 x log 3 4 .7.在极坐标系中，曲线 coscos1的公共点到极点的距离为【解答】联立方程组得1)—，又0,故所求为口2 2&盒子中装有编号为 个球的编号之积为偶数的概率是 1, 3, 4,6, 7, 8, 9的九个球，从中任意取出两个，则这两 ____ （结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为13189•设AB 是椭圆 的长轴，点C 在 上，且 CBA -，若AB=4 , BC .2，贝U 的4两个焦点之间的距离为 __________2爲 1，于是可算得C(1,1)，得b b 2 4,2c 辽•3 310 •设非零常数d 是等差数列X i ,X 2,X 3,|||,X i9的公差，随机变量 等可能地取值X l ,X 2, X 3，川,为9 ,则方差D _________2a12•设a 为实常数，y f (x)是定义在R 上的奇函数，当x 0时，f(x) 9x7 ,x若f(x) a 1对一切X 0成立，则a 的取值范围为 ________________2aa 1 ;当 x 0 时，f(x) 9x 7 a 1x8 即 6|a| a 8，又 a 1，故 a72 213.在xOy 平面上，将两个半圆弧(x 1) y 1(x1)和(x 3)2 y 2 1(x 3)、两条直线y 1和y 1围成的封 闭图形记为D ，如图中阴影部分•记 D 绕y 轴旋转一周而成 的几何体为，过(0, y)(| y| 1)作的水平截面，所得截面面积为4『1 y 2 8 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆 柱和一个长方体，得出的体积值为 ____________【解答】根据提示，一个半径为 1，高为2的圆柱平放，一个高为 2，底面面积8的长方 体，这两个几何体与 放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故 它们的体积相等，即的体积值为12 22 8 2【解答】不妨设椭圆 2的标准方程为—4 【解答】EXio ,DJ ^9(92 82 川 12 °2 12M 92) V30|d| •11•若 cosxcosy sinxsiny ,sin2x sin2y 2 -，则 sin(x3y) ________【解答】cos(x y),sin2x 2sin2y2sin(x y)cos(x y)I ，故sin(xy)【解答】f (0)0 ,故0 a 1 1614•对区间I上有定义的函数g(x)，记g(l) ｛y|y g(x),x 1｝，已知定义域为[0,3]的函数y f (x)有反函数y f 1(x),且f 1([0,1)) [1,2), f 1((2, 4]) [0,1),若方程f (x) x 0有解x0，则x0 ____【解答】根据反函数定义，当x [0,1)时，f(x) (2,4] ；x [1,2)时，f(x) [0,1)，而y f(x)的定义域为[0,3]，故当x [2,3]时，f(x)的取值应在集合(,0) [1,2] (4,)，故若f(x。
2013学年高考文科数学年上海卷答案
广西省南宁市2013年初中毕业升学考试试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】在2-，1，5，0这四个数中，大小顺序为：2015-<<<，所以最大的数是5． 故选C ．【提示】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数进行比较即可【考点】有理数大小比较 2.【答案】A【解析】半圆绕它的直径旋转一周形成球体，故选：A ． 【提示】根据半圆绕它的直径旋转一周形成球即可得出答案 【考点】点、线、面、体 3.【答案】C【解析】将7900用科学记数法表示为：37.910⨯，故选：C ．【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1|10|a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数 【考点】用科学记数法表示较大的数 4.【答案】A【解析】将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段； 将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形； 将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形；由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，故得到的投影不可能是三角形． 故选：A ．【提示】根据平行投影的性质分别分析得出即可 【考点】平行投影故选D ．【提示】设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 【考点】概率公式 6.【答案】C【解析】由题意得：20x -=，且10x +≠，解得：2x =，故选：C ． 【提示】根据分式值为零的条件可得20x -=，再解方程即可 【考点】分式的值为零的条件故选B ．【提示】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可 【考点】圆锥的计算 426a a =，故本选项错误；故选B ．【提示】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可【考点】二次根式的加减法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方． 9.【答案】C【解析】设笑脸形的气球x 元一个，爱心形的气球y 元一个，由题意，得314318x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2216x y +=． 故选C ．【提示】要求出第三束气球的价格，先求出笑脸形和爱心形的气球的单价就可以求出结论 【考点】二元一次方程组的应用 10.【答案】D【解析】A ．观察图像，可知抛物线的对称轴为直线1x =，则图像关于直线1x =对称，正确，故本选项不符合题意；B ．观察图像，可知抛物线的顶点坐标为(1,4)-，又抛物线开口向上，所以函数2(0)ax bx c a ++≠的最小值是4-，正确，故本选项不符合题意；C ．由图像可知抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)-，而对称轴为直线1x =，所以抛物线与x 轴的另外一个交点为(3,0)，则1-和3是方程2(0)ax bx c a ++≠的两个根，正确，故本选项不符合题意；D ．由抛物线的对称轴为1x =，所以当1x <时，y 随x 的增大而减小，错误，故本选项符合题意． 故选D ．【提示】根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判断 【考点】二次函数的性质故选B ．【提示】先根据12BAC BOD ∠=∠可得出=BC BD ，故可得出AB CD ⊥，由垂径定理即可求出DE 的长，再根据勾股定理即可得出结论【考点】垂径定理，勾股定理，圆周角定理． 31422xx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得D ．【提示】先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A ．B 作AD x ⊥轴，BE x⊥轴，CF BE ⊥于点F ，再设33,2A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于3OA BC =，故可得出1,42B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据反比例函数中k xy =为定值求出x【考点】反比例函数综合题 二、填空题故答案为2x ≥【提示】根据二次根式有意义的条件，可得20x -≥，解不等式求范围 【考点】二次根式有意义的条件 14.【答案】105︒【解析】根据三角板的度数可得：145︒∠=，260︒∠=，124560105AOB ︒︒︒∠=∠+∠=+=，故答案为：105︒．【提示】根据三角板的度数可得：145︒∠=，260︒∠=，再根据角的和差关系可得12AOB ∠=∠+∠，进而算出角度． 【考点】角的计算 15.【答案】(5)(5)x x +-【解析】225(5)(5)x x x =+--．故答案为：(5)(5)x x +-【提示】直接利用平方差公式分解即可． 【考点】因式分解，运用公式法．16.【答案】86【解析】小海这个学期的体育综合成绩(8040%9060%)86=⨯+⨯=（分）． 故答案为86．【提示】利用加权平均数的公式直接计算．用80分，90分分别乘以它们的百分比，再求和即可． 【考点】加权平均数故答案为：1-．【提示】求出前几个数便不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用过2013除以3，根据商和余数的情况确定答案即可．【考点】规律型：数字的变化类18.4π，P与O 的切点为3060-=，所以30OBD ︒=，则tan301OD BD ︒==由于P 是等边π(3O =⨯1ABC S ∆=阴影9【提示】连接OB ，以及O e 与BC 的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求得O 的半径，然后作O 与小圆的公切线EF ，易知BEF △也是等边三角形，那么小圆的圆心也是等边BEF △的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积，从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积． 【考点】三角形的内切圆与内心 三、19.【答案】-【解析】原式11222=-⨯-=-【提示】分别进行零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值合并即可得出答案． 【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值21(1)11x x x x +-=-+ 1x =-，当2x =-时，原式=213=--=-．【提示】先算括号里面的，再把除式的分母分解因式，并把除法转化为乘法，然后进行约分，最后把x 的值代入进行计算即可得解 【考点】分式的化简求值 四、21.【答案】（1）（2）222A B C △如图所示，∵111A B C △放大为原来的2倍得到222A B C △，∴222111A B C A B C ∽△△，且相似比为12，∴2111222:1124A B C A B C S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△ 【解析】解：（1）△A 1B 1C 1如图所示；连接1AO 并延长至2A ，使212A O AO=，连接1B O 并延长至2B ，使212B O B O =，连接1C O 并延长至2C ，使212C O C O =，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答【考点】作图的旋转变换，轴对称变换． 22.【答案】（1）300（2）艺术的人数：30020%60⨯=名，其它的人数：30010%30⨯=名； 补全折线图如图；（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：4036048300︒︒⨯= （4）801800480300⨯= 【解析】解：（1）9030%300÷=（名），故，一共调查了300名学生；（2）艺术的人数：30020%60⨯=名，其它的人数：30010%30⨯=名； 补全折线图如图；（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：4036048300︒︒⨯=； （4）801800480300⨯=（名） 答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．【提示】用文学的人数除以所占的百分比计算，根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图，用体育所占的百分比乘以360︒，用总人数乘以科普所占的百分比． 【考点】折线统计图，用样本估计总体，扇形统计图 五、23.【答案】（1）证明见解析 （2）AE =【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC AD CD ===，B D ∠=∠，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE DF =，在ABE △和CDF △中，∵AB CDB D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE CDF △≌△；（2）∵60B ︒∠=，∴ABC △是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE BC ⊥，在RtA EB △中，60B ︒∠=，4AB =，sin604AE AEAB ︒==，解得AE = 【提示】首先根据菱形的性质，得到AB BC AD CD ===，B D ∠=∠，结合点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，即可证明出ABE CDF △≌△，首先证明出ABC △是等边三角形，结合题干条件在Rt AEB △中，60B ︒∠=，4AB =，即可求出AE 的长．【考点】菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质． 六、24.【答案】（1）A 、B 两地的距离为30千米（2）M 的坐标为2203⎛⎫⎪⎝⎭，表示23小时后两车相遇，此时距离B 地20千米（3）311x ≤≤或92x ≤≤时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系（3）设x 小时，时甲、乙两人相距3 km ，①若是相遇前，则1530303x x +=-，解得35x =，②若是相遇后，则1530303x x +=+，解得1115x =，③若是到达B 地前，则1530(1)3x x --=，解得95x =，所以，当311515x ≤≤或925x ≤≤时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系． 【提示】0x =时甲的y 值即为A 、B 两地的距离，根据图像求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M 的坐标以及实际意义，分相遇前和相遇后两种情况求出x 的值，再求出最后两人都到达B 地前两人相距3千米的时间，然后写出两个取值范围 【考点】一次函数的应用 七、25.【答案】（1）证明见解析 （2）1tan 2AE ABE AB ∠==（3）AP是O 的直径，∴的中位线，∴OD ∥是O 的切线；2）解：∵为矩形，而AE AO =，∴是O 的直径，∴tan EAP ∠=5=【提示】连结AD 、OD ，根据圆周角定理得90ADB ︒∠=，，由AB AC =，根据等腰三角形的直线得DC DB =，所以OD 为BAC △的中位线，则OD AC ∥，然后利用DE AC ⊥得到OD DE ⊥，这样根据切线的判定定理即可得到结论，易得四边形OAED 为正方形，然后根据正切的定义计算tan ABE ∠的值，由AB 是O 的直径得90AFB ︒∠=，再根据等角的余角相等得EAP ABF ∠=∠，则1t a n t a n 2E A P A B E ∠=∠=，在R t E A P △中，利用正切的定义可计算出EP ，然后利用勾股定理可计算出AP 【考点】切线的判定，圆周角定理，解直角三角形 八、26.【答案】（1）抛物线的解析式为2114y x =- （2）证明见解析（3）①1111122AM BN +=+= ②证明见解析②k 取任何值时，设点2111,41A x x -⎛⎫⎪⎝⎭，2221,41B x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222221212222222221212112448114444()4()1111()()()161414x x x x AM B x N x x x x x x x ++++++++++++=+==+，联立2114y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，消掉y 得，2440x kx -=-，由根与系数的关系得，124x x k +=，124x x =-，11 / 11所以，22221212122168)(x x x x x x k -+=+=+，221216x x =， ∴2222114(1688)64(1)+=116+(168)1664(1)k k AM BN k k +++==+++，∴无论k 取何值，11+AM BN的值都等于同一个常数1． 12x ，并求出222x ，然后代入进行计算即可得解．【考点】二次函数综合题。
2013年上海高考数学文科试卷带详解
2013年上海高考数学试题（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.不等式021xx <-的解为 . 【测量目标】分式不等式.【考查方式】给出分式不等式，求出满足不等式的解.【参考答案】(0，12) 【试题解析】因为021x x <-，可得(21)0x x -<，则102x <<，所以答案为(0，12) . 2.在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += . 【测量目标】等差数列的的基本性质.【考查方式】通过给出等差数列前四项和，利用等差数列的基本性质(当m n p q +=+时，m n p p a a a a +=+)，求出23a a +.【参考答案】15【试题解析】由题意可知， 数列{}n a 为等差数列，满足m n p q +=+时，m n p p a a a a +=+，因为1+4=2+3，则2314a a a a +=+15=，所以答案为15.3.设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = .【测量目标】复数的基本概念，纯虚数.【考查方式】考查了虚数为纯虚数时，虚部为不为零的实数，实部为零，来求出m . 【参考答案】2-【试题解析】根据题意得220m m +-=，得出1m =或2m =-，又因为210m -≠，则1m ≠±，所以1m =舍去，从而答案为2m =-.4.若2011x =，111x y=，则x y += . 【测量目标】行列式的运算.【考查方式】通过给出两个行列式，进行化简展开，求出x 和y. 【参考答案】3【试题解析】由题意知20x -=和1x y -=，可得2,1x y ==，所以容易得出3x y +=. 5.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c .若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）. 【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出三角形边的关系，转换成余弦定理，得出角C 的值.【试题解析】根据余弦定理将2220a ab b c ++-=变换为222cos 2a b c C ab+-==12-，所以角C 的大小为2π3. 6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 . 【测量目标】加权平均数.【考查方式】通过给出男生在年级学生所占的比例和男女学生分别的平均分数，求出年级学生的总量和平均分数. 【参考答案】78【试题解析】根据题意可知，首先设高一年级男女生的总人数为x ，由此可 得40%75(140%)8078x x x+-= .7.设常数a ∈R .若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = .【测量目标】二项式定理.【考查方式】已知二项式，通过二项式定理，求出其中的未知量. 【参考答案】2-【试题解析】根据题意可知，写出二项展开式的通项，从而确定7x 的系数.该二项展开式的通项为25103155C ()()C rrr r r r r a T x a x x--+==令1r =，得1725C T ax =，因为项的系数为-10,即15C 10a =，所以a2=-. 8.方程91331x x+=-的实数解为 . 【测量目标】指数方程的求解.【考查方式】通过给出函数的等式，利用换元法来求出x 的值. 【参考答案】3log 4【试题解析】根据函数的等式，通项得出38331x x x+=-232380x x ⇒--= ，令3x t =，可得2280t t --=，解得4t =或2t =-，因为3x 恒大于零，所以34x t ==，所以3log 4x =.9.若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= . 【测量目标】余弦函数的两角和与差，余弦函数的二倍角.【考查方式】通过给出余弦函数两角差的展开式，再利用二倍角的的恒等变换，从而求出cos(22)x y -的值.【试题解析】由1cos cos sin sin cos()3x y x y x y +=-=，()cos 22x y -=cos[2()]x y -= 22cos ()1x y --=79-. 10.已知圆柱Ω的母线长为l ,底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则lr= .【测量目标】空间异面直线的所成角.【考查方式】通过给出圆柱中的异面直线，根据直线空间中的平移，求出半径r .【试题解析】由图可知πtan6r ll r，==⇒= 11.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）. 【测量目标】古典概型，排列数的应用.【考查方式】给出不同的编号的球，利用排列求出概率. 【参考答案】57【试题解析】根据题意，从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个，共有27C 21=个.2个数之积为奇数⇒2个数分别为奇数，共有24C =6个.所以2个数之积为偶数的概率2427C 6511C 217P =-=-=.12.设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且π4CBA ∠=.若4AB =，BC =Γ的两个焦点之间的距离为 .【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】通过给出椭圆内三角形的边和角，椭圆的长轴，求出两个焦点的距离.【参考答案】3【试题解析】设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得2423b c ==， 13.设常数0a >，若291a x a x++…对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 .【测量目标】基本不等式的应用.【考查方式】给出含有未知数的不等式，利用均值不等式，求出a 的范围. 【参考答案】1[,)5+∞【试题解析】由题知，当0x >时，21()9615a f x x aa a x =+=+⇒厖?.14.已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c.若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k l a a c c ++的最小值是 .【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】已知向量的大小和方向，判断出()()i j k l a a c c ++最小值.【参考答案】-5【试题解析】当向量()()i j k l a a c c ++ 互为相反向量，且它们的模最大时，()()i j k la a c c ++最小.这时i a ,,,,j k l AC a AD c CA c CB ==== ()()i j k l a a c c ++=25i j a a -+=- .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.函数()()211f x x x =-…的反函数为()1fx -，则()12f -的值是 （ ）B.C.1+D.1【测量目标】反函数.【考查方式】给出函数的解析式，求出其反函数在对应点的值. 【参考答案】A【试题解析】由反函数的定义可知，x …12,2()1f x x x ==-⇒=116.设常数a ∈R ，集合()(){}|10A x x x a =--…，{}|1B x x a =-….若A B =R ，则a 的取值范围为 （ ） A.(),2-∞B.(],2-∞C.()2,+∞D.[)2,+∞【测量目标】集合的基本运算（并集）.【考查方式】结合不等式的性质，通过集合的并集运算，求出a 取值范围. 【参考答案】B【试题解析】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ⎧⎨-⎩……或11a a a ⎧⎨-⎩……，解答选项为B ．17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出一句逻辑用语，判断出结果. 【参考答案】A【试题解析】根据题意，得出结果为充分条件.18.记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为()1,2,n n Ω= ，当点(),x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞= （ ）A.0B.41C.2D.【测量目标】函数的极限和函数的最值.【考查方式】给出含有未知数的椭圆方程，椭圆上的点，还有每个点横坐标和与纵坐标和的最大值，求出n M 的极限.. 【参考答案】D【试题解析】椭圆方程2222221lim 1.14414444n x ny x y x y n n→∞+=⇒+=+=++（步骤1）22144x y u x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立⇒2222()42240x u x x ux u +-=⇒-+-=,（步骤2）22=48(4)0.u u ∆--…⇒222(4)u u --0… （步骤3）⇒[u ∈-所以x +y 的最大值为（步骤4）三.解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.【测量目标】三棱锥的表面积与体积.【考查方式】给出三棱锥的边长和高，求出三棱锥的表面积与体积. 【试题解析】O ABC -三棱锥的体积11133O ABC ABC V S -=== △.1）设O在面ABC中的射影为Q,BC的中点为E,则OQ=1，QE=3,在Rt OQE△中22222413OE OQ EQ OE=+⇒+=⇒=，2）三棱锥O ABC-的表面积332O ABC OBC ABCBCS S S OE-=+=+=△△.3）所以，三棱锥O ABC-的体积3O ABCV-=，表面积O ABCS-=.4）20.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.甲厂以x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x剟），每小时可获得的利润是3100(51)xx+-元.（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为213100(5)ax x+-；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润.【测量目标】函数模型及其应用.【考查方式】通过题意，写给出函数的模型，求出最大的利润.【试题解析】（1）每小时生产x克产品，获利310051xx⎛⎫+-⎪⎝⎭，生产a千克该产品用时间为ax，所获利润为2313100511005ax ax x x x⎛⎫⎛⎫+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g.（步骤1）（2）生产900千克该产品，所获利润为213900005x x⎛⎫+-⎪⎝⎭21161900003612x⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以6x=，最大利润为619000045750012⨯=元.（步骤2）21.（本题满分14分）本题共有2个小题.第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x xω=，其中常数0ω>.（1）令1ω=，判断函数π()()()2F x f x f x=++的奇偶性并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x=的图像向左平移π6个单位，再往上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像.对任意的a ∈R ，求()y g x =在区间[,10π]a a +上零点个数的所有可能值.【测量目标】三角函数的图像和性质，抽象函数的奇偶性，三角函数图象的变换.【考查方式】给出了函数的解析式，判断出抽象函数的奇偶性，再求出函数的图像变换后的某个区间的零点个数.【试题解析】．法一：解：（1）ππ()2sin 2sin()2sin 2cos )24F x x x x x x =++=+=+ ()F x 是非奇函数非偶函数.(步骤1)∵ππ()0,()44F F -==ππππ()(),()()4444F F F F -≠-≠- ∴函数π()()()2F x f x f x =++是既不是奇函数也不是偶函数.（步骤2）（2）2ω=时，()2sin 2f x x =，ππ()2sin 2()12sin(2)163g x x x =++=++，其最小正周期πT =.(步骤3)由π2sin(2)103x ++=，得π1sin(2)32x +=-，∴ππ2π(1),36k x k k +=--∈g Z ，即πππ(1),2126k k x k g =---∈Z 区间[],10πa a +的长度为10个周期，若零点不在区间的端点，则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点，则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点，其它区间仍是2个零点；（步骤4）故当πππ(1),2126k k a k =---∈Ζg 时，21个，否则20个. （步骤5） 法二：【解析】 （1）ππ1()2sin ,()()()2sin 2sin()22f x x F x f x f x x x ω时，===++=++π2sin 2cos ).4x x x =+=+（步骤1）周期2π2π,T y x ω===是奇函数，∴图像左移π4后得π())4f x x ，=+既不是奇函数，也不是偶函数.（步骤2） （2）ω=2，将函数y =f (x )的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y =g (x )ππ()2sin 2,()()12sin 2()1,66f x xg x f x x ==-+=-+最小正周期πT =.3（步骤） 所以()y g x =在区间[,10π]a a +、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,否则21个. （步骤4）22.（本题满分16分）本题共有3个小题, 第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知函数()2||f x x =-.无穷数列{}n a 满足*1(),n n a f a n +=∈N .（1）若10a =，求2a ，3a ，4a ；（2）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由.【测量目标】函数与数列的关系，等比数列的性质，等差数列的性质.【考查方式】已知函数的解析式和数列和函数的关系，首项条件不同时，求出各个数列的项. 【试题解析】（1）由111234()2||,02,0,2n n n n a f a a a a a a a ++=⇒=-=⇒===.（步骤1）（2）123,,a a a Q 成等比2223221212||(2||)a a a a a a a ，⇒==-⇒=-且212||a a =- 22111111(2||)[2|2|||](2)[2|2|]a a a a a a ⇒-=--⇒-=--.（步骤2）分情况讨论如何： 当120a …-时，[]22111111(2)2212a a a a a a （），且-=--=⇒=….（步骤3）当120a -<时，[]222111111111(2)22(4)2840442a a a a a a a a a （）-=--=-⇒-+=⇒-+=22111112840(2)222a a a a a …⇒-+=⇒-=⇒=+.综上11a =，，或12a =（步骤4）（3）假设存在公差为d 的等差数列{}n a 满足题意，则1*,2||n n n n a a a d N ：+∀∈=-=+.||2n n a a d +=-⇒讨论如下:当n a m =即数列{}n a 为常数数列时10,2211n n d a a a ==⇒=⇒=，.（步骤5） 当数列{}n a 不是常数数列时02020,n n a d d a ，⇒<-=⇒=⇒∃>所以不满足题意. 综上，存在11a =的等差数列{}n a ，且1n a =满足题意.（步骤6）23.（本题满分18分）本题共有3个小题.第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如图，已知双曲线1C ：2212x y -=，曲线2C ：||||1y x =+.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“1C -2C 型点”.（1）在正确证明1C 的左焦点是“1C -2C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“1C -2C 型点； （3）求证：圆2212x y +=内的点都不是“1C -2C 型点”. 【测量目标】双曲线的简单几何性质及其与直线的关系【考查方式】给出双曲线的方程和直线的方程，利用双曲线的几何性质它们的相互关系，求出相关问题.【试题解答】由1C 方程2212x y -=可知2222212,1,3,(a b c a b F ===+=：, 显然，由双曲线1C 的几何图像性质可知，过相交的任意直线都与曲线11C F .（步骤1） 在曲线2C 图像上取点P (0,1)则直线均有交点、与两曲线211C C PF .这时直线方程为y x =+⇒0x -=，所以，C 1的左焦点是“C 1-C 2型点”.过该焦点的一条直线方程是033=--x y .（步骤2）（2）证明“若直线y kx =与2C 有公共点，则k ＞1”双曲线1C 的渐近线.b y x x a =±=： 若直线y kx =与双曲线1C 有交点，则k A （∈=. 若直线y kx =与曲线2C 有交点，则11k B （-，-）（，+）U ∈=∞∞.所以，若直线y kx = 与2C 有公共点，则k ＞1 . （证毕）（步骤3）,A B Q I =∅∴直线y kx =与曲线1C 、2C 不能同时有公共交点.所以原点不是“C 1-C 2型点”；（步骤4） （3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与12,C C 都有公共点，显然l 不与x 轴垂直， 故可设l ：.y kx b =+若k 1…，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线y =1kx ±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与2C 无公共点，矛盾，所以1k >.因为l 与1C 有公共点，所以方程组2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩有实数解， 得222(12)4220k x kbx b ----=. 因为1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-…， 即222 1.b k -…因为圆O 的圆心（0，0）到直线l的距离d =所以2221,12b d k =<+从而222121,2k b k +>-…得21,k <与1k >矛盾. 因此，圆2212x y +=内的点不是“12C C -”型点.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 文数(上海卷)解析版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：●如果事件A，B互斥，那么P（A B）=P（A）+P（B）．●如果事件A，B相互独立，那么P（A·B）=P（A）P（B）．●如果在1次试验中某事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P n（k）=C knp k（1－P）n－k．●柱体体积公式：V=sh，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高，●锥体体积公式：V=13sh，其中s表示锥体底面积,h表示锥体的高．●球体体积公式：V=343R π，其中R 表示球体的半径．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式021xx <-的解为 ．2．在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．3．设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ．4．若2011x =，111x y=，则x y += ．【答案】3【解析】易得3x y +=【考点定位】考查行列式的运算，属容易题。
5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ．若2220a ab b c ++-=，则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．7．设常数a ∈R ．若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为-10，则a = ．8．方程91331xx+=-的实数解为 ．9．若1cos cos sin sin 3x y x y +=，则()cos 22x y -= ．【答案】79-【解析】由题意知：1cos()3x y -=∴()()()27cos 22cos 2()2cos 19x y x y x y -=-=--=-【考点定位】考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式及计算，属中档题。