椭圆及其标准方程(第一课时)(课堂PPT)
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椭圆及其标准方程(一)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a 2 b2 4
解得a 2 10,b2 6.
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
练习（第49页）
1．如果椭圆
+
= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，则点 P 到另一
个焦点的距离为
.
【详解】解：根据椭圆的定义
又椭圆
∴
+
+
+
= ，
是
回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
建立适当的平面直角坐标系
设点
列式
设曲线上任意一点M的坐标为(x, y)
类比这个方法，
我们开始求椭圆
找出限制条件P(M)，并列出几何等式
的标准方程
代换
把坐标代入限制条件P(M) 列出方程
化简
化简方程
新知探究
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单?
2
a
b
2
2
•F
2
O
x
•F
1
椭圆的标准方程:
标准方程
x2
y2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y
y
不
同
点
图
形
•
F1
O
M
•
F2
•F2
O
x
x
•F1
焦点坐标
相
同
点
M
F1 (c,0), F2 (c,0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
解得a 2 10,b2 6.
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
练习（第49页）
1．如果椭圆
+
= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，则点 P 到另一
个焦点的距离为
.
【详解】解：根据椭圆的定义
又椭圆
∴
+
+
+
= ，
是
回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
建立适当的平面直角坐标系
设点
列式
设曲线上任意一点M的坐标为(x, y)
类比这个方法，
我们开始求椭圆
找出限制条件P(M)，并列出几何等式
的标准方程
代换
把坐标代入限制条件P(M) 列出方程
化简
化简方程
新知探究
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单?
2
a
b
2
2
•F
2
O
x
•F
1
椭圆的标准方程:
标准方程
x2
y2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y
y
不
同
点
图
形
•
F1
O
M
•
F2
•F2
O
x
x
•F1
焦点坐标
相
同
点
M
F1 (c,0), F2 (c,0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
,, 2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
高中数学选择性必修一课件：椭圆及其标准方程(第1课时)
4．椭圆方程中的 a，b 以及参数 c 有什么意义，它们满足什么关系？ 答：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的 一半，可借助图形(如图)帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个 直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距，a， b，c 始终满足关系式 a2＝b2＋c2.
2．求椭圆的标准方程时，应先判断焦点位置再设出标准方程，若不能确定 焦点的位置，可分两类设出椭圆方程或设两种椭圆方程的统一形式．
3．两种椭圆方程的统一形式为：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)或xm2＋yn2＝ 1(m>0，n>0，m≠n)．
课后巩固
1．设定点 F1(0，－3)，F2(0，3)，动点 P 满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 方 法 一 ： 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ （4－0）2＋（3 2＋2）2 ＋ （4－0）2＋（3 2－2）2＝6＋ 2＋6－ 2＝12，解得 a＝6. 又 c＝2，所以 b＝ a2－c2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为ay22＋ bx22＝1(a>b>0)．
(2)如果椭圆的中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上， 那么椭圆方程可以设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解．
3．怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 答：看 x2，y2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的 分母是 a2，较小的分母是 b2.如果 x2 的分母大，那么焦点就在 x 轴上；如果 y2 的 分母大，那么焦点就在 y 轴上．
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
椭圆及其标准方程(1)PPT课件
由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距 为 8 的椭圆．其标准方程为2x52 ＋y92＝1 或2y52 ＋x92＝1.
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
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课题：《椭圆及其标准方程》
高二数学组
1
（一） 认识椭圆
生活中 的椭圆
2
尝试实验，形成概念
动手画：
❖ [1]取一条细绳， ❖ [2]把它的两端固定在
板上的两点F1、F2 ❖ [3]用铅笔尖（M）把
细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
观察做图过程：[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定，所以 M 到 两个定点的距离和也固定。
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
5
6
7
理解定义的 内涵和外延
一定要准确把握奥！
注：定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2
所成曲线是椭圆 所成曲线是线段 无法构成图形
8
三、针对性训练
（一）补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则 动点P的轨迹为（ A ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P
3 ，5 2 2
解：(法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
(ab0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点P 3 ，5
图形
F1 o
F2 x
o
x
方程 焦点
x2 a2
by22
1ab0
F(±c，0)
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(0，±c)
a,b,c之间 c2=a2-b2 ab0 ,ac0 ,b 和 c大小不确定．
的关系
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
求法： 一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值. 14
（四）尝试应用
变式：
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则 动点P的轨迹为（ B ） (2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则 动点P的轨迹为（ D ）
9
求曲线方程的一般步骤？
建系 设点
列式
代坐标
化简、证明
10
方程推导：
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 y 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a
（想一想：下面怎样化简？）
M F2 x
11
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
则 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
整a 理 2c 你 能x 得 a 在(x 图 中c)2 找 出y2
怎 样 判 断 a ,b ,c大 小 关 系 ？
两边 表示a a4 ，平 2 ca ，2 ca 方 x 2c 2 x 2 c 2 ，得 a 2 x 2 2 ： a 2 c x a 2 c 2 a 2y 2
的线段吗？
整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
y
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，
P M(x,y)
两边同除以a2(a2-c2)得:
x2 a2
y2 a2 c2
1
①
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
F1(-c,0) O
F2(c,0) x
可 |P 1 | 得 |P F 2 | a F ,|O 1 | |O F 2 | c , F |PO| a2c2
令 b|PO | a2c2
那么①式
x2 y2 a2 b2 1
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 O
由椭圆的定义，|M 1| F |M 2| F 2 a
代入坐标 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
M
F1
F2
3
4
二、概念透析
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距。
F1
M F2
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还 可以用集合语言表示为：
2.方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4
变式：
（1）方程
x2
y2
1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
5 4k
取值范围. k>5/4
（2）方程 x2 y2 1表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆， 5 4k
求k的值. k＝1/4
16
例1.已知椭圆方程为 x 2 y 2 1 , 25 16
25 9
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 1 25 9
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
焦点的距离和等于10，结果如何？
x2 y2
当焦点在X轴时，方程为：
1 25 9
当焦点在Y轴时，方程为： y2 x2 1
18
25 9
（五）典例分析
1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点
在哪个坐标轴上？并求a,b,c及焦点坐标
(1) x2 y2 1 25 16
(2)9x22y 5 2225 0
(3)3x22y21
(4)m x2 2 m 2 y2 11(其m 中 不等 0 ） 于
注意： 分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。
15
(a>b>0)
12
y
即
x2 a2
y2 a2 c2
1
ba
oc
观察左图， 你能从中找出表示
x c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令|OP | a2c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1（ ab0）
13
椭圆的标准方程
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2
M
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，
则点P到右焦点的距离是 4 (5)若CD为过左焦点F1的弦，
Байду номын сангаас
；
C
则∆CF1F2的周长为 16 ，
F1
F2
∆F2CD的周长为 20 。 D
17
2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
两焦点距离的和等于10； x 2 y 2 1
高二数学组
1
（一） 认识椭圆
生活中 的椭圆
2
尝试实验，形成概念
动手画：
❖ [1]取一条细绳， ❖ [2]把它的两端固定在
板上的两点F1、F2 ❖ [3]用铅笔尖（M）把
细绳拉紧，在板上慢 慢移动看看画出的图 形
观察做图过程：[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定，所以 M 到 两个定点的距离和也固定。
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
5
6
7
理解定义的 内涵和外延
一定要准确把握奥！
注：定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2 定长 2a F 1 F 2
所成曲线是椭圆 所成曲线是线段 无法构成图形
8
三、针对性训练
（一）补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则 动点P的轨迹为（ A ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P
3 ，5 2 2
解：(法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 a2
x2 b2
1
(ab0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点P 3 ，5
图形
F1 o
F2 x
o
x
方程 焦点
x2 a2
by22
1ab0
F(±c，0)
F1
y2 a2
bx22
1ab0
F(0，±c)
a,b,c之间 c2=a2-b2 ab0 ,ac0 ,b 和 c大小不确定．
的关系
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
求法： 一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值. 14
（四）尝试应用
变式：
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则 动点P的轨迹为（ B ） (2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则 动点P的轨迹为（ D ）
9
求曲线方程的一般步骤？
建系 设点
列式
代坐标
化简、证明
10
方程推导：
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 y 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
得( 方 x c )2 程 y 2(x c )2 y 2 2 a
（想一想：下面怎样化简？）
M F2 x
11
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
则 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
整a 理 2c 你 能x 得 a 在(x 图 中c)2 找 出y2
怎 样 判 断 a ,b ,c大 小 关 系 ？
两边 表示a a4 ，平 2 ca ，2 ca 方 x 2c 2 x 2 c 2 ，得 a 2 x 2 2 ： a 2 c x a 2 c 2 a 2y 2
的线段吗？
整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
y
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，
P M(x,y)
两边同除以a2(a2-c2)得:
x2 a2
y2 a2 c2
1
①
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
F1(-c,0) O
F2(c,0) x
可 |P 1 | 得 |P F 2 | a F ,|O 1 | |O F 2 | c , F |PO| a2c2
令 b|PO | a2c2
那么①式
x2 y2 a2 b2 1
设M(x, y)是椭圆上任意一
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 O
由椭圆的定义，|M 1| F |M 2| F 2 a
代入坐标 |M 1 |( F x c )2 y 2 ,|M 2 |F (x c )2 y 2
M
F1
F2
3
4
二、概念透析
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距。
F1
M F2
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还 可以用集合语言表示为：
2.方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4
变式：
（1）方程
x2
y2
1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
5 4k
取值范围. k>5/4
（2）方程 x2 y2 1表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆， 5 4k
求k的值. k＝1/4
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例1.已知椭圆方程为 x 2 y 2 1 , 25 16
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变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 1 25 9
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
焦点的距离和等于10，结果如何？
x2 y2
当焦点在X轴时，方程为：
1 25 9
当焦点在Y轴时，方程为： y2 x2 1
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（五）典例分析
1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点
在哪个坐标轴上？并求a,b,c及焦点坐标
(1) x2 y2 1 25 16
(2)9x22y 5 2225 0
(3)3x22y21
(4)m x2 2 m 2 y2 11(其m 中 不等 0 ） 于
注意： 分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。
15
(a>b>0)
12
y
即
x2 a2
y2 a2 c2
1
ba
oc
观察左图， 你能从中找出表示
x c 、 a 的线段吗？
a2-c2 有什么几何意义？
令|OP | a2c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1（ ab0）
13
椭圆的标准方程
定义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2
M
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，
则点P到右焦点的距离是 4 (5)若CD为过左焦点F1的弦，
Байду номын сангаас
；
C
则∆CF1F2的周长为 16 ，
F1
F2
∆F2CD的周长为 20 。 D
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2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
两焦点距离的和等于10； x 2 y 2 1