2017中考数学培优卷(一)

2017思考乐·优学中考数学培优卷（一）

满分：100分 考试时间：90分钟

第一部分（共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．在﹣2、+

、﹣3、2、0、4、5、﹣1中，负数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．若两个非零的有理数a 、b ，满足：|a|=a ，|b|=﹣b ，a+b ＜0，则在数轴上表示数a 、b 的点正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．实数a 、b 满足

+4a 2

+4ab+b 2

=0，则b a

的值为（ ）

A ．2

B ．

C ．﹣2

D ．﹣

4．已知x ﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y 的值是（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．6 D ．9

5．下列分式中，最简分式是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

6．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．若关于x 的方程x 2

+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣或 D ．1

8．A ，B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm/h ，则根据题意可列方程为（ ） A ．﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣

=1

D ．

﹣

=1

9．如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为（ ）

A ．50°

B ．51°

C ．51.5°

D ．52.5°

10．一次函数y=ax+b 和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（ ）

A ．第504个正方形的左下角

B ．第504个正方形的右下角

C ．第505个正方形的左上角

D ．第505个正方形的右下角

12．已知四边形ABCD 为矩形，延长CB 到E ，使CE=CA ，连接AE ，F 为AE 的中点，连接BF ，DF ，DF 交AB 于点G ，下列结论：

（1）BF ⊥DF ； （2）S △BDG =S △ADF ； （3）EF 2

=FG ?FD ；

（4）=

其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

第二部分（共64分）

二、填空题（每题3分，共12分）

学校 姓名 年级

密 封 线 内 不 要 答 题 密 封

线

13．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是．

14．不透明袋子中装有6个球，其中有1个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．

15．如图，点A为函数y=（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为．

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC n B n的对角线交点的坐标为．

三、解答题（本大题共8题，共52分）

17．计算：3tan30°﹣+（2016+π）0+（﹣）﹣2．

18．先化简：（2x﹣）÷，然后从0，1，﹣2中选择一个适当的数作为x的值代入求值．19．根据频数分布表或频数分布直方图求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，请你依据以上知识，解决下面的实际问题．

为了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，并按载客量的多少分成A，B，C，D四组，得到如下统计图：

（1）求A组对应扇形圆心角的度数，并写出这天载客量的中位数所在的组；

（2）求这天5路公共汽车平均每班的载客量；

（3）如果一个月按30天计算，请估计5路公共汽车一个月的总载客量，并把结果用科学记数法表示出来．

20．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

21．某职业高中机电班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人．

（1）该班男生和女生各有多少人？

（2）某工厂决定到该班招录30名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个，那么至少要招录多少名男学生？

22．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC=3：5，AB=8．

（1）求⊙O的半径；

（2）点E为圆上一点，∠ECD=15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．

23．已知抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．

（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；

（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．

2017思考乐·优学中考数学培优卷（一）

参考答案与试题解析

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 C B B A A D C A D C D C

11．【解答】解：∵2016÷4=504，

又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，

∴第504个正方形中最大的数是2015，

∴数2016在第505个正方形的右下角，

故选D．

12．【解答】解：如图1，连接CF，

设AC与BD的交点为点O，

∵点F是AE中点，

∴AF=EF，

∵CE=CA，

∴CF⊥AE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∴OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵点F是Rt△ABE斜边上的中点，

∴AF=BF，

∴∠BAF=∠FBA，

∴∠FAC=∠FBD，

在△BDF和△ACF中，，

∴△BDF≌△ACF，∴∠BFD=∠AFC=90°，

∴BF⊥DF，所以①正确；

过点F作FH⊥AD交DA的延长线于点H，在Rt△AFH中，FH＜AF，

在Rt△BFG中，BG＞BF，

∵AF=BF，

∴BG＞FH，

∵S△ADF=FH×AD，S△BDG=BG×AD，

∴S△BDG＞S△ADF，所以②错误；

∵∠ABF+∠BGF=∠ADG+∠AGD=90°，

∴∠ABF=∠ADG，

∵∠BAF=∠FBA，

∴∠BAF=∠ADG，

∵∠AFG=∠DFA，

∴△AFG∽△DFA，

∴，

∴AF2=FG?FD，

∵EF=AF，

∴EF2=FG?FD，所以③正确；

∵BF=EF，

∴BF2=FG?FD，

∴，

∵∠BFG=∠DFB，

∴△BFG∽△DFB，

∴∠ABF=∠BDF，

∵由③知，∠ABF=∠ADF

∴∠ADF=∠BDF，

∴（利用角平分线定理），

∵BD=AC，AD=BC，

∴，所以④正确，故选C．

二、填空题（每题3分，共12分）

13．m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）14．15．616．（﹣，）16．【解答】解：∵在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的倍，

∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，

∵OA=2，OC=1．

∵点B的坐标为（﹣2，1），

∴点B1的坐标为（﹣2×，1×），

∵将矩形A1OC1B1以原点O 为位似中心放大倍，得到矩形A 2OC 2B 2…，

∴B2（﹣2××，1××），

∴B n（﹣2×，1×），

∵矩形A n OC n B n的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，），

三、解答题（共52分）

17.【解答】解：原式=3×﹣+1+4=5．

18．【解答】解：原式=（﹣）÷

=?

=，

当x=﹣2时，原式==．

19．【解答】解：（1）A组对应扇形圆心角度数为：360°×=72°；

这天载客量的中位数在B组；

（2）各组组中值为：A：=10，B：=30；C：=50；D ：=70；

==38（人），

答：这天5路公共汽车平均每班的载客量是38人；（3）可以估计，一个月的总载客量约为38×50×30=57000=5.7×104（人），答：5路公共汽车一个月的总载客量约为5.7×104人．

20．【解答】解：设DH=x米，

∵∠CDH=60°，∠H=90°，

∴CH=DH?tan60°=x，

∴BH=BC+CH=2+x，

∵∠A=30°，

∴AH=BH=2+3x，

∵AH=AD+DH，

∴2+3x=20+x，

解得：x=10﹣，

∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．

答：立柱BH的长约为16.3米．

21．【解答】解：（1）设该班男生有x人，女生有y人，

依题意得：，解得：．

∴该班男生有27人，女生有15人．

（2）设招录的男生为m名，则招录的女生为（30﹣m）名，

依题意得：50m+45（30﹣m）≥1460，即5m+1350≥1460，

解得：m≥22，

答：工厂在该班至少要招录22名男生．

22．【解答】解：（1）连接AO，如右图1所示，

∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB=8，

∴AG==4，

∵OG：OC=3：5，AB⊥CD，垂足为G，

∴设⊙O的半径为5k，则OG=3k，

∴（3k）2+42=（5k）2，

解得，k=1或k=﹣1（舍去），

∴5k=5，

即⊙O的半径是5；

（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，

∵∠ECD=15°，由对称性可知，∠DCM=30°，S阴影=S弓形CBM，

连接OM，则∠MOD=60°，

∴∠MOC=120°，

过点M作MN⊥CD于点N，

∴MN=MO?sin60°=5×，

∴S阴影=S扇形OMC﹣S△OMC ==，

即图中阴影部分的面积是：．

23.【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0），∴解得，

∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+x+，

∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+2，

∴顶点C的坐标为（1，2）；

（2）如图1，作CH⊥x轴于H，

∵A（﹣1，0），C（1，2），

∴AH=CH=2，

∴∠CAB=∠ACH=45°，

∴直线AC的解析式为y=x+1，

∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°，

∴∠DEF=∠ACH，

∴EF∥y轴，

∵DE=AC=2，

∴EF=4，设F（m ，﹣m2+m+），则E（m，m+1），

∴（m+1）﹣（﹣m2+m+）=4，

解得m=3（舍）或m=﹣3，

∴F（﹣3，﹣6）；

（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

如图2，∵DF⊥AC，BC⊥AC，

∴DF∥BC，

∵DF=BC=AC，

∴四边形DFBC是矩形，

作EG⊥AC，交BF于G，

∴EG=BC=AC=2，

∵EN⊥EM，

∴∠MEN=90°，

∵∠CEG=90°，

∴∠CEM=∠NEG，

∴△ENG∽△EMC，

∴=，

∵F（﹣3，﹣6），EF=4，

∴E（﹣3，﹣2），

∵C（1，2），

∴EC==4，

∴==2，

∴tan∠ENM==2；

∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；

②∵直角三角形EMN中，PE=MN，直角三角形BMN中，PB=MN，∴PE=PB，

∴点P在EB的垂直平分线上，

∴点P经过的路径是线段，如图3，

∵△EGN∽△ECB，

∴=，

∵EC=4，EG=BC=2，

∴EB=2，

∴=，

∴EN=，

∵P1P2是△BEN的中位线，

∴P1P2=EN=；

∴点M到达点C时，点P经过的路线长为．