2017-2018学年高一数学(必修二)同步质量检测卷：直线的一般式方程
2017-2018学年人教A版必修2 第三章直线与方程 单元测试
本章测评(用时90分钟,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.（经典回放）若直线x=1的倾斜角为α，则α( )A.等于0°B.等于45°C.等于90°D.不存在 解析:直线x=1是平行于y 轴的直线，故倾斜角为90°.答案：C2.直线（23-）x+y=3和直线x+（32-）y=2的位置关系是( )A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合解析:两条直线的斜率分别为32-和23231+=-，两斜率之积为)23()32(+⨯-=-1,故两直线垂直.答案：B3.点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是( ) A.21 B.23 C.22 D.223 解析:点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离d=223)1(1|1)1(1|22=-++--. 答案：D4.已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为( )A.0B.-8C.2D.10解析:直线2x+y-1=0的斜率为-2，A 、B 两点连线的斜率为mm ---24，由两直线平行可得mm ---24=-2⇒m=-8. 答案：B5.过点（-1，3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0解析:与直线x-2y+3=0垂直的直线可设为2x+y+m=0，代入点（-1，3）得m=-1，即所求直线方程为2x+y-1=0.答案：A6.直线l 经过点(0,-1),且通过第二、三、四象限，并与坐标轴围成三角形面积为2的直线方程为( )A.x+y+4=0B.x+4y+4=0C.4x+y+16=0D.x+y-4=0解析:由直线l 经过点(0,-1)知：直线l 在y 轴上的截距为-1，由题意知直线l 在x 轴上的截距也为负值，设与x 轴的交点为（-a,0）(a ＞0),则根据面积公式得a=4,即直线方程为044114=++⇒=-+-y x y x .答案：B7.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x-y+1=0，则直线PB 的方程是( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0解析:由|PA|=|PB|知点P 在线段AB 的垂直平分线上，又直线PA 的方程为x-y+1=0知：A(-1，0)，得B （5，0）、P （2,3），即由两点式方程得PB 的方程为⇒--=--525030x y x+y-5=0. 答案：A8.若点（5，b ）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b 的值为( )A.5 B ．-5 C ．4 D ．-4解析:两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间的距离为d=1095|215|=-. 要使点（5，b ）在两条平行线之间有该点到两直线的距离均小于109， 即⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-.29|420|,9|831|1095|420|10910|831|b b b b 代入答案验证，得b=4.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）9.已知过两点(5,m)和(m,8)的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是______________. 解析:根据两点间连线的斜率公式，得k=⇒>--058mm (m-8)(5-m)＞0.解得5＜m ＜8. 答案：(5,8)10.已知直线l 被坐标轴截得线段中点是(1,-3)，则直线l 的方程是__________________. 解析:设直线l 与两坐标轴的交点分别是（a,0）、(0,b),则根据中点坐标公式，得a=2,b=-6.由截距式直线方程，得直线l 的方程是⇒=-+162y x 3x-y-6=0. 答案：3x-y-6=011.无论k 取何值，直线（2k+1）x-（k-2）y-（k+8）=0恒过点_____________.解析:（2k+1）x-（k-2）y-（k+8）=0变形为x+2y-8+（2x-y-1）k=0,因此直线恒过直线x+2y-8=0和2x-y-1=0的交点，解方程组⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=--=-+,3,2012,082y x y x y x 得即原直线恒过点（2，3）.答案：（2，3）12.若A(2,-3)是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点,则相异两点(a 1,b 1)和(a 2,b 2)所确定的直线的方程是__________________.解析:由题意知：2a 1-3b 1+1=0，2a 2-3b 2+1=0，即点(a 1，b 1)和点(a 2，b 2)都在直线2x-3y+1=0上，根据两点确定一条直线得：相异两点(a 1,b 1)和(a 2,b 2)所确定的直线的方程是2x-3y+1=0.答案：2x-3y+1=0三、解答题（本大题共4小题，共44分）13.（10分）求点P(-7,1)关于直线l :2x-7-5=0的对称点Q 的坐标.解：设点Q 的坐标为(x 0,y 0)，∵PQ ⊥l ，∴k l ·k PQ =-1. ∴7100+-x y ×2=-1，即x 0+2y 0=-5. ① 设线段PQ 的中点为M ，则M(21,2700+-y x )，∵点M 在直线l 上，∴2127200+--∙y x -5=0，即2x 0-y 0-25=0. ② 联立①②，解得⎩⎨⎧-==.7,900y x ∴点Q 的坐标为(9,-7).14.（10分）已知两定点A （2，5），B （-2，1），M （在第一象限）和N 是过原点的直线l 上的两个动点，且|MN|=22，l ∥AB ，如果直线AM 和BN 的交点C 在y 轴上，求点C 的坐标.解：由点A 、B 的坐标并利用斜率公式得k AB =1,于是k 1=1，从而l 的方程为y=x ，设M （a ，a ）（a ＞0），N （b ，b ），由｜MN ｜=22，得22)()(22=-+-b a b a ，故|a-b|=2，直线AM 的方程为y-5=25--a a (x-2)，令x=0，则得C 的坐标为(0,23-a a )， 直线BN 的方程为y-1=21+-b b (x+2)，令x=0，则得C 的坐标为(0,23+b b )，故2323+=-b b a a ，化简得a=-b ，将其代入|a-b|=2，并注意到a ＞0，得a=1，b=-1,∴C(0,-3).15.（12分）过A(-4,0)、B(0,-3)两点作两条平行线，若这两条直线各自绕A 、B 旋转，使它们之间的距离取最大值，求此最大值?解：当两直线的斜率不存在时，方程分别为x=-4,x=0,它们之间的距离d=4；当两直线的斜率存在时，设方程分别为y=k(x+4)与y=kx-3， d=1|34|2++k k ，∴d 2=19241622+++k k k . ∴(d 2-16)k 2-24k+d 2-9=0.∵k ∈R ,∴Δ≥0，即d 4-25d 2≤0.∴0＜d 2≤25.∴0＜d≤5.∴d max =5.当d=5时，k=34．∴d max =5. 16.（12分）在直角坐标系中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O （0，0），P （1，t ），Q （1-2t ，2+t ），R （-2t ，2），其中t ∈（0，21）.求矩形OPQR 在第一象限部分的面积S （t ）.解：当0＜t ＜21时，点Q 在第一象限，如图，此时S （t ）为四边形OPQK 的面积，直线QR 的方程为y-2=t （x+2t ）.令x=0，得y=2t 2+2，点K 的坐标为（0，2t 2+2）.S 四边形OPQK =S 四边形OPQR -S △OKR =21)1(222-+t (2t 2+2)·2t=2(1-t+t 2-t 3). ∴S(t)=2(1-t+t 2-t 3)(0＜t ＜1).。
2020-2021学年高一数学(必修二)同步质量检测卷：直线的一般式方程(简略答案)
直线的一般式方程检测卷〔时间：25分，总分值55分〕1．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，当A >0，B <0，C >0时，直线l 必经过( )A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限A2．假设一束光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0上后反射，那么反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝0B3．假设方程(6a 2－a －2)x ＋(3a 2－5a ＋2)y ＋a －1＝0表示平行于x 轴的直线，那么a 的值是( )A.23 B ．－12 C.23，－12D ．1 B4．直线l 1：(m －1)x ＋2y －1＝0，直线l 2：mx －y ＋3＝0.假设l 1⊥l 2，那么m 的值为( )A ．2B ．－1C ．2或－1 D.13C5．两条直线ax －y －2＝0和(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，那么a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A6．直线3x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A. 30° B ．60° C ．120° D ．135°C7．假设直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，那么直线l 的方程是______________．3x+2y -1=08．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积是24的直线l 的方程是_______________________． 3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝09．方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示直线，那么m 的取值范围是______________．m ∈R 且m ≠110．假设直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y ＝0垂直，那么a ＝________．0或211．在△ABC 中，点A 的坐标为(1，3)，AB ，AC 边上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在直线的方程．解：设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∵点B 在中线y －1＝0上，△设B 点坐标为(x ，1)．又△A 点坐标为(1，3)，D 为AB 的中点，△由中点坐标公式得D 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，2.又△点D 在中线x －2y ＋1＝0上，△x ＋12－2×2＋1＝0⇒x ＝5， ∴B 点坐标为(5，1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.12．直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足以下条件的直线l 的方程．(1)过定点A (－3，4)；(2)与直线6x ＋y －3＝0垂直．【答案】〔1〕2x+3y -6=0或8x+3y+12=0；〔2〕x -6y+6=0或x -6y -6=0。
高一数学人教A版必修2学业分层测评18 直线的两点式方程 直线的一般式方程 Word版含解析
学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2015·淄博高一检测)下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示【解析】当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x －x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.【答案】 B2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0【解析】k AB＝1－3－5－1＝13，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.【答案】 B3．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则() A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0【解析】直线经过第一、二、三象限，则由y＝－ab x－cb可知，⎩⎪⎨⎪⎧－a b >0，－c b >0⇒⎩⎨⎧ab <0，bc <0，选D.【答案】 D4．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )【导学号：09960111】A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2(k －3)2－2(3－k )＝0， 即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3. 【答案】 C5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A 二、填空题6．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________． 【解析】 当直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为0，满足题意．此时直线方程为y ＝2x ，当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0.可设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，因为直线过P (1,2)，所以1－2＝a ，所以a ＝－1，直线方程为x －y ＋1＝0【答案】 y ＝2x 或x －y ＋1＝07．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0， 分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3、－d4， ∴6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3. 【答案】 3或－3 三、解答题8．若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【导学号：09960112】【解】 (1)由⎩⎨⎧m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2，若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2. (2)由－(m 2－3m ＋2)m －2＝1，解得m ＝0.9．已知三角形的三个顶点A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)求三角形三边所在直线的方程； (2)求AC 边上的垂直平分线的方程． 【解】 (1)直线AB 的方程为y －46－4＝x －0－2－0，整理得x ＋y －4＝0；直线BC 的方程为y －06－0＝x ＋8－2＋8，整理得x －y ＋8＝0； 由截距式可知，直线AC 的方程为x －8＋y4＝1，整理得x －2y ＋8＝0. (2)线段AC 的中点为D (－4,2)，直线AC 的斜率为12，则AC 边上的垂直平分线的斜率为－2，所以AC 边的垂直平分线的方程为y －2＝－2(x ＋4)，整理得2x ＋y ＋6＝0.[自我挑战]10．(2016·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图3-2-3所示，则( )图3-2-3A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c【解析】 由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c >0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－dc >0， ∴b <0，d >0，故选C. 【答案】 C11．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【导学号：09960113】【解】 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ① 又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y9＝1， 即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 若满足条件(2)，则ab ＝12， ③ 由题意得：43a ＋2b ＝1， ④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y6＝1， 即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.。
2017-2018学年高中数学必修二 练习：第2章 点、直线、平面之间的位置关系 学业质量标准检测2 含答案 精品
第二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为导学号 09024609( D )A．5 B．4 C．9 D．1[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线导学号 09024610( B )A．平行B．垂直C．相交D．异面[解析] 当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是导学号 09024611( D )A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[解析] A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．(2016～2017·枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是导学号 09024612( B )A．相交B．平行C．异面D．不确定[解析]⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥ABl ⊥AC AB ∩AC ＝A ⇒l ⊥平面ABC⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥BC m ⊥AC AC ∩BC ＝C ⇒m ⊥平面ABC l ∥m 5．已知α、β是两个平面，直线l ⊄α，l ⊄β，若以①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有导学号 09024613( A )A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①[解析] 因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m ，使m ⊥α， 又因为l ⊥α，所以l ∥m .又因为l ⊄β，所以l ∥β，即①③⇒②； 因为l ∥β，所以过l 可作一平面γ∩β＝n ，所以l ∥n ， 又因为l ⊥α，所以n ⊥α，又因为n ⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.6．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与l ，α都成30°角的直线有导学号 09024614( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 如图，和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC ＝∠ACB ＝30°且BC ∥l 时，直线AC ，AB 都满足条件，故选B ．7．(2016～2017·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l .若直线m 、n 满足m ∥α，n ⊥β，则导学号 09024615( C )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n[解析] 选项A ，只有当m ∥β或m ⊂β时，m ∥l ；选项B ，只有当m ⊥β时，m ∥n ；选项C ，由于l ⊂β，∴n ⊥l ；选项D ，只有当m ∥β或m ⊂β时，m ⊥n ，故选C ．8．(2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 与MN 所成的角为导学号 09024616( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 如图，连接A 1C 1、BC 1、A 1B . ∵M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， ∴MN ∥BC 1. 又A 1C 1∥AC ，∴∠A 1C 1B 为异面直线AC 与MN 所成的角． ∵△A 1BC 1为正三角形， ∴∠A 1C 1B ＝60°.故选C ．9．等腰Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，M 为AC 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C －BM －A 的大小为导学号 09024617( C )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 如图，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°知A ′C ＝ 2.∵M 为A ′C 的中点，∴MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， ∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角． ∵AC ＝1，MC ＝MA ＝22，∴MC 2＋MA 2＝AC 2， ∴∠CMA ＝90°，故选C ．10．点P 在正方体侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且保持AP ⊥BD 1，则点P 的轨迹为导学号 09024618( A )A ．线段B 1CB ．BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段 C ．线段BC 1D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段 [解析] ∵AP ⊥BD 1恒成立，∴要保证AP 所在的平面始终垂直于BD 1. ∵AC ⊥BD 1，AB 1⊥BD 1，AC ∩AB 1＝A ， ∴BD 1⊥面AB 1C ，∴P 点在线段B 1C 上运动．11．如图，α⊥β，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈β，A 、B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α、β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是m 和n ，若a ＞b ，则导学号 09024619( D )A ．θ＞φ，m ＞nB ．θ＞φ，m ＜nC ．θ＜φ，m ＜nD ．θ＜φ，m ＞n[解析] 由勾股定理得a 2＋n 2＝b 2＋m 2＝AB 2. 又a ＞b ，∴m ＞n .由已知得sin θ＝b AB ，sin φ＝aAB，而a ＞b ， ∴sin θ＜sin φ，又θ，φ∈(0，π2)，∴θ＜φ.12．如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为导学号 09024620( C )A．K B．H C．G D．B′[解析] 应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是__直角三角形__.导学号 09024621[解析] 如图，过点A作AE⊥BD，E为垂足．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥BC.又∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥BC.又∵AE∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AB.∴△ABC为直角三角形．14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于__90°__.导学号 09024622[解析] 因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__DM⊥PC(或BM⊥PC) __时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).导学号 09024623[解析] 连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD ⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.16．(2017·全国卷Ⅰ文，16)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为__36π__.导学号 09024624[解析] 如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥S－ABC的体积V＝13×(12SC·OB)·OA＝r33，即r33＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2017·山东文，18)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E ⊥平面ABCD.导学号 09024625(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.[解析] (1)证明：取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)证明：因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.18．(本小题满分12分)(2016～2017·宁波高二检测)如图，已知四棱锥P－ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB＝2，BD＝23，M，N分别是线段PA，PC的中点.导学号 09024626(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求异面直线MN与BC所成角的大小．[解析] (1)连接AC，交BD于点O.因为M ，N 分别是PA ，PC 的中点，所以MN ∥AC . 因为MN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD .(2)由(1)知MN ∥AC ，∴∠ACB 为异面直线MN 与BC 所成的角． ∵四边形ABCD 为菱形，边长AB ＝2，对角线长BD ＝23， ∴△BOC 为直角三角形，且sin ∠ACB ＝BO BC ＝32， ∴∠ACB ＝60°.即异面直线MN 与BC 所成的角为60°.19．(本小题满分12分)(2017·北京文，18)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.导学号 09024627(1)求证：PA ⊥BD ；(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3)当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积．[解析] (1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，所以PA ⊥平面ABC . 又因为BD ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥BD .(2)证明：因为AB ＝BC ，D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC .由(1)知，PA ⊥BD ， 所以BD ⊥平面PAC ， 所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)解：因为PA ∥平面BDE ，平面PAC ∩平面BDE ＝DE ， 所以PA ∥DE .因为D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以三棱锥E －BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.20．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.导学号 09024628(1)请按字母F 、G 、H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并说明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .[解析] (1)点F 、G 、H 的位置如图所示．(2)平面BEC ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD －EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG ， 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCEH 为平行四边形， 所以BE ∥CH ，又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH ， 同理，BG ∥平面ACH ， 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH . (3)连接FH 交EG 于点O ，连接BD .因为ABCD －EFGH 为正方体，所以DH ⊥平面EFGH ，因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG ， 又EG ⊥FH ，EG ∩FH ＝O ， 所以EG ⊥平面BFHD ，又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG ， 同理DF ⊥BG ， 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .21．(本小题满分12分)(2017·天津文，17)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.导学号 09024629(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．[解析] (1)解：如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD . 在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5， 故cos ∠DAP ＝AD AP ＝55. 所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明：由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ， 所以PD ⊥平面PBC .(3)解：过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．因为PD ⊥平面PBC ，所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影， 所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1.由已知，得CF ＝BC －BF ＝2.又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC .在Rt △DCF 中，可得DF ＝CD 2＋CF 2＝25，在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝55. 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55. 22．(本小题满分12分)(2016～2017·济宁高一检测)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为AC 和PB 上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示.导学号 09024630(1)求EF 与平面ABCD 所成角的大小；(2)求二面角B －PA －C 的大小．[解析] 根据三视图可知：PA 垂直于平面ABCD ，点E ，F 分别为AC 和PB 的中点，ABCD 是边长为4的正方形，且PA ＝4.(1)如图，取AB 中点G ，连接FG ，GE ，则FG ∥PA ，GE ∥BC ，所以FG ⊥平面ABCD ，∠FEG 为EF 与平面ABCD 所成的角，在Rt △FGE 中，FG ＝2，GE ＝2，所以∠FEG ＝45°.(2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BA ，PA ⊥CA ，所以∠BAC 为二面角B －PA －C 的平面角．又因为∠BAC ＝45°，所以二面角B －AP －C 的平面角的大小为45°.。
2017—2018学年度第二学期教学质量检查高一数学参考答案_最新修正版
2017—2018学年度第二学期教学质量检查 高一数学参考答案及评分标准二、填空题(每小题5分,满分20分)13.52 14．7； 15．0.95； 16．5三、解答题 17．解:（1）与垂直，得0a b ⋅= 即021=+-k ……………………3分解得21=k ．……………………5分 （2）依题意，10102521||||cos =⨯+-==b a b a θ，……………………7分 54110121cos 22cos 2-=-⨯=-=∴θθ.……………………10分18．（本小题满分l2分）(1)由题意：第2组的人数：70＝5×0.07×n ，得到：n ＝200，故该组织有200人.……………………………………………… 3分(2)第3组的人数为0.3×200＝60，第4组的人数为0.2×200＝40，第5组的人数为0.1×200＝20. ∵第3，4，5组共有120名志愿者，∴利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：60120×6＝3；第4组：40120×6＝2；第5组：20120×6＝1. ……………… 5分记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1， B 2， 第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)， (A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)， (A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)， 共有15种.……………………………………………… 8分其中第3组的3名志愿者A 1，A 2，A 3，至少有一名志愿者被抽中的有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，共有12种.…………………………………………… 10分则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为P ＝1215＝45. ………12分19. （本小题满分l2分） 解：（1）66880838490+++++=q y ，又80y =，75=∴q . ……………………………………………………3分（2）4567891362x +++++==， ………………………………………………………………4分2133050680241327162b ∧-⨯⨯∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………………………6分 ()138041062a ∧∴=--⨯= ………………………………………………………………7分 4106y x ∧∴=-+ ………………………………………………………………8分（3）4106y x ∧=-+1111410690,909001y x y y ∧∧∴=-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是“理想数据”；2222410686,|868421y x y y ∧∧=-+=-=-=，所以()()22,5,84x y =不是“理想数据”;3333410682,838211y x y y ∧∧=-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是“理想数据”.所以所求的“理想数据”为)90,4( ，)83,6(. …………………………………………12分 20. （本小题满分l2分） 解析: （1）()2ππ2sin 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin22sin 213x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，………………………3分令222232k x k πππππ-+≤-≤+ k Z ∈51212k x k ππππ∴-+≤≤+ k Z ∈ …………………3分∴()f x 单调增区间为5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈.令ππ2π32x k -=+， k Z ∈，得5ππ122k x =+， k Z ∈，………………………4分∴()f x 的对称轴为5ππ122k x =+， k Z ∈． ………………………………5分(2) 关于x 的方程()2f x m -=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解∴()2f x m -=∴π2sin 2123x m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解 ………………………6分 ∴函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像和直线12m y +=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点……8分ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由图可知，1122m +≤< ………………10分11m ≤<． ……………………………12分 21.（1）解：设点Q (x ，y )、P (x 0，y 0). ……………………………… 1分∵点P 在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－5)2＝4. ………………………………………… 2分又∵P A 的中点为点Q ，∴⎩⎨⎧2x ＝x 0＋12y ＝y 0＋1②③………………………………………… 3分由②③得x 0＝2x －1，y 0＝2y －1代入①得 (2x －1－3)2＋(2y －1－5)2＝4，化简得(x －2)2＋(y －3)2＝1.………………………………………… 4分（2） 假设存在直线l ，使得6=∙OM ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2 (x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－(2k ＋4)x ＋4＝0， ………… 6分由△＝(2k ＋4)2－16(1＋k 2)＞0得0＜k ＜43，且x 1＋x 2＝2k ＋41＋k 2，x 1x 2＝41＋k 2，…………………………………… 8分 又ON OM ∙＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)41＋k 2＋2k ×2k ＋41＋k 2＋4＝10， …………… 10分解得2k =-±2k =-不满足△＞0， ………… 11分所以当2k =-+l ，使得10=∙ON OM .……… 12分22.解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t c o s s i n +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ，当1=t 时，0)(m ax =t g ，当2-=t 时，223)(m in --=t g ，所以)(x f 的值域为]0,223[-- ………………………………………………………………4分（2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令sin cos t x x =+，则当3[0,]4x π∈时，t ∈，21sin cos 2t x x -=， 2221111()1()2222t h t at t a a -=-+-=--++， …………………………… 5分 )(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点等价于()h t 在[0,1){2}内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ， ………………………………………………………………6分 ∴()h t 在[0,1)内为增函数，①若()h t 在[0,1)内有且只有一个零点，)2,1[无零点，故只需10(1)01(0)0020302a h h h ⎧⎪->⎧>⎪⎪-⎪≤⇒≤⎨⎨⎪⎪>⎩->得423>a ；…………10分 ②若2为()h t 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ，经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a .…………12分。
2017-2018学年高一数学(北师大)必修2 阶段质量检测(二)
阶段质量检测（二）（时间90分钟 满分120分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0表示的圆的圆心为( ) A ．(2,4) B ．(－2，－4) C ．(－1，－2) D ．(1,2)2．当m 为何值时，经过A (m,1)，B (－1，m )的直线与过P (1,2)，Q (－5,0)的直线平行( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－23．(陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定4．方程x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0表示的图形是( ) A ．一个圆B ．只有当a ＝0时，才表示一个圆C ．一个点D ．a 、b 不全为0时，才表示一个圆5．(辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝06．如图，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1) B.⎝⎛⎭⎫2，2，23 C.⎝⎛⎭⎫2，2，13D.⎝⎛⎭⎫2，2，43 7．不论a 为何实数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 ( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．19．两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．过直线x ＝－72上一点P 分别作圆C 1：x 2＋y 2＝1和圆C 2：(x －1)2＋y 2＝9的切线，切点分别为M 、N ，则|PM |与|PN |的大小关系是( )A ．|PM |＞|PN |B ．|PM |＜|PN |C ．|PM |＝|PN |D ．不能确定二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 12．(北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．13．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________.14．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.求：(1)直线l 的方程；(2)直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .16．(本小题满分12分)△ABC 的顶点A 的坐标为(1,4)，∠B ，∠C 平分线的方程分别为x －2y ＝0和x ＋y －1＝0，求BC 所在直线的方程．17．(本小题满分12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．18．(本小题满分14分)圆C ：x 2＋y 2－x －6y ＋F ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0交于两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，求F 的值．答案1．解析：选C 方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0配方后可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4，∴圆心为(－1，－2)，半径为2.2．解析：选A 由斜率公式得k PQ ＝2－01－(－5)＝13，k AB ＝1－m m －(－1)＝1－m1＋m.∵AB ∥PQ ， ∴k AB ＝k PQ ， ∴1－m 1＋m ＝13，解得m ＝12.3．解析：选B 由点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1， ∴圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆O 相交．4．解析：选D 原方程配方后可化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2＋b 2. 当a ＝b ＝0时，它表示(0,0)点；当a 、b 不全为零时，表示以(－a,0)为圆心，半径为a 2＋b 2的圆．5．解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．6．解析：选D 易知B (2,2,0)，B 1(2,2,2)， ∴E 点的竖坐标z ＝23×2＝43，∴E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，2，43. 7．解析：选D 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0， 得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．8．解析：选B 圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB |＝222－12＝2 3.9．解析：选B 由x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0， 得(x －3)2＋(y ＋8)2＝121. 圆心(3，－8)，半径11. 由x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0， 得(x ＋2)2＋(y －4)2＝64， 圆心(－2,4)，半径8， 圆心矩d ＝25＋144＝169＝13，3＜d ＜19，∴两圆相交，公切线条数为2.10．解析：选C 由圆的性质可知点P 、C 1、M 与点P 、C 2、N 分别构成直角三角形，设P ⎝⎛⎭⎫－72，y 0， ∴|PM |＝|PC 1|2－r 21＝ ⎝⎛⎭⎫－722＋y 20－12＝ y 20＋454， |PN |＝|PC 2|2－r 22＝⎝⎛⎭⎫－72－12＋y 2－32＝ y 20＋454，显然|PM |＝|PN |.11．解析：由题意知直线l 的斜率存在设为k ， 由斜率公式k ＝m －32－m ，l 与斜率为－4的直线垂直，∴－4·k ＝－1，即－4·m －32－m ＝－1，解得m ＝145.答案：14512．解析：圆心(0,2)到直线y ＝x 的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径为2，所以所求弦长为222－(2)2＝2 2.答案：2 213．解析：由题意得直线kx －y ＋4＝0经过圆心C ， 由x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0可知圆心为C ⎝⎛⎭⎫－12，3， 所以－k2－3＋4＝0.解得k ＝2. 答案：214．解析：圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得|3×(－1)＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝015．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0. 把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2. 故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1.16．解：该题求直线方程的条件不明显，如果能联想到初中平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A 关于∠B ，∠C 平分线的对称点都在BC 所在直线上，所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出BC 所在直线的方程．过点A 与直线x －2y ＝0 垂直的直线的斜率为－2，所以其方程为y －4＝－2(x －1)，将它和x －2y ＝0联立成方程组可求得垂足的坐标为⎝⎛⎭⎫125，65， 该垂足是点A 与点A 关于直线x －2y ＝0的对称点A ′的中点，所以可得点A ′的坐标⎝⎛⎭⎫195，－85.同理可求得点A 关于直线x ＋y －1＝0的对称点A ″的坐标为(－3，0)． 由于点A ′⎝⎛⎭⎫195，－85，点A ″(－3,0)均在BC 所在的直线上， ∴直线BC 的方程为y －0－85－0＝x ＋3195＋3，即4x ＋17y ＋12＝0，∴BC 所在直线的方程为4x ＋17y ＋12＝0. 17．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ， 则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.18．解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立题目中圆和直线的方程并消去y ，有⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －6y ＋F ＝0，y ＝3－x 2，⇒5x 2＋2x ＋4F －27＝0.根据根与系数的关系，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－25，x 1·x 2＝4F －275，根据题意，有PO ⊥OQ ⇒y 1x 1·y 2x 2＝－1⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0 ⇒x 1x 2＋3－x 12·3－x 22＝0⇒5x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝0 ⇒5×4F －275－3×⎝⎛⎭⎫－25＋9＝0 ⇒F ＝215.。
2017-2018学年人教A版必修2 第三章直线与方程 单元测试
本章检测一、选择题（共10个小题；每小题4分，共40分）1若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a 等于（ ） A.23 B.32 C.23- D.32- 解析：由（32-）·(a 1-)=-1得a=32-. 答案：D2若直线(m-2)x+y-4=0的倾斜角α是钝角，则m 的范围是（ ）A.m>-2B.m>2C.m<-2D.m<2解析：直线的倾斜角α为钝角，则其斜率k=tanα<0,即2-m<0.∴m>2.答案：B3直线3x-2y=4的截距式方程是（ ） A.243y x -=1 B.2131y x -=4 C.243-+y x =1 D.234-=y x =1 解析：直线方程的截距式为by a x +=1.由此可将方程化为24-+y c x =1. 答案：D4直线Ax+By+C=0，当A>0，B<0，C>0时，此直线必经过的象限是（ ）A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限解析：令x=0得直线在y 轴上的截距y=BC -;令y=0得直线在x 轴上的截距x=A C -;∵A>0,B<0,C>0，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.0,0AC B C 答案：A5直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则m 的值等于（ ） A.23-或1 B.89-或1 C.89- D.1 解析：将直线方程化为（2m+3）(m-1)x+m(m-1)·x=4m-1.显然m≠1,从而选C.答案：C6已知点P(x,-4)在点A(0,8)和B(-4,0)的连线上，则x 的值为（ ）A.-2B.2C.-8D.-6解析：由条件知A 、B 、P 三点共线，由k AB =k AP 得x8448--=,∴x=-6. 答案：D7直线(m+2)x+(m 2-2m-3)y=2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（ ） A.56 B.-6 C.56- D.6 解析：由条件知直线在x 轴上截距为3，即直线过点（3，0）代入得3（m+2）=2m. ∴m=-6.答案：B8下列直线中，斜率为34-，且不经过第一象限的是（ ） A.3x+4y+7=0 B.4x+3y+7=0C.4x+3y-42=0D.3x+4y-42=0解析：由于k=34-排除A 与D ，又知该直线不经过第一象限，∴y 轴上截距应小于0. 答案：B9已知两直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离等于（ ）A.4B.13132 C.26135 D.26137 解析：∵两直线平行，∴斜率相等，即m 623-=-，∴m=4,从而两直线方程可化为6x+4y-6=0与6x+4y+1=0, 由平行线距离公式得132671636|16|=+--. 答案：D10若点P(4,a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A.［0,10］B.(0,10)C.［133,31］ D.(-∞,0］∪［10,+∞) 解析：由点到直线的距离公式得 22)3(4|1316|-+--a ≤3，即|3a-15|≤15,∴|a-5|≤5.∴-5≤a -5≤5,即0≤a≤10.答案：A二、填空题（共4个小题；每小题4分，共16分）11已知直线l 经过点A(3,-1)和B(3,2)，则直线l 的倾斜角α=_____，直线l 的方程为_____. 解析：∵直线l 过点A （3，-1）和B （3，2），从而可知l ⊥x 轴，∴α=90°，方程为x=3. 答案：90° x=312三条直线x+y+1=0，2x-y+8=0和ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=_____.解析：由条件知直线x+y+1=0与2x-y+8=0相交一点，若这三条直线只有两个不同的交点，则ax+3y-5=0与另外两条中的一条必平行，因此有3a -=2或3a -=-1，即a=-6或a=3. 答案：-6或313若点P(2,1)是直线夹在两坐标轴之间的线段的中点，则此直线的方程是______. 解析：设直线与x 轴，y 轴分别交于A （a ，0）、B （0，b ），则AB 中点为P （2，1） ∴⎩⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.2,4120,220b a b a ，∴a=4,b=2.由截距式得方程为24y x +=1即x+2y-4=0. 答案：x+2y-4=014不论m 为何实数，直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一个定点,求出此定点坐标__________. 解法一：只要取两条直线求其交点即可，令m=1,则l 化为y=-4；令m=21得l 方程为-21x=29-，即x=9. 由⎩⎨⎧-==4,9y x 得定点（9，-4）. 解法二：l 方程可化为m(x+2y-1)-x-y+5=0由⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+--=-+.4,905,012y x y x y x 得∴定点为（9，-4）. 答案：（9，-4）三、解答题（共4个小题，共44分）15(本小题满分10分)求倾斜角为直线y=-x+1的倾斜角的31,且分别满足下列条件的直线方程:（1）经过点(-4,1);（2）在y 轴上的截距为-10.解：由于直线y=-x+1的斜率为-1，所以其倾斜角为135°,由题意知所求直线的倾斜角为45°，所求直线的斜率k=1.（1）由于直线过点（-4，1），由直线的点斜式方程得y-1=x+4,即x-y+5=0;(2)由于直线在y 轴上的截距为-10，由直线的斜截式方程得y=x-10,即x-y-10=0.16(本小题满分10分)已知直线l 经过点(3,-2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 解法一：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则直线方程为y+2=k(x-3). 令x=0,得y=-2-3k;令y=0,得x=k 2+3. 由题意，得-2-3k=3+k 2,解得k=-1或k=32-. 所以l 的方程为y+2=-(x-3) 或y+2=32-(x-3),即x+y-1=0或2x+3y=0.解法二：设直线l 在两坐标轴上的截距均为a,(1)若a=0，则直线l 过原点，此时l 的方程是2x+3y=0;(2)若a≠0,则l 的方程可设为ay a x +=1. 因为l 过点（3，-2），则a a 23-+=1,即a=1. 所以直线l 的方程为x+y-1=0.综合（1）（2），可知直线l 的方程为x+y-1=0或2x+3y=0.17(本小题满分12分)已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 是等腰梯形.解：如右图，设D （x,y ）,若AB ∥CD ，则k AB =k CD ,且|AD|=|BC|，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≠+-+=-+--=+-.53,516)03()10()3(,|13|)3(,3010032222222y x y x y x x y 解得 所以点D 的坐标为（53,516）；若AD ∥BC ，则k AB =k BC ,且|AB|=|CD|，即⎩⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠-++=+-=--.3,2)13()3(,31)3(,0032222222y x y x y x x y 解得所以点D 的坐标为（2，3）. 综上，可知所求点D 的坐标为（53,516）或（2，3）. 18(本小题满分12分)有一块如图所示的矩形地面CDEF ，在角F 处有一块三角形的绿化区AFB ，某房地产开发公司要在此矩形地面上划出一块长方形地面（要求不改变长方形的方向）建造一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求最大面积.解：以FC 所在直线为x 轴，点F 为原点建立直角坐标系，如右图则点A （0，20）、B （30，0），由截距式可得直线AB 的方程为2030y x +=1.设线段AB 上任意一点为M （x,y ），划出的矩形地面为MPDQ ，则y=20(1-30x ),且y≥0, ∴1-30x ≥0,即x≤30. ∴S 矩形MPDQ =(100-x)(80-y)=(100-x)(60+32x)=32-x 2+320x+6 000=32-(x-5)2+318050(其中0<x≤30).∴当x=5,y=350时，S 矩形MPDQ 有最大值，其最大值为318050. ∴当划出的矩形MPDQ 长MP=95米，宽PQ=3190米时，可使公寓占地面积最大且最大面积为318050平方米.。
2017-2018学年人教A版必修2 第三章直线与方程 单元测试(4)
本章测评1直线Ax+By+C=0过原点和二、四象限,则必有…( )A.C=0,B>0B.C=0,B>0,A>0C.C=0,AB<0D.C=0,AB>0思路解析:直线过原点,则方程应该满足A·0+B·0+C=0,即C=0;又直线过二、四象限,则其斜率为负,则有BA -<0,即AB>0. 答案:D2油槽储油20 m 3,从一管道等速流出,50分钟流完,关于油槽剩余油量Q(m 3)和流出时间t(分)之间的关系的图象为图3-1中的( )图3-1思路解析:考虑实际意义,函数定义域应为(0,50);起始时刻函数值应为20,最终时刻函数值为0. 答案:B3已知△ABC 的顶点A(-1,2)、B(3,6)、重心G(0,2),则AC 边所在的直线方程为( )A.4x-y-6=0B.4x-y+6=0C.4x+y+10=0D.4x+y-10=0思路解析:设点C 的坐标为(a,b),利用重心公式,则有362,0331b a ++=++-=2,解得a=-2,b=-2,然后根据点A 和点C 的坐标并利用两点式解得AC 所在直线的方程为4x-y+6=0. 答案:B4直线l 与直线y=1,x-y-7=0分别交于P 、Q 两点,线段PQ 的中点为(1,-1),则l 的斜率是_____. 思路解析:设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则y 1=1,利用中点公式,有221y y +=-1,解得y 2=-3,将其代入方程x-y-7=0,解得x 2=4,对中点和点Q 应用两点间的距离公式得到l 的斜率为321413-=-+-. 答案:32- 5将直线x-y+4=0绕原点转180°后,所得直线的方程为________.思路解析:将直线x-y+4=0绕原点转180°后即得到其关于原点对称的方程.设所求方程上任意一点的坐标为(x 0,y 0),则其对称点(-x 0,-y 0)在直线x-y+4=0上,代入得y 0-x 0+4=0,所以所求方程为x-y-4=0.答案:x-y-4=06直线ax+2y+8=0经过直线3x+2y+3=0与2x-y-3=0的交点,则a 的值为________.思路解析:容易求得直线3x+2y+3=0和2x-y-3=0的交点坐标为(715,73-),将其代入ax+2y+8=0中解得a=326-. 答案:326- 7点(1,2)在直线l 上的射影为(-1,4),则直线l 的方程是__________. 思路解析:依题意,所求方程斜率k 应满足1124---·k=-1,解得k=1, 于是可得到直线l 的点斜式为y-4=1·［x-(-1)］,化简即得x-y+5=0.答案:x-y+5=08如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l 的斜率是( ) A.31-B.-3C.31 D.3 思路解析:任取这条直线上的一点P(x 0,y 0),则其按题意进行移动后,新的坐标应为(x 0-3,y 0+1),依题意,这点也应该在直线l 上,对此两点应用斜率公式得到直线的斜率为31-. 答案:A9已知直线l 的方程是kx-y+2+3k=0(k ∈R ),则直线l 必经过点__________.思路解析:对l 的方程分离变量k 得到k(x+3)-y+2=0,则当x+3=-y+2=0时,即x=-3,y=2时,此方程恒成立.所以此直线必经过点(-3,2).答案:(-3,2)10已知直线l 与直线3x+4y+1=0平行且距离为4,如果原点(0,0)位于已知直线与l 之间,那么l 的方程是_________.思路解析:因直线l 的方程平行于直线3x+4y+1=0,故可设其方程为3x+4y+a=0,两条直线距离为4,则任取其上一点(x 0,y 0),则它应该满足222200220043|1|43|143|43|143|+-=++-++=+++a a a y x y x =4,解得a=-19或a=21;又因原点位于已知直线与l 之间,将其坐标代入已知直线有3·0+4·0+1=1>0,所以应该有3·0+4·0+a=a<0,从而a=-19符合题意.答案:3x+4y-19=011求证:不论m 取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0恒过一定点.思路分析:将方程分离变量m 后探讨定点应满足的条件.证明:对方程(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0分离变量m 得到方程m(2x-y-1)-x-y+11=0,若不论m 取何实数直线恒过一定点,则其所过的定点P 的坐标应该满足2x-y-1=0和-x-y+11=0,解得其坐标为(4,7).12如图3-2,设直线mx+y+2=0与线段AB 有交点,若A(-2,3)、B(3,2),求m 的取值范围.图3-2思路解析:用数形结合法解题.直线mx+y+2=0是恒过点P(0,-2)的斜率为-m 的直线,求得k PB =34,k PA =25-,容易得到若直线与线段AB 有交点,则其斜率所在的区间为(-∞,25-)∪(34,+∞),从而m 的取值范围是(-∞,34-)∪(25,+∞). 答案:(-∞,34-)∪(25,+∞) 13求经过点A(3,2)且在两轴上截距相等的直线方程.思路分析:本题由所求直线考虑截距为0和截距不为0两种情况下的直线方程.截距为0时用直线方程的点斜式求解;截距不为0时用直线方程的截距式求解.解:若所求直线截距为0,设其方程为y=kx.依题意将点A 的坐标代入可解得k=32. 所以此时直线方程为2x-3y=0.若所求直线截距不为0,则设其截距为a, 则方程的截距式为ay a x +=1,将点A 的坐标代入可解得a=5. 所以此时直线方程为x+y-5=0.14△ABC 的顶点A 的坐标为(1,4),∠B 、∠C 的角平分线的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0,求BC 所在直线的方程.思路分析:由于三角形的顶点A 坐标为(1,4),∠B 、∠C 的角平分线的方程分别为x-2y=0和x+y-1=0,所以点A 关于直线x-2y=0和x+y-1=0的对称点A′和A″都在BC 所在直线上,这条直线的方程通过运用直线方程的两点式不难求解.解:设A 关于直线x-2y=0的对称点为点A′(x 1,y 1),则根据几何性质,它们应该满足的关系有:两点的中点在直线x-2y=0上.两条直线连线垂直于直线x-2y=0.列出式子即为:2422111+∙-+y x =0和1411--x y ·21=-1, 解这两个式子,得x 1=519,y 1=58-. 设A 关于直线x+y-1=0的对称点为点A″(x 2,y 2),同理可求得x 2=-3,y 2=0.由几何性质,点A′和点A″应该都在BC 所在直线上.应用直线方程的两点式容易求得这条直线的方程为4x+17y+12=0.。
2017-2018学年高一数学(必修二)同步质量检测卷：圆的一般方程(简略答案)
圆的一般方程检测卷（时间：25分，满分55分）1. （5分）点M 在圆22106250x y x y +--+=上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )A ．9B ．8C ．5D ．2 【答案】D2.（5分）两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0 【答案】C3.（5分）若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 【答案】C4.（5分）若点(2a ，a －1)在圆22240x y y ++-=的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞) 【答案】B5.（5分）若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D ，E ，F 分别为( )A ．4,8，－4B ．－4,8,4C ．8，－4,16D ．4，－8,16 【答案】B6.（5分）方程2222220x y ax bx a b +++++=表示的圆形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．点(a ，b )C ．以(－a ，－b )为圆心的圆D ．点(－a ，－b ) 【答案】D7.（5分）若圆C 与圆224240x y x y ++-+=关于原点对称，则圆C 的一般方程是________________.【答案】224240x y x y +-++=8.（5分）圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________________.【答案】x 2＋y 2＋6x －8y －48＝09.（5分）圆过点A (1，－2)，B (－1,4)，求周长最小的圆的方程为_________________.【答案】22290x y y +--=10．（10分）求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的一般方程， 并找出圆的圆心及半径．【解】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝0，b ＋2a －3＝1， 3－a 2＋ －2－b 2＝r 2.化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝0，b ＝a －5， 3－a 2＋ －2－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆． 将标准方程(x －1)2＋(y ＋4)2＝8化为一般方程222890x y x y +-++=即可.。
2017-2018学年人教版必修2 第三章直线与方程 单元测试A
第三章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是()A．y＋2＝3(x＋1) B．y－2(x－1)C－3y＋60 D x－y＋2＝04．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是()A．y＝－2x＋4 B．y＝12x＋4 C．y＝－2x－83D．y＝12x－835．与直线2x＋y－3＝0的直线方程是()A．2x＋y＋2＝0 B．2x＋y－8＝0C．2x＋y＋2＝0或2x＋y－8＝0 D．2x＋y－2＝0或2x＋y＋8＝06．已知直线l1：ax＋2y－1＝0，直线l2：8x＋ay＋2－a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为() A．±4 B．－4 C．4 D．±27．不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点()A．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B．(－2,0) C．(2,3) D．(9，－4)8．直线a2x－b2y＝1(其中a，b∈R，且ab≠0)的倾斜角的取值范围为() A．(0°，90°) B．(45°，135°) C．(90°，135°) D．(90°，180°)9．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为() A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 10．直线2x＋3y－6＝0关于点A(1，－1)对称的直线为()A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知点A(－2,3)，B(4，－1)，则线段AB的垂直平分线方程为________．12．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y＝2的距离相等，则点P的坐标为__________．13．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．14．点M(1,4)关于直线l：x－y＋1＝0对称的点M′的坐标是________．15．若直线l经过点P(2,3)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为__________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(6分)过点(2,3)的直线l被两平行直线l1：2x－5y＋9＝0与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，求直线l的方程．17．(6分)(1)求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；(2)求经过直线l1：2x＋3y－5＝0与l2：7x＋15y＋1＝0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0的直线方程．18．(6分)已知△ABC的三边所在直线的方程分别是l AB：4x－3y＋10＝0，l BC：y＝2，l CA：3x－4y＝5．(1)求∠BAC的平分线所在直线的方程；(2)求AB边上的高所在直线的方程．19．(7分)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0．若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．参考答案一、选择题解析：1．解析：由直线方程的点斜式得y－2＝tan 30°(x－1)x－3y＋6＝0．答案：C2．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝02．解析：设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，则2×(－1)＋3＋c＝0，c＝－1，所以所求直线方程为2x＋y－1＝0．答案：A3．若直线(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0与(2－a)x＋(a＋3)y－1＝0相互垂直，则a的值是() A．2 B．－2 C．2，－2 D．2,0，－23．解析：由两直线垂直得(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，即a2＝4，a＝±2．答案：C4．解析：直线y＝－2x＋3的斜率为－2，则所求直线斜率k＝－2，直线方程y＝3x＋4中，令y＝0，则x＝－43，即所求直线与x轴交点坐标为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．故所求直线方程为y＝－243x⎛⎫+⎪⎝⎭，即y＝－2x－83．答案：C5．解析：设所求直线方程为2x＋y＋C＝0，，∴|C＋3|＝5，C＝2或C＝－8．所以所求直线方程为2x＋y＋2＝0或2x＋y－8＝0．答案：C6．解析：由a2－2×8＝0，得a＝±4．当a＝4时，l1：4x＋2y－1＝0，l2：8x＋4y－2＝0，l1与l2重合．当a＝－4时，l1：－4x＋2y－1＝0，l2：8x－4y＋6＝0，l1∥l2．综上所述，a ＝－4．答案：B7．解析：将所给直线方程分解后按是否含参数进行分类，得m (x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0．所以所给直线过直线x ＋2y －1＝0和x ＋y －5＝0的交点，即210,50,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解之得 9,4x y =⎧⎨=-⎩所以所给直线恒过定点(9，－4)． 答案：D8．解析：∵b ≠0，∴直线的斜率k ＝22a b>0． ∴其倾斜角是锐角．答案：A9．解析：当l ⊥AB 时，符合要求，∵k AB ＝4233-+＝13，∴l 的斜率为－3，∴直线l 的方程 为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0．答案：D10．解析：设直线上点P (x 0，y 0)关于点为(1，－1)对称的点为P ′(x ，y )， 则001,21,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩002,2.x x y y =-⎧⎨=--⎩ 代入2x 0＋3y 0－6＝0得2(2－x )＋3(－2－y )－6＝0，得2x ＋3y ＋8＝0．答案：D二、填空题11．解析：k AB ＝()1342----＝46-＝－23， 线段AB 中点为(1,1)，∴直线AB 的垂直平分线方程为y －1＝32(x －1)，即3x －2y －1＝0． 答案：3x －2y －1＝012．解析：根据题意可设P (－3m ，m )，．解得m＝±15．∴P点坐标为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫-⎪⎝⎭．答案：31,55⎛⎫-⎪⎝⎭或31,55⎛⎫-⎪⎝⎭13．解析：直线过定点(0,2)，结合图形知k≤0．答案：(－∞，0]14．解析：设对称点M′(m，n)，则有411,11410,22nmm n-⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得m＝3，n＝2，即M′(3,2)．答案：(3,2)15．解析：设直线l的方程为xa＋yb＝1，则,231,a ba b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得a＝5，b＝5或a＝－1，b＝1，即直线l的方程为5x＋5y＝1或1x-＋1y＝1，即x＋y－5＝0或x－y＋1＝0．答案：x＋y－5＝0或x－y＋1＝016．解：设线段AB的中点为M(4y0＋1，y0)，点M到l1与l2的距离相等，故，解得y0＝－1，则点M(－3，－1)．∴直线l的方程为313y---＝232x---，即4x－5y＋7＝0．17．解：(1)设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0．＝6，解得c＝±30，故所求的直线方程为4x－3y±30＝0．(2)设所求的直线方程为2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，即(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋λ－5＝0．∵所求直线与直线x＋2y－3＝0平行，∴3＋15λ－2(2＋7λ)＝0，解得λ＝1．故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0．18．解：(1)设P(x，y)是∠BAC的平分线上任意一点，则点P到AC，AB，∴4x－3y＋10＝±(3x－4y－5)．又∵∠BAC的平分线所在直线的斜率在34和43之间，∴7x－7y＋5＝0为∠BAC的平分线所在直线的方程．(2)设过点C的直线系方程为3x－4y－5＋λ(y－2)＝0，即3x－(4－λ)y－5－2λ＝0．若此直线与直线l AB：4x－3y＋10＝0垂直，则3×4＋3(4－λ)＝0，解得λ＝8．故AB边上的高所在直线的方程为3x＋4y－21＝0．19．解：由方程组210,0,x yy-+=⎧⎨=⎩解得点A的坐标为(－1,0)．又直线AB的斜率k AB＝1，x轴是∠A的平分线，所以k AC＝－1，则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．①又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率k BC＝－2，所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②解①②组成的方程组得5,6, xy=⎧⎨=-⎩即顶点C的坐标为(5，－6)．。
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直线的一般式方程检测卷
（时间：25分，满分55分）
1已知直线I的方程为Ax + By+ C = 0,当A>0, B<0, C>0时，直线I必经过（
）
A .第一、二、三象限
B •第二、三、四象限
C.第一、三、四象限
D •第一、二、四象限
A
2•若一束光线沿直线 2x— y+ 2= 0入射到直线x+ y- 5 = 0上后反射，则反射光线所在的直线方程为 （
）
A . 2x+ y— 6= 0 B. x— 2y+ 7= 0 C. x— y + 3= 0 D . x+ 2y- 9 = 0
B
3. 若方程（6a
2
— a— 2）x
+ （3a2— 5a+ 2）y+ a— 1 = 0表示平行于x轴的直线，贝V a的值是（
）
B
4. 已知直线 11: (m— 1)x+ 2y
— 1 = 0,直线 12: mx— y + 3 = 0■若 h 丄 I2 ,贝V m 的值为(
)
1
A . 2 B . — 1 C . 2 或—1 D.§
C
5. 已知两条直线 ax—y— 2= 0和(a+ 2)x— y+ 1 = 0互相垂直，则 a等于(
)
C . 1 D. 2
A
6. 直线3x+ ,'3y+ 1 = 0的倾斜角是（
）
A. 30 ° B . 60° C . 120° D. 135°
C
7. 若直线l过点（—1, 2）且与直线2x— 3y+ 4 = 0垂直，则直线l的方程是 __________________ .
3x+2y -仁0
8与直线3x+ 4y + 12 = 0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积是 24的直线I的方程是 __________________________
3x+ 4y+ 24= 0 或 3x + 4y— 24= 0
9.已知方程(2m2+ m— 3)x+ (m2 — m)y— 4m + 1 = 0表示直线，则 m的取值范围是 ________________ m € R 且 m
^l
10 .若直线 x + ay — a = 0 与直线 ax — （2a— 3）y= 0 垂直，则 a= _____ .
0或2
11. 已知在△ ABC中，点A的坐
标为（1 , 3）, AB, AC边上的中线所在直线的方程分别为 x — 2y+ 1 = 0和y— 1= 0,
求△ ABC各边所在直线的方程.
解：设AB, AC边上的中线分别为 CD , BE,
其中D , E分别为AB, AC的中点，
2 A.3 B. 2
C.3,
•••点B在中线y— 1 = 0上，•••设B点坐标为（x, 1）.
又••• A点坐标为(1 , 3), D为AB的中点，•••由中点坐标公式得 D点坐标为 弓p, 2 .
x+ 1
又•••点 D 在中线 x- 2y+ 1= 0 上, • —— 2X2+ 1 = 0? x= 5,
• B点坐标为(5, 1).同理可求出 C点的坐标是(一3,— 1).
故可求出△ ABC三边AB , BC, AC所在直线的方程分别为 x + 2y— 7 = 0, x— 4y— 1 = 0 禾口 x— y+ 2 = 0.
12. 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的
直线 I的方程.
(1)过定点 A( — 3, 4);
⑵
与直线6x+ y— 3= 0垂直.
【答案】(1) 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0 ; (2) x-6y+6=0 或 x-6y-6=0