北京市2019-2020学年交大附中高一(下)期末考试数学试卷(无答案)
（A）1
（C） π
6.已知
(
2
,
2
)
，且
tan
2 ，那么 sin
（B） 2 （D） 2π
（A） 3 3
（B） 6 3
（C） 6 3
7.函数 f(x)= 1 sin(x+ )+cos(x− )的最大值为
5
3
6
A． 6 5
B．1
C． 3 5
（D） 3 3
D． 1 5
8.已知直线 a,b ，平面, ， b ， a / / ， a b ，那么“ a ”是“ ”的
（B） 3 4
（C） 3 5
2.已知向量 a (t,1) ， b ( 1, 2) .若 a b ，则实数 t 的值为（ ）
A. 2
B. 2
C. 1
1
D.Βιβλιοθήκη 223.在△ ABC 中，若 A π ， B π ， a 2 3 ，则 b
4
3
（A） 2 3
（B） 3 2
（D） 4 5
（C） 2 6
新疆 王新敞
奎屯
（2）求证：M 是线段 EF 的中点；
（3）求证： EC 平面 ABCD .
19. (本题满分 5 分) 利用周期知识解答下列问题
（Ⅰ）定义域为 R 的函数 f (x) 同时满足以下三条性质：
①存在 x0 R ,使得 f (x0 ) 0 ；
②对于任意 x R ，有 f (x 2) 9 f (x) .
值，再画图）；
x
2x
0
6
y
y
1
O
1
x
（3）求函数 f (x) 在[ , 2 ] 上的最大值和最小值,并指出相应的 x 的值； 12 3
16(本题满分 8 分)
如图，在四边形 ABCD 中， AB 7 ， AD 3, BD 5 ， BC 8,
C
DBC 60 .（1）求 ADB 的大小；（2）求 CD 的长；
（D） 3 3
4.已知三条不同的直线 l, m, n 和两个不同的平面 ， ，下列四个命题中正确的为
（A）若 m // ， n // ，则 m //n
（B）若 l //m ， m ，则 l //
（C）若 l // ， l // ，则 //
（D）若 l // ， l ，则
5.函数 f (x) sin πx cos πx 的最小正周期为
D
（3）求四边形 ABCD 的面积.
A
B
17. (本题满分 11 分)
如图，在三棱锥 A BCD 中，∠ABD=∠ABC=∠DCB=90°， E ， F , G 分别是 AC ， AD , BC 的中点. 求证：（1） AB 平面 BCD ； （2） CD ∥平面 EFG ； (3) 平面 ACD 平面 ABC ； (4)请在图中画出平面 EFG 截三棱锥 A BCD 的截面，判断截面形状并说明你的理由；
（5）若 AB =CD=4 ，求出第（4）问中的截面面积。
E
M F
C
B
D
A
18. (本题满分 9 分)
如图，已知正方形 ABCD 所在平面和平行四边形 ACEF 所在平面互相垂直，平面 ECB 平面 ABCD ，
AB=
2 ，M 是线段 EF 上的一点且 AM∥平面 BDE
新疆 王新敞
奎屯
（1）求证：平面 ABF∥平面 CDE
6
3
14.函数 f (x) 2 sin(x ) （ 0 π ）图象如图,则 的值为________， 的值为_________ .
2
三、解答题(本大题满分 42 分)
15. (本题满分 9 分) 函数 f (x) = 2sin(2x π ) 6
(1) 求函数
的单调递增区间和最小正周期；
(2) 请用“五点法”画出函数 f (x) 在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数
11.在平面直角坐标系中，角 的终边过点 A(3, 4) ，则 tan ；将射线 OA （ O 为坐标原点）按逆时针
方向旋转 后得到角 的终边，则 sin . 2
cos 2
12.已知
1 3
，则 cos2 ( π
)
2cos2
π
的值为____.
2
13.已知函数 f (x) sin(2x ) . 若 f ( π) f ( π) 2 ，则函数 f (x) 的单调增区间为_________ .
北京交大附中 2019－2020 学年第二学期期末练习 高一数学
命题人： 张虎
审题人： 马晓伟
说明：本试卷共 4 页，共 120 分。考试时长 90 分钟。
一、选择题：（本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）
2020.7
1.已知角 的终边经过点 P(3, 4) ，那么 cos =（ ）
（A） 3 4
③ f (x) 不是单调函数，但是它图像连续不断，
写出满足上述三个性质的一个函数 f (x) ，则 f (x)
. （不必说明理由）
(Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分.
（ⅰ）求 f (x) sin 2x cos3x 的最小正周期并说明理由
（ⅱ）求证： g(x) sin x cos x 不是周期函数
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
二、填空题：（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） 9.已知平面向量 a (1, 2), b (3,1) ，则向量 a, b 的夹角大小为_________
10.已知向量 a 与 b 的夹角为120o，且 a b 4 ，那么 b (3a + b) 的值为_________ .
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ．2.（填空题.3分）关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) .则此方程组的解x+y=___ ．3.（填空题.3分）设 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ .则cos2α=___ ． 4.（填空题.3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 .则a=___ ． 5.（填空题.3分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 .| b ⃗⃗ |=2. a ⃗•b ⃗⃗ =-3.则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ． 6.（填空题.3分）设S 1=12.S 2=12+22+12.S 3=12+22+32+22+12.….S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12．希望证明S n =n(2n 2+1)3.在应用数学归纳法求证上式时.第二步从k 到k+1应添的项是___ ．（不用化简）7.（填空题.3分）已知 a ⃗ + b ⃗⃗ + c ⃗ = 0⃗⃗ .且| a ⃗ |=3.| b ⃗⃗ |=4.| c ⃗ |=5.则 a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ =___ . a ⃗ • b⃗⃗ =___ ． 8.（填空题.3分）若数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.则a 1的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列.则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 10.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（5.5）. b ⃗⃗ =（λ.1）.若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角.则实数λ的取值范围为___ ．11.（填空题.3分）如图.已知O 为矩形ABCD 内的一点.且OA=2.OC=4.AC=5.则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．12.（填空题.3分）已知平面直角坐标系内定点A （1.1）.动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ．13.（单选题.3分）要得到函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象.只需将函数y=3sin2x 的图象（ ）A.向左平移 π3 个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 π6 个单位长度 D.向右平移 π6 个单位长度14.（单选题.3分）O 是平面上一定点.A 、B 、C 是平面上不共线的三个点.动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .λ∈[0.+∞）.则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心15.（单选题.3分）已知数列{a n }为等差数列.a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0.设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当{b n }的前n 项和S n 最小时.n 的值有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个16.（单选题.3分）设O 为△ABC 所在平面内一点.满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83 C. 127 D.417.（问答题.0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 .并对解的情况进行讨论．18.（问答题.0分）已知x∈R .设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx.sinx-cosx ）. n ⃗⃗ =（2sinx.sinx+cosx ）.记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值.并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若f （C ）=2.c=2 √3 .求△ABC 的面积S 的最大值．19.（问答题.0分）已知△ABC 内接于⊙O .AB=c.BC=a.CA=b.⊙O 的半径为r ． （1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .试求∠BOC 的大小； （2）若A 为动点.∠BAC=60°. AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .试求λ+μ的最大值．20.（问答题.4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2= n (n+1)(2n+1)6.其中n∈N*． （1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2.其中n∈N*.求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分.AB 与x 轴交于点A.把线段OA 分成n 等份.作以 an为底的内接矩形如图（2）.阴影部分的面积为S.等于这些内接矩形面积之和．a n×k×（ a n）2 +a n×k×（ 2a n）2 +a n×k×（ 3a n）2+…+ a n×k×（ n−1na ）2. 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n）2+k•（ 2n）2+k•（ 3n）2+…+k•（n−1n ）2]2• an= n→∞ 12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2=x．抛物线y= √x、x轴及直线AB：x=4围成了图中的阴影部分.请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和为S n.2S n+a n=3.n∈N*.数列{b n}满足：对于任意的）n-1+3n-3成立．n∈N*.都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n.问：数列{c n}中是否存在三项.使得它们构成等差数列？若存在.求出这三项；若不存在.请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ． 【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用反正弦函数的定义.特殊角的三角函数值.求得结果．【解答】：解：arcsin （sin 5π6 ）=arcsin 12 = π6 . 故答案为： π6 ．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义.特殊角的三角函数值.属于基础题． 2.（填空题.3分）关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) .则此方程组的解x+y=___ ．【正确答案】：[1] 307【解析】：推导出 {2x +y =63x −2y =0 .由此能求出x+y 的值．【解答】：解：∵关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) . ∴ {2x +y =63x −2y =0 .解得 {x =127y =187 . ∴x+y= 307． 故答案为： 307 ．【点评】：本题考查方程的解求法.考查增广矩阵等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（填空题.3分）设 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ .则cos2α=___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值.再求cos2α的值．【解答】：解：由 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ . 则sinαcosα- 32 × 13 =0. 所以sinαcosα= 12 . 所以sin2α=1； 所以2α= π2 +2kπ.k∈Z ； 所以cos2α=0． 故选：0．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题.是基础题． 4.（填空题.3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 .则a=___ ． 【正确答案】：[1] √3【解析】：由题意化简函数f （x ）.将函数的对称轴代入可得辅助角的值.进而求出正切值.可得a 的值．【解答】：解：由题意显然a≠0.当a ＞0时.f （x ）= √a 2+1 sin （x+α）.且tanα= 1a . 因为函数的一条对称轴为x= π3.所以 π3+α= π2+kπ.k∈Z . 所以α= π6+kπ.k∈Z . 则tanα=tan （ π6+kπ）= √33. 所以 √33= 1a.解得：a= √3 ；当a ＜0.则f （x ）=- √a 2+1 sin （x+α）.且tanα= 1a . 下面运算相同. 综上所述.可得a= √3 . 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质.属于基础题．5.（填空题.3分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 .| b ⃗⃗ |=2. a ⃗•b ⃗⃗ =-3.则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1] √7【解析】：求出（a⃗+2b⃗⃗）2.开方即为| a⃗+2b⃗⃗ |．【解答】：解：（a⃗+2b⃗⃗）2= a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 =3-12+16=7.∴| a⃗+2b⃗⃗ |= √7．故答案为：√7．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.属于基础题．6.（填空题.3分）设S1=12.S2=12+22+12.S3=12+22+32+22+12.….S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n= n(2n2+1).在应用数学归纳法求证上式时.第二步从k到k+1应添的项是___ ．（不用化简）3【正确答案】：[1]（k+1）2+k2【解析】：分别写出n=k与n=k+1时S n中的项.然后确定从k到k+1应添的项．【解答】：解：当n=k时.S n=12+22+32+…+k2+…+32+22+12.那么.当n=k+1时.S k+1=12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2.故答案为：（k+1）2+k2．【点评】：本题考查数学归纳法证题的步骤.考查逻辑思维能力与推理论证能力.是基础题．7.（填空题.3分）已知a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗ .且| a⃗ |=3.| b⃗⃗ |=4.| c⃗ |=5.则a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗ =___ . a⃗• b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-25; [2]0【解析】：首先.根据a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗得到c⃗=−(a⃗+b⃗⃗) .然后.根据| c⃗ |=5.求解a⃗•b⃗⃗=0 .然后.再求解a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗的值．【解答】：解：∵ a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗ .∴ c⃗=−(a⃗+b⃗⃗) .∵| c⃗ |=5.∴（a⃗+b⃗⃗）2=25.∴| a⃗|2+2a⃗•b⃗⃗+|b⃗⃗|2 =25.∵| a⃗ |=3.| b⃗⃗ |=4.∴9+2 a⃗•b⃗⃗ +16=25.a ⃗•b⃗⃗=0 . ∴ a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ = a ⃗ • b ⃗⃗ + c ⃗ •（ a ⃗ + b ⃗⃗ ） = a ⃗•b ⃗⃗ -（ a ⃗+b ⃗⃗ ）2 =0-25=-25． 故答案为：-25；0．【点评】：本题重点考查了平面向量的基本运算.数量积的运算性质等知识.属于中档题． 8.（填空题.3分）若数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.则a 1的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-4.-2）∪（-2.0）【解析】：设公比为q.由题意可得0＜|q|＜1.且 a11−q =-2.解不等式可得所求范围．【解答】：解：数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.设公比为q.可得0＜|q|＜1.且 a11−q =-2.则q=1+ a12 .由0＜|1+ a12 |＜1.解得-4＜a 1＜-2或-2＜a 1＜0. 故答案为：（-4.-2）∪（-2.0）．【点评】：本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题． 9.（填空题.3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列.则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n }是公比为q 的等比数列. ∴ |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =a 1a 5a 9+a 4a 8a 3+a 2a 6a 7-a 7a 5a 3-a 8a 6a 1-a 4a 2a 9 = a 13q 12 + a 13q 12 + a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 =0． 故答案为：0．【点评】：本题考查三阶行列式的值的求法.考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．10.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（5.5）. b ⃗⃗ =（λ.1）.若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角.则实数λ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-7.1）∪（1.7）【解析】：可先求出 a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) .根据题意即可得出 {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0.然后解出λ的值即可．【解答】：解： a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) . ∵ a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 的夹角是锐角. ∴ (a ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)＞0 .且 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 不共线. ∴ {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0 .解得-7＜λ＜7且λ≠1.∴实数λ的取值范围为（-7.1）∪（1.7）． 故答案为：（-7.1）∪（1.7）．【点评】：本题考查了向量坐标的加法和减法运算.向量数量积的计算公式.共线向量的坐标关系.考查了计算能力.属于基础题．11.（填空题.3分）如图.已知O 为矩形ABCD 内的一点.且OA=2.OC=4.AC=5.则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]- 52【解析】：建立坐标系.设O （m.n ）.C （a.b ）.根据条件得出O.C 的坐标之间的关系.再计算 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：以A 为原点.以AB.AD 为坐标轴建立平面直角坐标系. 设O （m.n ）.B （a.0）.D （0.b ）.则C （a.b ）. ∵OA=2.OC=4.AC=5.∴ {a 2+b 2=25m 2+n 2=4(m −a )2+(n −b )2=16 .整理可得：am+bn= 132 ． 又 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-m.-n ）. OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-m.b-n ）. ∴ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m （m-a ）+n （n-b ）=m 2+n 2-（am+bn ）=4- 132 =- 52 ． 故答案为：- 52 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.属于中档题．12.（填空题.3分）已知平面直角坐标系内定点A （1.1）.动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ． 【正确答案】：[1]24π【解析】：本题先将B 固定.得到C 的轨迹.C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环.即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】：解：因为动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.所以B 点的轨迹是以A 为圆心.2为半径的一个圆. 又因为动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.所以C 点轨迹是以B 为圆心.3为半径的一个圆. 当B 点在圆上运动时.C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环.其中大圆的半径为5.小圆的半径是1.所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π-12π=24π．【点评】：本题考查根据曲线的轨迹方程求面积.考查学生的直观想象能力和作图能力.易错点是把覆盖的面积看成一整个圆.属于中档题．13.（单选题.3分）要得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象.只需将函数y=3sin2x的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度【正确答案】：C【解析】：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6）.故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位即可实现目标．【解答】：解：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6）.故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位.即可得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象．故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.属于中档题．14.（单选题.3分）O 是平面上一定点.A 、B 、C 是平面上不共线的三个点.动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .λ∈[0.+∞）.则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心【正确答案】：B【解析】：先根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量.确定 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BA C 的角平分线一致.再由OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 可得到 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）.可得答案．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BAC 的角平分线一致又∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|） ∴向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心 故选：B ．【点评】：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15.（单选题.3分）已知数列{a n }为等差数列.a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0.设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当{b n }的前n 项和S n 最小时.n 的值有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【正确答案】：B【解析】：根据等差数列的性质.可推得a 100=0.进而可得数列{a n }为递增数列.a 99＜0.a 101＞0.根据题意.b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当n≤97时.b n ＜0；当n=98.n=99.n=100时.b n =0；当n≥101时.b n ＞0．所以{b n }的前n 项和S n 最小时.n=97或n=98或n=99或n=100.共4个．【解答】：解：∵数列{a n }为等差数列 ∴a 1+a 199=a 2+a 198=…=a 99+a 101=2a 100. 又∵a 1+a 2+a 3+…+a 199=0. 即199a 100=0. ∴a 100=0．又∵a 1＜0.∴数列{a n }为递增数列. ∴a 99＜0.a 101＞0.∵b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.∴{b n }的前n 项和S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2. 当n≤97时.b n ＜0.当n=98.n=99.n=100时.b n =0. 当n≥101时.b n ＞0.∴{b n }的前n 项和S n 最小时.n=97或n=98或n=99或n=100.共4个． 故选：B ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质.考查数列的前n 项和的最值.考查学生运算和推理的能力.属于中档题．16.（单选题.3分）设O 为△ABC 所在平面内一点.满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83 C. 127 D.4【正确答案】：D【解析】：先设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .于是得到点O 是△A 1B 1C 1的重心.则 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k.再结合三角形面积公式即可求出△ABC 的面积与△BOC 的面积.进而得到答案．【解答】：解：不妨设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示.根据题意则 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .即点O 是△A 1B 1C 1的重心.所以有 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k. 又因为 S △OBCS△OB 1C 1=OB•OCOB1•OC 1=121 . S △OABS△OA 1B 1=OA•OB OA1•OB 1=114 . S △OACS△OA 1C 1=OA•OC OA1•OC 1=16 .那么 S △OBC =121k . S △OAB =114k . S △OAC =16k .S △ABC =S △OAB +S △OAC −S △OBC =(114+16−121)k =421k . 故△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为 421k 121k =4 ．故选：D ．【点评】：本题考查了向量的数乘运算.重心的性质.三角形的面积公式.考查了转化与化归的数学思想.属于难题．17.（问答题.0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 .并对解的情况进行讨论．【正确答案】：【解析】：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0）.解得a.可得方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0）.解得a.可得方程组无解．（3）若a=2时.方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 .解出即可判断出结论．．若a-2≠0. a1 ≠ 3a−2 .解出可得方程组有唯一解．【解答】：解：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0）.则a=3.此时两条直线重合.方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0）.则a=-1.此时两条直线平行.方程组无解．（3）若a=2时.方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 .解得 {x =−2y =−13 ．若a-2≠0. a 1≠ 3a−2.则a≠3.-1.2.此时两条直线相交.方程组有唯一解 {x =−a−4a+1y =−1a+1．【点评】：本题考查了方程组的解法、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题． 18.（问答题.0分）已知x∈R .设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx.sinx-cosx ）. n ⃗⃗ =（2sinx.sinx+cosx ）.记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值.并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若f （C ）=2.c=2 √3 .求△ABC 的面积S 的最大值．【正确答案】：【解析】：结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f （x ）=2sin （2x- π6 ）．（1）根据正弦函数的图象可知.当2x- π6= −π2+2kπ时.f （x ）可取得最小值． （2）易知C= π3 .由余弦定理得.cosC= a 2+b 2−c 22ab .再利用基本不等式的性质可求出ab 的最大值.然后根据S △ABC = 12 absinC 即可得解．【解答】：解：f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ =2 √3 sinxcosx+（sinx-cosx ）（sinx+cosx ）= √3 sin2x-cos2x=2sin （2x- π6 ）． （1）∵x∈R .∴2x - π6 ∈R .当2x- π6 = −π2 +2kπ.即x= −π6 +kπ.k∈Z 时.f （x ）min =2×（-1）=-2． 故f （x ）的最小值为-2.此时x= −π6 +kπ.k∈Z ．（2）∵f （C ）=2.∴2sin （2C- π6 ）=2.∴2C - π6 = π2 +2π.k∈Z .即C= π3 +kπ.k∈Z ． ∵C∈（0.π）.∴C= π3 ． 由余弦定理知.cosC= a 2+b 2−c 22ab .即 12 = a 2+b 2−122ab ≥ 2ab−122ab .当且仅当a=b 时.取等号．∴ab≤12.∴S △ABC = 12 absinC≤ 12×12×√32= 3√3 ． 故△ABC 的面积S 的最大值为 3√3 ．【点评】：本题考查平面向量与解三角形的综合运用.包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知△ABC 内接于⊙O .AB=c.BC=a.CA=b.⊙O 的半径为r ． （1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .试求∠BOC 的大小； （2）若A 为动点.∠BAC=60°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .试求λ+μ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .得∴- OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .等式两边同时平方.即可求得cos∠BOC=- √32 .进而求得∠BOC= 56π ．（2）因为⊙O 中.∠BAC=60°.所以∠BOC=120°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .等式两边同时平方.可得λ2+μ2=λμ+1.根据均值不等式.即可求得λ+μ≤2．【解答】：解：（1）∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ . ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2. ∵AO=OB=OC=r .∴r 2=4r 2+2•2• √3 r 2•cos∠BOC+3r 2. 计算得cos∠BOC=- √32 . 由题.∠BOC∈（0.π）. ∴∠BOC= 56π ．（2）由题.⊙O 中.∠BAC=60°. ∴∠BOC=120°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（ λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2. ∴r 2=λ2r 2+2•λ•μr 2•cos120°+μ2r 2. ∴λ2+μ2=λμ+1.根据题意.可知λ＞0.μ＞0. ∴（λ+μ）2=3λμ+1≤3• (λ+μ)24+1.（当且仅当λ=μ时等式成立）.∴（λ+μ）2≤4 ∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想.属于中档题．20.（问答题.4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2=n (n+1)(2n+1)6.其中n∈N*．（1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2.其中n∈N*.求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分.AB 与x 轴交于点A.把线段OA 分成n 等份.作以 an 为底的内接矩形如图（2）.阴影部分的面积为S.等于这些内接矩形面积之和．an ×k×（ an ）2 +an ×k×（ 2an ）2 +an ×k×（ 3an ）2+…+ an ×k×（ n−1na ）2. 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n ）2+k•（ 2n ）2+k•（ 3n ）2+…+k•（n−1n ）2]2• a n=n→∞12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y 2=x ．抛物线y= √x 、x 轴及直线AB ：x=4围成了图中的阴影部分.请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【正确答案】：【解析】：（1）直接利用关系式的应用求出函数的值． （2）利用合比性质的应用求出n 的值．（2）首先求出被积函数原函数.进一步求出定积分的值．【解答】：解：（1）f （20）=（-59）2+（-56）2+...+（-5）2+（-2）2+12+42+...+（58）2. =12+22+32+...+592-[32+62+92+ (572)=12+22+32+…+592-[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2] =12+22+32+…+592-[9×（12+22+32+…+192）] =59×(59+1)×(2×59+1)6 -9× 19×(19+1)(2×19+1)6=47980； （2） 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .由合比性质可知 12+32+⋯+(2n+1)2+22+42+⋯+(2n )222+42+⋯+(2n )2 = 49+4848. 所以(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]64×n (n+1)(2n+1)6= 9748 .解得n=72.所以自然数n 的值为72．（3）S= ∫√x 40dx = 23x 32|04=163．【点评】：本题考查的知识要点：数列的求和.合比性质.定积分.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和为S n.2S n+a n=3.n∈N*.数列{b n}满足：对于任意的n∈N*.都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13）n-1+3n-3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n.问：数列{c n}中是否存在三项.使得它们构成等差数列？若存在.求出这三项；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）将n换为n-1.运用数列的递推式.结合等比数列的定义和通项公式.可得所求通项；（2）a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13）n-1+3n-3中的n换为n-1.乘以13.相减可得所求通项公式；（3）求得c n=a n b n= 2n−13n−1.讨论单调性.假设存在三项c s.c p.c r成等差数列.其中s.p.r∈N*.运用等差数列中项性质和不等式的性质.推理运算.即可得到所求结论．【解答】：解：（1）由2S n+a n=3. ①得2S n-1+a n-1=3.（n≥2）. ②由① - ② 得2a n+a n-a n-1=0.即a n= 13a n-1（n≥2）．对① 取n=1得.a1=1≠0.所以a n≠0.所以{a n}为等比数列.首项为1.公比为13.即a n=（13）n-1.n∈N*．（2）由a n=（13）n-1.可得对于任意n∈N*．有b n+ 13 b n-1+（13）2b n-2+…+（13）n-1b1=（13）n-1+3n-3. ③则b n-1+ 13 b n-2+（13）2b n-3+…+（13）n-2b1=（13）n-2+3n-6.n≥2. ④则13 b n-1+（13）2b n-2+（13）3b n-3+…+（13）n-1b1=（13）n-1+n-2.n≥2. ⑤由③ - ⑤ 得b n=2n-1（n≥2）.对③ 取n=1得.b1=1也适合上式. 因此b n=2n-1.n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n =a n b n = 2n−13n−1 . 则c n+1-c n =2n+13n - 2n−13n−1 = 4(1−n )3n. 所以当n=1时.c n+1=c n .即c 1=c 2.当n≥2时.c n+1＜c n .即{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减. 故c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞….假设存在三项c s .c p .c r 成等差数列.其中s.p.r∈N*. 由于c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞….可不妨设s ＜p ＜r.则2c p =c s +c r （*）. 即2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1. 因为s.p.r∈N*.且s ＜p ＜r.则s≤p -1且p≥2. 由数列{c n }的单调性可知.c s ≥c p-1.即 2s−13s−1 ≥ 2p−33p−2. 因为c r =+ 2r−13r−1 .＞0. 所以 2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1 ＞ 2p−33p−2 . 即以2(2p−1)3p−1 ＞ 2p−33p−2.化简得p ＜ 72 .又p≥2且p∈N*.所以p=2或p=3.当p=2时.s=1.即c 1=c 2=1.由r≥3时.c r ＜c 2=1. 此时c 1.c 2.c r 不构成等差数列.不合题意．当p=3时.由题意s=1或s=2.即c s =1.又c p =c 3= 59 . 代入（*）式得c r = 19 ．因为数列{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减.且c 5= 19 . r≥4.所以r=5．综上所述.数列{c n }中存在三项c 1.c 3.c 5或c 2.c 3.c 5构成等差数列．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法.注意运用数列的递推式.考查等差数列中项性质.以及分类讨论思想方法.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。
2019-2020学年北京交大附中东校区高二(下)期末数学试卷
2019-2020学年北京交大附中东校区高二（下）期末数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）若复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.则实数x的值为（）A.-1B.0C.1D.-1或12.（单选题.4分）已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是（2.0）.那么实数k=（）A. √3B. √5C.3D.53.（单选题.4分）复数i3（1+i）2=（）A.2B.-2C.2iD.-2i4.（单选题.4√3+i1−√3i（i为虚数单位）等于（）A.1B.-1C.iD.-i5.（单选题.4分）在复平面内.若复数z=（m2-4m）+（m2-m-6）i所对应的点在第二象限.则实数m的取值范围是（）A.（0.3）B.（-∞.-2）C.（-2.0）D.（3.4）6.（单选题.4分）椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2.N是MF1的中点.O是椭圆中心.则|ON|的值是（）A.2B.4C.8D. 327.（单选题.4分）（2x-1）6展开式中各项的系数和为（）A.-1B.1C.26D.128.（单选题.4分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象.给出下列命题：① -3是函数y=f（x）的极值点；② -1是函数y=f（x）的最小值点；③ y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④ y=f（x）在区间（-3.1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ① ④9.（单选题.4分）若f（x）=2lnx-x2.则f′（x）＞0的解集为（）A.（0.1）B.（-∞.-1）∪（0.1）C.（-1.0）∪（1.+∞）D.（1.+∞）10.（单选题.4分）某校实行选科走班制度.张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科.且物理在A层班级.生物在B层班级.该校周一上午课程安排如表所示.张毅选择三个科目的课各上一节.另外一节上自习.则他不同的选课方法有（）第一节第二节第三节第四节B.10种C.12种D.14种11.（填空题.5分）若随机变量X的概率分布如表.则表中a的值为___ ．12.（填空题.5分）在（√x +x）6的展开式中.常数项为___ （用数字作答）．13.（填空题.5分）由1.2.3.4组成没有重复数字的三位数.其中奇数的个数为___ ．14.（填空题.5分）在10件产品中.有3件次品.从中任取4件.则恰有两件次品的取法种数为___ ．15.（填空题.5分）椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1.F2.过F2的直线交椭圆于P.Q两点（P在x轴上方）.|PF1|=|PQ|．若PQ⊥PF1.则椭圆的离心率e=___ ．16.（问答题.14分）已知函数f（x）= 13x3-ax2+4.且x=2是函数f（x）的一个极小值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[-1.3]上的最大值和最小值．17.（问答题.14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行.更带动了我国经济的巨大发展．据统计.在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度.现从中随机抽取100人次作为样本.得到如表（单位：人次）：（1）在样本中任取1个.求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中.随机选取2人次.记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率.求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市.那么根据表格中的数据.你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．18.（问答题.14分）改革开放40年来.体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元）.折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年.求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年.设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数.求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断.从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）19.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x-ax（a为常数）．（1）当a=0时.求f（x）过原点的切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间和极值；（3）若∀x∈[0.1].f（x）≥0恒成立.求a的取值范围．20.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63.且过点(√6，0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与y轴交于点N.点M（3.0）关于直线l的对称点P在椭圆C上.求|ON|的取值范围．21.（问答题.14分）已知函数f(x)=e x−x+1x−1．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；（Ⅱ）判断函数f（x）的零点的个数.并说明理由；（Ⅲ）设x0是f（x）的一个零点.证明曲线y=e x在点(x0，e x0)处的切线也是曲线y=lnx的切线．2019-2020学年北京交大附中东校区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）若复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.则实数x的值为（）A.-1B.0C.1D.-1或1【正确答案】：A【解析】：复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.复数的实部为0.虚部不等于0.求解即可．【解答】：解：由复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.{x 2−1=0x−1≠0可得x=-1故选：A．【点评】：本题考查复数的基本概念.考查计算能力.是基础题．2.（单选题.4分）已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是（2.0）.那么实数k=（）A. √3B. √5C.3D.5【正确答案】：D【解析】：通过椭圆的焦点.确定k＞1.利用a.b.c的关系.求出k的值即可．【解答】：解：因为椭圆x 2k+y2=1的一个焦点是（2.0）. 所以k＞1.所以k-1=4.k=5．【点评】：本题考查椭圆的标准方程及简单性质.属于基础题．3.（单选题.4分）复数i3（1+i）2=（）A.2B.-2C.2iD.-2i【正确答案】：A【解析】：复数i的幂的计算.直接乘积展开可得结果．【解答】：解：i3（1+i）2=（-i）（2i）=2.故选：A．【点评】：复数代数形式的运算.注意i 的幂的运算.是基础题．4.（单选题.4√3+i1−√3i（i为虚数单位）等于（）A.1B.-1C.iD.-i【正确答案】：C【解析】：先把√3+i1−√3i√3+ i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i).由此能求出结果．【解答】：解：√3+i1−√3i= √3+ i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i)= 4i4=i．故选：C．【点评】：本题考查复数的代数形式的乘除运算.解题时要认真审题.仔细解答．5.（单选题.4分）在复平面内.若复数z=（m2-4m）+（m2-m-6）i所对应的点在第二象限.则实数m的取值范围是（）B.（-∞.-2）C.（-2.0）D.（3.4） 【正确答案】：D【解析】：由题意.复平面内.若复数z=（m 2-4m ）+（m 2-m-6）i 所对应的点在第二象限.由复数的几何意义知.其对应的点的坐标横坐标为负.纵坐标为正.由此关系建立关于实数m 的不等式.解出它的取值范围.即可选出正确选项【解答】：解：∵在复平面内.若复数z=（m 2-4m ）+（m 2-m-6）i 所对应的点在第二象限. ∴ {m 2−4m ＜0m 2−m −6＞0 解得3＜x ＜4 ∴实数m 的取值范围是（3.4） 故选：D ．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义.解题的关键是根据复数的几何意义得出实数m 所满足的不等式组.从而解出它的取值范围.得数的几何意义也是高考的热点.多以选择题的形式出现.对此概念应熟练牢固掌握.且能利用它灵活转化 6.（单选题.4分）椭圆 x 225+y 29=1 上一点M 到焦点F 1的距离为2.N 是MF 1的中点.O 是椭圆中心.则|ON|的值是（ ）A.2B.4C.8D. 32【正确答案】：B【解析】：|MF 2|=10-2=8.ON 是△MF 1F 2的中位线.由此能求出|ON|的值．【解答】：解：∵|MF 2|=10-2=8. ON 是△MF 1F 2的中位线. ∴ |ON |=|MF 2|2=4 .故选：B ．【点评】：本题考查椭圆的写定义和三角形的中位线.作出草图数形结合效果更好．7.（单选题.4分）（2x-1）6展开式中各项的系数和为（）A.-1B.1C.26D.12【正确答案】：B【解析】：利用赋值法.令x=1.即可求出展开式中各项系数和．【解答】：解：由题意.不妨设(2x−1)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6．令x=1得：16=a0+a1+a2+…+a6=1.即展开式中各项系数和为1．故选：B．【点评】：本题考查二项式定理以及赋值法求展开式系数和的问题.属于基础题．8.（单选题.4分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象.给出下列命题：① -3是函数y=f（x）的极值点；② -1是函数y=f（x）的最小值点；③ y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④ y=f（x）在区间（-3.1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ① ④【正确答案】：D【解析】：根据导函数的图象得到导函数的符号.根据导函数的符号判断出函数单调性.根据函数的单调性求出函数的极值及最值.判断出① ② ④ 的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率.判断出③ 的对错．【解答】：解：由导函数y=f′（x）的图象知f（x）在（-∞.-3）单调递减.（-3.+∞）单调递增所以① -3是函数y=f（x）的极小值点.即最小值点故① 对② 不对∵0∈.（-3.+∞）又在（-3.+∞）单调递增∴f′（0）＞0故③ 错∵f（x）在（-3.+∞）单调递增∴y=f（x）在区间（-3.1）上单调递增故④ 对故选：D．【点评】：根据导函数的符号判断函数的单调性：导函数大于0.函数单调递增；导函数小于0.函数单调递减．注意函数的极值点的左右的导函数符号要相反．9.（单选题.4分）若f（x）=2lnx-x2.则f′（x）＞0的解集为（）A.（0.1）B.（-∞.-1）∪（0.1）C.（-1.0）∪（1.+∞）D.（1.+∞）【正确答案】：A【解析】：求函数的定义域和函数的导数.直接解导数不等式即可．【解答】：解：∵f（x）=2lnx-x2.∴函数的定义域为（0.+∞）.则f'（x）= 2x −2x=2−2x2x.由f'（x）= 2x −2x=2−2x2x＞0.得x2-1＜0.即0＜x＜1.即不等式的解集为（0.1）. 故选：A．【点评】：本题主要考查导数的基本运算.要求掌握常见函数的导数公式.比较基础．10.（单选题.4分）某校实行选科走班制度.张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科.且物理在A层班级.生物在B层班级.该校周一上午课程安排如表所示.张毅选择三个科目的课各上一节.另外一节上自习.则他不同的选课方法有（）B.10种C.12种D.14种【正确答案】：B【解析】：根据分类计数原理即可求出【解答】：解：由于生物在B层.只有第2.3节有.故分2两类.若生物安排第2节.其他任意排即可.故有A33=6种.若生物安排第3节.则政治有2种方法.其他任意排.故有C21A22=4根据分类计数原理可得6+4=10种.故选：B．【点评】：本题考查了分类计数原理.关键是分类.属于基础题11.（填空题.5分）若随机变量X的概率分布如表.则表中a的值为___ ．【解析】：利用离散型随机变量的分布列的性质直接求解．【解答】：解：由随机变量X的概率分布表得：0.2+0.3+0.3+a=1.解得a=0.2．故答案为：0.2．【点评】：本题考查概率的求法.考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．12.（填空题.5分）在（√x + 1x）6的展开式中.常数项为___ （用数字作答）．【正确答案】：[1]15【解析】：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项.令x的指数为0求出常数项．【解答】：解：（√x + 1x）6展开式的通项为T r+1=C6r x6−3r2 .令6-3r=0得r=2.故展开式的常数项为T3=C62=15．故答案为：15【点评】：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.（填空题.5分）由1.2.3.4组成没有重复数字的三位数.其中奇数的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：先排个位.再排百位与十位.由乘法原理可得所求的结果．【解答】：解：由题意可得.个位是奇数有1或3.2种方法.百位与十位可从剩余的三个数中任选2个的排列有A32种方法.由乘法原理可得满足条件的三位奇数共有2A32=12个．故答案为：12．【点评】：本题考查计数原理的应用.重点考查学生对分步乘法计数原理的应用．14.（填空题.5分）在10件产品中.有3件次品.从中任取4件.则恰有两件次品的取法种数为___ ．【正确答案】：[1]63【解析】：直接根据组合的知识即可求出．【解答】：解：由题意知从10件产品中取4件.恰有2件次品的取法是C32C72=63.故答案为：63．【点评】：本题考查了排列问题和分步计数原理.属于基础题．15.（填空题.5分）椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1.F2.过F2的直线交椭圆于P.Q两点（P在x轴上方）.|PF1|=|PQ|．若PQ⊥PF1.则椭圆的离心率e=___ ．【正确答案】：[1] √6 - √3【解析】：设|PF 2|的值.由椭圆的定义可得|PF 1|的值.再由|PF 1|=|PQ|.可得|QF 2|.|QF 1|的值.由若PQ⊥PF 1.在两个三角形中由勾股定理可得a.c 的关系.进而求出椭圆的离心率．【解答】：解设|PF 2|=m.则|PF 1|=2a-m. 因为|PF 1|=|PQ|.所以|QF 2|=2a-m-m=2a-2m. 由椭圆的定义可得|QF 1|=2a-（2a-2m ）=2m.因为PQ⊥PF 1.在△PF 1Q 中.|QF 1|2=2|PF 1|2.即4m 2=2（2a-m ）2 ① .可得m= 2√2+1a. 在△PF 1F 2中.|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2.即4c 2=（2a-m ）2+m 2 ② . 由 ① - ② ×2可得4m 2-8c 2=-2m 2.即m 2= 43 c 2.可得m= 2√3 c. ③ .所以 2√2+1 a= 2√3c.所以 ca = √6 - √3故答案为： √6 - √3 ．【点评】：本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合.属于中档题．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）= 13 x 3-ax 2+4.且x=2是函数f （x ）的一个极小值点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在区间[-1.3]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由函数极值的定义得f'（2）=0.利用导数法求得即可； （2）利用导数判断函数的单调性并由函数的增减性求得函数的最值．【解答】：（本小题满分11分）解：（Ⅰ）f'（x ）=x 2-2ax ．…（2分）∵x=2是函数f （x ）的一个极小值点.∴f'（2）=0．即4-4a=0.解得a=1．…（4分）经检验.当a=1时.x=2是函数f（x）的一个极小值点．∴实数a的值为1．…（5分）x3−x2+4．f'（x）=x2-2x=x（x-2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知. f(x)=13令f'（x）=0.得x=0或x=2．…（6分）当x在[-1.3]上变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下：；当x=-1或x=2时.f（x）有最小值83当x=0或x=3时.f（x）有最大值4．…（11分）【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识.属常规题目.中档题．17.（问答题.14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行.更带动了我国经济的巨大发展．据统计.在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度.现从中随机抽取100人次作为样本.得到如表（单位：人次）：（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中.随机选取2人次.记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率.求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市.那么根据表格中的数据.你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据分层抽样的特征可以得知.样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19.39.42.即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X服从二项分布.先计算出随机选取1人次.此人为老年人概率是1575=15.所以X～B(2，15) .即P(x=k)=C2k(15)k(1−15)2−k.即可求出X的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．【解答】：解：（1）设事件：“在样本中任取1个.这个出行人恰好不是青年人”为M. 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19.39.42.所以在样本中任取1个.这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=19+39100=2950；（2）由题意.X的所有可能取值为：0.1.2.因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中.随机选取1人次.此人为老年人概率是1575=15.所以P(X=0)=C20×(1−15)2=1625. P(X=1)=C21×15×(1−15)=825. P(X=2)=C22×(15)2=125.所以随机变量X的分布列为：故E(X)=0×25+1×25+2×25=5；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知.乘坐高铁的人满意度均值为：52×10+12×5+11×052+12+11=11615.乘坐飞机的人满意度均值为：4×10+14×5+7×04+14+7=225.因为11615＞225.所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．【点评】：本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算.解题关键是对题意的理解.概率类型的判断.属于中档题．18.（问答题.14分）改革开放40年来.体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元）.折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年.求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年.设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数.求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断.从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年.该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知.2009年.2011年.2015年.2016年满足要求.由此能求出所求的概率．（Ⅱ）由题意可知.X的所有可能取值为0.1.2.3.分别求出相应的概率.由此能求出X的分布列和期望．（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解答】：解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年.该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知.2009年.2011年.2015年.2016年满足要求.故P(A)=410=25…（4分）（Ⅱ）由题意可知.X的所有可能取值为0.1.2.3.且 P (X =0)=C 63C 103=16 .P (X =1)=C 41C 62C 103=12 . P (X =2)=C 42C 61C 103=310 .P (X =3)=C 43C 103=130 ．所以X 的分布列为：故X 的期望 E (X )=0×6+1×2+2×10+3×30=5 …（10分） （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大…（13分）【点评】：本题考查概率的求法.考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是中档题． 19.（问答题.15分）已知函数f （x ）=e x -ax （a 为常数）． （1）当a=0时.求f （x ）过原点的切线方程； （2）讨论f （x ）的单调区间和极值；（3）若∀x∈[0.1].f （x ）≥0恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设切点坐标为（x 0.e x 0 ）.根据导数得几何意义和斜率公式即可求出切线方程； （2）根据导数和函数单调性和极值的关系.分类讨论即可求出求出； （3）分离参数.构造函数.利用导数求出函数的最值即可求出a 的范围．【解答】：解：（1）当a=0时.f （x ）=e x . 则f′（x ）=e x .设切点坐标为（x 0.e x 0 ） ∴f′（x 0）=e x 0= e x 0x 0.解得x 0=1.∴f′（1）=e.∴f（x）过原点的切线方程y=ex；（2）f（x）=e x-ax.∴f′（x）=e x-a.当a≤0时.f′（x）≥0恒成立.函数f（x）在（-∞.+∞）上单调递增.无极值；当a＞0时.令f′（x）=0.解得x=lna.当x＜lna时.f′（x）＜0.函数f（x）在（-∞.lna）上单调递减.当x＞lna时.f′（x）＞0.函数f（x）在（lna.+∞）上单调递增.∴f（x）极小值=f（lna）=e lna-alna=a-alna.无极大值；（3）∀x∈[0.1].f（x）≥0恒成立.即e x-ax≥0.当x=0时.1≥0恒成立.当x≠0时.a≤ e xx .设g（x）= e xx.x∈（0.1].∴g′（x）= e x(x−1)x2≤0恒成立.∴g（x）在（0.1]上单调递减.∴g（x）min=g（1）=e.∴a≤e.综上所述a≤e．【点评】：本题考查导数的综合应用.利用导数求函数的单调性及极值最值.考查不等式与函数单调性的应用.考查转化思想.是一道综合题．20.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63.且过点(√6，0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与y轴交于点N.点M（3.0）关于直线l的对称点P在椭圆C上.求|ON|的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得 {c a=√63a =√6a 2=b 2+c 2.解得即可.（Ⅱ）由题意可得：直线l 的斜率存在.设点P （x 0.y 0）（y 0≠0）.则线段MP 的中点D.且直线MP 的斜率k MP .由点M （3.0）关于直线l 的对称点为P.可得MP⊥l .可得k l .可得直线l 的方程为.令x=0.求出点N 的坐标.再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得 {c a=√63a =√6a 2=b 2+c 2 .解得a= √6 .c=2.b= √2 .故椭圆方程为 x 26+ y 22=1.（II ）由题意可得：直线l 的斜率存在.设点P （x 0.y 0）（y 0≠0）. 则线段MP 的中点D （x 0+32. y 02 ）且直线MP 的斜率k MP = y 0x0−3. 由点M （3.0）关于直线l 的对称点为P.∴MP⊥l . ∴k l =-x 0−3y 0. ∴直线l 的方程为：y- y02 =- x 0−3y 0 （x- x 0+32）. 令x=0.解得y= x 02+y 02−92y 0.∵x 02=6-3y 02.∴y=- 3+2y 022y 0则N （0.- 3+2y 022y 0）.∴|ON|= 3+2y 022|y 0| =|y 0|+ 32|y 0| ≥2 √|y 0|•32|y 0| = √6 .当且仅当y 0=± √62 时取等号．∴|ON|的取值范围为[ √6 .+∞）．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、线段垂直平分线的性质、基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于难题． 21.（问答题.14分）已知函数 f (x )=e x −x+1x−1． （Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（0.f （0））处的切线方程； （Ⅱ）判断函数f （x ）的零点的个数.并说明理由；（Ⅲ）设x 0是f （x ）的一个零点.证明曲线y=e x 在点 (x 0，e x 0) 处的切线也是曲线y=lnx 的切线．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出x=0处的导数.利用点斜式写出切线方程即可； （Ⅱ）研究函数f （x ）的单调性、极值的符号等求解； （Ⅲ）只需要说明零点处的切线重合即可．【解答】：解：（Ⅰ）因为 f (x )=e x −x+1x−1 .所以 f′(x )=e x +2(x−1)2 . 所以f （0）=2.f′（0）=3.故切线方程为：y=3x+2． （Ⅱ）函数f （x ）有且仅有两个零点．易知f （x ）的定义域为{x|x∈R .且x≠1}.且f′（x ）＞0. 所以f （x ）在（-∞.1）.（1.+∞）上是增函数．因为f （0）=2＞0.f （-2）= 1e 2−13＜0 .所以f （x ）在（-∞.1）上有唯一零点； 又因为f （2）= e2−3＞0，f (54)=e 54−9＜0 .所以f （x ）在（1.+∞）上有唯一零点；综上.f （x ）有且仅有两个零点．（Ⅲ）易知.曲线y=e x 在点（ x 0，e x 0 ）处的切线为 y −e x 0=e x 0(x −x 0) .即 y =e x 0x −x 0e x 0+e x 0 ．再设曲线y=lnx 在点（x 3.y 3）处的切线斜率为 e x 0 . 则 e x 0=1x 3，x 3=1e x 0，y 3=−x 0 .即切点为 (1e x 0，−x 0) ．所以曲线y=lnx 的切线方程为 y +x 0=e x 0(x −1e x 0) .即 y =e x 0x −x 0−1 ． 因为x 0是f （x ）的一个零点.所以 e x 0=x 0+1x 0−1 .∴ −x 0e x 0+e x 0=e x 0(1−x 0) = x 0+1x 0−1(1−x 0)=−1−x 0 .故两条切线重合.结论成立．【点评】：本题考查导数的几何意义和综合应用.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．。
北京市2019-2020学年北京交大附高一(下)期末考试英语试卷(无答案)
北京交大附中2019—2020学年度第二学期期末练习命题人：高一英语组2020年7月说明：本试卷共9页；考试时长90分钟。
第一部分听力理解（共三节20分）第一节（共5小题；每小题1分，共5分）听下面5段对话。
每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话你将听一遍。
1. Who will speak at the meeting this afternoon?A. Lily.B. Sophia.C. Michael.2. Where does the man want to go?A. The railway station.B. The bus stop.C. The shopping mall.3. What’s the relationship between the two speakers?A. Teacher and student.B. Mother and son.C. Classmates.4. When will Dr. Block see the man tomorrow?A. At 9:30.B. At 11:00.C. At 11:30.5. How much will the man pay if he rents a room with laundry?A. 20 dollars.B. 40 dollars.C. 60 dollars.第二节(共10小题；每小题1分，共10分)听下面4段对话或独白。
每段对话或独白后有几道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有5秒钟的时间阅读每小题。
听完后，每小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白你将听两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6. What happened to the rich woman in Brazil?A. She lost her fortune.B. She made bad decisions.C. She went crazy.7. How does the man feel about the story?A. Upset.B. Curious.C. Sympathetic.听第7段材料，回答第8至9题。
北京市东城区2019-2020学年高一下学期期末考试统一检测数学试题(含答案解析)
北京市东城区2019-2020学年高一下学期期末考试统一检测数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习北京市东城区2019-2020学年高一下学期期末考试统一检测数学试题（含答案解析）1 复数的虚部为（）A. 2B.C. 1D. i【答案解析】 C【分析】直接利用复数的基本概念得答案.【详解】解：复数的虚部为1.故选：C.【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题2 已知向量，若，则（）A. B. C. －3 D. －6【答案解析】 A【分析】根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.【详解】解：向量，；若，则，即，解得.故选：A.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题3 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（）A. 某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B. 某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C. 某顾客消费210元，一定不能中奖D. 某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案解析】 B【分析】根据概率的定义进行判断.【详解】解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题4 要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案解析】 D【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：D.【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题5 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】 B【分析】化简复数，找出对应点得到答案.【详解】对应点为在第二象限故答案选B【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.6 设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案解析】 D【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.C.若，，则可能，所以不正确.D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.所以，所以有，所以正确.故选：D【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.7 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 B【分析】根据必要条件、充分条件的定义即可判断.【详解】解：由可不一定推出四边形为平行四边形，但由四边形为平行四边形一定可得，故“”是“四边形为平行四边形”的必要而不充分条件，故选：B.【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题8 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，∴细沙的体积为.细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，则，得.∴.故选：A.【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题9 若函数，则的值为______.【答案解析】【分析】由已知利用二倍角公式可求，进而根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】解：∵，∴.故答案为：.【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题10 已知复数z满足，那么__________，__________．【答案解析】 ;【分析】利用复数除法运算得到复数，进而求出其共轭与模即可.【详解】复数，故，．【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题.11 已知在△ABC中，，，，则B=______.【答案解析】60°或120°.【分析】由已知利用正弦定理可得，结合，可得范围，即可求解B 的值.【详解】解：∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，可得，∴，或.故答案为：，或.【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题12 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.【答案解析】 0.79.【分析】由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴，解得.∴a的最大值是0.79.故答案为：0.79.【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题13 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案解析】若，，则【分析】若，，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.【详解】解：l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，可得若，，则，理由：在内取两条相交直线a，b，由可得.，又，可得.，而a，b为内的两条相交直线，可得.故答案：若，，则【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题14 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是______.【答案解析】①④.【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.【详解】解：对于①，由为定值，所以，解得；由题意知时，单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；①正确.对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误.对于③，当时，，所以，③错误.对于④，当时，，所以，④正确.综上知，正确结论的序号是①④.故答案为：①④.【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题15 已知函数，其，_____.（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数的最大值和最小值.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.【答案解析】若选①（1）；（2）最小值，最大值；若选②（1），（2）最大值，最小值.【分析】（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；（2）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.【详解】解：选①，（1）因为，，故函数的周期；（2）因为，所以，当即时，函数取得最小值，当即时，函数取得最大值，选②，（1），，故函数的一个周期，（2）由可得，时即时，函数取得最大值，当时即时，函数取得最小值.【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题16 某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.【答案解析】（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.【详解】解：（Ⅰ）设2名医生记为，，3名护士记为，，，1名管理人员记为C，则样本空间为：.（Ⅱ）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则，∴，又，∴（Ⅲ）设事件N：至少选中1名护士发言，则，∴，∴.【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法．17 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB和DD1的中点.（1）求证：平面；（2）在棱C1D1上是否存在一点M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案解析】（1）证明见解析；（2）存在，1.【分析】（1）取的中点G，连接，，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，，，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.【详解】解：（1）取的中点G，连接，，因为F为的中点，所以∥，且，在正方体中，因为E为的中点，所以∥，且，所以∥，，可得四边形为平行四边形，所以∥，又因为平面，平面，则∥平面；（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，，，因为F为的中点，所以∥，因为，可得，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面，故.【点睛】此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题18 在△ABC中，，D是的中点，，. （1）求B；（2）求△ABC的面积.【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）直接由已知条件和正弦定理求出B的值.（2）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出.【详解】解：（1）由及正弦定理，可得：，所以：，由于：，，因为，解得：；（2）延长线段到E，使得，因为D是的中点，所以是的中位线，所以，因为，所以，在中，由余弦定理可得，解得，所以.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题19 对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，（1）求下列行列式的值：①；②；③；（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.【答案解析】（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当时，有唯一解，，.【分析】（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.（2）若向量与向量共线，由和时，分别推导出；反之，若，即，当c，d不全为0时，不妨设，则，，推导出，，当且时，，与共线，由此能证明向量与向量共线的充要条件是.（3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解.【详解】解：（1）解：①②；③.（2）证明：若向量与向量共线，则：当时，有，即，当时，有，即，∴必要性得证.反之，若，即，当c，d不全为0时，即时，不妨设，则，∴，∵，∴，∴，∴与共线，当且时，，∴与共线，充分性得证.综上，向量与向量共线的充要条件是.（3）用和分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，消去y得：，①同理，消去x，得：，②∴当时，即时，由①②得：，，∴当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，且，.【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题20 已知向量，，若，那么m的值为（）A. B. C. 2 D. －2【答案解析】 C【分析】由两个向量垂直得数量积等于零，列方程可求出m的值【详解】向量，，若，则，即，解得.故选：C.【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题21 的值等于（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】利用和角的正弦公式化简求值得解.【详解】由题得.故选：【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.22 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A. B. C. D.【答案解析】 B【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积，故选：B.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的计算，若圆柱的底面半径为，高为，则侧面积，考查计算能力，是简单题.23 给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；②平行于同一平面的两个平面互相平行；③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；④平行于同一直线的两个平面互相平行，其中正确命题的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案解析】 B【分析】通过举例的方式逐一验证各选项的对错.【详解】①垂直于同一平面的两个平面可能垂直，也可能平行，比如正方体的下底面和左右侧面互相垂直，但是左右侧面互相平行，故错误；②平行于同一平面的两个平面互相平行，比如用平行于正方体上下底面的平面截正方体，所得截面和上下底面互相平行，故正确；③垂直于同一直线的两个平面互相平行，比如正方体的一条侧棱垂直于上下底面，且上下底面互相平行，故错误；④平行于同一直线的两个平面可能相交，比如正方体的下底面的一条棱平行于侧面和上底面，而侧面和上底面相交，故错误.故选：B.【点睛】本题考查空间直线、平面的位置关系的判断，常用的方法是采用作图或举例子的方式去判断对应命题的真假，主要是考查学生的空间想象能力，难度一般.24 化简向量等于（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】直接利用向量的加减法法则求解即可【详解】.故选：A.【点睛】此题考查向量的加减法法则的应用，属于基础题25 关于函数，下列命题正确的是（）A. 存在，使f(x)是偶函数B. 对任意的，f(x)都是非奇非偶函数C. 存在，使f(x)既是奇函数，又是偶函数D. 对任意的，f(x)都不是奇函数【答案解析】 A【分析】由三角函数的图象性质结合诱导公式，对每一选项进行逐一判断即可.【详解】对于A，当，时，函数是偶函数，所以A正确；对于B，当，时，函数是奇函数，所以B错误；对于C，由选项A, B的分析，不存在，使函数既是奇函数，又是偶函数，所以C错误；对于D，，时，函数是奇函数，所以D错误.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的奇偶性的分析，属于基础题.26 已知非零向量、满足，且，那么等于（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】本题首先可根据得出，然后根据得出，即可求出的值.【详解】因为非零向量、满足，且.所以，，，故选：C.【点睛】本题考查向量的运算，考查向量的模的相关性质，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.27 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x，都有，那么的最小值为（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小时为半个周期.【详解】的周期，由题意可知为的最小值，为的最大值，的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象及性质，属于简单题，分析清楚题目意思是关键.28 等于________.【答案解析】【分析】直接逆用余弦的二倍角公式求解即可【详解】，故答案为：.【点睛】此题考查余弦的二倍角公式的应用，属于基础题29 已知，且，那么等于________；等于________.【答案解析】；.【分析】给等式两边平方，再利用正弦的二倍角公式可求出，而，从而可求出的值【详解】，且，，.把所给的等式平方可得，.再根据.求得，或（舍去），故答案为：；.【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查二倍角公式的应用，考查转化思想，属于基础题30 在△ABC中，，且,则边AB的长为．【答案解析】 1试题分析：因为，所以考点：向量数量积31 在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________.【答案解析】【分析】由三角形面积公式求出边，再由余弦定理计算可得；【详解】解：，，，，由余弦定理可得.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题.32 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么△ABC的最大内角的余弦值为________.【答案解析】【分析】由边的大小关系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.【详解】角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，则是最大角，则，故答案为：.【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.33 已知△ABC，，，，如果P点是△ABC所在平面内一点，且，那么的值等于________.【答案解析】 13【分析】由条件可得，，可得，由，可得出答案.【详解】，，，，，，，，，又，.故答案为：13.【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档题.34 已知向量，.（1）若，共线，求x的值；（2）若，求x的值；（3）当时，求与夹角的余弦值.【答案解析】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解；（2）分别求出和的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求解；（3）利用向量夹角的公式即可求解.【详解】（1），共线，，解得；（2），且，，解得；（3）当时，，，，，.【点睛】本题主要考查了向量共线、向量垂直。
2021北京交大附中高一(下)第二学期期末含答案
北京交大附中2020－2021学年第二学期期末练习高 一 物理命题人：许传强 审题人： 梁红梅 2021.07说明：本试卷共8页，共100分。
考试时长90分钟。
一．单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。
（每小题3分，共36分）1. 关于机械波的特性下列说法正确的是A ． 发生多普勒效应时，波源频率发生了变化B ． 两列波发生叠加时，质点的位移一定增大C ． 两列频率相同的波相遇时，介质中振动加强的质点在某时刻的位移可能是零D ． 只有当障碍物的尺寸与波长差不多或比波长小时，才会发生衍射现象2.如图1所示，有一大一小两个轮，紧密接触且不打滑。
A 、B 两点分别位于两个轮的边缘上，C 点位于大轮半径的中点处。
已知大轮半径R =2m ，小轮半径r =1m 。
两轮匀速转动时，下列比例关系中正确的是A ．A 点与B 点的线速度大小之比为1:2B ．A 点与B 点的角速度大小之比为2:1C ．B 点与C 点的向心加速度大小之比为1:2D ．B 点与C 点的向心加速度大小之比为4:13．关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（ ）A ．卡文迪什仅根据牛顿第三定律推出行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系B ．“月﹣地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的60倍C ．“月﹣地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律D ．引力常量 G 的大小是牛顿根据大量实验数据得出的4．2021年4月30日，天舟二号货运飞船与中国空间核心舱完成交会对接。
对接前，天舟二号和空间站核心舱分别在两个轨道上环绕地球做匀速圆周运动，如图所示。
天舟二号经一系列控制飞行与空间核心舱实现对接。
对接后，天舟二号与空间核心舱一起在原来空间核心舱的轨道上做匀速圆周运动，与对接前相比，天舟二号做匀速圆周运动的 A ．周期变小 B ．线速度变大 C ．角速度变小 D ．加速度变大5. 一列简谐机械横波沿x 轴正方向传播，波速为2m/s 。
2019-2020学年上海交大附中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 函数f(x)=1−2sin 22x 的最小正周期是( ) A. π2 B. π C. 2π D. 4π2. 已知O 是△ABC 的重心，动点P 满足=，则点P 一定为△ABC 的( )A. AB 边中线的中点B. AB 边中线的三等分点(非重心)C. 重心D. AB 边的中点 3. 已知0<a <1，S n 是公差为正数的等差数列{a n }的前n 项和，则有( )A. a 2S n+1=a S n ⋅a S n+2B. a 2S n+1>a S n ⋅a S n+2C. a 2S n+1<a S n ⋅a S n+2D. a 2S n+1与a S n ⋅a S n+2的大小关系无法确定4. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. 89B. −29C. 76D. −23 二、单空题（本大题共11小题，共33.0分）5.已知tanα=2，则sinα−3cosα2sinα+cosα=______． 6.若(πa 0lnb 1)是单位矩阵，则a −b =______． 7.已知向量a ⃗ =(2,m)，b ⃗ =(1,3)，若a ⃗ //b ⃗ ，则m =______． 8. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于点C ，且AD =DC ，则sin∠ACO = ______ ．9. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为______． 10. 用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+1n+3+⋯+1n+n ≥1124时，由n =k 到n =k +1时，不等式左边应添加的项是______．11. 设函数f(x)=x(12)x +1x+2，O 为坐标原点，A n 为函数y =f(x)图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量i =(1,0)的夹角为αn ，则满足tanα1+tanα2+⋯+tanαn <54的最大整数n 的值为______．12. 已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的取值范围是 ．13. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos∠MBA 的最小值为______． 14. 已知向量a ⃗ 1,a ⃗ 2,a ⃗ 3,…a ⃗ n …满足如下条件：a ⃗ n −a ⃗ n−1=d ⃗ (n =2,3，4，…)，d ⃗ 与a 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，且|a ⃗ 1|=4|d⃗ |=2，则数列|a ⃗ 1|,|a ⃗ 2|,|a ⃗ 3|,…|a ⃗ n |…中最小的项是______ ． 15. 已知直线√2ax +by =√3(a,b 是实数)与圆O ：x 2+y 2=1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是等边三角形，点P(a,b)是以点M(0,√2)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最大值为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共3.0分）16. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 已知A =[20−11]，B =[2435]，且二阶矩阵M 满足AM =B ． (1)求A −1；(2)求矩阵M．18.已知是的三个内角，向量，且．(1)求角；(2)若，求．19.设平面向量a⃗=(3,5),b⃗ =(−2,1)(1)求|a⃗−2b⃗ |的值；(2)若c⃗=a⃗−(a⃗⋅b⃗ )b⃗ ，求向量c⃗与b⃗ 的夹角的余弦值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．log2a n⋅log2a n+121.已知S n是数列{a n}前n项和，a1=1，2S n=(n+1)a n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n a n+1b n=1，T n是数列{b n}前n项和，求T n．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由题意可得：f(x)=cos4x，所以周期为T=2π4=π2．故选A．先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(wx+ρ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法．一般都要把三角函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式再解题．2.答案：B解析：方法一：如图，D是AB中点，则又O是重心，即点P为AB边中线的三等分点(非重心)．方法二：因为O为△ABC的重心，所以P 为OC 中点，即点P 为AB 边中线的三等分点(非重心)．3.答案：B解析：解：∵S n +S n+2−2S n+1=(S n+2−S n+1)−(S n+1−S n )=a n+2−a n+1=d ，(d 为公差)． ∵0<a <1，∴函数y =a x 是减函数，又d >0，∴a 2S n+1>a S n ⋅a S n+2=a S n +S n+2．故选：B ．作差比较2S n+1与S n +S n+2的大小关系，然后结合指数函数y =a x 的单调性及有理指数幂的运算性质得答案．本题考查了等差数列的性质，考查了有理指数幂的运算性质，考查了指数函数的单调性，是中档题． 4.答案：D解析：本题考查了平面向量的线性表示应用问题，是基础题．结合图形，利用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出λ、μ的值即可． 解：△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−1112BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=−1112，μ=14，∴λ+μ=−1112+14=−23．5.答案：−15解析：解：tanα=2，则sinα−3cosα2sinα+cosα=tanα−32tanα+1=2−34+1=−15故答案为：−15．sinα−3cosα2sinα+cosα=$∖frac{tan∖alpℎa−3}{2tan∖alpℎa+1}，将tanα=2代入求值即可．本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．6.答案：−1解析：解：∵若(πa0lnb1)是单位矩阵，则(πa0lnb1)=(1001)即πa=1，lnb=0∴a=0，b=1∴a−b=−1，故答案为：−1．根据单位矩阵的定义知，若(πa0lnb1)是单位矩阵，则(πa0lnb1)=(1001)从而得出πa=1，lnb=0即可求得a，b的值．本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、单位矩阵的应用、指数对数方程的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．7.答案：6解析：解：由向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(1,3)，当a⃗//b⃗ 时，2×3−1×m=0，解得m=6．故答案为：6．由平面向量的共线定理列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．8.答案：√1010解析：解：∵AB为直径，BC为圆的切线∴△ABC 为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则OB =1，BC =2，OC =√5∴sin∠BCO =√55，cos∠BCO =2√55∴sin∠ACO =sin(45°−∠BCO)=√1010故答案为：√1010 根据切线的性质，我们易判断△ABC 为Rt △，结合圆周角定理的推论2及AD =DC ，及得△ABC 为等腰直角三角形，则∠BCA =45°，设圆的半径为1，则我们易求出∠OCB 的三角函数值，代入两角差的正弦公式，即可求出答案．本题考查的知识点是圆的切线的性质定理，圆周角定理，其中根据已知判断出△ABC 的形状，是解答本题的关键．9.答案：90°解析：本题考查了向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．解：∵|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ | |b ⃗ |cos120°=1×2×(−12)=−1． ∵a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ， ∴−b ⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，∴−a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ (a ⃗ +c ⃗ )，∴−(−1)=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅c ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅c ⃗ =0．∴a ⃗ ⊥c ⃗ ．∴a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为90°．故答案为：90°．10.答案：12k+1+12k+2−1k+1(12k+1−12k+2也正确)解析：解：当n =k 时，左边的代数式为1k+1+1k+2+1k+3+⋯+1k+k ，当n =k +1时，左边的代数式为1k+2+1k+3+⋯+1k+k +1k+k+1+1k+k+2，故用n =k +1时左边的代数式减去n =k 时左边的代数式的结果为：12k+1+12k+2−1k+1． 故答案为：12k+1+12k+2−1k+1．只须求出当n =k 时，左边的代数式，当n =k +1时，左边的代数式，相减可得结果．数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P(n)是关于自然数n 的命题，若1)(奠基) P(n)在n =1时成立；2)(归纳)在P(k)(k 为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k +1)成立，则P(n)对一切自然数n 都成立． 11.答案：2解析：由题意，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n(12)n +1n+2)，tanαn =(12)n +1n(n+2)，代入tanα1+tanα2+⋯+tanαn <54，构造函数，判断出符合条件的最大整数n 的值本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出tanαn 的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键．OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n(12)n +1n+2)，tanαn =(12)n +1n(n+2)=(12)n +12(1n −1n+2)，利用等比数列求和公式与裂项相消求和的方法可得：∴tanα1+tanα2+⋯tanαn =1−12n +12(1−1n+2)<54，即−12(n+2)−12n +14<0，函数g(n)=−12(n+2)−12n +14为递增函数，g(1)=−512<0，g(2)=−18<0，g(3)=140>0， 故最大整数n 的值为2．故答案为：2．12.答案：(1,+∞)解析：本题考查等差数列的通项公式和等比中项的性质.先利用首项和公差表示出已知的不等式中的各项，进行化简得到关于首项和公差的不等式，再根据已知三项成等比数列，得出首项和公差的等量关系，最后代入前面的不等式求解．解：∵a 2=a 1+d ，a 5=a 1+4d ，∴a 1+a 2+a 5=3a 1+5d ，又∵a 1+a 2+a 5>13∴3a 1+5d >13．∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22=a 1a 5∴(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)，∴d 2=2a 1d ，又∵d ≠0∴d =2a 1∴3a 1+5d =3a 1+5×2a 1=13a 1，∴13a 1>13，∴a 1>1．故答案为(1,+∞)．13.答案：√32解析：本题考查了余弦定理和勾股定理以及基本不等式，考查了转化能力和运算能力，根据勾股定理和余弦定理解基本不等式即可求出．属于中档题解：如图，∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴∠AOB =90°，∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13a ，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23a ， ∴|BM|2=|OM|2+|OB|2=19a 2+b 2，|AB|2=|OA|2+|OB|2=a 2+b 2， ∵|AM|2=49a 2， 由余弦定理可得：cos∠ABM =a 2+b 2+19a 2+b 2−49a 22√a 2+b 2⋅√19a 2+b 2=222+b 2)⋅(a 2+9b 2) =√1−4a 2b 2a 4+10a 2b 2+9b 4=√1−4a 2b 2+9b 2a 2+10， ∵9b 2a +a 2b ≥2√9b 2a ⋅a 2b =6，当且仅当a =√3b 时取等号， ∴cos∠ABM ≥√1−46+10=√32， 故答案为√32． 14.答案：2√3解析：解：a ⃗ n −a ⃗ n−1=d⃗ (n =2,3，4，…)， 则a n ⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ +(n −1)d ⃗ ，由d ⃗ 与a 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，且|a 1⃗⃗⃗⃗ |=4，|d ⃗|=2， 则a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅d ⃗ =4×2×(−12)=−4，即有|a n ⃗⃗⃗⃗ |2=a n ⃗⃗⃗⃗ 2=a 1⃗⃗⃗⃗ 2+(n −1)2d ⃗ 2+2(n −1)a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅d ⃗ =16+4(n −1)2−8(n −1)=4(n −2)2+12， 当n =2时，|a 2⃗⃗⃗⃗ |2取得最小，且为12．即有最小的项为2√3．故答案为：2√3．运用等差数列的通项公式，求得a n ⃗⃗⃗⃗ ，再由向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，结合二次函数的最值，即可得到．本题考查等差数列的通项公式的运用，考查向量的数量积的定义和性质，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题．15.答案：(6+4√2)π解析：解：由圆x2+y2=1，所以圆心(0,0)，半径为1所以|OA|=|OB|=1，因为△AOB是等边三角形，所以圆心(0,0)到直线√2ax+by=√3的距离为√3√2a2+b2=√32，所以2a2+b2=4．因此，圆M的面积最大时，所求半径为椭圆2a2+b2=4上点P(a,b)到焦点(0,√2)的距离最大值，由椭圆的性质，可知最大值为2+√2．所以圆M的面积最大值为π(2+√2)2=(6+4√2)π．故答案为：(6+4√2)π．根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由△AOB是等边三角形得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最大时，所求半径为椭圆2a2+b2=4上点P(a,b)到焦点(0,√2)的距离最大值，即可得出结论．本题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，是一道综合题．16.答案：16132解析：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B=60°，AB=3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)，∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52， ∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132， 当x =2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16；132． 17.答案：解：(1)∵A =[20−11]， ∴|A|=2×1−0×(−1)=2，∴A ∗=[1012]， ∴A −1=1|A|⋅A ∗=12[1012]=[120121]， (2)AM =B 得，M =A −1B =[120121][2435]=[1247]．解析：(1)通过变换计算即可；(2)通过AM=B可得M=A−1B，计算即可．本题考查矩阵乘法，注意解题方法的积累，属于基础题．18.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1)2分即，4分而5分，即6分(2)解得11分14分考点：向量的数量积及三角函数化简点评：若向量则，用到的主要三角函数公式，，19.答案：解：(1)因为向量a⃗=(3,5),b⃗ =(−2,1)，所以a⃗−2b⃗ =(7,3)．所以|a⃗−2b⃗ |=√72+32=√58．(2)因为向量a⃗=(3,5),b⃗ =(−2,1)，a⃗⋅b⃗ =3×(−2)+5×1=−1，∴c⃗=a⃗+b⃗ =(1,6)，向量c⃗与b⃗ 的夹角为θ，cosθ=c⃗ ⋅b⃗|c⃗ ||b⃗|=4√185185．解析：(1)通过向量运算求出a⃗−2b⃗ ，然后求出向量的模．(2)通过已知条件求出c⃗，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦．本题考查两个向量的数量积的运算，向量的夹角公式的应用，是基本知识的考查．20.答案：解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗).①当n=1时，S1=a1=2a1−2，解得：a1=2．当n≥2时，S n−1=2a n−1−2②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，则：a n=2a n−1，即：a na n−1=2(常数)，所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．则：a n=2⋅2n−1=2n．当n=1时，首项符合通项．故：a n=2n．(2)由于a n=2n，所以：b n=1log2a n⋅log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则：T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1，=1−1n+1，=nn+1．解析：(1)利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式，进一步求出b n=1log2a n⋅log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，再利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.答案：解：(1)由2S n=(n+1)a n，得2S n−1=na n−1(n≥2)，两式相减得：2(S n−S n−1)=(n+1)a n−na n−1，即2a n=(n+1)a n−na n−1，∴(n−1)a n=na n−1，则a na n−1=nn−1．∵a1=1，∴a n=a na n−1×a n−1a n−2×…×a3a2×a2a1×a1=nn−1×n−1n−2×…×32×21×1=n．∴数列{a n}的通项公式为a n=n；(2)∵a n a n+1b n=1，∴b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，∴T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．解析：(1)由已知数列递推式可得2S n−1=na n−1(n≥2)，列式作差得到a na n−1=nn−1，然后利用累积法求数列{a n}的通项公式；(2)由a n a n+1b n=1，求得b n=1n(n+1)，再由裂项相消法求数列{b n}前n项和T n．本题考查数列递推式，考查利用累积法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．。
2019-2020学年北京市西城区2019级高一下学期期末考试数学试卷参考答案
且
OD
1 3
AD
3． 3
在 Rt△POD 中，PO
PD2 OD2
69 3
，
所以正三棱锥
P
ABC
的体积为
1 3
S△ABC
PO
23 ． 3
……… 10 分 ……… 11 分 ……… 13 分
（19）（共 12 分）
解：（Ⅰ）因为 C
3 4
，
所以 A (0, 4) ．
所以
cos A
1
sin 2
A
25 5
(2k
π
π 4
, 2k
π
3π 4
)
(k Z) ．
……… 1 分 ……… 2 分 ……… 3 分 ……… 4 分 ……… 6 分 ……… 7 分 ……… 8 分
……… 9 分 ……… 11 分 ……… 12 分 ……… 13 分
……… 14 分
北京市西城区 2019—2020 学年度第二学期期末试卷 高一数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
2019-2020学年北京市西城区2019级高一下学期期末考试数学试卷
（18）（共 13 分） 解：（Ⅰ）取 BC 的中点 D ，连接 PD ．
在 Rt△PBD 中， PD PB2 BD2 2 2 ，………1 分
所以
S△PBC
1 2
BC PD
2
2．
………3 分
因为正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，
2019-2020学年北京市西城区2019级高一下学期期末考试数学试卷
（21）（共 12 分）
解：（Ⅰ）在正方形 DCC1D1 中，直线 D1E 与直线 DC 相交， 设 D1E DC F ，连结 AF ． ……… 2 分
北京市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷 C卷
北京市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷 C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分）已知，则直线的倾斜角的取值范围是________2. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 若指数函数的图象过点，则不等式的解集是________.3. （1分） (2019高三上·海淀月考) 在中, ,则 ________.4. （1分） (2016高一下·南京期末) 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是________（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ5. （1分） (2016高二上·徐州期中) 经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为________．6. （1分）(2020·杨浦期末) 己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 ________.7. （1分） (2016高一下·溧水期中) 已知△ABC中，，则 =________．8. （2分） (2016高二上·金华期中) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________；表面积为________．9. （1分） (2016高二上·上杭期中) 若x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最大值为________10. （1分） (2017高二下·营口会考) 已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=________．11. （1分） E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则EG2+HF2的值为________．12. （1分）已知f（ex+e﹣x）=e2x+e﹣2x﹣2，则函数f（x）的值域是________．13. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是________．14. （1分）(2017·河南模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1= 若S3n≤λ•3n ﹣1恒成立，则实数λ的取值范围为________．二、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2017高三上·天水开学考) 已知函数f（x）= sin2x+ sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）= ，△ABC的面积为3 ，求a 的最小值．16. （10分）(2016·商洛模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圆O以BC为直径，平面ABCD垂直于半圆O所在的平面，P为半圆周上任意一点（与B、C不重合）．（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；（2）若P为半圆周中点，求此时二面角P﹣AC﹣D的余弦值．17. （5分）(2016·静宁模拟) 已知数列{an}满足：Sn=1﹣an（n∈N*），其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）试求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：（n∈N*），试求{bn}的前n项和公式Tn ．18. （5分）（1）若直线y=kx+1与直线y=-2的交点在直线y=x上，请你用两种方法求出k的值．（2）若直线y=kx+m与直线y=+n的交点在直线y=x上，且mn≠0，请你用m，n表示k的值（不必写出计算过程，直接写出结果）．19. （15分） (2016高一下·黄陵开学考) 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）20. （5分） (2017高一下·西城期末) 在无穷数列{an}中，a1=p是正整数，且满足（Ⅰ）当a3=9时，给出p的值；（结论不要求证明）（Ⅱ）设p=7，数列{an}的前n项和为Sn ，求S150；（Ⅲ）如果存在m∈N* ，使得am=1，求出符合条件的p的所有值．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共50分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、第11 页共11 页。
2019-2020学年北京交大附中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）1．（6分）已知角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．﹣2．（6分）已知向量＝（t，1），＝（1，2）．若⊥，则实数t的值为（）A．﹣2B．2C．D．3．（6分）在△ABC中，若A＝，B＝，a＝2，则b＝（）A．B．C．D．4．（6分）已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若l∥m，m⊂α，则l∥αC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β5．（6分）函数f（x）＝sinπx cosπx的最小正周期为（）A．1B．2C．πD．2π6．（6分）已知，且，那么sinα＝（）A．B．C．D．7．（6分）函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．8．（6分）已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．（5分）已知向量＝（1，2），＝（3，1），则向量，夹角的大小为．10．（5分）已知向量与的夹角为120°，且||＝||＝4，那么•（3+）的值为．11．（5分）在平面直角坐标系中，角α的终边过点A（3，4），则tanα＝；将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝．12．（5分）已知cos2α＝，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为．13．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）．若f（）﹣f（﹣）＝2，则函数f（x）的单调增区间为．14．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜φ＜）图象如图，则φ的值为，ω的值为．三、解答题（本大题满分42分）15．（9分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；x2x0y（3）求函数f（x）在[，π]上的最大值和最小值，并指出相应的x的值．16．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝7，AD＝3，BD＝5，BC＝8，∠DBC＝60°．（1）求∠ADB的大小；（2）求CD的长；（3）求四边形ABCD的面积．17．（11分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABD＝∠ABC＝∠DCB＝90°，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，求证：（1）AB⊥平面BCD；（2）CD∥平面EFG；（3）平面ACD⊥平面ABC；（4）请在图中画出平面EFG截三棱锥A﹣BCD的截面，判断截面形状并说明你的理由；（5）若AB＝CD＝4．求出第（4）问中的截面面积．18．（9分）如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形ACEF所在平面互相垂直，平面ECB⊥平面ABCD，AB＝，M是线段EF上的一点且AM∥平面BDE．（1）求证：平面ABF∥平面CDE；（2）求证：M是线段EF的中点；（3）求证：EC⊥平面ABCD．19．（5分）利用周期知识解答下列问题：（Ⅰ）定义域为R的函数f（x）同时满足以下三条性质：①存在x0∈R，使得f（x0）≠0；②对于任意x∈R，有f（x+2）＝9f（x）；③f（x）不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数f（x），则f（x）＝．（不必说明理由）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分．（i）求f（x）＝sin2x+cos3x的最小正周期并说明理由．（i）求证：g（x）＝sin x+cosπx不是周期函数．2019-2020学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每题6分，共48分）1．【分析】由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，则cosα＝＝，故选：B．2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值．【解答】解：∵向量，，若，则＝t+2＝0，∴实数t＝﹣2，故选：A．3．【分析】直接利用正弦定理即可求解．【解答】解：由正弦定理得：，∴，∴，解得：b＝3，故选：B．4．【分析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l∥α或l⊂α；对于C，α与β平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故C错误；对于D，若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．【解答】解：函数，故它的周期T＝＝1，故选：A．6．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知，且，则：．故选：B．7．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）＝sin（x+）+cos（﹣x+）＝sin（x+）+sin（x+）＝sin（x+）．故选：A．8．【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．【解答】解：若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，又a⊥β，∴a'⊥β，又∵a'⊆α，∴α⊥β，若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∵a⊥b，∴a'⊥b，又∵α⊥β，α∩β＝b，∴a'⊥β，∴a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．【分析】利用cos＜＞＝，能求出向量与的夹角．【解答】解：∵平面向量＝（1，2），＝（3，1），∴cos＜＞＝＝＝，∴＜＞＝45°．∴向量与的夹角45°．故答案为：45°．10．【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解．【解答】解：•（3+）＝3•+＝3×4×4×cos120°+42＝﹣8．故答案为：﹣8．11．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得tanα、sinβ的值．【解答】解：∵角α的终边过点A（3，4），则tanα＝，将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角β的终边，则sinβ＝sin（α+）＝cosα＝＝，故答案为：；．12．【分析】由cos2α＝求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．【解答】解：由cos2α＝，得2cos2α﹣1＝，即cos2α＝；所以cos2（）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α＝1﹣3cos2α＝1﹣3×＝﹣1．故答案为：﹣1．13．【分析】由已知函数关系式可得函数周期为π，又由已知条件可得f（），f（﹣）取到最大值和最小值，进而可求出φ，继续利用函数单调性求出单调增区间．【解答】解：因为函数f（x）＝sin（2x+φ），所以函数周期为π．若f（）﹣f（﹣）＝2，则f（）＝sin（+φ）＝1，f（﹣）＝sin（﹣+φ）＝﹣1，故+φ＝2kπ+，k∈z，且﹣+φ＝2kπ﹣，k∈z，即φ＝2kπ+，k∈z故f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈z．14．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据五点法作图求得ω，可得函数的解析式．【解答】解：由函数图象过点（0，1），可得sinφ＝1，则sinφ＝，又0＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（ωx+）．再根据五点法作图可得，ω+＝2π，∴ω＝．故答案为：；．三、解答题（本大题满分42分）15．【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；（2）列表，描点、连线，画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；（3）求出x∈[﹣，]时函数f（x）的最大值和最小值，以及对应x的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z；解得﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z；即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；最小正周期T＝＝π；（2）填写表格如下；x2x0π2πy020﹣202用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图为；（3）x∈[﹣，]时，2x﹣∈[0.]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以函数f（x）＝2sin（2x﹣）在[，π]上取得最大值为2，最小值为﹣1，且x＝时f（x）取得最小值，x＝时f（x）取得最大值．16．【分析】（1）利用余弦定理可得结论；（2）利用余弦定理可得结论；（3）由三角形面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积，即可得结论．【解答】解：（1）在△ABD中，AB＝7，AD＝3，BD＝5，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝＝﹣，所以∠ADB＝120°．（2）在△BCD中，BD＝5，BC＝8，∠DBC＝60°，由余弦定理可得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC＝25+64﹣2×5×8×＝49，所以CD＝7．（3）S△ABD＝AD•BD•sin∠ADB＝＝，S△BCD＝BC•BD•sin∠DBC＝×8×5×＝10，所以四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD＝．17．【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（3）推得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，可得截面EFHG，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形；（5）判断截面为边长为2的正方形，可得截面的面积．【解答】解：（1）证明：由∠ABD＝∠ABC＝90°，可得AB⊥BD，AB⊥BC，又BD∩BC＝B，则AB⊥平面BCD；（2）证明：由EF为△ACD的中位线，可得EF∥CD，且CD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则CD∥平面EFG；（3）证明：由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD，又CD⊥BC，BC∩CD＝C，所以CD⊥平面ABC，又CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，截面EFHG为所求截面．由GH为△BCD的中位线，可得GH∥CD，GH＝CD，又EF∥CD，EF＝CD，所以EF＝GH，且EF∥GH，可得四边形EFHG为平行四边形，由AB⊥CD，EG∥AB，EF∥CD，可得EF⊥EG，则截面EFHG为矩形；（5）若AB＝CD＝4，可得截面EFHG为边长为2的正方形，其面积为4．18．【分析】（1）易知AF∥CE，AB∥CD，由面面平行判定定理的推论即可得证；（2）设AC∩BD＝O，连接OE，由AM∥平面BDE，可推出AM∥OE，而O为AC的中点，故得证；（3）由平面ABCD⊥平面ACEF，BD⊥AC，可推出BD⊥平面ACEF，故BD⊥EC；由平面ECB⊥平面ABCD，AB⊥BC，可推出AB⊥平面ECB，故AB⊥EC；再由线面垂直的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）∵平行四边形ACEF，∴AF∥CE．∵正方形ABCD，∴AB∥CD．又AF∩AB＝A，CE∩CD＝C，AF、AB⊂平面ABF，CE、CD⊂平面CDE，∴平面ABF∥平面CDE．（2）设AC∩BD＝O，连接OE，则O为AC的中点，∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥OE．又O为AC的中点，∴M为线段EF的中点．（3）∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，BD⊥AC，∴BD⊥平面ACEF，∴BD⊥EC．∵平面ECB⊥平面ABCD，平面ECB∩平面ABCD＝BC，AB⊥BC，∴AB⊥平面ECB，∴AB⊥EC．又BD∩AB＝B，BD、AB⊂平面ABCD，∴EC⊥平面ABCD．19．【分析】（Ⅰ）由已知条件可取f（x）＝3x sin2πx（答案不唯一）（Ⅱ）若选择（i）我们知道y＝sin2x与y＝cos3x的周期分别为：π，．让它们的整数倍相等即可得出函数f（x）的最小正周期．（ii）我们知道y＝sin x与y＝cosπx的周期分别为：2π，2．而2π与2的整数倍不可能相等，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝3x sin2πx（答案不唯一）．故答案为：3x sin2πx．（Ⅱ）若选择（i）我们知道y＝sin2x与y＝cos3x的周期分别为：π，．取T＝2π，则f（2π+x）＝f（x），而f（π+x）≠f（x），可得：2π是函数f（x）＝sin2x+cos3x的最小正周期．（ii）证明：我们知道y＝sin x与y＝cosπx的周期分别为：2π，2．而2π与2的整数倍不可能相等，因此g（x）＝sin x+cosπx不是周期函数。
2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题及答案
绝密★启用前2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案：B2．向量(,)a m n =，向量(1,2)b =，(1,1)c =，若向量()a c b +∥，且a c ⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19答案：B∵(1,1)a c m n +=++且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1||3a ⎛⎫=-= ⎪3．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．答案：D∵外接球体积为36π，设半径为R ， 则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a 26R ==，即a =．4．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ．【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．5．在下列函数中，最小值是2的是（ ）．A ．22x y x=+B ．0)y x => C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B ，2y ，，即0x=时取等号，但0x>，故错误；选项C，∵π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin(0,1)x∈，∴1sin2siny xx=+≥，当且仅当1sinsinxx=，即sin1x=时取等号，但sin(0,1)x∈，取不到1，故错误；选项D，177727x x xxy-=+=+≥，当且仅当177xx=即0x=时取等号，故正确．故选：D．6．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，则cos C=（）．A．725B．725-C．725±D．2425【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B，cos B，然后利用平方关系式求出cos C的值即可．【解答】解：因为在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，所以8sin5sin5sin210sin cosB C B B B===，所以4cos5B=，B为三角形内角，所以π0,4B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C<．所以3sin5B=．所以4324sin sin225525C B==⨯⨯=，7cos25C==．故选：A．7．如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A.b a a a +-)sin(sin sin ββB ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin90AB BDβ=︒， 即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为b a a a +-)sin(sin sin ββ，故选：A ．8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（）A 120︒B 90︒C 60︒D 30︒答案：B9．在△ABC 中，若sin sin a A b B =，则△ABC 的形状一定是（）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形答案：B10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25（B ）45（C ）5 （D ）25答案C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。