二次函数实际问题易考题型总结(全)
二次函数实际问题易考题型总结
技巧
1．二次函数的应用：
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．
注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。
解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示
1，我们要用x分别把h，l表示出来。
经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl
2
总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。
解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。
分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。
2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
题型：
一、利润最值问题
1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.
2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式
13
36 8
y x
=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．
(1)试确定b，c的值；
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；
(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?
3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．
⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
⑵求y与x之间的函数关系式；
⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
二、面积最值问题
1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足
可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分
别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？
3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
三、图形问题
1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322
y x x =-++，请回答下列问题： （1）花形柱子OA 的高度；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？
O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
2103
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四、图像问题
（一）长度最值、平行四边形问题
8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).
（1）求直线AB 的函数关系式；
（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.
O x
A
M
N
B
P
C 题22图
（二）周长与面积最值问题
9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．
（三）等腰三角形问题
10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，
已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，
是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条
件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
（四）直角三角形 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；
（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．
A C
B y x
0 1 1
（五）圆
如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，
0）．若抛物线23
y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．
（六）分段函数、累计二次函数问题
11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。
（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x月之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获利润s（万元）与时间x（月）之间的函数关系式；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？。
二次函数题型分类总结
二次函数题型分类总结一、顶点在坐标轴上的二次函数方程当二次函数的顶点坐标为（0，a）或（b，0）时，可以得到以下两种形式的二次函数方程。
1. 顶点在y轴上的二次函数方程：y = ax^2这种形式的二次函数方程对称轴为y轴，开口向上或向下。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 顶点在x轴上的二次函数方程：y = a(x-b)^2这种形式的二次函数方程对称轴为x = b，开口向上或向下。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、顶点不在坐标轴上的二次函数方程当二次函数的顶点坐标为（h，k）时，可以得到以下两种形式的二次函数方程。
1. 一般形式的二次函数方程：y = ax^2 + bx + c这种形式的二次函数方程对称轴为x = -b/2a，开口向上或向下。
根据a的正负值可知抛物线的开口方向。
2. 完全平方形式的二次函数方程：y = a(x-h)^2 + k这种形式的二次函数方程对称轴为x = h，开口向上或向下。
根据a的正负值可知抛物线的开口方向。
三、特殊形式的二次函数方程除了以上分类外，还存在一些特殊形式的二次函数方程。
1. 平移后的二次函数方程：y = a(x-p)(x-q)在一般形式的二次函数方程中，平移抛物线的顶点至（p，q）处即可得到平移后的二次函数方程。
2. 平方差公式：y = (x-h)^2 - k^2这种形式的二次函数方程本质上是一个完全平方公式，可利用平方差公式进行求解。
其对称轴为x = h，开口向上或向下。
四、应用题型除了基本形式的二次函数方程外，还存在一些应用题型，需要根据题目给出的条件进行分析和求解。
1. 求最值问题：通过求二次函数的极值点来解决。
2. 求交点问题：将两个二次函数方程相等，解方程得到交点坐标。
3. 求解区间问题：通过对二次函数方程进行开口方向和对称轴的分析，确定函数的定义域或值域。
二次函数关系式的新题型聚焦
二次函数关系式的新题型聚焦二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉.一、定义型此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1 若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m -1是二次函数，则m = ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2 (1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．三、一般型当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；例3 已知图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5）三点，求二次函数的解析式.四、顶点型若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；例4 已知图象顶点是（-2，3），且过（-1，5），求二次函数的解析式.五、两根型已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例5、已知图像与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-29），求二次函数的解析式. 六、平移型例6 将二次函数y =-x 2+2x +3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线．分析：平移后求二次函数关系式是中考的一种题型，其解法不止一种，下面给出两种解题方法． 解法1：在抛物线y =-x 2+2x +3上任取两点A (0，3)，B (1．4)．由题意知:点A 向左平移1个单位得A ′(-1，3)，再向下平移2个单位得A ″(-1，1；点B 向左平移1个单位得B ′(0，4)，再向下平移2个单位得B ″(0，2)．设平移后的抛物线的关系式为y =-x 2+Bx +c ，则点A ″(-1，1)，B ″(0，2)在抛物线上，得⎩⎨⎧==+--2,11c c b 解得B =0，c =2， 所以平移后的抛物线的关系式为y =-x 2+2．解法2：由题意知：抛物线y =-x 2+2x +3的顶点为P (1，4)，则点P 向左平移一个单位得P (0，4)，再向下平移2个单位得P (0，2)，这是平移后抛物线的顶点坐标．所以平移后的抛物线的关系式为y =-(x -0)2+4=-x 2+4． 比较以上两种解法，你有什么收获?七、对称型例7 已知抛物线C 1的关系式是5422+-=x x y ，抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，求抛物线C 2的关系式．分析：本题可以采用取抛物线C 1上的特殊点，然后利用找对称点的方法求抛物线C 2的关系式．也可通过配方方法，求出抛物线的顶点坐标，通过找顶点关于x 轴的顶称点，求关系式． 解法1: 通过验证可知点A (0，5)、B (1，3)、C (-1，11)都在抛物线C 1上，点A 、B 、C 关于x 轴的对称点分别是A 1(0，-5)、B 1(1，-3)、C 1(-1，11)，它们都在抛物线C 2上．设抛物线C 2的关系式为y =Ax 2+Bx +c ，由于这个函数的图象过点A 1(0，-5)，所以c =-5， 又由于其图象经过点B 1(1，-3)和点C 1(-1，11)两点，所以得26.a b a b +=⎧⎨-=-⎩， 解这个方程组，得A =-2，B =4，所以抛物线C 2的关系式为y =-2x 2+4x -5．解法2: 将y =2x 2-4x +5配方成顶点式，得y =2(x -1)2+3，所以此抛物线的顶点坐标为(1，3)，点(1，3)关于x 轴的对称点的坐标(1，-3)为抛物线C 2的顶点坐标．设所求的抛物线c 2的关系式为y =-2(x -1)2-3，整理，得y =-2x 2+4x -5．八、对话型例8 有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点．小明：对称轴是直线x =4；赵同说：函数有最大值为2；张单说：此函数的图象经过点（-3，1）关于y 轴的对称点；请你根据上述对话写出满足条件的二次函数关系式．分析：要正确求出函数关系式，则需要从三个同学的对话中获取信息．九、距离型已知图象与x 轴两交点间距离d ，求解析式，可用()()[]d a +--=00χχχχγ的形式来求，其中d 为两交点之间的距离，0x 为其中一个与x 轴相交的交点的横坐标．例9 二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为)]()[(00d x x x x a y +--=由已知2=d∴)]2()[(00+--=x x x x a y又由已知得：⎩⎨⎧+----=-+--=)]2(1)[1(8)]2(2)[2(10000x x a x x a解之得：⎩⎨⎧=-=110x a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=31590x a5752459)37)(31(5934)3)(1(22-+-=---=-+-=---=x x x x y x x x x y 或 ∴所求二次函数解析式为：57524593422-+-=-+-=x x y x x y 或 十、翻折型已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x –h )2 +k 的形式．（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数．例10 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称． 十一、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例11 函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，x =31为该函数图象的对称轴，根据这个函数图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论（写出四个即可）O y x 1 －－十二、情景应用型例12 我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P =-10)30x (5012+-万元．为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元．若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通．公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外的销售的产品，每投资x 万元，可获利Q =249194(50)(50)308505x x --+-+万元．（1）若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？（2）若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？（3）根据（1）、（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．解析：这是一例取材于西部大开发的经济最优化问题．（1）若不开发此产品，按照原来的投资方式，由P =-21(30)1050x -+知，只需从50万元中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M 1=102=100万元．（2）若对该产品开发，在前5年中，当x =25万元时，每年的最大利润为P =-10)3025(5012+-=9．5万元，则前5年的最大利润为M 2=9．5×5=47．5万元；设后5年中x 万元是用于本地销售的投资，则由Q =249194(50)(50)308505x x --+-+知，将余下的（50-x ）万元全部用于外地销售的投资，才可能获得最大利润．则后5年的利润是M 3=[-21(30)1050x -+]×5+(249194308505x x -++)×5=-5(x -20)2+3500．故当x =20时，M 3最大值为3500万元．所以10年的最大利润为M =M 2+M 3=3500+47.5=3547.5万元．（3）答案是开放的，只要有意义，符合题意就可以，例如：因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．评注：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式；然后再配方，由题意根据平方的非负性求最值；进一步得原问题的解．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．。
二次函数的竞赛题型及其解题策略
二次函数的竞赛题型及其解题策略二次函数是初中数学的重要内容，由于它题材丰富，又易成为多种数学思想方法的载体,因此，深受各级各类竞赛命题者的亲睐,成为近几年各地竞赛的热点问题之一.本文拟对二次函数的竞赛题型及其解题策略作粗略概括,仅供大家参考.一、二次函数的系数a 、b 、c 及相关代数式的取值问题抛物线y ＝ａｘ2+b ｘ＋c 中二次项系数a 描述抛物线的开口，a >0向上，a ＜0向下；常数项ｃ描述抛物线与y 轴的交点（0，ｃ)，c >0时交点处x 轴上方，c <0时交点处x 轴的下方,c =0时时处原点;由对称轴公式x =－ab2知b 与a 一起来描述抛物线的对称轴；b ２-4a ｃ大于0,等于0或小于0，决定抛物线和ｘ轴交点的个数,等等.上面性质反之亦成立.我们还可以通过考察如x =±１时ｙ的值的情况,来确定a ±b +c 等的符号问题．例１ 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(４,－11），且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负.则a 、b 、c 中为正数的( )A 、只有a ﻩﻩB 、只有bC 、只有c ﻩＤ、有ａ和ｂ解：由顶点为（４,-11），抛物线交ｘ轴于两点,知ａ>0.设抛物线与ｘ轴的两个交点的横坐标分别为ｘ1,x 2，即x １、x 2为方程ax 2+b ｘ＋c =0的两个根，由题设ｘ1x ２＜0知a c <0,所以c <0，又对称轴为ｘ=4知－ab2>０，故ｂ＜0.故选（A)． 二、二次函数与整数问题二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数ａ、b 、c 为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．例2 已知二次函数f (x )=a ｘ2+b ｘ+ｃ的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=ｆ（99)=1999,|c |<1000，则c = .解：由已知f (ｘ)＝ax ２+bx+c ，且ｆ(19)=f (９9)=１99９，因此可设ｆ(ｘ)=a (x －１9)（ｘ－9９）+19９９,所以a ｘ2+bx+c =a （x -19)(x -99)+1999=ａx 2－(19+99)x +1９×99a ＋1999,故c ＝1999+1881ａ.因为｜ｃ|<1000,a 是整数，a ≠０,经检验,只有a =-1满足，此时c =１999-18８1=1１8．例３ 已知a,ｂ，c 是正整数,且抛物线y ＝ａx ２+bx+c 与x 轴有两个不同的交点Ａ，B,若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值.解:设A 、B 的坐标分别为A(x １，0),Ｂ(x ２，０)，且ｘ1<x 2，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx+ｃ＝0的两个根．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x ２<０ 又由题设可知△=b 2-4ac >０，∴b >2ac ① ∵|OA|=|x 1|＜1,|OB|=｜x ２|<1,即－1<x 1,x 2<0, ∴ac=x １x 2<1,∴c <a ② ∵抛物线y =ax 2+bx+c 开口向上，且当ｘ=－１时y >0， ∴a （－１)2+b (-1）＋c >０,即a ＋ｃ>ｂ． ∵b ,a +ｃ都是整数,∴a+c ≥b +1 ③ 由①,③得a+ｃ>2ac +1,∴(c a -)2>1，又由②知,c a -＞1,c a >＋1，即ａ＞(c +１)2≥（1+1)2＝4∴ａ≥５，又b ＞２ac ≥215⨯＞4,∴ｂ≥5 取a =5，b =5,c =1时，抛物线y ＝5x 2+5x ＋1满足题意. 故a+b ＋c 的最小值为5+5+1=11． 三、二次函数的图象与面积问题求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积,关键是用含系数a 、b 、c 的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a 、b 、c 建立联系．例4 如果y =ｘ2-(ｋ－1)x -k －1与ｘ轴的交点为A,Ｂ,顶点为C ，那么△ＡB Ｃ的面积的最小值是( )Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４解：由于△=(k －1)2＋４(k ＋1）=（k +1）2+4＞０,所以对于任意实数k ,抛物线与x 轴总有两个交点,设两交点的横坐标分别为x 1,x 2，则：｜AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x又抛物线的顶点c 坐标是(452,212++--k k k ）, 因此Ｓ△ＡB Ｃ=52212++k k ·322)52(81452++=++-k k k k 因为k ２＋2ｋ+5＝（k +1)2＋4≥4，当k =－1时等于成立， 所以，S △AＢC ≥14813=,故选A. 四、二次函数的最值问题定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值）．如果顶点横坐标在区间内,则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值;如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值.定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值.例5 已知二次函数y=x ２-x -2及实数ａ>－２.（1)函数在－２<x ≤a 的最小值; (2)函数在a ≤x ≤a ＋2的最小值. 解：函数y ＝x ２-x -2的图象如图1所示.(1）若－2＜a <21,当x ＝a 时,ｙ最小值=a 2-a －2若a ≥21，当x ＝21时,y 最小值=－49.(2)若－2<ａ且ａ+2<21，即-2<a <－23,当x ＝a +２时，ｙ最小值=（a +２）2-(a +2)－2=a ２+3a ，若a <21≤a +２,即-23≤ａ＜21，当ｘ=21时,y 最小值=-49．若a ≥21，当x =a 时,ｙ最小值=a 2－a -2．例6 当|ｘ+１｜≤６时,函数y ＝x |x |-2x +１的最大值是 . 解：由|x +1|≤６,得－７≤x ≤５,当0≤x ≤5时，y ＝x 2－2x ＋１=(x －1)2，此时y 最大值=（5－1）２=1６．当－7≤x <0，y =－x ２－2x ＋1=2-(x +1)2,此时y 最大值=2. 因此,当－7≤ｘ≤５时，y 的最大值是-1６．说明：对于含有绝对值的二次函数,通常是先分区间讨论,去掉绝对值符号,求出各区间的最值，然后通过比较得出整个区间函数的最值．五、二次函数及其图像的应用.有些方程及不等式等有关问题,直接求解十分困难,若能构造二次函数关系,借助函数图像使之形象化,直观化,以形助数,会简化求解过程.例7 当a 取遍０到5的所有实数时，满足3ｂ=a (3ａ－8)的整数b 有几个？解：由３b =a （3ａ-８）有b ＝a 2-38a ,即b =(a －916)342-,因为,当ａ=0时，b =0时;当ａ=5时,b =1132利用二次函数图象可知－916≤b ≤1132所以ｂ可取到的整数值为－1,0,1,…,１１,共有1３个． 例8 已知a <0,b ≤0,c >0,且ac b 42-=b -2a ｃ,求b 2-4a ｃ的最小值. 解:令y ＝ax ２+bx+ｃ，由于ａ<0，b≤0，c >0，则△=b 2-4ａc >0,所以,此二次函数的图像是如图2所示的一条开口向下的抛物线,且与x 轴有两个不同的交点A(x 1，0)，Ｂ（x 2,0)．因为ｘ1x 2=a c <0，不妨设x 1<x 2,则ｘ１<0＜x 2,对称轴x ＝-ab 2≤0，于是｜x １|=c a acb b a ac b b =--=-+-242422, 故ab ac 442-≥c =a ac b b 242--≥－a ac b 242-∴b 2-4ａc ≥4，当a =-1，b =0，c =1时，等号成立． 因此,b ２-4ａｃ的最小值为4． 练习题:１、已知二次函数y=a ｘ２＋bx+c 图像如图３所示,并设Ｍ=｜a+b+c |－｜a －b +ｃ|+|２ａ+b |-|２a -b ｜，则( ） Ａ、M >0 B 、M ＝０C 、M <0D 、不能确定M 为正、为负或为0 (答案:C)2、已知二次函数ｙ=ａｘ2＋bx+c （其中ａ是正整数)的图象经过点A(-1，４）与点B(2,１），且与x 轴有两个不同的示点,则b+c 的最大值为 ．(答案:-４)3、如图4,已知直线y =－2ｘ+3与抛物线y=x ２相交于Ａ、Ｂ两点,O 为坐标原点,那么△OＡＢ的面积等于 .(答案:6)4、设ｍ为整数,且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于-59而小于73,则ｍ＝ ．图3 图4(提示：设y =３ｘ2+m ｘ-2，由题设可知x =－59时ｙ>0，且x ＝73时y >0．答案：４)5、已知函数y =(a +2）ｘ2-2(a 2－1)ｘ＋1，其中自变量x 为正整数,a 也是正整数，求x 为何值时,函数值最小．(答案：x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<-=,4,1,4,32,41,1,1,1时当时当或时当时当a a a a a a (其中a 为正整数),函数值最小.６、已知关于x 的方程x 2-（２m -3)x ＋m －４=０的二根为α1,α2,且满足-3<α1<-２，α2>0，求m 的取值范围．(答案:5674<<m ) ７、已知关于正整数ｎ的二次式y ＝n 2+an （ａ为实数),若当且仅当n =5时,y 有最小值，则实数a 的取值范围是 .(答案:－11＜ａ<-9)。
备战中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t td t t t=-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=， 解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->； ∵d ，e 是y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)=0（m 为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×1(5m2－2m+13)≥04整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x12，x2=12综上：t值为1，M点坐标为2，2)和(12，2).4．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p<g<r，求m的取值范围．【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组，求解即可。
二次函数基础大题(30 道解答题)解析
二次函数基础大题（30道解答题）注：全是2014年各地市中考题。
1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若1x1＋1x2= 1，求13−2m的值；（2）求mx11−x1+mx21−x2－m2的最大值．解：1、∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2 =﹣2（m﹣2），x1x2 = m2﹣3m+3，∴1x1＋1x2= x1+x2x1x2= ﹣2（m﹣2）m2−3m+3= 1，解得：m = 1−√52或者1+√52（不合题意，舍去），∴13−2m= √5−2。
（2）mx11−x1+mx21−x2－m2 = m(x1+x2−2x1x2)1+x1x2−(x1+x2)－m2 = −(m+1)2+3，∴当m = －1时，取最大值3.点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系。
2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解：2.（1）矩形的另一个边长为16－x，因此，y = x(16－x) = －x2＋16x. 其中，0＜x＜16.（2）令y = －x2＋16x = 60，解得：x1 = 6，x2 = 10.（3）令y = －x2＋16x = 70，Δ= 256－280＜0，方程没有实数解，因此不能围成面积为70平方米的养鸡场。
3．如图1，反比例函数y = kx（x＞0）的图象经过点A（2√3，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．（2）可得B （1，2√3），结合A 点坐标，可得∠BAD = 45°，又∠BAC=75°，∴∠DAC = 30°，∴tan ∠DAC = √33。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
二次函数问题
二次函数问题二次函数最值对于二次函数y=a(x-m)2+n,x ∈[t,s]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。
为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。
然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 １、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =32、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠02)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122ax a-=(Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202x =-∈-a<0, 0()f x 为最大值，但23()120f -≠(Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32x =-∈-0310,43a x =>=-距右端点2较远(2)f 最大值符合条件(Ⅲ) 若0()1f x =解得32a -±=当302a -+=<时034[,2]2x =-∉-当302a --=<时034[,2]2x =∈-综收所述34a =或32a --=评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
二次函数经典难题(含精解)
二次函数经典难题（含精解）一．选择题（共1小题）1．极点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴订交于点A,在极点不变的情形下,把该抛物线绕极点P扭转180°得到一个新的抛物线,且新的抛物线与y轴订交于点B,则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2,将抛物线C2向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1,则抛物线C1所对应的函数解析式是_________ ．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为_________ ．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O扭转180°,则扭转后的抛物线解析式是_________ ．5．如图,正方形ABCD的极点A.B与正方形EFGH的极点G.H同在一段抛物线上,且抛物线的极点在CD上,若正方形ABCD边长为10,则正方形EFGH的边长为_________ ．6．假如一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点,那么以该抛物线的极点和这两个交点为极点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中,系数a.b.c为绝对值不大于1的整数,则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________ ．7．抛物线y=ax2+bx+c经由直角△ABC的极点A（﹣1,0）,B（4,0）,直角极点C在y轴上,若抛物线的极点在△ABC的内部（不包含鸿沟）,则a的规模是_________ ．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的极点在x轴上,则a= _________ ;若抛物线与x轴有两个交点,则a的规模是_________ ．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的极点在直线y=2上,则a=_________ ．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的极点在直线x=2上,则a的值是_________ ．11．若抛物线的极点在x轴上方,则m的值是_________ ．12．如图,二次函数y=ax2+c图象的极点为B,若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个极点A.C也在该抛物线上,则a•c的值是_________ ．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经由点（2,5）,则代数式6a+3b+1的值为_________ ．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t,2）扭转180゜得到抛物线C2,若抛物线C1的极点在抛物线C2上,同时抛物线C2的极点在抛物线C1上,求抛物线C2的解析式．16．如图,抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,答复下列问题：（1）抛物线y2的极点坐标_________ ;（2）暗影部分的面积S= _________ ;（3）若再将抛物线y2绕原点O扭转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（个中a.b.c都不等于0）,它的极点P的坐标是,与y轴的交点是M（0,c）．我们称以M为极点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的陪同抛物线,直线PM为L的陪同直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的陪同抛物线和陪同直线的解析式：陪同抛物线的解析式_________ ,陪同直线的解析式_________ ;（2）若一条抛物线的陪同抛物线和陪同直线分离是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3,则这条抛物线的解析式是_________ ;（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（个中a.b.c都不等于0）的陪同抛物线和陪同直线的解析式;（4）若抛物线L与x轴交于A（x1,0）.B（x2,0）两点,x2＞x1＞0,它的陪同抛物线与x轴交于C.D两点,且AB=CD．要求出a.b.c应知足的前提．18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不合的交点（1）将抛物线沿y轴平移,使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是本来的2倍,求平移所得抛物线的解析式;（2）经由过程（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的极点作一条新的抛物线,求新抛物线的表达式．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点,与x轴的另一个交点为B（4,0）,A为抛物线C的极点．（1）如图1,若∠AOB=60°,求抛物线C的解析式;（2）如图2,若直线OA的解析式为y=x,将抛物线C绕原点O扭转180°得到抛物线C′,求抛物线C.C′的解析式;（3）在（2）的前提下,设A′为抛物线C′的极点,求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．20．如图,已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A,B两点,交y 轴于点C,且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线BC 的解析式．21．已知：如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经由直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A.B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的极点为D．（1）求此抛物线的解析式;（2）点M为抛物线上的一个动点,求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．22．已知抛物线的极点为P,与x轴正半轴交于点B,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的极点为M,当点P.M关于点B成中间对称时,求C3的解析式．23．如图,抛物线y=x2+bx﹣c经由直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的极点为D．（1）求此抛物线的解析式;（2）点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．24．已知一抛物线经由O（0,0）,B（1,1）两点,且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时,求该抛物线的解析式,并用配办法求出该抛物线的极点坐标;（Ⅱ）已知点A（0,1）,若抛物线与射线AB订交于点M,与x轴订交于点N（异于原点）,当a在什么规模内取值时,ON+BM的值为常数？当a在什么规模内取值时,ON﹣BM的值为常数？（Ⅲ）若点P（t,t）在抛物线上,则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移,使其只有一个不动点,此时抛物线的极点是否在直线y=x﹣上,请解释来由．25．如图,已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的极点为P,与x轴订交于A.B两点（点A在点B的左侧）,点B的横坐标是1;（1）求a的值;（2）如图,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,抛物线C3的极点为M,当点P.M 关于点O成中间对称时,求抛物线C3的解析式．26．如图,抛物线y=ax2+bx+3经由A（﹣3,0）,B（﹣1,0）两点．（1）求抛物线的解析式;（2）设抛物线的极点为M,直线y=﹣2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D．现将抛物线平移,保持极点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点,求它的极点横坐标的值或取值规模．27．如图,抛物线y=a（x+1）2的极点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA．（1）求抛物线的解析式;（2）若点C（﹣3,b）在该抛物线上,求S△ABC的值．28．如图,抛物线y=x2﹣2x+c的极点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线极点A的坐标及c的值;（2）设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C.D（C点在D点的左侧）,试断定△ABD的外形．29．假如抛物线m的极点在抛物线n上,同时抛物线n的极点在抛物线m上,那么我们就称抛物线m与n为融合抛物线．（1）已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．断定下列抛物线b：y=x2﹣2x+2,c：y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为融合抛物线？并解释来由;（2）在直线y=2上有一动点P（t,2）,将抛物线a：y=x2﹣2x+1绕点P（t,2）扭转180°得到抛物线l,若抛物线a与l为融合抛物线,求抛物线l的解析式;（3）M为抛物线a;y=x2﹣2x+1的极点,Q为抛物线a的融合抛物线的极点,是否消失以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS,使其直角极点S在y轴上？若消失,求出点S的坐标;若不消失,请解释来由;（4）经由过程以上问题的探讨解决,信任你对融合抛物线的概念及性质有了必定的熟悉,请你提出一个有关融合抛物线的问题．30．如图1所示,已知直线y=kx+m与x轴.y轴分离交于点A.C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经由A.C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=﹣时,y取最大值．（1）求抛物线和直线的解析式;（2）设点P是直线AC上一点,且S△ABP：S△BPC=1：3,求点P的坐标;（3）直线y=x+a与（1）中所求的抛物线交于点M.N,两点,问：①是否消失a的值,使得∠MON=90°？若消失,求出a的值;若不消失,请解释来由．②猜测当∠MON＞90°时,a的取值规模．（不写进程,直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中,若M（x1,y1）,N（x2,y2）,则M.N两点之间的距离为|MN|=）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．极点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴订交于点A,在极点不变的情形下,把该抛物线绕极点P扭转180°得到一个新的抛物线,且新的抛物线与y轴订交于点B,则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6考点：二次函数图象与几何变换．剖析：依据标题意思,求出A和B的坐标,再求三角形的面积则可．解答：解：当x=0时,y=3,所以A的坐标是（0,3）,y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2,把它绕极点P扭转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1,x=0时,y=1,所以B的坐标是（0,1）,P的坐标是（1,2）,△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1．故选A．点评：本题考核了抛物线与坐标轴交点的求法,和考核抛物线将一般式转化极点式的才能,难度较大．二．填空题（共12小题）2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2,将抛物线C2向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1,则抛物线C1所对应的函数解析式是y=﹣2（x﹣1）2+2 ．考点：二次函数图象与几何变换．专题：应用题．剖析：依据题意易得抛物线C的极点,进而可得到抛物线B的坐标,依据极点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式,而依据关于x轴对称的两条抛物线的极点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式．解答：解：依据题意易得抛物线C的极点为（﹣1,﹣1）,∵是向左平移2个单位,向上平移1个单位得到抛物线C的,∴抛物线B的坐标为（1,﹣2）,可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k,代入得：y=2（x﹣1）2﹣2, 易得抛物线A的二次项系数为﹣2,极点坐标为（1,2）,∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2,故答案为y=﹣2（x﹣1）2+2．点评：本题重要考核了评论辩论两个二次函数的图象的平移问题,只需看极点坐标是若何平移得到的即可,关于x轴对称的两条抛物线的极点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,二次项系数互为相反数,难度适中．3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．剖析：依据关于原点对称的点的坐标特色进行解答即可．解答：解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数,∴抛物线y=﹣x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为：﹣y=﹣（﹣x）2+（﹣x）+2,即y=x2+x﹣2．故答案为：y=x2+x﹣2．点评：本题考核的是二次函数的图象与几何变换,熟知关于原点对称的点的坐标特色是解答此题的症结．4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O扭转180°,则扭转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1 ．考点：二次函数图象与几何变换．剖析：依据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．解答：解：依据题意,﹣y=（﹣x）2+1,得到y=﹣x2﹣1．故扭转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．点评：考核依据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．5．如图,正方形ABCD的极点A.B与正方形EFGH的极点G.H同在一段抛物线上,且抛物线的极点在CD上,若正方形ABCD边长为10,则正方形EFGH的边长为5﹣5 ．考点：二次函数分解题．剖析：起首树立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M,进而得出抛物线解析式,进而暗示出G点坐标,再应用FG+MG=10,进而求出即可．解答：解：如图树立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点M, 设抛物线解析式为：y=ax2,∵正方形ABCD边长为10,∴B点坐标为：（5,﹣10）,将B点代入y=ax2,则﹣10=25a,解得：a=﹣,设G点坐标为：（a,﹣a2）,则GF=2a,∴MG=10﹣GF,即a2=10﹣2a,整顿的：a2+5a﹣25=0,解得：a1=,a2=（不合题意舍去）, ∴正方形EFGH的边长FG=2a=5﹣5．故答案为：5﹣5．点评：此题重要考核了二次函数的分解应用以及一元二次方程的解法,依据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题症结．6．假如一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点,那么以该抛物线的极点和这两个交点为极点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中,系数a.b.c为绝对值不大于1的整数,则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为．考点：列表法与树状图法;抛物线与x轴的交点．剖析：由系数a.b.c为绝对值不大于1的整数,可得系数a.b.c为：0,1,﹣1;然后依据题意画树状图,由树状图求得所有等可能的成果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情形,再应用概率公式即可求得答案．解答：解：∵系数a.b.c为绝对值不大于1的整数, ∴系数a.b.c为：0,1,﹣1;画树状图得：∵共有18种等可能的成果,该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：（1,0,﹣1）,（﹣1,0,1）,∴该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：=．故答案为：．点评：本题考核的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质．留意用到的常识点为：概率=所求情形数与总情形数之比．7．抛物线y=ax2+bx+c经由直角△ABC的极点A（﹣1,0）,B （4,0）,直角极点C在y轴上,若抛物线的极点在△ABC的内部（不包含鸿沟）,则a的规模是﹣＜a＜0或0＜a＜．考点：二次函数的性质．专题：压轴题．剖析：依据点A.B的坐标求出OA.OB的长,再求出△ACO和△CBO类似,依据类似三角形对应边成比例列式求出OC的长,再依据二次函数的对称性求出对称轴,设对称轴与直线BC订交于P,与x轴交于Q,应用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ,设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x﹣4）,整顿求出极点坐标,再依据抛物线的极点在△ABC的内部分两种情形列式求出a的取值规模即可．解答：解：∵点A（﹣1,0）,B（4,0）,∴OA=1,OB=4,易得△ACO∽△CBO,∴=,即=,解得OC=2,∵抛物线y=ax2+bx+c经由A（﹣1,0）,B（4,0）, ∴对称轴为直线x==,设对称轴与直线BC订交于P,与x轴交于Q,则BQ=4﹣=2.5,tan∠ABC==,即=,解得PQ=,设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）, 则y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣a,当点C在y轴正半轴时,0＜﹣a＜,解得﹣＜a＜0,当点C在y轴负半轴时,﹣＜﹣a＜0,解得0＜a＜,所以,a的取值规模是﹣＜a＜0或0＜a＜．故答案为：﹣＜a＜0或0＜a＜．点评：本题考核了二次函数的性质,类似三角形的剖断与性质,把二次函数的解析式用交点式情势暗示加倍轻便,留意要分点C在y正半轴和负半轴两种情形评论辩论．8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的极点在x轴上,则a= 9 ;若抛物线与x轴有两个交点,则a的规模是a＜9 ．考点：抛物线与x轴的交点．剖析：极点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点,则判别式等于0,若抛物线与x轴有两个交点,则△＞0,据此即可求解．解答：解：△=36﹣4a,则定点在x轴上,则36﹣4a=0,解得：a=9;抛物线与x轴有两个交点,则36﹣4a＞0, 解得：a＜9．故答案是：9;a＜9．点评：本题考核了二次函数图象与x轴的公共点的个数的剖断办法,假如△＞0,则抛物线与x 轴有两个不合的交点;假如△=0,与x轴有一个交点;假如△＜0,与x轴无交点．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的极点在直线y=2上,则a= 2 ．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题．剖析：依据抛物线极点的纵坐标等于2,列出方程,求出a的值,留意要有意义．解答：解：因为抛物线的极点坐标为（﹣,）所以=2解得：a1=2,a2=﹣1又因为要有意义则a≥0所以a=2．点评：此题考核了学生的分解应用才能,解题时要留意别漏前提,特殊是一些隐含前提,比方：中a≥0．10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的极点在直线x=2上,则a的值是4 ．考点：二次函数的性质．剖析：依据抛物线极点的横坐标等于2,列出方程,求出a的值,留意要有意义．解答：解：因为抛物线的极点坐标为（﹣,）,所以﹣=2,解得：a1=4,a2=﹣4,又因为要有意义,则a≥0,所以a=4．故答案为4．点评：此题考核了学生的分解应用才能,解题时要留意别漏前提,特殊是一些隐含前提,比方：中a≥0．11．若抛物线的极点在x轴上方,则m的值是 2 ．考点：二次函数的性质;二次函数的界说．专题：盘算题．剖析：先列出关于m的等式,再依据抛物线的极点在x轴上方,求得m,所以只需令极点纵坐标大于0即可．解答：解：∵是抛物线, ∴m2﹣2=2,解得m=±2,∵抛物线的极点在x轴上方．∴0﹣8（m+2）＜0,∴m＞﹣2,∴m=2．故答案为：2．点本题考核了二次函数的界说和性质,将函数与一元二次方程联合起来,有必定的分解评：性．12．如图,二次函数y=ax2+c图象的极点为B,若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个极点A.C也在该抛物线上,则a•c的值是﹣2 ．考点：二次函数的性质;正方形的性质．剖析：抛物线y=ax2+c的极点B点坐标为（0,c）,由四边形ABCO是正方形,则C点坐标为标为（﹣,）,代入抛物线即可解答．解答：解：∵抛物线y=ax2+c的极点B点坐标为（0,c）,四边形ABCO是正方形, ∴∠COB=90°,CO=BC,∴△COB是等腰直角三角形,∴C点横纵坐标绝对值相等,且等于BO长度一半,∴C点坐标为（﹣,）,将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．故答案为：﹣2点评：本题将几何图形与抛物线联合了起来,同窗们要找出线段之间的关系,进而求得问题的答案．13．抛物线y=ax2+bx﹣1经由点（2,5）,则代数式6a+3b+1的值为10 ．考点：二次函数图象上点的坐标特点．专题：整体思惟．剖析：把点（2,5）代入抛物线求出2a+b的值,然后整体代入进行盘算即可得解．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx﹣1经由点（2,5）, ∴4a+2b﹣1=5,∴2a+b=3,∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．故答案为：10．点评：本题考核了二次函数图象上点的坐标特点,把点的坐标代入函数解析式求出a.b的关系式是解题的症结,重要应用了整体思惟．三．解答题（共17小题）14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．剖析：应用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变,纵坐标互为相反数解答即可．解答：解：抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数,即﹣y=2x2﹣4x+5,是以所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．点评：应用轴对称变换的特色可以解答．15．将抛物线C1：y=（x+1）2﹣2绕点P（t,2）扭转180゜得到抛物线C2,若抛物线C1的极点在抛物线C2上,同时抛物线C2的极点在抛物线C1上,求抛物线C2的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．剖析：先求出抛物线C1的极点坐标,再依据对称性求出抛物线C2的极点坐标,然后依据扭转的性质写出抛物线C2的极点式情势解析式,再把抛物线C1的极点坐标代入进行即可得解．解答：解：∵y=（x+1）2﹣2的极点坐标为（﹣1,﹣2）,∴绕点P（t,2）扭转180゜得到抛物线C2的极点坐标为（2t+1,6）, ∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6,∵抛物线C1的极点在抛物线C2上,∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2,解得t1=3,t2=﹣5,∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣7）2+6或y=﹣（x+9）2+6．点评：本题考核了二次函数图象与几何变换,难度较大,求出扭转后的抛物线C2的极点坐标是解题的症结,也是本题的难点．16．如图,抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,答复下列问题：（1）抛物线y2的极点坐标（1,2）;（2）暗影部分的面积S= 2 ;（3）若再将抛物线y2绕原点O扭转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．剖析：直策应用二次函数的常识解决问题．解答：解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的极点坐标为（1,2）;（2分）（2）把暗影部分进行平移,可得到暗影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2;（6分）（3）由题意可得：抛物线y3的极点与抛物线y2的极点关于原点O成中间对称．所以抛物线y3的极点坐标为（﹣1,﹣2）,于是可设抛物线y3的解析式为：y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1,所以y3=（x+1）2﹣2．（10分）点评：考核二次函数的相干常识,考核学生基本常识的同时还考核了识图才能．17．已知抛物线L：y=ax2+bx+c（个中a.b.c都不等于0）,它的极点P的坐标是,与y轴的交点是M（0,c）．我们称以M为极点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的陪同抛物线,直线PM为L的陪同直线．（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的陪同抛物线和陪同直线的解析式：陪同抛物线的解析式y=﹣2x2+1 ,陪同直线的解析式y=﹣2x+1 ;（2）若一条抛物线的陪同抛物线和陪同直线分离是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3,则这条抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3 ;（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（个中a.b.c都不等于0）的陪同抛物线和陪同直线的解析式;（4）若抛物线L与x轴交于A（x1,0）.B（x2,0）两点,x2＞x1＞0,它的陪同抛物线与x轴交于C.D两点,且AB=CD．要求出a.b.c应知足的前提．考点：二次函数分解题．专题：压轴题;新界说．剖析：（1）先依据抛物线的解析式求出其极点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后依据M的坐标用极点式二次函数通式设陪同抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出陪同抛物线的解析式．依据M,P两点的坐标即可求出直线PM的解析式;（2）由题意可知：陪同抛物线的极点坐标是抛物线与y轴交点坐标,陪同抛物线与陪同直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的极点,据此可求出抛物线的解析式; （3）办法同（1）;（4）本题要斟酌的a.b.c知足的前提有：抛物线和陪同抛物线都与x轴有两个交点,是以△＞0,①因为抛物线L中,x2＞x1＞0,是以抛物线的对称轴x＞0,两根的积大于0．②依据两抛物线的解析式分离求出AB.CD的长,依据AB=CD可得出另一个需知足的前提…③分解这三种情形即可得出所求的a.b.c需知足的前提．解答：解：（1）y=﹣2x2+1,y=﹣2x+1;（2）将y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3构成方程组得,,解得,或．则原抛物线的极点坐标为（1,﹣4）,与y轴的交点坐标为（0,﹣3）．设原函数解析式为y=n（x﹣1）2﹣4,将（0,﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得,﹣3=n（0﹣1）2﹣4,解得,n=1,则原函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4,即y=x2﹣2x﹣3．（3）∵陪同抛物线的极点是（0,c）,∵设它的解析式为y=m（x﹣0）2+c（m≠0）,∵此抛物线过P（﹣,）,∴=m•（﹣）2+c,解得m=﹣a,∴陪同抛物线解析式为y=﹣ax2+c;设陪同直线解析式为y=kx+c（k≠0）,P（﹣,）在此直线上,∴,∴k=,∴陪同直线解析式为y=x+c;（4）∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2﹣4ac＞0,∴b2＞4ac;∵x2＞x1＞0,∴x2+x1=﹣＞0,x1•x2=＞0,∴ab＜0,ac＞0．对于陪同抛物线有y=﹣ax2+c,有△2=0﹣（﹣4ac）=4ac＞0,由﹣ax2+c=0,得x=±．∴C（﹣,0）,D（,0）,CD=2,又AB=x2﹣x1====, ∵AB=CD,则有：2=,即b2=8ac,分解b2=8ac,b2﹣4ac＞0,ab＜0,ac＞0可得a.b.c需知足的前提为：b2=8ac且ab＜0（或b2=8ac且bc＜0）．点评：本题重要考核了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系．18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不合的交点（1）将抛物线沿y轴平移,使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是本来的2倍,求平移所得抛物线的解析式;（2）经由过程（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的极点作一条新的抛物线,求新抛物线的表达式．考点：抛物线与x轴的交点;二次函数图象与几何变换．专题：盘算题．剖析：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m,依据抛物线与x轴的交点的距离公式得到=2,解得m=3b﹣3a2,则平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+4b﹣3a2;（2）先肯定y=x2+2ax+b的极点坐标为（﹣a,b﹣a2）,因为经由过程（1）中所得抛物线与x轴的两个交点,则可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2）,然后把（﹣a,b﹣a2）代入可求出t=．解答：解：（1）设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m,依据题意得=2,解得m=3b﹣3a2,所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2; （2）y=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2,其极点坐标为（﹣a,b﹣a2）,∵新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b﹣3a2与x轴两交点,∴可设新抛物线解析式为y=t（x2+2ax+4b﹣3a2）,把（﹣a,b﹣a2）代入得b﹣a2=t（a2﹣2a2+4b﹣3a2）,解得t=,所以新抛物线的表达式过抛物线y=x2+ax+b﹣a2．点评：本题考核了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）与x 轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决议抛物线与x轴的交点个数;△=b2﹣4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点．19．已知抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点,与x轴的另一个交点为B（4,0）,A为抛物线C的极点．（1）如图1,若∠AOB=60°,求抛物线C的解析式;（2）如图2,若直线OA的解析式为y=x,将抛物线C绕原点O扭转180°得到抛物线C′,求抛物线C.C′的解析式;（3）在（2）的前提下,设A′为抛物线C′的极点,求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．考点：二次函数分解题;点的坐标;待定系数法求二次函数解析式;扭转的性质;类似三角形的剖断与性质．专题：压轴题．剖析：（1）先衔接AB,依据A点是抛物线C的极点,且C交x轴于O.B,得出AO=AB,再依据∠AOB=60°,得出△ABO是等边三角形,再过A作AE⊥x轴于E,在Rt△OAE中,求出OD.AE的值,即可求出极点A的坐标,最后设抛物线C的解析式,求出a的值,从而得出抛物线C的解析式;（2）先过A作AE⊥OB于E,依据题意得出OE=OB=2,再依据直线OA的解析式为y=x,得出AE=OE=2,求出点A的坐标,再将A.B.O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中,求出a的值,得出抛物线C的解析式,再依据抛物线C.C′关于原点对称,从而得出抛物线C′的解析式;（3）先作A′B的垂直等分线l,分离交A′B.x轴于M.N（n,0）,由（2）知,抛物线C′的极点为A′（﹣2,﹣2）,得出A′B的中点M的坐标,再作MH⊥x轴于H,得出△MHN∽△BHM,则MH2=HN•HB,求出N点的坐标,再依据直线l过点M（1,﹣1）.N（,0）,得出直线l的解析式,求出x的值,再依据抛物线C上消失两点使得PB=PA',从而得出P1,P2坐标,再依据抛物线C′上也消失两点使得PB=PA',得出P3,P4的坐标,即可求出答案．解答：解：（1）衔接AB．∵A点是抛物线C的极点,且抛物线C交x轴于O.B, ∴AO=AB,又∵∠AOB=60°,∴△ABO是等边三角形,过A作AD⊥x轴于D,在Rt△OAD中,∴OD=2,AD=,∴极点A的坐标为（2,）设抛物线C的解析式为（a≠0）, 将O（0,0）的坐标代入,求得：a=,∴抛物线C的解析式为．（2）过A作AE⊥OB于E,∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4,0）,极点为A,∴OE=OB=2,又∵直线OA的解析式为y=x,∴AE=OE=2,∴点A的坐标为（2,2）,将A.B.O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中,∴a=,∴抛物线C的解析式为,又∵抛物线C.C′关于原点对称,∴抛物线C′的解析式为;（3）作A′B的垂直等分线l,分离交A′B.x轴于M.N（n,0）,由前可知,抛物线C′的极点为A′（﹣2,﹣2）,故A′B的中点M的坐标为（1,﹣1）．作MH⊥x轴于H,∴△MHN∽△BHM,则MH2=HN•HB,即12=（1﹣n）（4﹣1）,∴,即N点的坐标为（,0）．∵直线l过点M（1,﹣1）.N（,0）,∴直线l的解析式为y=﹣3x+2,,解得．∴在抛物线C上消失两点使得PB=PA',其坐标分离为P1（,）,P2（,）;解得,．∴在抛物线C′上也消失两点使得PB=PA',其坐标分离为P3（﹣5+,17﹣3）,P4（﹣5﹣,17+3）．∴点P的坐标是：P1（,）,P2（,）,P3（﹣5+,17﹣3）,P4（﹣5﹣,17+3）．。
专题02二次函数(7大题型突破)2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲(人教版)
(3)若方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ k 有两个不相等的正实数根，直接写出 k 的取值范
围.
解：(3)－4＜ k ＜－3.
点拨：∵方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ k 有两个不相等的正实数
根，
∴函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与直线 y
＝ k 有两个交点，且两个交点的横坐标都
∵顶点在正方形 ABCD 内部且包含边上，
∴－2≤ a ≤－ .
8. 【新考法】如图，在2×2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，有 A ， O ，
2
B ， C ， D ， E ， F ， H ， G 九个格点，抛物线 L 的解析式为 y ＝ x ＋ bx
＋c.
0
(1)若 L 经过点 O (0，0)和 B (1，0)，则 b ＝－
则抛物线的解析式为 y ＝ a ( x －1)2＋1，
将 M (－1，0)代入，得4 a ＋1＝0，∴ a ＝－ ；
当抛物线的顶点与点 D 重合时，顶点坐标为(0，2)，
当抛物线的顶点与点 C 重合时，顶点坐标为(1，2)，由(1)知 a ＝－ ；
则抛物线的解析式为 y ＝ ax2＋2，
将 M (－1，0)代入，得 a ＋2＝0，∴ a ＝－2.
－2≤ a ≤－
a 的取值范围是
.
点拨：(2)设抛物线的解析式为 y ＝a ( x － h ) 2 ＋ k .根据题意可分下
列情况：当抛物线的顶点与点 A 重合时，顶点坐标为(0，1)，
则抛物线的解析式为 y ＝ ax2＋1，
将 M (－1，0)代入，得 a ＋1＝0，∴ a ＝－1；