中考数学压轴题专题1《直角三角形的存在性问题》
直角三角形的存在性问题解题策略-2011中考压轴题
直角三角形的存在性问题解题策略1.（遵义市2011）27．（14分）已知抛物线)0(32≠++=a bx ax y 经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C 。
（1）求抛物线)0(32≠++=a bx ax y 的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标。
考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据A （3，0），B （4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式； （2）从当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案； （3）根据当OE ∥AB 时，△FEO 面积最小，得出OM=ME ，求出即可． 解答：解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点， ∴错误！未找到引用源。
， 解得：错误！未找到引用源。
，∴y=错误！未找到引用源。
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x+3； ∴点C 的坐标为：（0，3）；（2）当△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°， ∵A （3，0），B （4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45°，∴∠DAO=45°，∴AO=DO，∵A点坐标为（3，0），∴D点的坐标为：（0，3），∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=错误！未找到引用源。
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中考数学专题讲解：直角三角形的存在性问题
中考专题讲解：直角三角形的存在性问题 一、学习目标1.经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧2.体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性二、课前准备1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为2.如图，A(0，4),C （4,0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为三、探究理解如图，A(0，1)，C(4，3)是直线121+=x y 上的两点，点P 是x 轴上的一个动点，问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标.问题：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 针对直角顶点进行分类（2）一般会有几种情况？ 3种（3）分类时候需要做什么？ 画图（4）解题有那些方法？（5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点总结：直角三角形的存在性问题的解题策略：四、反馈练习1.如图，点O （0,0），A(1，2),若存在格点P ，使△APO 为直角三角形， 则点P 的个数有 个2.在△ABC 中，∠C=900，AC=8 cm,BC=6 cm ，动点P 、Q 分别同时从点A 、B 出发，其中点P 在线段AB 上向点B 移动，速度是2 cm/s,点Q 在线段BC上向点C 运动，速度为1cm/s ，设运动时间为t s,当t= 时，△BPQ 是直角三角形.3.如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4,MA=1，MB>1，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB=x.若△ABC 为直角三角形，(1)求x 的值.（2）x 的取值是多少.五、链接中考如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0,8），点C 的坐标为（6,0）.抛物线834942++-=x x y 经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ，Q 是AC 上一点，且AQ=5.请问在抛物线对称轴l 上是否存在点F ，使得△FDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由六、课堂小结直角三角形的存在性问题解题策略分类画图（1）角：构造相似三角形解题 （2） 边：勾股定理（3）函数：k 1·k 2=-1六、课后练习在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1,0），如图所示，B 点在抛物线221212-+=x x y 图像上，过点B 作BD ⊥X 轴，垂足为D ，且B 点的横坐标为-3.(1)求证：△BDC ≌△COA(2)求BC 所在直线的函数关系式（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
压轴题解题策略：直角三角形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略直角三角形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例? 如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4．D、E为线段BC上的两个动点，5且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．图1-1【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点．在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝45，所以BH ＝8．所以BC ＝16．由EF //AC ，得BF BE BA BC =，即31016BF x +=．所以BF ＝5(3)8x +． 图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠==，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x =⨯+，得x ＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例? 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）．③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）．因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例? 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得2x =±．此时P (2,2)． 图3-2 图3-3方法二：由勾股定理，得PA 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x+++++=，得2x =±． 方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x=+-，得2x = 图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝2-，它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例? 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -．③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ． 图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了． 例? 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-． 图5-2例? 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么A H ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3．在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==． ②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件符合“角边角”． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ．由CA ＝5，得7m ＝5．解得57m =．此时2557AD m ==． 图6-2 图6-3 图6-4（3）因为DA ＝DE ，所以只存在∠ADE ＝90°的情况．①如图6-5，当E 在AB 下方时，根据对称性，知∠CDA ＝∠CDE ＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH ＝CH ＝3．所以AD ＝AH －DH ＝1．②如图6-6，当E 在AB 上方时，根据对称性，知∠CDA ＝∠CDE ＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH ＝CH ＝3．所以AD ＝AH ＋DH ＝7．图6-5 图6-6。
专题06 二次函数中三角形存在性问题(原卷版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题06二次函数中三角形存在性问题一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P 的坐标．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC 于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；＝S△ABC时，（3）P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC 求点P的坐标；（4）在抛物线的对称轴l上是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11。
直角三角形的存在性问题
小结： 写出本题完整的解题过程：
注意：
轴交于点 C．
（1）求点 A、 B 的坐标；
（ 2）若直线 l 过点 E(4, 0) ，M为直线 l 上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三角形
有．且．只．有．三个时，求直线 l 的解析式．
点拨： 1．当直线 l 与以 AB为直径的圆相交时，符合∠ AMB＝90°的点 M有 2 个；当直线 l 与圆相切时，符合∠ AMB＝ 90°的点 M只有 1 个． 2 ．灵活应用相似比解题比较简便．
为线段 OC上一点，设过 B、P 两点的直线为 l 1，过 A、P 两点的直线为 l 2，若 l 1与 l 2 是点 P 的直 角线，求直线 l 1 与 l 2的解析式．
〖练 4〗 如图 1，直线 y
4 x
4 和 x 轴、y 轴的交点分别为
B、C，点 A 的坐标是（-2 ，0）．
3
（1）试说明△ ABC是等腰三角形；
① __________为直角顶点的 Rt △QCP有 __________个 ② __________为直角顶点的 Rt △QCP有 __________个
第三步 计算 ——具体问题具体分析
②如图， Q为直角顶点，那么 __________________， 于是 MP ' OB ' 1 ，因此 MB 2MP '， MB OB 2
数形结合， xB xP ' 2 y P' ， 设 P(_____, _________________) ， 那么 _______ _________________ ， 解得 x1 4, x2 5
2 x1 4的几何意义就是点 _____ ， x2 5 的几何意义就是点 _______
二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似)-2023年中考数学压轴题(学生版)
二次函数与三角形存在性问题(与等腰、直角、等腰直角三角形、相似三角形)1.考向分析题型一:二次函数与等腰三角形存在性问题1(2022•百色)已知抛物线经过A(-1，0)、B(0，3)、C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF=∠BDF；(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．题型二:二次函数与直角三角形存在性问题1(2022•滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，连接AC、BC．(1)求线段AC的长；(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．题型三:二次函数与等腰直角三角形存在性问题1(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L：y=x2+bx+c经过点A(0，3)，B(1，0)，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内(包括△OAE的边界)，求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型四:二次函数与相似三角形存在性问题1(2023•宜兴市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC、AC．(1)求二次函数的函数表达式；(2)设二次函数的图象的顶点为D，求直线BD的函数表达式以及sin∠CBD的值；(3)若点M在线段AB上(不与A、B重合)，点N在线段BC上(不与B、C重合)，是否存在△CMN与△AOC相似，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．2.压轴题速练1一．解答题(共20小题)1(2023•绥宁县模拟)如图，一次函数y =12x +2与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A 、C 两点，与x 轴交于另一点B ，其对称轴为直线x =-32．(1)求该二次函数表达式；(2)在y 轴的正半轴上是否存在一点M ，使以点M 、O 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)在对称轴上是否存在点P ，使△PAC 为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023•泗阳县校级一模)如图，二次函数y=ax2+bx+4与x轴交于点A(4，0)、B(-1，0)，与y轴交于点C．(1)求函数表达式及顶点坐标；(2)连接AC，点P为线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AC于点H，当PH= 2HQ时，求点P的坐标；(3)是否存在点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，使得△BMN是以BN为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．3(2023•碑林区校级一模)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC 于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；(2)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．2与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB、AC．x+c(a≠0)的表达式；(1)请直接写出二次函数y=ax2+32(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标；(4)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．2轴交于点B、C，点C坐标为(8，0)，连接AB、AC．(1)求出二次函数表达式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点N的坐标，并说明理由；(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．6(2023•灞桥区校级二模)如图，二次函数y=-12x2-x+4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C．(1)求点A、B、C的坐标；(2)若点P在抛物线对称轴上，且在x轴上方，当△PBC为等腰三角形时，求出所有符合条件的点P的坐标．7(2023春•仓山区校级期中)如图抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点(1，3)的直线l：y=kx+b与二次函数的图象相交于M，N两点．①若S△PMN=2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8(2023春•兴化市月考)已知：二次函数y=ax2+2ax-8a(a为常数，且a>0)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为点D．(1)分别求点A、B的坐标；(2)若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；(3)当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．9(2023•广水市模拟)二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(-1，0)和点B(-3，0)，交y轴于点C (0，-3)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E为抛物线的顶点，点T(0，t)为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B'，E'，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；(3)如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．是否存在点M使△PBC为直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．10(2023•江油市模拟)抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．11如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．(1)求二次函数的表达式；(2)点M为一次函数下方抛物线上的点，△ABM的面积最大时，求点M的坐标；(3)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．12(2023•儋州一模)如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，A(0，3)，B(-1，0)，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y=ax2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点Q的直线l：y=kx-k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN=2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．13(2023•保亭县一模)如图，二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点(1，8)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A(-1，0)，M为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式；(2)求△MCB的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14(2022秋•蔡甸区期末)如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为(1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使|PB-PC|最大，求出点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．15(2023•二道区校级一模)已知一次函数y=x+4的图象与二次函数y=ax(x-2)的图象相交于A (-1，b)和B，点P是线段AB上的动点(不与A、B重合)，过点P作PC⊥x轴，与二次函数y=ax(x-2)的图象交于点C．(1)求a、b的值；(2)如图1，M为∠APC内一点，且PM=1，E，F分别为边PA和PC上两个动点，求△MEF周长的最小值；(3)若△PAC是直角三角形，求点C的坐标．16(2023•靖江市一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点0，-3 2，顶点为C(-1，-2)．(Ⅰ)求该二次函数的解析式；(Ⅱ)过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；(Ⅲ)当p+q≥-2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．17(2023•泰山区一模)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(-1，0)，点B(4，0)两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t=32时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．18(2023•东营区一模)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(1，0)和B(-3，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)，直线y=-2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M在AE下方的抛物线上运动，求△AME的面积最大值；(3)如图2，在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．19(2023•铁西区模拟)如图①，已知抛物线y=mx2-3mx-4m(m<0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC=2OE．(1)求出抛物线的解析式；(2)如图②Q(t，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，若△MCN与△BQM相似，请求出Q的坐标；(3)如图②Q(t，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．20(2023•东胜区模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-2，0)，B(4，0)，C(0，8)三点，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求此时P点坐标及△PBC面积的最大值；(3)在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
直角三角形的存在性问题
直角三角形的存在性问题（因动点产生的直角三角形的存在性问题）课前预热1、两点式2、两直线互相垂直，两直线的解析式为11b x k y +=与22b x k y += → 121-=⋅k k3、三角形相似：射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=24、三角函数求解新课认知问题提出：已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求 解第三点解决方法：1、找点方法：双线一圆（两垂线一圆）一圆指以已知边为直径作圆，双线指过线段（边）端点（顶点）做垂线. 2、分析题目中的定长、定角3、确定点的坐标情况分类：（1）当动点在直线上运动时常用方法:①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动是时情况分类：①已知点处做直角方法：①121-=⋅k k ；②三角形相似；③勾股定理.②动点处做直角方法：寻找特殊角.动点在直线上运动时例1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），对称轴为直线x=-2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由当动点在曲线上运动时 (1)求解过程中只有已知点处做直角例2 如图，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）求解过程中动点处做直角例3 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C （0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ=43AB,求tan ∠CED 的值②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）经过A （3，0），B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+3（a ≠0）的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1），连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求点E 的坐标．3、（2012内蒙古）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例1（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形．∴DM=ON=2，∴CD=2×2=4．∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），∴AB=2，∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，∴OD=3，即c=3．∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得．∴y=x2+4x+3．将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．②存在．∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，∴∠PDM=∠APN，∵∠PMD=∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴=，∴=，∴PN2﹣3PN+2=0，∴PN=1或PN=2．∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．故答案为：2；4或4﹣或4+例2（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，∵点B在点A的右侧，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．当x=0时，y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=4．∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．∵l⊥x轴，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．化简得：m2﹣4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．此时，四边形CQBM是平行四边形．解法一：∵m=4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴，∴△BPM∽△BOD，∴==，∴BM=DM，∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM CQ，∴BM CQ，∴四边形CQBM是平行四边形．解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则，解得k1=，b1=﹣4．故直线BC的解析式为y=x﹣4．又∵l⊥x轴交BC于点N，∴x=4时，y=﹣2，∴点N的坐标为（4，﹣2），由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）．∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，∴MN=QN，又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，∵在△BMN与△CQN中，，∴△BMN≌△CQN（ASA）∴BN=CN，∴四边形CQBM是平行四边形．（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：①以点Q为直角顶点．此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．∵P在线段EB上运动，∴﹣8≤x Q≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，故此种情形不存在．②以点D 为直角顶点．连接AD ，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，由勾股定理得：AD=，BD=，∵AB 2+BD 2=AB 2，∴△ABD 为直角三角形，即点A 为所求的点Q ． ∴Q 1（﹣2，0）；③以点B 为直角顶点．如图，设Q 2点坐标为（x ，y ），过点Q 2作Q 2K ⊥x 轴于点K ，则Q 2K=﹣y ，OK=x ，BK=8﹣x ． 易证△QKB ∽△BOD ， ∴，即，整理得：y=2x ﹣16．∵点Q 在抛物线上，∴y=x 2﹣x ﹣4． ∴x 2﹣x ﹣4=2x ﹣16，解得x=6或x=8，当x=8时，点Q 2与点B 重合，故舍去；当x=6时，y=﹣4，∴Q 2（6，﹣4）．例3 ⑴∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴1221b b a -=-=⨯ ∴b =－2．∵抛物线与y 轴交于点C （0，－3），∴c =－3，∴抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．⑵∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，当y =0时，x 2－2x －3=0．∴x 1=－1,x 2=3.∵A 点在B 点左侧，∴A （－1，0），B （3，0）设过点B （3，0）、C （0，－3）的直线的函数表达式为y =kx ＋m ， 则033k m m =+⎧⎨-=⎩，∴13k m =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的函数表达式为y =x －3． ⑶①∵AB =4，PO =34AB ， ∴PO =3∵PO ⊥y 轴∴PO ∥x 轴，则由抛物线的对称性可得点P 的横坐标为12-， ∴P （12-，74-）∴F（0，74 -），∴FC=3－OF=3－74=54．∵PO垂直平分CE于点F，∴CE=2FC=5 2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=－2，则D（1，－2）．过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE－CG=52－1=32．在Rt△EGD中，tan∠CED=23 GDEG=．②P1（12），P2（1－252）．练习1、【答案】解：（1）证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，∴∠BCD ＝∠OAC 。
直角三角形存在性问题专题攻略
一、专题攻略1、解直角三角形的存在性问题，一般分三个步骤第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。
2、解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起。
3、一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程。
4、在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到。
5、有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。
二、典型例题例、如图，在直角坐标平面内，O为原点，二次函数y=-x2十2x+ 3的图象与，轴交于点A，与y 轴交于点B,顶点为P.如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标三、针对训练1．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC．设AB=x，若△ABC 为直角三角形，求x的值．【考点】旋转的性质；勾股定理的逆定理．【专题】分类讨论．【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，求出x的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．【解答】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3﹣x．∴，解得1＜x＜2；①若AC为斜边，则1=x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4=0，无解，②若AB为斜边，则x2=（3﹣x）2+1，解得x=，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3﹣x）2=1+x2，解得x=，满足1＜x＜2，故x的值为：或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键．2．如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且△ABP是直角三角形．（1）求点P的坐标；（2）如果二次函数的图象经过A、B、P三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图象与y轴交于点C，过该函数图象上的点C，点P的直线与x轴交于点D，试比较∠BPD与∠BAP的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）先求得B点坐标，再分析△ABP满足是直角三角形时P点的情况，可分为AB为直角边和AB为斜边两种情况作答．（2）对（1）求得的P点坐标分别讨论是否满足二次函数抛物线，求得二次函数的解析式．（3）由点的坐标可证得△PBD∽△APD，则∠BPD与∠BAP满足相等．【解答】解：（1）由题意，得点B的坐标为（2，0）．设点P的坐标为（x，y），由题意可知∠ABP=90°或∠APB=90°．（i）当∠ABP=90°时，x=2，y=1，∴点P坐标是（2，1）；（ii）当∠APB=90°时，PA2+PB2=AB2，即（x+2）2+y2+（x﹣2）2+y2=16①．又由，可得y2=，代入①解得：（负值不合题意，舍去）．当时，．∴点P点坐标是（，）．综上所述，点P坐标是（2，1）或（，）．（2）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），（i）当点P的坐标为（2，1）时，点A、B、P不可能在同一个二次函数图象上；（ii）当点P的坐标为（，）时，代入A、B、P三点的坐标，解得：∴所求的二次函数解析式为．（3）∠BPD=∠BAP．证明如下：∵点C坐标为（0，），∴直线PC的表达式为．∴点D坐标为（，0）．∴PD=2，BD=，AD=．，∴．∵∠PDB=∠ADP，∴△PBD∽△APD．∴∠BPD=∠BAP．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，重点是求解函数的解析式．3．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于两点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线是否存在一点P，使得△BDP是以BD为斜边的直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）过P作x轴的平行线交Y轴于E点，过B点作X轴的垂线交EP的延长线于F点，利用三角形相似得出P点的坐标；（3）利用△AMN∽△CDB，当N在A点左边时，当N在A点右边时，当N在A点右边时，当N在A点左边时分别得出即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于两点A（1，0）、B（3，0），∴0=a+b﹣3，0=9a+3b﹣3，解得：a=﹣1，b=4，∴y=﹣x2+4x﹣3；（2）如图1，过P作x轴的平行线交Y轴于E点，过B点作X轴的垂线交EP的延长线于F点，设P（t，﹣t2+4t﹣3），当P点在第一象限时，则DE=﹣t2+4t，PF=3﹣t，PE=t，BF=﹣t2+4t﹣3，可证△DEP∽△PFB，，，可求得，所以P（，），同理，当P点在第四象限时，可求得P（，）；（3）如图2，设N（m，0）则M（m，﹣m2+4m﹣3），MN=m2﹣4m+3若△AMN∽△CDB，，当N在A点左边时AN=1﹣m，，m=0或m=1（舍），所以M（0，﹣3），当N在A点右边时AN=m﹣1，，m=6或m=1（舍），所以M（6，﹣15），若△MAN∽△CDB，，当N在A点左边时AN=1﹣m，，m=（舍）或m=1（舍），所以此时M不存在，当N在A点右边时AN=m﹣1，，m=或m=1（舍），所以M（，），综上M1（0，﹣3）M2（6，﹣15）M3（，）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．四、三年真题4．（15宜宾24）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b、c即可；（2）①表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可；②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：解得：b=1，c=4，∴y=﹣x2+x+4；（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，①根据题意，ON=OM=t，MH=﹣t2+t+4∵ON∥MH∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，即t=﹣t2+t+4解得：t=2或t=﹣2（不合题意舍去）把t=2代入y=﹣t2+t+4得：y=2∴H（2，2）；②存在，当PF⊥BC时，∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，）当PF⊥BP时，∵点P（1，），B（4，0），∴直线BP的解析式为：y=﹣x+6，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，），综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求直线和抛物线解析式，求顶点坐标，矩形的判定与性质以及两直线互相垂直的性质，本题有一定的综合性，难度不大，关键是掌握两直线互相垂直的性质．5．（16白银张掖28）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式；（2）分两种情况进行计算即可；（3）确定出面积达到最大时，直线PC和抛物线相交于唯一点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+，根据锐角三角函数求出BD，计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；（2）由运动得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=1；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，∵直线AB解析式为y=﹣x+3，∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，联立，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0∴△=9﹣4（b﹣3）=0∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴P（，）．过点B作BD⊥PC，∴直线BD解析式为y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=3S最大=AB×BD=×3×=．即：存在面积最大，最大是，此时点P（，）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，平行线的解析式的确定方法，互相垂直的直线解析式的确定方法，解本题的关键是确定出△PAB面积最大时点P的特点．6．（16重庆B卷26）如图1，二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48．（1）求直线AB和直线BC的解析式；（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H （不与点A，点B重合），使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据S△AMO：S四边形AONB=1：48，求出三角形相似的相似比为1：7，从而求出BN，继而求出点B的坐标，用待定系数法求出直线解析式．（2）先判断出PE×PF最大时，PE×PD也最大，再求出PE×PF最大时G（5，），再简单的计算即可；（3）由平移的特点及坐标系中，两点间的距离公式得A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，最后分三种情况计算即可．【解答】解：（1）∵点C是二次函数y=x2﹣2x+1图象的顶点，∴C（2，﹣1），∵PE⊥x轴，BN⊥x轴，∴△MAO∽△MBN，∵S△AMO：S四边形AONB=1：48，∴S△AMO：S△BMN=1：49，∴OA：BN=1：7，∵OA=1∴BN=7，把y=7代入二次函数解析式y=x2﹣2x+1中，可得7=x2﹣2x+1，∴x1=﹣2（舍），x2=6∴B（6，7），∵A的坐标为（0，1），∴直线AB解析式为y=x+1，∵C（2，﹣1），B（6，7），∴直线BC解析式为y=2x﹣5．（2）如图1，设点P（x0，x0+1），∴D（，x0+1），∴PE=x0+1，PD=3﹣x0，∵∠DPF固定不变，∴PF：PD的值固定，∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，PE×PD=（x0+1）（3﹣x0）=﹣x02+x0+3，∴当x0=时，PE×PD最大，即：PE×PF最大．此时G（5，）∵△MNB是等腰直角三角形，过B作x轴的平行线，∴BH=B1H，GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，∴当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，此时H（5，6），最小值为7﹣=（3）令直线BC与x轴交于点I，∴I（，0）∴IN=，IN：BN=1：2，∴沿直线BC平移时，横坐标平移m时，纵坐标则平移2m，平移后A′（m，1+2m），C′（2+m，﹣1+2m），∴A′C′2=8，A′K2=5m2﹣18m+18，C′K2=5m2﹣22m+26，当∠A′KC′=90°时，A′K2+KC′2=A′C′2，解得m=，此时t=m=2±；当∠KC′A′=90°时，KC′2+A′C′2=A′K2，解得m=4，此时t=m=4；当∠KA′C′=90°时，A′C′2+A′K2=KC′2，解得m=0，此时t=0．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．7．（14年福州21）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t=秒时，则OP=，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．【考点】相似形综合题．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．【解答】（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×=，∴S△ABP=AB•PD=×（2+1）×=．（2）解：当△ABP是直角三角形时，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在；②若∠B=90°，如答图2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答图3所示：过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（负值舍去），∴t=．综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=．（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，则有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PEO，∴，即，化简得：AQ•PB=3．【点评】本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．五、两年模拟8．（2015年曲靖麒麟区中考模拟第24题）如图，过点C（0，2）的抛物线与直线AD交于A（﹣1，0），D（3，2）两点．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一点，求MA+MC最小时点M的坐标；（3）在y轴上是否存在点P使△PAD是直角三形？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设出一次函数、二次函数解析式分别为y=kx+b，y=ax2+bx+c，将函数图象上的点代入，即可求函数解析式；（2）连接BC，与对称轴交于M，此时MA+MC最小．求出BC解析式，将M点横坐标代入即可求出其纵坐标；（3）分四种情况讨论：①当∠AP1D=90°时，△DCP1∽△P1OA；②∠AP2D=90°时，△AOP2∽△P2CD；③设AP3解析式为y=﹣2x+s，将A（﹣1，0）分别代入解析式，求出s的值；④设AP4解析式为y=﹣2x+t，将A（3，2）分别代入解析式得，t=8．【解答】解：（1）设AD的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），D（3，2）分别代入解析式得，，解得，∴AD的解析式为y=x+．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣1，0），C（0，2），D（3，2）分别代入解析式得，解得，，函数解析式为y=﹣x2+x+2．（2）如图1，连接BC，与对称轴交于M，此时MA+MC最小．设BC解析式为y=ax+b，把B（4，0），C（0，2）代入解析式得，，解得，则y=﹣x+2，当x=﹣=时，y=﹣×+2=，∴M（，）．（3）①当∠AP1D=90°时，△DCP1∽△P1OA，∴=，即=，∴P1C2+2P1C=3，解得，P1C=1，P1C=﹣3（舍去）．∴P1O=3，∴P1（0，3）．②∠AP2D=90°时，△AOP2∽△P2CD，∴=，即=，∴P2O2+2P2O=3，解得，P2O=1，P2O=﹣3（舍去）．∴P2O=3，∴P2（0，﹣3）．③如图3，∵AP3⊥AD，DP4⊥AD，且AD解析式为y=x+，设AP3解析式为y=﹣2x+s，将A（﹣1，0）分别代入解析式得，s=﹣2，解析式为y=﹣2x﹣2，当x=0时，y=﹣2，则得P3（0，﹣2），④设AP4解析式为y=﹣2x+t，将A（3，2）分别代入解析式得，t=8，解析式为y=﹣2x+8，当x=0时，y=8，则得P4（0，8）．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、轴对称最短路径问题、存在性问题和相似三角形的判定与性质，难度较大．9．（2016年汕头潮阳区中考模拟第25题）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按逆时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C、D、B三点．（1）该抛物线的解析式为；（2）设点E是抛物线上位于第一象限的动点，过点E作EF⊥x轴于点F，并交直线AB于N，过点E再作EM⊥AB于点M，求△EMN周长的最大值；（3）当△EMN的周长最大时，在直线EF上是否存在点Q，使得△QCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．由线段OA、OB的长度可得出点A、B的坐标，再由旋转的特性可得出点C、D的坐标，由点B、C、D三点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）在Rt△AOB中，找出∠ABO的正弦余弦值，再根据相似三角形的判定定理找出△EMN∽△BFN，从而得出∠MEN=∠FBN，用EN的长度来表示出EM和MN的长度，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，设出点E的坐标为（t，﹣+t+4）（0＜t＜4），即可找出点N的坐标为（t，﹣t+2），从而得出线段EN的长度，将EN、MN、EM相加即可得出△EMN的周长，根据二次函数的性质可求出EN的最大值，由此即可得出结论；（3）结合（2）的结论可知直线EF的解析式为x=，分∠QDC=90°和∠DCQ=90°两种情况来考虑，利用相似三角形的性质找出相似边的比例关系来找出线段的长度，再根据点与点间的数量关系即可找出点Q的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．∵OA=2，OB=4，∴点A（0，2），点B（4，0），由旋转的特性可知：点C（﹣2，0），点D（0，4）．将点B（4，0）、点C（﹣2，0）、点D（0，4）代入到抛物线解析式得：，解得：．∴该抛物线的解析式为y=﹣+x+4．故答案为：y=﹣+x+4．（2）依照题意画出图形，如图1所示．在Rt△AOB中，OA=2，OB=4，∴AB===2，∴sin∠ABO=，cos∠ABO=．∵EM⊥AB，EF⊥OB，∴∠EMN=∠BFN=90°．∵∠BNF=∠ENM，∴△EMN∽△BFN，∴∠MEN=∠FBN．在Rt△EMN中，sin∠MEN=，cos∠MEN=，∴MN=EN•sin∠MEN=EN•sin∠ABO=EN，EM=EN•cos∠MEN=EN•cos∠ABO=EN．∴C△EMN=EM+MN+EN=EN+EN+EN=EN．由（1）知A（0，2）、B（4，0），设直线AB的解析式为：y=kx+2，∴4k+2=0，解得：k=﹣，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+2．设抛物线上点E的坐标为（t，﹣+t+4）（0＜t＜4），∵EF⊥OB，∴令y=﹣x+2中x=t，y=﹣t+2，∴点N的坐标为（t，﹣t+2），∴EN=﹣+t+4﹣（﹣t+2）=﹣+t+2．∴C△EMN=（﹣+t+2）=﹣+t+（0＜t＜4）．∴当t=﹣=时，EN最大，此时C△EMN最大，∴C△EMN最大为：[﹣+2]=．（3）由（2）知，当C△EMN取最大值时，EF的解析式为：x=．①若∠QDC=90°，过点Q作QG⊥y轴于点G，如图2所示．∵EF的解析式为：x=，∴QG=，∵∠QDG+∠DQG=90°，∠CDO+∠QDG=90°，∴∠DGQ=∠CDO，又∵∠QGD=∠DOC=90°，∴△QDG∽△DCO，∴，∴DG=2×=．∴OG=OD﹣DG=4﹣=，∴点Q的坐标为（，）；②若∠DCQ=90°，如图3所示．CF=﹣（﹣2）=，∵∠QCF+∠OCD=90°，∠CDO+∠OCD=90°，∴∠QCF=∠CDO，又∵∠CFQ=∠DOC=90°，∴△COD∽△QFC，∴，即，∴FQ=，∴点Q的坐标为（，﹣）．综上所述，当点Q的坐标为（，）或（，﹣）时，使得△QCD是以CD为直角边的直角三角形．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质以及三角形的周长，解题的关键是：（1）求出点B、C、D的坐标；（2）用线段EN的长度来表示△EMN 的周长；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，难道不大，但非常繁琐，解决该题型题目时，依据题意作出图形，利用数形结合来解决问题是关键。
2017 中考 压轴专题 平行四边形、等腰三角形、直角三角形存在性问题
专题存在性问题（一）等腰三角形的存在性问题例1 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时停止运动.在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求时间t的值.例2 如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B.设BD 的长为x，CE的长为y.（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值.练1 （12分）（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx x y ++-=221（b ，c 为常数） 的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ．（i ）若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M 的坐标；（ii ）取BC 的中点N ，连接NP ，BQ ．试探究BQ NP PQ +是否存在最大值？若存在，求出该最 大值；若不存在，请说明理由．（二） 平行四边形的存在性问题一般有下列两种情况：① 已知三个定点，找第四个顶点. (符合条件的有3个，分别以已知三个定点为三角形的顶点， 过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.)② 已知两个定点. ( 把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.)例1 如图，已知抛物线322+--=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P. 若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.例3 (13 嘉兴 24 ) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线m m m x y +--=2241)(41的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，连结AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD ＝AC ，连结BD ．作AE ∥x 轴，DE ∥y 轴．（1）当m ＝2时，求点B 的坐标；（2）求DE 的长；（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式；②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时， 以，A ，B ， D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？备用图练习（14 泰安 29）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点（-1，4），且与直线121+-=x y 相交于A 、B 两点，点A 在y 轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （-3，0）.（1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作NP ⊥x 轴，垂足为点P ，交AB 于点M ，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，点N 在何位置时，BM 与NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．（三） 直角三角形的存在性问题例1 如图，在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数322++-=x x y 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于 点B ，顶点为P. 如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标.例2 已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2,0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数()02＞x xy =图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标.例3 如图，抛物线34y 2-+-=x x 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴交于点D.在抛物线上是否存在一点P ，使得△BDP 是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.备用图练习1 (12 广州 24） 如图，抛物线343832+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．练习2 如图，在△ABC 中，CA=CB ，AB=8，cos ∠A=54.点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连接CE 、DE.（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连接DE ，当△ADE 时直角三角形时，求AD 的长.练习3 （14 福州 21 满分13分）如图1，点O 在线段AB 上，AO=2，OB=1，OC 为射线，且∠BOC=60°， 动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒.（1）当t =21 秒时，则OP = ，S △ABP = ； （2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；（3）如图2，当AP=AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP=∠B ，求证：AQ ·BP=3.4. （本题14分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4,0），点B的坐标是（0,b）（b>0）.P 是直线AB上的一个动点,作 PC⊥x轴，垂足为C. 记点P关于y轴的对称点为P´（点P´不在y轴上），连结PP´, P´A, P´C.设点P的横坐标为a.（1）当b=3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是（﹣1，m），求m的值；（2）若点P在第一象限，记直线AB与P´C的交点为D。
挑战压轴题----直角三角形的存在性问题
挑战压轴题----直角三角形的存在性问题挑战压轴题----直角三角形的存在性问题1．（10分）（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2 +bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B （4，m ），点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．2.（2015?连云港）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=41x 2交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是-2．（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．4.如图，抛物线y=-x 2+bx+c的顶点为D ，与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当四边形OBMC 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当四边形OBMC 的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标．5.（2015宜宾）如图，抛物线y=- 1/2x2+bx+c与x轴分别相交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x 轴、y轴的正半轴上,OA=4,OC=2．点P 从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接DP、DA．（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）求t为何值时,△DPA的面积最大,最大为多少？（3）在点P从O向A运动的过程中,△DPA能否成为直角三角形？若能,求t的值．若不能,请说明理由；（4）请直接写出随着点P的运动,点D运动路线的长．2.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M。
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中考数学压轴题专题一《直角三角形的存在性问题》【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。
这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c 与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a，b的值；(2)如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F5AC方向运动．当点E停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y 轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【新题训练】1．如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m≠0）与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019·四川）如图，顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ，点B 在该图象上，OB 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接BN 、ON ．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP ，当12OP MN =时，请判断NOB ∆的形状，并求出此时点B 的坐标． ②求证：BNM ONM ∠=∠．4．（2018·贵州中考）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．（2018·四川中考）如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6．（2019·云南中考模拟）已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使P A+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．7．（2019·黑龙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A （﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．8．（2019·广西中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，抛物线与x轴的另一交点为B．（1）若直线y=mx+n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．9．（2019·山东中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．11．（2019·陕西中考模拟）如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．12．（2019·山东中考模拟）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=14x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2 ．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？13．（2019·河北中考模拟）已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．（2019·河南中考模拟）如图所示，菱形ABCD位于平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c 经过菱形的三个顶点A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．（1）求抛物线解析式；（2）线段BD上有一动点E，过点E作y轴的平行线，交BC于点F，若S△BOD＝4S△EBF，求点E的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BPD是以BD为斜边的直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．15．（2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标．16．（2019·江西中考模拟）如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．【典例指引】类型一 【确定三角形的形状】典例指引1．（2019·辽宁中考模拟）已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1． ①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．【举一反三】（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.类型二【确定点的坐标】典例指引2．19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（1172+，﹣2）117-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．【解析】分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P 点坐标．本题解析：（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），∴﹣4=a•1﹣3，解得a=﹣1，∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．设衍生直线为y=kx+b，∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），∴304bk b -=+⎧⎨-=+⎩，∴13 kb=-⎧⎨=-⎩，∴衍生直线为y=﹣x﹣3．（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得22121y xy x⎧=-+⎨=-+⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩或11xy=⎧⎨=-⎩，∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），∴1=a（0﹣1）2﹣1，解得a=2，∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．（3）∵N（0，﹣3），∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．设点P坐标为（x，﹣2），∵O（0，0），M（1，﹣4），∴OM2=（x M﹣x O）2+（y O﹣y M）2=1+16=17，OP2=（|x P﹣x O|）2+（y O﹣y P）2=x2+4，MP2=（|x P﹣x M|）2+（y P﹣y M）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，解得，即P，﹣2）或P，﹣2）．②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，解得x=9，即P（9，﹣2）．③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，解得x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．综上所述，当P为（1172+，﹣2）或（1172-，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.【举一反三】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+5．（2）372；（3）P坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解①当90,ACP ∠=o由222AC PC PA +=，列出方程即可解决．②当90CAP ∠=︒时，由222AC PA PC +=， 列出方程即可解决．③当90APC ∠=︒ 时，由222PA PC AC +=，列出方程即可； 试题解析：(1)把A (−5,0),B (1,0)两点坐标代入2y x bx c =-++，得到255010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数表达式为24 5.y x x =--+ (2)如图1中，∵抛物线的对称轴x =−2,2(,45)E x x x ，--+ ∴2452EH x x EF x =--+=--，，∴矩形EFDH 的周长225372()2(53)2().22EH EF x x x =+=--+=-++ ∵−2<0， ∴52x =-时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为37.2 (3)如图2中,设P (−2,m )①当90,ACP ∠=o ∵222AC PC PA +=， ∴22222(52)2(5)3m m ++-=+， 解得m =7， ∴P 1(−2,7).②当90CAP ∠=o 时,∵222AC PA PC +=， ∴22222(52)32(5)m m ++=+-， 解得m =−3， ∴P 2(−2,−3).③当90APC ∠=o 时,∵222PA PC AC +=， ∴2222232(5)(52)m m ，+++-= 解得m =6或−1， ∴P 3(−2,6),P 4(−2,−1)，综上所述,满足条件的点P 坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1).类型三 【确定动点运动的时间】典例指引3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －2的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4，0)，且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等．(1)求实数a ，b 的值；(2)如图①，动点E ，F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF.①是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．【解析】试题分析：（1）根据抛物线图象经过点A 以及“当x =﹣2和x =5时二次函数的函数值y 相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．（2）①首先由抛物线解析式能得到点A 、B 、C 三点的坐标，则线段OA 、OB 、OC 的长可求，进一步能得出AB 、BC 、AC 的长；首先用t 表示出线段AD 、AE 、AF （即DF ）的长，则根据AE 、EF 、OA 、OC 的长以及公共角∠OAC 能判定△AEF 、△AOC 相似，那么△AEF 也是一个直角三角形，及∠AEF 是直角；若△DCF 是直角，可分成三种情况讨论：i ）点C 为直角顶点，由于△ABC 恰好是直角三角形，且以点C 为直角顶点，所以此时点B 、D 重合，由此得到AD 的长，进而求出t 的值；ii ）点D 为直角顶点，此时∠CDB 与∠CBD 恰好是等角的余角，由此可证得OB =OD ，再得到AD 的长后可求出t 的值；iii ）点F 为直角顶点，当点F 在线段AC 上时，∠DFC 是锐角，而点F 在射线AC 的延长线上时，∠DFC 又是钝角，所以这种情况不符合题意． ②此题需要分三种情况讨论：i ）当点E 在点A 与线段AB 中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF ；ii ）当点E 在线段AB 中点与点O 之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；iii ）当点E 在线段OB 上时，重叠部分是个小直角三角形．试题解析：解：（1）由题意得： 16420{4222552a b a b a b +-=--=+-，解得：a =12，b =32-．（2）①由（1）知二次函数为213222y x x =--.∵A （4，0），∴B （﹣1，0），C （0，﹣2），∴OA =4，OB =1，OC =2，∴AB =5，AC =BC AC 2+BC 2=25=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°．∵AE=2t，AF，∴2AF ABAE AC==.又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=12AE=t．假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，∴AE=12AB=52t=52÷2=54；ⅱ）若D为直角顶点，如图3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=32，∴t=34；当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=34或t=54．②ⅰ）当0＜t≤54时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S=12×2t×t=t2；ⅱ）当54＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，设GH=m，则BH= 12m，DH=2m，∴DB=32m．∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴32m=4t﹣5，∴m=23（4t﹣5），∴S=S△DEF﹣S△DBG=12×2t×t﹣12（4t﹣5）×23（4t﹣5）=2134025333t t-+-；ⅲ）当2＜t≤52时，重叠部分为△BEG，如图5．∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），∴S=12×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．综上所述：2225(0)41340255{(2)3334542025(2)2t tS t t tt t t<≤=-+-<≤-+<≤．【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在． 【举一反三】（2018·河北中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （，0）、B （3，0）；（2）存在．S △PBC 最大值为2716；（3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--．设P （p ，213p p 22--），∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）．∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716．（3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m =-,22m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【新题训练】1．（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165．【详解】解：（1）令y=0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧。