2019届高考数学三轮复习冲刺模拟试题： (9) 含答案

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河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学试卷及参考答案

河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学试卷（理）第Ⅰ卷选择题（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1|,1|<=<=xe x B x x A ，则( )A. {}1|<=x x B AB. {}e x x B A <=|C. R B C A R =)(D.{}10|)(<<=x x B A C R2. 已知i 为虚数单位，若1i(,)1+ia b a b =+∈R ，则b a = （） A. 1 B.2 C.22D.2 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.24.函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最大值为（） A. 51 B. 1 C. 53 D. 565.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A ． 932B ．516C ．38D ． 7166.已知0>a ，)6(log )(ax x f a -=，则“31<<a ”“是)(x f 在)2,1(上单调递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.一给定函数)(x f y =的图象在下列四个选项中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列{}n a 满足n n a a <+1.则该函数的图象可能是( )A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（） A. B.C. D.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 122F F c =2F x A 3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭22F Q F A >P C 11232PF PQ F F +>2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭71,6⎛⎫⎪⎝⎭7,62⎛ ⎝⎭1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10.已知实数、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-+≥+--033042242421y x y x y x y x ，若1)1(-+≥x k y 恒成立，那么k 的取值范围是( )A ．]3,21[ B ．]34,(-∞ C ．),3[+∞ D ．]21,(-∞11.已知三棱锥中，，直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为（） A. B.π6 C. π9 D. π512.已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=--,2),2(21,202)(,1|1|x x f x x f x 则函数1)()(-=x xf x g 在),7[+∞-上的所有零点之和为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线x y =与直线x y =所围成的封闭图形的面积为__________．14.522)1)(111(x xx +++展开式中2x 的系数为 15.过抛物线C ：x 2=4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B ，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N ，若△MON的面积为，则|AF |=________.16..已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=C B ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50，227=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，13,111+==+n n S b b .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；A BCD -2,2AB AC BD CD BC AD =====AD BCD π8（Ⅱ）若数列{}n c 满足*+∈=+++N n a b c b c b c n nn ,12211 ,求201721c c c +++ 的值18．(本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中2,3,300===∠AB AD A ，沿BD 将ABD ∆翻折到BD A '∆的位置，使平面⊥BC A '平面BD A '.（1）求证：⊥D A '平面BCD ；（2）在线段C A '上有一点M 满足C A M A ''λ=，且二面角C BD M --的大小060，求λ的值.19． (本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.20．(本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知定点)0,1(F ，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上运动，点N 为坐标平面内的动点，且满足0=∙，=+．（1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 第一象限上一点),(00y x R （其中10>x ）作切线交直线1-=x 于点1S ，连结RF 并延长交直线1-=x 于点2S ，求当21S RS ∆面积取最小值时切点R 的横坐标．21.(本小题满分12分）已知函数)(ln 1)(22R a ax x a x x f ∈-+-=. （1）若0>a ，求函数)(x f 的单调性；（2）若0=a 且)1,0(∈x ，求证：11)(2<-+xx e x f x 请考生在22、23、两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选4－4 坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离．23．（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数()f x x a a=--+，()2124g x x x =-++．（1）解不等式()6g x <；（2）若对任意的1x ∈R，存在2x ∈R，使得()()12g x f x -=成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】1-12.CBDDC,AAABD,AB13. 14. 15 15. 2 16. 1017．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为．依题意得解得，，所以. 当时，，当时，，，以上两式相减得，则，又，所以，.所以为首项为1，公比为4的等比数列，所以．（Ⅱ）因为，当时，，以上两式相减得，所以，.当时，，所以，不符合上式，所以.18．解：（1）中，由余弦定理，可得.∴，∴，∴.作于点，∵平面平面，平面平面，∴平面.∵平面，∴. 又∵，，∴平面.又∵平面，∴.又，，∴平面.（2）由（1）知两两垂直，以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，.设，则由.设平面的一个法向量为，则由,取.平面的一个法向量可取，∴.∵，∴.19．解：（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.（2）的所有取值有1，2，3.，，，故.由题意可知，故.而，所以.20．解：（1）设，，.因为，，所以，，，所以.（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，.21.解：解法一：（1）函数的定义域为，，若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増；（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增.所以.设函数，则.设函数，则.当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 当时，，当时，P (x 0)·P （1）<-2<0,故存在，使得，即当时，，当时，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 因为，故当时，所以，即.解法二：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时， .故函数在上单调递增.所以.设函数，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，由于，则只需证明，只需证明，令，则222211121'()20x x x g x x x x x x---=--=<<，则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立.22．解：（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=，所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=，曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=，所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=；（2）因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为56π, 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：2242024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：()22160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为123．解：（1）由21246x x -++<①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-，即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+++<，得56<，即122x -<<； ③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即1324x ≤<；综上，不等式()6g x <解集是93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ，使得()()12g x f x -=成立，即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+，知()(],f x a ∈-∞，由()2124g x x x =-++≥()()21245x x --+=，且等号能成立，所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[)5,-+∞.。

山东省高考第九模拟数学试卷理科含答案解析

2019年山东省高考最后一卷理科数学(第九模拟)一、选择题：共10题1．设全集U=R,会合A={x|x2-2x≥0},B={x|y=log2(x2-1)},则(?U A)∩B=A.[1,2)B.(1,2)C.(1,2]D.(-∞,-1)∪[0,2]【答案】B【分析】此题考察一元二次不等式的解法,函数的定义域以及会合的交、补运算.解题时,先求出对应不等式的解集,而后依据数轴确立两个会合的运算.由已知得A=(-∞,0]∪[2,+∞),∴?U A=(0,2),又B=(-∞,-1)∪(1,+∞),∴(?U A)∩B=(1,2),应选B.2．已知i为虚数单位,若复数z=的虚部为-3,则|z|=A. C.【答案】C【分析】此题主要考察复数的虚部、模等有关观点,考察复数的运算,考察考生灵巧运用知识的能力和运算求解能力.先依据复数的运算法例将z=化简,而后利用复数的虚部的定义列出方程 ,求出a的值,最后由复数模的观点求出结果.∵z=-i,∴-=-3,∴a=5,∴z=-2-3i,∴|z|=,应选C.3．关于下述两个命题,p:对角线相互垂直的四边形是菱形;q:对角线相互均分的四边形是菱形.则命题“p∨q”、“p∧q”、“?p”中真命题的个数为【答案】C【分析】此题主要考察偶函数的定义和全称命题的否认,考察考生对基础知识的掌握情况.定义域为R的偶函数的定义:?x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,所以它的否认为特称命题:?x0∈R,f(-x0)≠f(x0),应选C.24．已知sin(+θ)=-,则2sin-1=A. C. D.±【答案】A【分析】此题主要考察引诱公式、二倍角公式等,考察考生的运算能力.通解∵sin(+θ)=-, cosθ=-,∴2sin2-1=-cosθ=,应选A.优解特别值法,取+θ= ,∴θ= ,2sin2-1=2×( )2-1=,应选A.5．函数f(x)=(x2-2x)e x的大概图象是A.B.C.D.【答案】A【分析】此题主要考察函数图象的辨别,考察考生利用导数研究函数的单一性等知识,属于基础题.由题意可得,f(0)=0,故清除 C.又f'(x)=(2x-2)e x+(x2-2x)e x=(x2-2)e x,令f'(x)>0得,x>或x<-,故函数f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单一递加,令f'(x)<0得,-<x<,故函数f(x)在(-,)上单一递减,故清除B,D,选A.6．如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为A.πB.πC.πD.π【答案】C【分析】此题考察三视图的知识,考察圆柱体积的求解公式,考察考生的空间想象能力.通过所给条件信息正确确立几何体的形状是解题的要点.由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即以下图的下半部分 ,则其体积为圆柱的一半,因此V=×π×12×2=π,应选C.,防备事故的发生,拟在将来连续7天中随机选择7．某学校为了提升学生的意识3天进行紧迫分散操练,则选择的3天中恰巧有2天连续的状况有种种种种【答案】B【分析】此题主要考察分类加法计数原理的有关知识,考察考生剖析问题、解决问题的能力以及运算求解能力.(1)当连续的2天是前2天或后2时节,第3天有4种状况,此种状况共有4×=8种;(2)当连续的2天是中间5天中的2时节,先从中间的5天中任选连续2天,共4种状况,则第3天共有3种状况,此种状况共有4×3=12种.综上,选择的3天中恰巧有2天连续的状况有8+12=20种.8．阅读程序框图,若输出的结果中有且只有三个自然数,则输入的自然数n0的所有可能取值所构成的会合为A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{2,3}D.{1,2}【答案】C【分析】此题主要考察循环结构的程序框图,考察考生的逻辑思想能力和运算能力.解题的要点是读懂程序框图.通解:要使输出的结果中有且只有三个自然数,只好是5,4,2,所以应使5≤<10,解得1<n0≤3,即n0=2,3,所以输入的自然数n0的所有可能值为2,3,应选C.优解:代入考证法,当n0=1时,输出的结果是10,5,4,2,清除选项A,D,当n0=4时,输出的结果是4,2,清除选项B,应选C.9．已知x,y知足拘束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该拘束条件下获得最小值时,(a+1)2+(b-1)2的最小值为B. C. D.【答案】D【分析】此题主要考察线性规划的应用,数形联合是解决线性规划题目的常用方法.画出知足拘束条件的可行域如图中暗影部分所示,目标函数z=ax+by(a>0,b>0),即y=-x+,明显当直线经过点A时,z的值最小,由可得,即A(3,1),故3a+b=,(a+1)22的最小值,即在直线+(b-1)3a+b=上找一点,使得它到点(-1,1)的距离的平方最小,即点(-1,1)到直线3a+b=的距离的平方d2=()2=,选D.10．假如直线2ax-by+14=0(a>0,b>0)和函数f(x)=m x+1+1(m>0,m≠1)的图象恒过同一个定点,且该定点一直落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或界限上,则的取值范围是A.[ ,)B.(,]C.[,]D.(,)【答案】C【分析】此题主要考察函数的图象和性质、直线和圆的方程等知识.解题时,先求出定点坐标,再把定点坐标代入直线和圆的方程,求出a的取值范围,最后求的取值范围.当所以函数y=f(x)的图象恒过定点(-1,2),又直线x+1=0,即x=-1时,f(-1)=m+1=2,2ax-by+14=0(a>0,b>0)也过定点(-1,2),所以a+b=7①,又定点(-1,2)在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或界限上,所以(-1-a+1)2+(2+b-2)2≤25,即a2+b2≤25②,由①②得3≤a≤4,所以≤≤,所以-1∈[,].二、填空题：共5题11．使不等式|x-1|+|x+2|<7成立的x的取值范围是.【答案】(-4,3)【分析】此题主要考察绝对值不等式的解法,考察考生的分类议论思想和对绝对值几何意义的理解.解法一当x<-2时,不等式化为-(x-1)-(x+2)<7,得-4<x<-2;当-2≤x≤1时,不等式化为-(x-1)+(x+2)<7,明显成立;当x>1时,不等式化为(x-1)+(x+2)<7,得1<x<3.综上,得-4<x<3.解法二|x-1|+|x+2|<7的解集表示数轴上到-2和1两点的距离之和小于7的点的会合,到-2和1两点的距离之和等于7的点是-4和3,所以x的取值范围是(-4,3).12．阅读程序框图,若输出的结果中有且只有三个自然数,则输入的自然数n0的所有可能取值所构成的会合为A.{1,2,3}B.{2,3,4}C.{2,3}D.{1,2}【答案】C【分析】此题主要考察循环结构的程序框图,考察考生的逻辑思想能力和运算能力.解题的要点是读懂程序框图.通解:要使输出的结果中有且只有三个自然数,只好是5,4,2,所以应使5≤<10,解得1<n0≤3,即n0=2,3,所以输入的自然数0的所有可能值为2,3,应选C. n优解:代入考证法,当n0=1时,输出的结果是10,5,4,2,清除选项A,D,当n0=4时,输出的结果是4,2,清除选项B,应选C.13．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(-4,0),B(0,4),C(1,0),动点D知足||=1,则|++|的最大值为.【答案】6【分析】此题主要考察平面向量的坐标运算、平面向量的模等知识可得=(-4,0),=(0,4).又| |=1,所以点D在以点C(1,0)为圆心,属于中档题,1为半径的圆上.由题意,故可设D(1+cos θ,sinθ),故|++|2=(-3+cosθ,4+sinθ)2=26-6cosθ+8sinθ=26+10sin(θ-φ),此中tanφ=,故∈[16,36],故|++|∈[4,6],即| ++|的最大值为6.14．若函数f(x)=(a>0,a≠1)的值域是[2,+∞),则实数a的取值范围为.【答案】(0,]【分析】此题主要考察了分段函数的值域.,[4,+∞)[2,+∞),解题时由函数在上的值域正好是可得函数在(0,4)上的值域是[2,+∞)的子集,从而得出结果.∵当x≥4时,x-2≥2,∴y=3+log a x 在(0,4)上的值域是[2,+∞)的子集,∴0<a<1,y=3+log a x为减函数,∴当x∈(0,4)时,3+log a x>3+log a4≥2,∴log a4≥-1=log a,≥4,0<a≤.15．22≤2,x,y∈Z },定义会合A已知会合A={(x,y)||x|+|y|≤1,x,y∈Z},B={(x,y)|x+y◆B={(x2-x1,y2-y1)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A◆B中元素的个数为.【答案】21【分析】此题考察平面地区及其整点问题、新定义运算和考生剖析问题、解决问题的能力.解题的要点有三:一是正确地找出会合A,B所表示的平面地区内的整点;二是弄清爽定义会合的意义;三是分类议论思想、数形联合思想的灵巧运用.通解由题意知,A={(x,y)||x|+|y|≤1,x,y∈Z}={(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(0,0)},B={(x,y)|x2+y2≤2,x,y∈Z}={(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(1,-1)},所以由新定义会合A◆B可知,x1=±1,y1=0或x1=0,y1=±1或x1=0,y1=0.当x1=±1,y1=0时,x2-x1的值能够为-2,-1,0,1,2,y2-y1的值能够为-1,0,1,所以此时A◆B中元素的个数为5×3=15;当x1=0,y1=±1时,x2-x1的值能够为-1,0,1,y2-y1的值能够为-2,-1,0,1,2,这类状况下和第一种状况下重合的元素有3×3=9个;当x1=0,y1=0时,A◆B=B所有包含在上述状况中,故A◆B中元素的个数为21.优解由题意知,A={(x,y)||x|+|y|≤1,x,y∈Z}={(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(0,0)},B={(x,y)|x2+y2≤2,x,y∈Z}={(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,1),(1,0),(1,-1)},会合B中的元素对应的点构成正方形点阵,当x1=1,y1=0时相当于将方形点阵中的点向左平移一个单位,比原方形点阵多出3个点;当x1=-1,y1=0时相当于将方形点阵中的点向右平移一个单位,比原方形点阵多出3个点;当x1=0,y1=-1时相当于将方形点阵中的点向上平移一个单位,比原方形点阵多出3个点;当x1=0,y1=1时相当于将方形点阵中的点向下平移一个单位,比原方形点阵多出3个点;当x1=0,y1=0时所得点阵就是原方形点阵.所以A◆B中元素的个数为9+3×4=21.三、解答题：共6题16．已知函数f(x)= sincos(+).议论函数f(x)在区间[0,π]上的单一性;(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且acosA=bsinA,B为钝角,求f(2A)的取值范围.【答案】(1)f(x)=sincos(+)=sin( cos- sin)=sin(cos-sin)=sincos-sin2sinx-sin(x+ )-.令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,则-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,令k=0,则-≤x≤,x∈[0,π],∴0≤x≤,即函数f(x)在[0,]上单一递加;令+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,则+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,令k=0,则≤x≤,∵x∈[0,π],∴≤x≤π,即函数f(x)在[,π]上单一递减.(2)由正弦定理和acosA=bsinA得,sinAcosA=sinBsinA,sinA≠0,∴cosA=sinB,B为钝角,∴cosA=sinB=cos(B-),A=B-,A+=B,由π=A+B+C=2A+C+ ,得C=-2A>0,∴0<A<,∵f(2A)= sin(2A+)-,<2A+,∴<sin(2A+)≤1,∴0< sin(2A+)-≤,即f(2A)的取值范围是(0,].【分析】此题主要考察三角恒等变换和三角函数的图象与性质以及正弦定理的应用,属于中档题.第(1)问先依据二倍角公式、两角和的正弦公式进行恒等变换,再利用函数分析式研究函数的单一性;第(2)问依据正弦定理找出A,B之间的关系,求出A的取值范围,从而求f(2A)的取值范围.【备注】高考解答题对三角函数的考察以三角恒等变换,三角函数的图象和性质,利用正、余弦定理解三角形为主,难度中等,所以只需掌握基本的解题方法与技巧即可.在三角函数求值问题中,一般运用三角恒等变换,将未知角变换为已知角求解;在研究三角函数的图象和性责问题时,一般先运用三角恒等变换,将表达式转变为一个角的三角函数的形式求解;关于三角函数与解三角形相联合的题目,要注意经过正、余弦定理以及三角形的面积公式实现边角互化,求出有关的边和角的大小或许取值范围.17．某电视台新设了一档大型闯关的娱乐节目,节目要求以下:参加者需挨次闯A,B,C,D,E 五关,假如前四关中有两关不经过或第五关不经过,则被裁减,闯关结束;且规定只需闯关者未被裁减,就一定持续闯关.已知某闯关者闯A,B,C,D四关不经过的概率均为,闯第五关不经过的概率为,假定该闯关者闯每一关能否经过是相互独立的.求该闯关者闯关成功的概率;记该闯关者所闯的关数为X,求X的散布列和数学希望.【答案】(1)该闯关者闯关成功,则闯A,B,C,D四关时经过三关或四关 ,而且经过第五关,所以该闯关者闯关成功的概率为P=×[()4+ ()3×]=.该闯关者所闯的关数X的所有可能取值为2,3,4,5,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=×()2×,P(X=5)=1---.该闯关者所闯的关数X的散布列为则EX=2×+3×+4×+5×.【分析】此题考察失散型随机变量的散布列与希望、相互独立事件的概率等.关于(1),该闯关者闯关成功 ,则一定经过前四关中的三关和第五关或许经过所有的关,再利用有关概率公式计算即可 ;关于(2),要点是弄清X的所有取值和有关取值的意义,再分别计算其概率得出散布列以及数学希望.18．如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=3,∠ACB=90°,又点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,且BC=3BD.求证:AC⊥平面BB1C1C;求二面角C-AB-C1的大小.【答案】(1)∵点B1在底面ABC上的射影D落在BC上,B1D⊥平面ABC,∵AC?平面ABC,B1D⊥AC,又∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又B1D∩BC=D,∴AC⊥平面BB1C1C.(2)∵B1D⊥平面ABC,∴B1D⊥BC,又BD=BC=1,B1B=AA1=3,∴B1D==2.以C为原点,CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴,成立以下图的空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,3,0),B1(0,2,2 ),C1(0,-1,2),=(-3,3,0),=(0,-4,2).明显平面 ABC 的一个法向量 n=(0,0,1),设平面ABC 1的法向量为m=(x,y,z),则,即 ,令x=,则y=,z=2,∴平面ABC 1的一个法向量为 m=( ,,2).cos<m,n>=,∴<m,n>=,∴二面角C-AB-C 1的大小是.【分析】此题主要考察空间几何体中线面垂直的判断、二面角的计算 ,意在考察考生的空间想象能力、运算求解能力 .第(1)问要点是找到线线垂直 ,从而得出线面垂直 ;第(2)问建立空间直角坐标系 ,利用空间向量计算求解 .【备注】高考对峙体几何的考察以空间线面地点关系的证明 ,空间角、空间距离的求解为主.解决此类问题有两种方法 :传统法和向量法 .关于平行和垂直问题的证明或探究 ,其要点是在线线、线面、面面之间进行灵巧转变 ,在找寻解题思路时 ,不如采纳剖析法 ,从要求证的结论出发逐渐逆推到已知条件 .利用向量法解决几何问题要重视空间直角坐标系的成立、点的坐标和法向量的求解的正确性 .19．设S n 为数列{a n }的前n 项和,且知足(n-1)S n -nS n-1=n(n-1)k(n)(n ≥2),a 1=1.当k(n)=1时,求数列{a n }的通项公式;当k(n)=2n-1时,设b n =,求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】(1)当k(n)=1时,由(n-1)S n -nS n-1=n(n-1)(n ≥2)得-=1,所以数列{ }是首项为 =1,公差为1的等差数列,所以 =n,2所以Sn =n,所以a n =S n -S n-1=2n-1(n ≥2),当n=1时也合适上式,所以a n =2n-1.(2)当k(n)=2n-1时,(n-1)S n -nS n-1=n(n-1)2n-1(n ≥2),即-=2n-1(n ≥2),所以-=2n-2,- =2,累加得- =2+22+ +2n-1=,所以S n=n(2n-1)(n≥2),又当n=1时也合适上式,所以S n=n(2n-1),所以a n=S n-S n-1=(n+1)2n-1-1(n≥2),经查验n=1时上式也成立,故a n=(n+1)2n-1-1,所以b n=-+,T n=b1+b2+ +b n=-(+ + + )+-++.【分析】此题主要考察数列的递推关系式、等差数列的定义,数列的通项公式与前n项和之间的关系等 ,考察考生综合运用所学知识剖析问题和解决问题的能力.关于(1),由(n-1)S n-nS n-1=n(n-1)(n≥2)得-=1,数列{ }是等差数列,求出S n,从而求得a n;关于(2),先求数列{a n}的通项公式a n,而后求数列{b n}的前n项和即可.【备注】山东高考对数列的考察主要环绕等差数列和等比数列睁开,其考察的知识包含等差和等比数列的定义、通项公式、乞降等.递推数列的考察也是山东高考数列命题的一大亮点,也是将来数列考察的一大趋向,重在考察考生的运算求解能力、剖析问题和解决问题的能力,在复习时还要关注数列与其余知识的交汇和联系,如与不等式和函数等的联系.20．已知过抛物线2的焦点F的直线l的斜率为k,直线l交抛物线C于A,B两点, C:x=4y且知足=λ,且λ∈[1,2].求直线l的斜率k的取值范围;(2)设直线l交x轴于点P,线段AB的中点为Q,求在(O为坐标原点)上的投影的最小值.【答案】(1)依据题意可知F(0,1),易知直线l的斜率存在且过点F,故可设直线l的方程为y=kx+1,代入抛物线C:x2=4y得x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=4k,x1·x2=-4.由于=λ,所以(-x2,1-y2)=λ(x1,y1-1),则λ=-,所以++2=-λ-+2=-4k2,所以λ+=4k2+2,又λ∈[1,2],所以0≤k2≤,所以-≤k≤.(2)依据题意可知k≠0,P(-,0),线段AB的中点为Q(2k,2k2+1),则=(2k+,2k2+1),=(2k,2k2+1).在上的投影为,令2k2+1=t(1<t≤),则.令t2+2t-2=s(1<s≤),则≥=2,当且仅当s=2时等号成立,故在上的投影的最小值为 2 .【分析】此题考察直线与抛物线的地点关系、直线斜率取值范围的求解等知识形联合思想和运算求解能力.(1)联立方程,利用根与系数的关系进行求解;(2)先用,考察数k表示出在上的投影,再求解最小值.【备注】圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是分析几何的基石,也是高考命题的要点和热门,别的直线与圆锥曲线的地点关系是高考命题的另一个要点,解题时要注意应用根与系数的关系.求解与圆锥曲线有关的最值和范围问题时,常把所议论的对象看作一个函数,选一个合适的参数作为自变量来表示这个函数,经过议论函数的值域来求研究对象的取值范围.21．已知函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)= ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y-3=0平行.求证:方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在独一的实根;设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小者),求m(x)的最大值.【答案】(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f'(1)=2,又f'(x)=lnx++1,所以a=1.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)lnx-,当x∈(0,1]时,h(x)<0,又h(2)=3ln2-=ln8->1-1=0,所以存在x0∈(1,2),使h(x0)=0.由于h'(x)=lnx++1+,当x∈(1,2)时,0<x(2-x)=-(x-1)2+1<1,xe>e,所以0<,所以,所以h'(x)>1->0,所以当x∈(1,2)时,h(x)单一递加,所以方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在独一的实根.(2)由(1)知,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在独一的实根x0,且x∈(0,x0)时,f(x)<g(x),又当x∈(x0,2)时,h'(x)>0,当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,所以当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,所以当x∈(x0,+∞)时,f(x)>g(x),所以m(x)=.当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],则m(x)≤0;若x∈(1,x0],由m'(x)=lnx++1>0,可知0<m(x)≤m(x0),故当x∈(0,x0]时,m(x)≤m(x0).当x∈(x0,+∞)时,由m'(x)=可合适∈(x0,2)时,m'(x)>0,m(x)单一递加;x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单一递减.可知m(x)≤m(2)= ,且m(x0)<m(2).综上可得,函数m(x)的最大值为.【分析】此题主要考察导数的运算、导数的几何意义,利用导数研究函数的单一性、最值,考察考生的运算求解能力和分类议论思想的应用.第(1)问先利用导数的几何意义求出a,再证明存在性,最后研究函数的单一性,从而证明独一性;第(2)问利用分类议论思想求解.【备注】高考对导数的考察是多方面的,但一般是先利用导数的方法研究函数的单一性、极值和最值等,再联合方程、不等式等问题把试题引向深处.解与不等式恒成立有关的问题,一般可经过不等式的变形来分别变量,从而结构新的函数,转变为新函数的单一性和最值问题来求解.。

2019年高考数学仿真押题试卷(九)(含解析)

六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

专题09 高考数学仿真押题试卷（九）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2019年高考数学三模试题理(含解析)

2019高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．62．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．6【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数==+i是纯虚数，可得=0，≠0，解出即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，则=0，≠0，解得a=﹣2．故选：A．2．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据[x]的定义用区间表示集合A，再根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：根据题意，集合A={x|[x]=1}={x|1≤x＜2}=[1，2），集合B={1，2}，所以A∪B=[1，2]．故选：D．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于f（x）的图象为单位圆的上半圆，求得切线的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，进而得到所求切线的斜率．【解答】解：设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于函数的图象为单位圆的上半圆，可得切线的斜率为﹣，即有切线的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），代入m2+n2=1，可得mx+ny=1，代入（2，1），可得2m+n=1，解得m=，n=﹣，（舍去）或m=0，n=1，即为切线的斜率为﹣=0．故选：A．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出Ω={（x，y）|}表示的平面区域，把xy∈[0，4]转化为0≤y≤，求出满足0≤y≤的区域面积，计算所求的概率值．【解答】解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），则Ω={（x，y）|}，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为42=16；xy∈[0，4]转化为0≤y≤，如图所示；且满足0≤y≤的区域面积是：16﹣（4﹣）dx=16﹣（4x﹣4lnx）=4+4ln4，则xy∈[0，4]的概率为：P==．故选：C．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=g（|x|）是偶函数，y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．再由x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，可得y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．结合中点坐标公式得答案．【解答】解：函数y=g（|x|）是偶函数，其图象关于直线x=0对称，而y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，∴y=g（|x﹣1|）的图象关于直线x=1对称．即y=f（x）的图象关于直线x=1对称．方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，即方程f（x）=cosπx恰有7个根，也就是y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有7个交点，而x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，∴y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．由中点坐标公式可得：y=f（x）的图象与y=cosπx的图象交点的横坐标和为3×2+1=7．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】设=（x，y），由，可得，解出x，y．即可得出．【解答】解：设=（x，y），∵，∴，解得x=3，y=﹣2．则==．故答案为：14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为 5 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值．【解答】解：展开式中通项公式为T r+1=••=•（﹣1）r•，令=0，解得n=，其中r=0，1，2，…，n；当r=3时，n=5；所以n的最小值为5．故答案为：5．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；（2）根据C的大小和2B=A+C，可得A，B的大小．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∴B=，∵=2sin（A+C），∴2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）．由（1）值A=，C=，由正弦定理得，得AB=，同理得AC=，∴△ABC面积的S=．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC2，由AC2+BC2=AB2，得AC⊥CB，建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面AB′M与平面BCC′B′的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cosB=22+12﹣2×2×1×cos60°=3．∴AC2+BC2=AB2，则AC⊥CB．建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（），B′（0，1，2），M（0，0，1），∴，，设平面AB′M的一个法向量为．由，取x=1，得．∵AC⊥平面BCC′B′，∴可取平面BCC′B′的一个法向量．∴cos＜＞=∴平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值为．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，根据列联表计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，如下；根据列联表，计算K2==≈5.227＞5.024，对照临界值知，有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关；（2）由表可知，8人中成绩不优良的人数为3，则X的可能取值为0、1、2、3，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×==．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，从而可得△=4ln2a﹣4lna=0，从而解得；（2）求导，得到（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+log a x，∴f′（x）=x﹣2+=，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f′（x）存在零点，∴△=4ln2a﹣4lna=0，解得，lna=1或lna=0；故a=e或a=1（舍去）；故a=e；（2）假设存在x0，使得f′（x0）=成立，由（1）得：f（x）=x2﹣2x+lnx，（x＞0），f′（x）=x﹣2+，f′（x0）=x0﹣2+=（x2+x1）﹣2+，又==（x2+x1）﹣2+，故（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣=＞0，g（t）在（1，+∞）递增，则g（t）＞g（1）=0，故不存在x0，使得f'（x0）=成立．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。

2019年高三数学三模试卷及答案

2019年高三第三次模拟测试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ，又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ，在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ，连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =，所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可．作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（），所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-，即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°．所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。

2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(含附加及详细解答,共8套)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________．4. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x(x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证：（1）平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1；（2）MN ∥平面ABC .16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.（1）若A ＝5π12，求边c 的大小；（2）若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．（1）求开学第二天选择A餐厅的人数；（2）若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．18. (本小题满分16分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和．（1）求a n 和T n ；（2）若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．（1）当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围；（3）若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d (c ，d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．C. (选修45：不等式选讲)已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.（1）求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求二面角BAB1C平面角的余弦值．23. 在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．（1）当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3. 102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z |＝14＋94＝102.4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e .5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x <4时，f (x )＝f (x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f (log 23－3)＝f (log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f (log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315. 10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V P ACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝x y 时等号成立． 12. n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n－⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n .13. 4 解析：y ＝2x x －1－f (x )的零点即为2x x －1＝f (x )的解，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )有四个交点．∵y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f (x )≥0及x >0，得a ≤ex e x 的解集恰为[m ，n ]，设 g (x )＝exe x ，则g ′(x )＝e （1－x ）e x，由g ′(x )＝0，得x ＝1，当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，且g (1)＝1，g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝exex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C .又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1，故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP . ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而MN ∥BP .又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC .(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c .由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)，故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)，而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时，有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000，即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M (0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4，∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k2－1，故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k2－1，即y ＝k ⎝⎛⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12，此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12，∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n .(2分)b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. (5分)(2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n －3恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大，∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n ＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min .(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9，当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9.综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f (x )＝ln x ＋2e x，得f ′(x )＝1－2x －xln xxe x，x ∈(0，＋∞)，(1分)∴ 曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e .∵ f (1)＝2e ，∴ 曲线y ＝f (x )切线方程为y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由xe x f (x )>m ，得k >mx－ln x ，令F (x )＝mx－ln x ，则k >F (x )max ，又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e ]．当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e ]上单调递减， ∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e ]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e <m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e ]上单调递减， k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln (－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e ]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e )＝me－1，综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e <m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫me －1，＋∞.(8分) (3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1. 令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于1－x －xln x <e xx ＋1(e －2＋1)．由h (x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －xln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0，∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x －(x ＋1)>0，即e x x ＋1>1， ∴ 1－x －xln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)，故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)21. A . 解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42c ＋d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3c ＋d ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝4，(4分) 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－1316 16.(10分) B. 解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，所以直线l 的普通方程为y ＝3x .(2分)因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2，2]). (4分) 联立解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝12x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，由x ∈[－2，2]，则x ＝23，y ＝6(舍去)，故P 点的直角坐标为(0，0)．(10分)C. 证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32) ≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.(10分)22. 解：如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2)．(1) 因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010，所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010.(4分)(2) 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)．设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0，取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝25×2＝105. 易知二面角BAB 1C 为锐角，所以二面角BAB 1C 平面角的余弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 由已知得a 3＝70，a 4＝180，所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500；当n ＝3时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500.(2分)猜想：a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)．下面用数学归纳法证明：① 当n ＝2时，结论成立．② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k －a k －1a k ＋1＝－500.将a k ＋1＝3a k －a k －1代入上式，可得a 2k －3a k a k －1＋a 2k －1＝－500，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1－a k a k ＋2＝a 2k ＋1－a k (3a k ＋1－a k )＝a 2k ＋1－3a k a k ＋1＋a 2k ＝－500，故当n ＝k ＋1时结论成立，根据①②可得a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)成立．(4分)(2) 将a n －1＝3a n －a n ＋1代入a 2n －a n －1a n ＋1＝－500，得a 2n ＋1－3a n a n ＋1＋a 2n ＝－500，则5a n ＋1a n ＝(a n ＋1＋a n )2＋500，5a n a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋a n )2＋501.设5a n ＋1a n ＋1＝t 2(t ∈N *)，则t 2－(a n ＋1＋a n )2＝501，即[t －(a n ＋1＋a n )](t ＋a n ＋1＋a n )＝501.又a n ＋1＋a n ∈N *，且501＝1×501＝3×167，故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－1，a n ＋1＋a n ＋t ＝501或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－3，a n ＋1＋a n ＋t ＝167，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝251，a n ＋1＋a n ＝250或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝85，a n ＋1＋a n ＝82. 由a n ＋1＋a n ＝250，解得n ＝3；由a n ＋1＋a n ＝82，得n 无整数解，所以当n ＝3时，满足条件．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________． 8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________. 9. 若直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的________条件．10. 已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 3，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则f (2 019)＝________．11. 设点O ，P ，Q 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝4x 的交点，O 为坐标原点，若△OPQ 的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a ≥c >0，且3a －b ＋c ＝0，则ac b的最大值为__________． 13. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则S 9的最大值是________．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 在区间[a －1，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a 的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：（1）AM ∥平面PBC ；（2）平面BDP ⊥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C . （1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．17. (本小题满分14分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .（1）若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；（2）若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．18. (本小题满分16分)某公司一种产品每日的网络销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．（1）求m 的值；（2）假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.（1）求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列；（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )．（1）若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值；（2）若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（3）若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)1. {x |－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ， ∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3. 6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.7. 1 解析：∵ f (x )＋f (－x )＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f (log 23)＋f (－log 23)＝1.8. 2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425.9. 充分不必要解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m (m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )的周期为4，∴ f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1.11. 5 解析：不妨设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5.12. 36 解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c ＝c a 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81. 14. 1或0 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a <2时，f (x )min ＝f (1)＝－2，f (x )max ＝max {f (a －1)，f (a ＋1)}，又f (x )max －f (x )min＝4，f (x )max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0；② 当a －1≥1即a ≥2时，f (x )min ＝f (a －1)，f (x )max ＝f (a ＋1)， ∴ f (a ＋1)－f (a －1)＝4，无解．综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ， ∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴ 四边形ABNM 为平行四边形， ∴ AM ∥BN .又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ， ∴ AM ∥平面PBC .(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT .∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ，∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形， ∴ AT ⊥BD .同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC . ∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD .∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴ CP ⊥BD .∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC . 又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC .(14分) 16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝csin C·sin A ＝3 2.(6分)(2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A <π，∴ sin A ＝63.由于角A 为锐角，得cos A ＝33.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0，解得b ＝5或b ＝－3(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分)17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3，又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1，解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →，∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e >12.又0<e <1，∴ 12<e <1，即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分)18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售产品所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6).令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值，故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分)19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13，所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32，由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9，所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n －3(n －1)2＋2，显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分) 20. 解：(1) 函数g (x )的定义域为(－1，＋∞)， g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1，则g (0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0.∵ l 与函数f (x )的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h (x )＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x )＝x ＋k ＋1x ＋1.令φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，∵ φ′(x )＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，即h ′(x )在[0，2]上为增函数，∴ h ′(x )max ＝h ′(2)＝k ＋73.∵ h (x )在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x )≤0对x ∈[0，2]恒成立，即h ′(x )max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73，即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分)(3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数，∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e2.∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ，∴ 为满足题意，必须－1<－k <4，此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2，f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个．∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，∴ ⎣⎡⎦⎤0，e2⊆(f (x )min ，min {f (－1)，f (4)})，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min<0，e2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ，∴e 8－94<k <－2，即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)21. A . 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) B. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3，所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.(10分) C ．证明：由题得a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4) ＝a 5(a －b )－(a －b )b 5 ＝(a －b )(a 5－b 5)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)．(4分) 又a ≥0，b ≥0，∴ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0，即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 33×⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1136.(3分) (2) ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝724， P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎫133×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1124，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫133×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫23×13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 13×⎝⎛⎭⎫123＝524， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝124，所以ξ(8分)所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.(10分)23. 解：(1) 110(2分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个．当A B ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B )有错误!C 错误!＝(3n －2n )个．同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有(3n －2n )个．故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，∠PBC ＝∠BAD ＝90°.求证：（1）BC ⊥平面P AB ；（2）AD ∥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.（1）求a 的值；（2）设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．17. (本小题满分14分)如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．18. (本小题满分16分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．19. (本小题满分16分)已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.（1）若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；（2）如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；（3）若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求矩阵A .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．C. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.（1）按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？（2）若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．23. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.（1）求抛物线C的标准方程；（2）问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2. 22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z |＝22.3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要解析：由1a <12，得a <0或a >2，∴ “a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k >0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴ tan⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e <1， ∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a <7，∴ －6<a <－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t 即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13. 55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55.14. (1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面P AB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面P AB ，所以PH ⊥平面ABCD .(4分)。

2019年高三第三次模拟考试数学试题

2019年高三第三次模拟考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

1．已知集合Q P x x Q x x x P },2|||{},0)3(|{<=<-== （）A ．（－2，0）B ．（0，2）C ．（2，3）D ．（－2，3）2．如果将一组数据中的每一数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的变化情况为（）A ．平均数和方差都不变B ．平均数不变，方差改变C ．平均数改变，方差不变D ．平均数和方差都改变 3．设m,n 是两条不同的直线，是三个不同的平面。

给出下列四个命题（）①若； ②若； ③若；④若γαγββα⊥⊥m m 则,,//,//；其中正确的序号是（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④4．若方程]5,1[022在区间=-+ax x 上有解，则a 的取值范围（）A ．B ．C ．D ． 5．设双曲线的右准线与两渐近交于A ，B 两点，点F 为右焦点，若以AB 为直径的圆经过点F ，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ． 6．若θθθθθtan ,0cos sin ,45cos sin 则且<--<+ （）A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．等于－17．现有浓度为25%的酒精溶液一瓶，把“每次倒出半瓶，再用水加满”称为一次操作，至少须经过k 次这样的操作，才能使瓶中溶液的浓度不高于1%，其中k 的最小值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．设函数)1ln()(2x x x x f +++=，则对任意实数a 和b ，a+b <0是的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有（） A ．360种 B ．600种 C ．840种 D ．1680种 10．点P 到点A 及直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的取值个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。

{名校}2019年高考考前强化模拟理科数学试卷三含答案解析

21．（12 分）[2019·枣庄期末]已知 f x e x ax 2 a R ．（1）求函数 f x 的极值；（2）设 g x xe x f x ，若 g x 有两个零点，求 a 的取值范围．
6
{名校}2019 年高考考前强化模拟理科数学试卷三含答案解析
1 1 19π ，故选 A． π 12 1 π 12 3 2 3 6
sin x
x
2
1

sin x f x π x π ，可得 f x 是奇函数．排除 C； x2 1
当x
π 时， 3
π f 0 ，点在 x 轴的上方，排除 D； 3
19．（12 分）[2019·南通一模]“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121， 3553 等．显然 2 位“回文数”共 9 个：11，22，33，，99．现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4，其结果记为 X ；从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 2 个相加，其结果记为 Y ．（1）求 X 为“回文数”的概率；（2）设随机变量表示 X ， Y 两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望 E ．
m 1 0 y2 x2 ，解得 1 m 5 ，故选 B． 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线 m 1 m 5 m 5 0 28 169 石，故选 B． 254
6．【答案】A 【解析】由三视图可以看出，该几何体上半部是半个圆锥，下半部是一个圆柱，从而体积 V 7．【答案】A 【解析】因为 f x
1 i 2i ，则 z （ 1 i
）

2019年数学高考模拟试卷带答案

2019年数学高考模拟试卷带答案一、选择题1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．352．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（）． A ． B ．C ．D ．3．若43i z =+，则zz=（） A ．1 B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 4．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形5．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱 B ．43钱C ．32钱 D ．53钱 7．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}8．函数2||()x x f x e -=的图象是（）A ．B ．C ．D ．9．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称10．函数()sin(2)2f x x π=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π=对称，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（） A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定12．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．以上都不对二、填空题13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．15．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．16．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．17．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________. 20．()sin 5013tan10+=________________.三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考： P（K 2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，其中n=a+b+c+d ）22．已知向量()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()sin 3,1c x =-，()1,d k =(),x R k R ∈∈（1）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值. （2）若函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小值.（3）是否存在实数k ，使得()()a dbc +⊥+？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.23．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.24．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．25．选修4-5：不等式选讲设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围. 26．已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==．故选：A ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩，只有选项A 中的图象符合要求，故选A. 3．D解析：D 【解析】【详解】由题意可得：5z ==，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.4．C解析：C 【解析】【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==，所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==.所以180454590A =--=. 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C.本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.5．D解析：D 【解析】【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑6．B解析：B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.7．C解析：C 【解析】【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．8．A解析：A【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ．【详解】2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选A 【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．9．C解析：C 【解析】【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可．【详解】解：()f x =0x ∴≠解得0x ≠()f x ∴的定义域为()(),00,D =-∞+∞，D 关于原点对称.任取x D ∈，都有()()f x f x x-===，()f x ∴是偶函数，其图象关于y 轴对称，故选：C . 【点睛】本题主要考查函数图象的判断，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．10．B解析：B 【解析】【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4y π-+在函数y=f(x)的图像上，sin[2(-x+)]sin 2()42y x g x ππ=-=-=，对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012g π=≠±，所以图象不关于直线2x π=对称，所以该选项是错误的；对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22k x k ππππ-≤≤得+44k x k ππππ-≤≤，)k Z ∈（,所以函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的；对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()44k k k Z ππππ+∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；对于选项D,函数的周期为π，解2,,2k x k x ππ=∴=所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π∈（,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．C解析：C 【解析】【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin ,[1,1]2xf x x x π=+∈-，则2()3cos022xf x x ππ'=+>，即3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-为增函数，又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin22mnn m ππ-<-，即33sinsin22mnm n ππ+<+，所以()()f m f n <，所以m n <．故选：C ．【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．12．B解析：B 【解析】【分析】本题首先可以根据两个事件能否同时发生来判断出它们是不是互斥事件，然后通过两个事件是否包含了所有的可能事件来判断它们是不是对立事件，最后通过两个事件是否可能出现来判断两个事件是否是不可能事件，最后即可得出结果．，【详解】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B ．【点睛】本题考查了事件的关系，互斥事件是指不可能同时发生的事件，而对立事件是指概率之和为1的互斥事件，不可能事件是指不可能发生的事件，考查推理能力，是简单题．二、填空题13．6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可得平移直线结合图形可得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时直线解析：6 【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由32z x y =-可得322z y x =-，平移直线322zy x =-，结合图形可得最优解，于是可得所求最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由32z x y =-可得322z y x =-．平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．【点睛】求目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值时，可将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a zy x b b =-+，通过求直线的纵截距z b 的最值间接求出z 的最值．解题时要注意：①当0b >时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；②当0b <时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．14．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人解析：60 【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.15．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所解析：1【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，，再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h⋅⋅=，所以'23h h =，则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3S h =底，本题是中档题． 16．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意的x∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不解析：y =sin x （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.详解：令0,0()4,(0,2]x f x x x =⎧=⎨-∈⎩，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f（x ）在［0，2］上不是增函数.又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.17．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时解析：24y x =【解析】【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ，当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2py k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2()22p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=，所以21222k p p x x k ++=，2124p x x =，所以2122222k PQ x x p p p k +=++=>；当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.故答案为24y x = 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径解析：4【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况. 【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或三棱锥的体积为：13ABCh S ⨯⨯代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 故答案为：334或34【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.19．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去解析：3【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择解析：1【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出()cos103sin10sin 50cos 0sin 5013t 1an10++=⋅，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.【详解】原式()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40sin50cos10cos10cos10++=⋅==()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====. 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）.【解析】试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得2K 与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜欢游泳的概率.试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 6040100（2）因为所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1， 2，任取2名学生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种.其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、（c ，2），共6种所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 22．（1）6x π=-；（2）0；（3）存在[]5,1k ∈--【解析】【分析】（1）由向量平行的坐标表示可求得sin x ，得x 值；（2）由数量积的坐标表示求出()f x ，结合正弦函数性质可得最值；（3）计算由()()0a d b c +⋅+=得k 与sin x 的关系，求出k 的取值范围即可．【详解】（1）()sin 1,1b c x +=--，()//a b c +，()2sin sin 1x x ∴-+=-，即1sin 2x =-.又,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，6x π∴=-.（2）∵()2sin ,1a x =+，()2,2b =-，()()22sin 22sin 2f x a b x x ∴=⋅=+-=+.x R ∈，1sin 1x ∴-，()04f x ∴，()f x ∴的最小值为0.（3）∵()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--，若()()a dbc +⊥+，则()()0a d b c +⋅+=，即()()()3sin sin 110x x k +--+=，()22sin 2sin 4sin 15k x x x ∴=+-=+-，由[]sin 1,1x ∈-，得[]5,1k ∈--，∴存在[]5,1k ∈--，使得()()a dbc +⊥+ 【点睛】本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大． 23．（1）3,2a c ==；（2）2327【解析】试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1cos 3B =，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解，即可求出a ，c ；（2）在ABC ∆中，利用同角基本关系得22sin .3B =由正弦定理，得42sin sin 9c C B b ==，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27cos 1sin 9C C =-=，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，，又1cos 3B =，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，sin 3B ===由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7cos 9C ===.于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17233927⋅+=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 24．（1）13；（2）()1E X =. 【解析】【分析】（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．【详解】（1）由已知有1123432101()3C C C P A C ⋅+==，所以事件A 的发生的概率为13；（2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C ⋅+⋅===； 11342104(2)15C C P X C ⋅===；所以随机变量X 的分布列为：数学期望为0121151515E X . 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．25．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-（2）()1,2- 【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+，根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题. 【详解】解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-. （2）因为(){}10x f x ax R +-=，所以x R ∀∈，()1f x ax >-+.函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩.令()1g x ax =-+，其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线. 如图，()2,3A ，()1,3B -.则直线PA 的斜率131120k -==-，直线PB 的斜率231210k -==---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，所以a 的范围为()1,2-. 【点睛】本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用. 26．（Ⅰ）4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围．试题解析：（1）当5m =时，()()()()521311521x x f x x x x ⎧+<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++，知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()2121121m x x f x m x m x x ⎧+<-⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点.只需22m -≥，即4m ≥.。

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高考数学三轮复习冲刺模拟试题09
不等式
一、选择题
1 ．设x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥≤0y ,0x 0y -x 02-y -x 3,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2,则
a 1+b
1
的最小值为（）
A ．
6
25 B ．
3
8 C ．2 D ．4
2 ．
,,x y z 均为正实数,且22
log x
x =-,22log y y -=-，22log z z -=，则
（）
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y x <<
D ．y x z <<
3 ．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
0502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是
（）
A ．50
B ．60
C ．70
D ．100
4 ．设3=2a log ，=2b ln ，1
2
=5
c -，则
（）
A ．<<a b c
B ．<<b c a
C ．<<c a b
D ．<<c b a
5 ．
9
831
log ,log 24a b c ===,则,,a b c 的大小关系是（）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．b c a >>
6 ．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，
，，则2z x y =-的最小值是
（）
A ．7
B ．-5
C ．4
D ．-7
7 ．若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为
（）
A ．13-
B ．13+
C ．232+
D ．232-
8 ．设x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+22142y x y x y x ，则y x z +=
（）
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．既无最小值，也无最大值
二、填空题
9．
已知
的最小值是5，则z 的最大值是
______.
10．已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤142y x y x y ,则y x z +=3的最大值为__________.
11．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，
，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，
，则实数c 的值为． 12．若关于x 的不等式2
11
+
()022
n x x -≥对任意*n N ∈在(-,]x λ∈∞上恒成立，则实常数λ的取值范围是；
13．已知13
2log a
=,062b =.,43c =log ,则,,a b c 的大小关系为______________.
14．非负实数x,y 满足⎩⎨
⎧≤-+≤-+0
3042y x y x ,则3x y +的最大值为_______.
三、解答题
15．已知函数f （x ）=x 2
+2x+a （共10分）
（1）当a=
2
1
时，求不等式f （x ）>1的解集；（4分）（2）若对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）>0恒成立，求实数a 的取值范围；（6分）
参考答案
一、选择题 1. C 2. 【答案】A
【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以22log 1x x =->，即2l o g 1
x <-，所以1
02
x <<。

212log ()2y y y -=-=，因为1
0()12
y <<，即20log 1y <-<，所以21log 0y -<<，
即112y <<。

212log ()2z z z -==，因为10()12z <<，所以20log 1z <<，即12z <<，所以x y z <<，选A.
3. 【答案】D
【解析】作出不等式组对应的可行域，由y
x z 25+=得，522z y x =-
+，平移直线522z y x =-+，由图象可知当直线522
z
y x =-+经过点(20,0)D 时，直线522z
y x =-+的截距最大，此时z 也最大，最大为
52520100z x y =+=⨯=，选D.
4. 【答案】C
【解析】321log 2log 3=，21ln 2log e =
，1
25-=。

222log 3log 0e >>>>，
所以22
110log 3log e <
<<，即c a b <<。

选C. 5. 【答案】D
解:因
为149911
log 9log 9log
log
44
===,所
以9
93
log log 2
>,所以c a >
.881log log 32=
,881111
log 8log 4222
=⨯=,因
为3>,所以
8811
log 3log 22
>即b c >.所以,,a b c 的大小关系是b c a >>,选D. 6. 【答案】B
【解析】
由2z x y =-得，2y x z =-，做直线2y x =，平移直
线2y x z =-，由图象可知当直线2y x z =-经过点B 时，直线的截距最大，此时2z x y =-最小，由23x y y +=⎧⎨=⎩得，1
3
x y =-⎧⎨=⎩，代入2z x y =-得最小值2235z x y =-=--=-，所
以选B.
7. D
8. 【答案】B
解：由y x z +=得y x z =-+.做出不等式对应的平面区域阴影部分，平移直线
y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点C (2,0)时，直线的截距最小，此时z 最
小，为202z x y =+=+=，无最大值，选 B.
二、填空题 9. 【答案】10
【解析】由3z x y =+，则=3y x z -+，因为3z x y =+的最小值为5，所以
35z x y =+=，做出不等式对应的可行域，由图象可知当直线3z x y =+经过点C 时，直线的截距最小，所以直线CD 的直线方程为20x y c -++=，由35
2x y x +=⎧⎨
=⎩，解得
21x y =⎧⎨
=-⎩，代入直线20x y c -++=得5c =即直线方程为250x y -++=，平移直线
3z x y =+，当直线3z x y =+经过点D 时，直线的截距最大，此时z 有最大值，由
2504x y x y -++=⎧⎨+=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩
，即D(3，1),代入直线3z x y =+得33110z =⨯+=。

10. 11 11. 9
12. 【答案】(,1]-∞-
【解析】2
11+
()022n x x -≥得211+()22n x x ≥，即211
+()22
n max x x ≥恒成立。

因为11()22n max =，即211+22x x ≥在(,]λ-∞恒成立，令21+2
y x x =，则22111+2416y x x x ==+-（），二次函数开口向上，且对称轴为1=4x -。

当1
4
x ≤-时，
函数单调递减，要使不等式恒成立，则有2
11+22λλ≥，解得1λ≤-。

当14
x >-，左边
的最小值在1=4x -处取得，此时2
1111+21686
x x =
-=-，不成立，综上λ的取值范围是1λ≤-，即(,1]-∞-。

13. 【答案】a c b
<<13
20a =<log ，0621b =>.，01c <<，所以a c b <<。

14. 【答案】9
解:设3z x y =+,则133z
y x =-
+.做出不等式组对应的平面区域为BCD .做直线1
3
y x =-,平移直线133z y x =-+由图象可知当直线133z y x =-+经过点C 时,直线的截
距最大,此时z 最大,由图象可知(0,3)C ,代入3z x y =+得3339z x y =+=⨯=.
三、解答题 15. （1）x 2
+2x+
2
1
>1 x 2
+2x-2
1>0 2 x 2
+4x-1>0
2分
{x|x>-1+
26或x<-1-2
6
}
2分
（2）x 2
+2x+a>0 ∀x ∈[1,+ ∞）恒
a>-x 2
-2x
1分
令g （x ）=-x 2
-2x 当对称轴x=-1
2分
当x=1时，g max （x ）=-3 2分
∴a>-3
1分。