高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点第2课时课件新人教A版必修1
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2019A新高中数学必修第一册：3.1.1 方程的根与函数的零点
解: 任取 1≤x1<x2≤2, f(x1)-f(x2)=log2x1+x1+a-(log2x2+x2+a) =log2x1-log2x2+x1-x2 < 0. 得 f(x1)<f(x2), ∴函数在区间 [1, 2] 上是单增函数. 则方程在 1 与 2 之间只有一根, 于是有 f(1)·f(2)<0,
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 复习与提高
返回目录
1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上 的点有什么关系?
2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数 的图象、对应方程的解有什么关系?
(C) (2, 3)
(D) (3, +∞)
解: 设 f(x)=lgx+x-3,
f(x) 在(0, +∞)上是增函数,
f(1)= -2, <0,
f(2)=lg2-1<0,
f(3)=lg3 >0,
f(2)·f(3)<0,
∴方程的解在2与3之间.
2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;
【课时小结】
2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图象
连续不断, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.
(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上是连续 的单调函数, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 复习与提高
返回目录
1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上 的点有什么关系?
2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数 的图象、对应方程的解有什么关系?
(C) (2, 3)
(D) (3, +∞)
解: 设 f(x)=lgx+x-3,
f(x) 在(0, +∞)上是增函数,
f(1)= -2, <0,
f(2)=lg2-1<0,
f(3)=lg3 >0,
f(2)·f(3)<0,
∴方程的解在2与3之间.
2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;
【课时小结】
2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图象
连续不断, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.
(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上是连续 的单调函数, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝
g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图 所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象 有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于坐 标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题 意，故12＜k＜1.
答案：连续不断 f(a)·f(b)＜0 f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？ 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x无零点，因 为方程1x＝0 无实根．
[巧归纳] 函数零点的求法 (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它 与函数 y＝f(x)的图象联系起来．图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点．
[练习 1]若函数 f(x)＝ax－b 有一个零点是 3，那么函数 g(x) ＝bx2＋3ax 的零点是________．
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
[填一填] 一、函数的零点 1．零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使________叫做函数 y＝f(x)的零 点．
2．方程的根与函数的零点的关系 答案：1.f(x)＝0 的实数 x 2.有交点 零点
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
高中数学高一必修第三章《方程的根与函数的零点》教育教学课件
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
高中数学人教A版必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点 说课课件
点,实现目标1和4.
问题3：上述方程 f (x) 0的根与相应的函数 f (x)的图像与 x轴交点坐标有什么关系 ？ 此结论能否推广至一般 的方程？
2.3 引出零点概念 5min
函数的零点定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x， 叫做函数y=f(x)的零点.
问题4：函数y=f(x)的零点是点吗？
内有零点.
2.1 问题情境 复习导入 2min
问题2：下列方程有解吗？ ln x 2x 6
设计意图： 问题1，学生已经掌握这些方程的求解方法,比一比速度； 问题2，学生无法解决，从而引起学生的认知冲突，揭示课题.
(5 3) min
2.2 探究1
方程
x2－2x－3=0
判别式Δ 方程的实数根
对应函数
y= x2－2x－3 y
一、说教材
1.4 教学重难点
在此教学目标的统领下，根据本节内容，我的教学重点确定为：
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系； 2.掌握函数零点存在性定理.
根据学生的认知和本节课的内容特征，我的教学难点确定为：
理解函数零点存在的判定条件.
一、说教材
1.5 教法、学法和 教具准备
为了使学生更好的掌握本节内容，我采取的教学策略为：
x 3.求1 函数2f (x) 3ln x 42x 6 5零点的6个数.2.77 典8例剖析9 8min
f(x) 解-4 ：用-1计.3 算机1.做1 出x3、.4f(x)对5应.6 值表7.和8 图象9.如9 下：12.1 14.2
y 由表和图象可知，f(2)<0，f(3)>0， 10
f(2)f(3)<0，这说明函数f(x)在区间(2,3) 8
人教版高中数学第三章第一节方程的根与函数的零点(共26张PPT)教育课件
通
不
第
一
为
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
•■ 电 你 是 否 有 这 样 经 历 ， 当 你 在 做 某 一 项 工 作 和 学 习 的 时 候 ， 脑 子 里 经 常 会 蹦 出 各 种 不 同 的 需 求 。 比 如 你 想 安 心 下 来 看 2 小 时 的 书 ， 大 脑 会 蹦 出 口 渴 想 喝 水 ， 然 后 喝 水 的 时 候 自 然 的 打 开 电 视 。 。 。 。 。 。 ， 一 个 小 时 过 去 了 ， 可 能 书 还 没 看 2 页 。 很 多 时 候 甚 至 你 自 己 都 没 有 意 思 到 ， 你 的 大 脑 不 停 地 超 控 你 的 注 意 力 ， 你 就 这 么 轻 易 的 被 你 的 大 脑 所 左 右 。 你 已 经 不 知 不 觉 地 变 成 了 大 脑 的 奴 隶 。 尽 管 你 在 用 它 思 考 ， 但 是 你 要 明 白 你 不 应 该 隶 属 于 你 的 大 脑 ， 而 应 该 是 你 拥 有 你 的 大 脑 ， 并 且 应 该 是 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 才 对 。 一 切 从 你 意 识 到 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 的 时 候 ， 会 改 变 你 的 很 多 东 西 。 比 如 控 制 你 的 情 绪 ， 无 论 身 处 何 种 境 地 ， 都 要 明 白 自 己 所
人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点(68张).pptx
又 f(x)＝x－3＋lnx 在(0，＋∞)内是增函数，所以原函数 只有一个零点.
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
2019秋高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
• 『规律方法』 1.正确理解函数的零点：
• (1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于 零．
• (2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此 判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否 有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔ 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
• 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有_2____个 零点．
• [解析] 令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·c<0，
• ∴b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点．
5．求下列函数的零点． (1)f(x)＝x2－5x－6； (2)f(x)＝x3－7x＋6； (3)f(x)＝(12)x－4； (4)f(x)＝lnx－1.
• 〔跟踪练习3〕 • 判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．
[解析] 解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝lnx，y＝－x＋3的图象，如图所示．
由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交 点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．
解法二：因为f(3)＝ln3>0，f(2)＝－1＋ln2＝ln2e <0，所 以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．
数学
必修① ·人教A版
第三章
函数的应用
在教科书第三章的章头图中，我们看到 一大群喝水、嬉戏的兔子，但正是这群兔子 曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧 洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧 草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增 加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利 亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶 起来，75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降 低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种 方法消灭这些兔子，直到20世纪50年代，科学家采用载液瘤毒杀死了90%的野 兔，澳大利亚人才算松了一口气．
高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根
函数零点的求法： (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根． (2)几何法：与函数 y＝f(x)的图象联系起来，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数 的零点．
1．已知函数 f(x)＝loga(2－x)． (1)求函数 f(x)的定义域． (2)求函数 f(x)的零点． 解析：(1)要使函数有意义，∴2－x>0，解得 x<2， ∴函数定义域为(－∞，2)． (2)令 f(x)＝loga(2－x)＝0，∴2－x＝1 解得 x＝1. ∵1∈(－∞，2)，∴函数 f(x)的零点为 1.
为 0 也可能不为 0，所以零点个数可能是 2 也可能是 3.
答案：C
探究四 一元二次方程根的分布 [典例 4] 关于 x 的方程 ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求 a 为何值时： (1)方程有一根；(2)方程有两正根；(3)方程有一正一负根． [解析] (1)当 a＝0 时，方程变为－2x－1＝0 即 x＝－12，符合题意． 当 a≠0 时，方程为一元二次方程，因为方程有一根，所以 Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝ 12a＋4＝0 解得 a＝－13.综上所述，当 a＝0 或 a＝－13时，方程有一根．
3．已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x>0 时，f(x)＝ln x，那么函数 y
＝f(x)的零点个数为( )
A．一定是 2
B．一定是 3
C．可能是 2 也可能是 3
D．可能是 0
解析：x>0 时，f(x)＝ln x，根据对数函数的性质知 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，
因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以在(－∞，0)上也有一个零点，而 f(0)可能
3．函数 f(x)＝lg x＋12的零点为________．
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
【正解】函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}，当 x>0 时，f(x)>0； 当 x<0 时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选 A．
【警示】零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ； 二 是 f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那 么就不能使用该定理.如本例 f(x)＝x＋1x在[－1,1]上不连续，故 不能在区间[－1,1]上直接使用零点存在性定理.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点坐标.( ) (2)函数y＝f(x)的零点即为对应方程f(x)＝0的根.( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内满足f(a)·f(b)>0，则该函 数在区间(a，b)内可能没有零点.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√
【方法规律】求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可 以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出 零点.
1.判断下列说法是否正确. (1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)； (2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1. 【解析】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所 以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错. (2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义 域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
两个函数的图象有两个不同的交点，
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点.
【警示】零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ； 二 是 f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那 么就不能使用该定理.如本例 f(x)＝x＋1x在[－1,1]上不连续，故 不能在区间[－1,1]上直接使用零点存在性定理.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点坐标.( ) (2)函数y＝f(x)的零点即为对应方程f(x)＝0的根.( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内满足f(a)·f(b)>0，则该函 数在区间(a，b)内可能没有零点.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√
【方法规律】求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可 以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出 零点.
1.判断下列说法是否正确. (1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)； (2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1. 【解析】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所 以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错. (2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义 域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
两个函数的图象有两个不同的交点，
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点.
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3.1.1 方程的根与函数的零点 （第2课时）
作业：判断函数f ( x) log4 ( x 4 x 3)的单调性.
2
解 : 由题意可得： x 2 4 x 3 0, 解 得 x 1或 x 3,
①求定义域 定义域 是( ,1) (3, ) 令 t x 2 4 x 3 ( x 2) 2 7，当 x ( ,1) U (3, )时 t 0,
(3)利用零点存在性定理，即f ( a) f ( b)的符号， 判断是否存在零点，再结合函数单调性. (4)数形结合：将函数零点个数问题转化成 两函数图象交点个数问题；
六、针对性练习
1.函数f(x)=x2- 3x+2的零点是（
2
四、例题分析
例4、已知函数f ( x )定义域为(-3,4]，且图象如下， 则该函数有_____个零点.
判断零点个数： (2)图象法 利用函数图象与x轴交点个数
3 O
4 x5、已知f ( x ) ln x 2 x 6 图象连续不断，且其部分 函数值对应如下，求函数零点的个数.
y x 2 x 3在区间 2, 4 上连续，
2
y
且在(-2, 4)上__________ 存在 零点， 而f ( 2) f (4) ______ 0.
-1 O 1 2 3 4 x
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。 思考2：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上是一条连续 不断的曲线，且有 f(a) · f(b)>0 ，是否可以判断函数 不可以 y=f(x) 在 (a,b) 内没有零点？
函数f ( x ) log 4 ( x 4 x 3)在区间( ,1)上单调递减， 在区间(3, )上单调递增.
④”同增异减”下结论
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。 思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不 断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有 不一定 f(a ) · f(b)<0 ？
0 且f ( 2) f (4) ______
y x 2 2 x 3在区间 2, 4 上连续，
y
在(-2, 4)上函数存在 _______零点，
-1 O 1 2 3 4 x
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。 1、图象是连续不断的曲线
(3)单 定理 法（判断零点所在区间） 是 调增函数 , 利用零点存在性定理，即 f (a ) . f (b)的符号， 所以函数f ( x )仅有一个零点 判断是否存在零点，再结合函数单调性.
x
四、例题分析
1 例6、判断函数f ( x ) x 的零点个数. x 1 2 分析： y 令x =0 x y x2 2 1 即x = x
y log 4 t， t ( 0, ), ②确定内外函数，求中间量范围
当x (3， )时, t x 2 4 x 3单调递增，此时t (0, )； 而当 t (0, + )时， y log 2 t单调递增， ③分析内外函数 单调性
2
当x ( ,1)时, t x 2 4 x 3单调递减，此时t (0, )；
2
1 则函数y x 与函数y O x 1 y 图象有1个交点, x 1 2 函数f ( x ) x 有1个零点 x (4)数形结合法：
2
x
将函数零点个数问题转化成两函数 图象交点个数问题；
五、基础知识讲解
判断（求）函数零点（个数）方法：
(1)转化为解方程，方程的不相等的根的个数 即是函数零点个数； (2)利用函数图象：函数图象与x轴交点的个数 即是函数零点个数；
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)
-4 －1.306 1.098 3.386 5.609
7.791
9.945
解：由表可知,f (2) 0, f (3) 0, 则f (2) f (3) 0, 故函数f ( x )在区间(2, 3)内有零点.
y
12.079
14.197
由于函数f ( x )在定义域(0, )内
函数有两个零点，分别是3,4. 法2： ( 7) 2 4 12 1 0 2 方程x 7 x 12 0有两个不相等的实数根；
判断（求）函数零点（个数）： (1)直接法 利用对应的方程的不相等的实数根的个数
( x 3)( x 4) 练 3、已知 f ( x ) 有 _____个零点. x2
2、f (a ) f (b) 0
X
零点存在
注2：该定理只能解决存在零点，不一定唯一
若需要证明有唯一零点，还需要确保函数为 单调函数。
例 3、已知 f ( x ) x 2 7 x 12，求该函数的零点个数 .
解：令f ( x ) 0得 即 x 2 7 x 12 ( x 3)( x 4) 0 2 方程x 7 x 12 0有两个不相等的实数根： 3, 4；
作业：判断函数f ( x) log4 ( x 4 x 3)的单调性.
2
解 : 由题意可得： x 2 4 x 3 0, 解 得 x 1或 x 3,
①求定义域 定义域 是( ,1) (3, ) 令 t x 2 4 x 3 ( x 2) 2 7，当 x ( ,1) U (3, )时 t 0,
(3)利用零点存在性定理，即f ( a) f ( b)的符号， 判断是否存在零点，再结合函数单调性. (4)数形结合：将函数零点个数问题转化成 两函数图象交点个数问题；
六、针对性练习
1.函数f(x)=x2- 3x+2的零点是（
2
四、例题分析
例4、已知函数f ( x )定义域为(-3,4]，且图象如下， 则该函数有_____个零点.
判断零点个数： (2)图象法 利用函数图象与x轴交点个数
3 O
4 x5、已知f ( x ) ln x 2 x 6 图象连续不断，且其部分 函数值对应如下，求函数零点的个数.
y x 2 x 3在区间 2, 4 上连续，
2
y
且在(-2, 4)上__________ 存在 零点， 而f ( 2) f (4) ______ 0.
-1 O 1 2 3 4 x
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。 思考2：如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上是一条连续 不断的曲线，且有 f(a) · f(b)>0 ，是否可以判断函数 不可以 y=f(x) 在 (a,b) 内没有零点？
函数f ( x ) log 4 ( x 4 x 3)在区间( ,1)上单调递减， 在区间(3, )上单调递增.
④”同增异减”下结论
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。 思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不 断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有 不一定 f(a ) · f(b)<0 ？
0 且f ( 2) f (4) ______
y x 2 2 x 3在区间 2, 4 上连续，
y
在(-2, 4)上函数存在 _______零点，
-1 O 1 2 3 4 x
三、基础知识讲解
3、零点存在性定理： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有 f(a) · f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在 区间 (a,b) 内有零点，即存在 c ∈ (a,b)，使得 f(c) =0， 这个c也就是方程 f(x)=0 的根。 1、图象是连续不断的曲线
(3)单 定理 法（判断零点所在区间） 是 调增函数 , 利用零点存在性定理，即 f (a ) . f (b)的符号， 所以函数f ( x )仅有一个零点 判断是否存在零点，再结合函数单调性.
x
四、例题分析
1 例6、判断函数f ( x ) x 的零点个数. x 1 2 分析： y 令x =0 x y x2 2 1 即x = x
y log 4 t， t ( 0, ), ②确定内外函数，求中间量范围
当x (3， )时, t x 2 4 x 3单调递增，此时t (0, )； 而当 t (0, + )时， y log 2 t单调递增， ③分析内外函数 单调性
2
当x ( ,1)时, t x 2 4 x 3单调递减，此时t (0, )；
2
1 则函数y x 与函数y O x 1 y 图象有1个交点, x 1 2 函数f ( x ) x 有1个零点 x (4)数形结合法：
2
x
将函数零点个数问题转化成两函数 图象交点个数问题；
五、基础知识讲解
判断（求）函数零点（个数）方法：
(1)转化为解方程，方程的不相等的根的个数 即是函数零点个数； (2)利用函数图象：函数图象与x轴交点的个数 即是函数零点个数；
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)
-4 －1.306 1.098 3.386 5.609
7.791
9.945
解：由表可知,f (2) 0, f (3) 0, 则f (2) f (3) 0, 故函数f ( x )在区间(2, 3)内有零点.
y
12.079
14.197
由于函数f ( x )在定义域(0, )内
函数有两个零点，分别是3,4. 法2： ( 7) 2 4 12 1 0 2 方程x 7 x 12 0有两个不相等的实数根；
判断（求）函数零点（个数）： (1)直接法 利用对应的方程的不相等的实数根的个数
( x 3)( x 4) 练 3、已知 f ( x ) 有 _____个零点. x2
2、f (a ) f (b) 0
X
零点存在
注2：该定理只能解决存在零点，不一定唯一
若需要证明有唯一零点，还需要确保函数为 单调函数。
例 3、已知 f ( x ) x 2 7 x 12，求该函数的零点个数 .
解：令f ( x ) 0得 即 x 2 7 x 12 ( x 3)( x 4) 0 2 方程x 7 x 12 0有两个不相等的实数根： 3, 4；