江苏省南京市、盐城市2022-2023学年高三下学期2月开学摸底考试 数学含答案

2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学（答案在最后）(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．2一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1. “a 3＋a 9＝2a 6”是“数列{a n }为等差数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 若复数z 满足|z －1|≤2，则复数z 在复平面内对应点组成图形的面积为( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π3. 已知集合A ＝{x |x －1x －a <0}，若A ∩N *＝∅，则实数a 的取值范围是( )A. {1}B. (－∞，1)C. [1，2]D. (－∞，2]4. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( ) A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种5. 某研究性学习小组发现，由双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的两渐近线所成的角可求离心率e 的大小，联想到反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y ＝5x的离心率为( )A. 2B. 2C. 5D. 56. 在△ABC 中，AH 为边BC 上的高且BH → ＝3HC → ，动点P 满足AP → ·BC →＝－14 BC → 2，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心7. 若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0对一切实数x 恒成立，则不等式f ′(2x ＋3)<f ′(x －1)的解集为( )A. (0，＋∞)B. (－∞，－4)C. (－4，0)D. (－∞，－4)∪(0，＋∞) 8. 已知四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BCFE 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中( )A. 逐步变大B. 逐步变小C. 先变小后变大D. 先变大后变小二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若X ～N (μ，σ2)，则下列说法正确的是( ) A. P (X <μ＋σ)＝P (X >μ－σ)B. P (μ－2σ<X <μ＋σ)<P (μ－σ<X <μ＋2σ)C. P (X <μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化D. P (μ－2σ<X <μ＋σ)随μ，σ的变化而变化10. 已知函数f (x ) ＝3sin x －4cos x ，若f (α)，f (β)分别为f (x )的极大值与极小值，则( ) A. tan α＝－tan β B. tan α＝tan β C. sin α＝－sin β D. cos α＝－cos β11. 已知直线l 的方程为(a 2 －1)x －2ay ＋2a 2＋2＝0，a ∈R ，O 为原点，则( ) A. 若OP ≤2，则点P 一定不在直线l 上 B. 若点P 在直线l 上，则OP ≥2 C. 直线l 上存在定点PD. 存在无数个点P 总不在直线l 上12. 如图，圆柱OO ′的底面半径为1，高为2，矩形ABCD 是其轴截面，过点A 的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截母线EF 得点P ，则( )A. 椭圆Ω的短轴长为2B. tan θ的最大值为2C. 椭圆Ω的离心率的最大值为22D. EP ＝(1－cos ∠AOE )tan θ三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. (2x ＋1x)5展开式中x 3的系数为________．14. 设函数f (x )＝sin (ωx ＋π3 )(ω>0)，则使f (x )在(－π2 ，π2 )上为增函数的ω的值可以为________(写出一个即可).15. 在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X ，Y 的取值集合均为{0，1，2，3，…，n }(n ∈N *)，则X ，Y 的散度D (X ‖Y )＝P (X ＝i )lnP （X ＝i ）P （Y ＝i ）.若X ，Y的概率分布如下表所示，其中0<p<1，则D(X‖Y)的取值范围是________．X 0 1 P1212Y 0 1 P1－pp16. 已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋12，n ＝2k －1，a n ＋1，n ＝2k ，其中k ∈N *，{b n }是公比为q的等比数列，则a n ＋1a n＝________(用q 表示)；若a 2＋b 2＝24，则a 5＝________．四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ，n ∈N *.(1) 试判断数列{a n －2n －1}是否是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝（2n －1）2na n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和S n .18. (本小题满分12分)在△ABC 中，已知AC ＝2，∠BAC ＝π3 ，P 为△ABC 内的一点，满足AP ⊥CP ，∠APB＝2π3. (1) 若AP ＝PC ，求△ABC 的面积； (2) 若BC ＝7 ，求AP .某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开设了具有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3 000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x 246810满意人数y 8095100105120(1) 由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x 的回归直线方程y＝b x＋a，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数．(2) 10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150参考公式和数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，平面PAC ⊥平面PBD ，AB ＝AD ＝AP ＝2，四棱锥PABCD 的体积为4.(1) 求证：BD ⊥PC ；(2) 求平面PAD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．21. (本小题满分12分)如图，已知椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右顶点分别为A ，B ，点C 是椭圆上异于A ，B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ，N ，AC 的中点为点D ，直线OD 与椭圆交于点P ，Q ，点P ，C ，M 在x 轴的上方．(1) 当AC ＝ 5 时，求cos ∠POM ； (2) 求PQ·MN 的最大值．已知函数f(x)＝x ＋1ex .(1) 当x>－1时，求函数g(x)＝f(x)＋x 2－1的最小值； (2) 已知x 1≠x 2，f(x 1)＝f(x 2)＝t ，求证：|x 1－x 2|>21－t .2022～2023学年高三年级模拟试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. B2. D3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. AC 10. BCD 11. BD 12. ACD 13. 80 14. 13 (答案不唯一，满足0<ω≤13 即可) 15. [0，＋∞) 16. q 2 1 02417. 解：(1) 因为a 1＝3，所以a 1－2×1－1＝0，所以数列{a n －2n －1}不是等比数列．(2分)由a n ＋1＝3a n －4n ，得a n ＋1－2(n ＋1)－1＝3(a n －2n －1)，因为a 1－2×1－1＝0，所以a n －2n －1＝0，即a n ＝2n ＋1.(5分)(2) 因为b n ＝（2n －1）·2n （2n ＋1）（2n ＋3） ＝2n ＋12n ＋3 －2n2n ＋1，(7分)所以S n ＝(2n ＋12n ＋3 －2n 2n ＋1 )＋(2n 2n ＋1 －2n －12n －1 )＋…＋(225 －213 )＝2n ＋12n ＋3 －23 .(10分)18. 解：(1) 因为AP ⊥CP ，且AP ＝CP ，所以∠CAP ＝π4，又∠BAC ＝π3 ，所以∠BAP ＝π12 ，因为∠APB ＝2π3 ，所以∠ABP ＝π4 .由AC ＝2，所以AP ＝2 ，在△ABP 中，由正弦定理，得AB sin 2π3 ＝2sinπ4， 解得AB ＝3 ，所以S △ABC ＝12 ×AC ×AB sin ∠BAC ＝12 ×3 ×2×32 ＝32 . (5分)(2) 在△ABC 中，由余弦定理，得7＝4＋AB 2－2AB ，所以AB ＝3.(7分) 令∠CAP ＝α，则∠BAP ＝π3 －α，∠ABP ＝α，在△APC 中，AP ＝2cos α.(9分)在△ABP 中，由正弦定理，得3sin2π3＝2cos αsin α ，所以tan α＝33 ，(11分) 因为α∈(0，π3 )，所以α＝π6 ，所以AP ＝2×32＝3 .(12分)19. 解：(1) x ＝15 (2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15(80＋95＋100＋105＋120)＝100，i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(2－6)(80－100)＋(4－6)(95－100)＋(6－6)(100－100)＋(8－6)(105－100)＋(10－6)(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180，错误!错误!＝错误!＝错误!，(2分)a ＝100－92×6＝73，(3分)得y 关于x 的回归直线方程为y ＝92x ＋73，(4分)令x ＝12，得y ＝127，(5分)据此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3 000×127150 ＝2 540(人).(6分)(2) 提出假设H 0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．(8分)则K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） ＝150（65×20－55×10）2120×30×75×75＝256 ≈4.17，(10分)因为P(K 2≥3.841)＝0.05，而4.17>3.841，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．(12分)20. (1) 证明：设AC ∩BD ＝O ，在平面PAC 内过点A 作AH ⊥PO ，垂足为H ， 因为平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ， 所以AH ⊥平面PBD.(3分)又BD ⊂平面PBD ，所以BD ⊥AH.因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA.因为BD ⊥AH ，PA ∩AH ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC.(6分) (2) 解：由AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD 知BD ＝2 2 ，由(1)知BD ⊥AC ，所以V PABCD ＝13 S 四边形ABCD ×PA ＝13 ×12 ×2 2 ×AC ×2＝4，所以AC ＝3 2 .(8分)以{AB → ，AD → ，AP →}为基底建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(3，3，0)，P(0，0，2)，易知平面PAD 的一个法向量为n 1＝(1，0，0)，设平面PCD 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，又PD → ＝(0，2，－2)，PC →＝(3，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，3x ＋3y －2z ＝0， 取z ＝3，则x ＝－1，y ＝3，则n 2＝(－1，3，3)，(10分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝－11＋9＋9＝－1919 ，(11分)所以平面P AD 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为1919.(12分) 21. 解：(1)由AC ＝5 知点C (0，1)，因为D 为AC 的中点，且A (－2，0)，所以D (－1，12 )，所以k AC ＝12 ，k OP ＝－12 ，(2分)(解法1)直线MN 的方程为y ＝12x ，联立方程⎩⎨⎧y ＝12x ，x24＋y 2＝1，得yM ＝22 ，所以M (2 ，22 )，同理P (－2 ，22)， 所以cos ∠POM ＝－2＋122＋12×2＋12＝－35 .(4分)(解法2)由k OM ＝12 ，k OP ＝－12 知∠POM ＝π－2∠MOB ，由k OM ＝12 知tan ∠BOM ＝12 ，所以cos ∠BOM ＝255 ，所以cos ∠POM ＝cos (π－2∠MOB )＝－35 .(4分)(解法3)由∠POM ＝〈OP → ，OM → 〉＝〈OP → ，AC → 〉＝〈OD → ，AC →〉求解． (2) 设点C (x 0，y 0)，由A (－2，0)知D (x 0－22 ，y 02)，则k AC ＝k OM ＝y 0x 0＋2 ，k OP ＝k OD ＝y 0x 0－2 ，k OM ·k OP ＝y 0x 0＋2 ·y 0x 0－2 ＝y 20x 20 －4 ＝1－x 204x 20 －4 ＝－14，(6分) 设直线OM 的方程为y ＝kx ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1， 得x 2＝41＋4k2 ，y 2＝4k 21＋4k 2 ，则OM 2＝4＋4k 21＋4k 2 ，(8分) 由k OM ·k OP ＝－14 ，知OP 2＝1＋16k 21＋4k 2 ，(解法1)OM 2·OP 2＝4＋4k 21＋4k 2 ·1＋16k 21＋4k 2，(10分) 令1＋4k 2＝t ，t >1，则OM 2·OP 2＝（t ＋3）（4t －3）t 2＝－9(1t )2＋9t ＋4≤254 (当t ＝2时取等号)，所以PQ ·MN 的最大值为10.(12分)(解法2)由OM 2＋OP 2＝4＋4k 21＋4k 2 ＋1＋16k 21＋4k 2＝5，知OM ·OP ≤OM 2＋OP 22 ＝52 ，当且仅当OM ＝OP ＝102时取等号，所以PQ ·MN 的最大值为10.(12分) 22. (1) 解：当x >－1时，g ′(x )＝2x e x (e x －12 )，(1分)令g ′(x )＝0，可得x 1＝－ln 2>－1，x 2＝0，列表分析如下：可知g (x )min ＝g (－1)＝g (0)＝0，故函数的最小值为0.(5分)(2) 证明：由(1)可知，当x >－1时，g (x )≥0，即x ＋1e x ≥1－x 2(当且仅当x ＝0时取等号)，不妨取h (x )＝1－x 2，则在区间(－1，0)和(0，＋∞)上，都有f (x )>h (x )， 且h (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又由f ′(x )＝－xe x可知f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且f (x )>0在(－1，0)和(0，＋∞)上恒成立．(8分)由x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)＝t ，得0<t <1，不妨设－1<x 1<0<x 2，设h (x 3)＝h (x 4)＝t 且x 3<0<x 4，则f (x 1)＝h (x 3)<f (x 3)，所以－1<x 1<x 3<0， 同理0<x 4<x 2，故|x 1－x 2|>|x 3－x 4|，其中x 3，x 4为方程h (x )＝t 的两个实根，而x 3，4＝±1－t ，所以|x 1－x 2|>21－t 成立．(12分)。