垂径定理第一课时1
·O
E
A
B
D
C
·O
E
A
B
D
CD⊥AB CD是直径 垂直于弦的直径
AE=BE 平分弦
⌒⌒ AC = BC 平分弦所对的
⌒⌒ AD = BD
两条弧
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
7.2m
B
A
D
37.4m
方程思想
O
课堂小结
1.圆的轴对称性： 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线
都是它的对称轴。
2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对
的两条弧。
3.在计算题中，垂径定理经 常结合勾股定理一起使用。
rO ad
A 2C B
4.在计算过程中，要结
合方程思想解题.
r2 =d2 +
B
4.如图, 将小圆去掉,
O
已知:AC=BD
求证:△OCD是等腰三角形 A C E D B
例3:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A
D
E C
O
B
天下第一桥的主桥拱半径是多少?
它的赵主州桥桥是坐圆落弧在形河,它北的省跨赵度县(弧。所建对于的隋 弦代已的，有长由约)著1为3名0307匠年.4师m的,李历拱春史高设。(弧计是的和当中建今点造世到，界弦距现的今存 距最离早)、为跨7.径2m最. 大、保存最完善的单孔敞 肩型石拱桥。被誉为天下第一桥。
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
（3）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ )
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
判断下列图形那些符合垂径定理？
a 2
2
思考: 已知：在半径为5㎝的⊙O中， 两条平行弦AB,CD分别长8㎝， 6㎝.求两条平行弦间的距离.
如果把（2），（3）互换呢？
命题:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
C
.O
E B
D
推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且
平分弦所对的两条弧.
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 两条弧……………………………………( × )
C
C
B
O
O
O
O
D
A D
BA D
BC A
A
B
D
C
不符合 不符合
符合 符合
C
C
AC B O
E
O
A
B
O
ADB
D
符合
符合
符合
例1. 如图,已知AB是⊙O的弦, OC⊥AB于C, 且AB=8, OC=3,求⊙O的半径。
O
练习：
ACB
1.⊙O的半径为8，OC⊥弦AB于C，且OC=6，求 弦长AB. 2.⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。
24.1.2 垂直于弦的直径
一、 实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现：
圆是轴
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB （1） AE=BE吗？为什么？ （2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？
天下第一桥的主桥拱半径是多少?
拱高 跨度
赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所 对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
主桥拱半径
天下第一桥的主桥拱半径是多少?
赵州桥的主桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m,拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗? C
1.以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径 AB交小圆C,D两点,问（1）AC与BD相等吗?
AC O D B
O A CED B
第1题图
第2题图
（2）若将直径向下移动,变为非直径的弦AB, 交小圆于C,D两点,是否仍有AC=BD呢?
3.如图, 将大圆去掉，
O
已知： OA=OB
求证： AC=BD
A C ED
3.如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC
互相平分,交点为 M , 求 弦 AB 的长.
O
r
a
d
a
2
r2 =d2 + 2
A
2
C
B
小结：①作“弦心距”是很重要的一条辅助线， 它可以和垂径定理相联系。
②圆的半径,弦的一半及弦心距可构成直角三角 形。因此只要知道圆中半径(或直径),弦,弦心距 中任意两个量，就可以求出第三个量。
新人教版九年级上24.1.2垂径定理(第一课时)
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧:AC=BC,AD=BD
A
C
⌒ ⌒⌒ ⌒
·
O
C
A
M└
●
B O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
垂径定理及推论
条件 ①② ①③ 结论 命题
A
M└
●
B
O
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
⌒ 在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是60˙，
那么弦AB的弦心距是_____
5 3cm
O D A B
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则 这弓形所在的圆的半径为
13 cm . 4
C A D O B
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等 于_______ 2 5cm
E
B D
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， ⌒ ⌒ AC , ⌒ ⌒ AD分别与BC 、BD重合．
C
即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB, ⌒ ⌒ 并且平分AB及ACB
·
O
E A B D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
九年级上册 数学 课件 28.4 垂径定理1
六 留作业
课后题 1、 A组（1.2.） B组
(1.2.3.)
2、 推论中被平分 的弦，为啥不能是直
径（探究并 证明）
谢谢
业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。 当我微笑着说我很好的时候，你应该对我说，安好就好。 人的一生是短的，但如果卑劣地过这一生，就太长了。——莎士比亚 只有在人群中间，才能认识自己。——德国 朝闻道，夕死可矣。——《论语·里仁》 意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 每个人的一生都有许多梦想，但如果其中一个不断搅扰着你，剩下的就仅仅是行动了。 世界上没有比友谊更美好更令人愉快的东西了；没有友谊，世界仿佛失去了太阳。 “不可能”只存在于蠢人的字典里。 有勇气并不表示恐惧不存在，而是敢面对恐惧、克服恐惧。 严酷的纪律不应当用在与功课或文学练习有关曲事情上面，只能逢到道德问题感受危险的时候才施用。——夸美纽斯 认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。 君子食无求饱，居无求安，敏于事而慎于言，就有道而正焉，可谓好学也已。——《论语·学而》 与其你去排斥它已成的事实，你不如去接受它。 形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 人的成长需要接受四个方面的教育：父母、老师、书本、社会，有趣的是，社会似乎总是与前面三种教给你的背道而驰。 欲知世上刀兵劫，但听屠门夜半声，不要光埋怨自己多病，灾祸横生，多看看横死在你手上的众生又有多少？
∴∴AA⌒ED==B⌒BED， ∠AOE= ∠ BOE
AE
B
又∵ ∠AOC= 180 ° -∠ AOE
D
∠BOC= 180 ° -∠ BOE
∴
⌒ AC
垂径定理第一课时课件
垂径定理的应用
• 用垂径定理求解几何问题 • 垂径定理在图形求面积中的应用 • 实例解析
总结
• 垂径定理的要点和记忆方法 • 练习题和答案概述 • 思考和回顾
垂径定理第一课时
欢迎来到垂径定理第一课时的课程! 在本课中，我们将探索垂径定理的概述、 定义、证明和应用，并解决一些有趣的几何问题。让我们开始吧！
概述
• 垂径定理的意义和应用 • 直角三角形的定义和性质
垂直、垂线和垂足
• 垂直的定义和和求法
推导垂径定理
垂径定理1-3课时
BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是 图形，又是 图形。
对称轴是 ，对称中心是 。
2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。
观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。
求证：AE=BE结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。
几何语言的写法：∵ ∴强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。
三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。
求证：AC=BD 。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。
24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理： 的直径 ，并且 。
按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。
结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1） （2） （3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。
部编北师大版九年级数学下册优质课件 第1课时 垂径定理(1)
1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如
图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形 高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）.
思考探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作 直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M． A
（1）这个图形是轴对称图形 吗？如果是，它的对称轴是什么？
段弯路的半径.
C E
FD O
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD ，
∴在RCtF△O1CFC中D ，1根据60勾0 股3定00理(m，). 得 OC2 = 2 = 3002 +（R – 90）2
解这个方程，得 R = 545.
O
所以，这段弯路的半径为 545 m.
随堂演练
1.如图，AB 是⊙O 的直径，
弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论
不一定成立的是（ ） D
A. CM = DM
B.
C.
∠CABCD
=∠ADC
BD
D. OM = MD
2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，
OC⊥AB 于 C .若 AB = ，OC = 1，
O
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
C
A
B
D
O
解：如图，设半径为 R，
C
AB = 37.4， CD = 7.2
7.2
11
A
AD AB 37.4 18.7,
18.7 D
B
22
OD = OC – DC = R – 7.2 .
R
R – 7.2
3.3 垂径定理 教案(表格式)2023-2024学年浙教版九年级数学上册
教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点 分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的 基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ， 交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8， 那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。
垂径定理PPT课件(人教版)
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
人教部初三九年级数学上册 垂径定理 名师教学PPT课件
解：连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE，∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 ，RtAOE中，由勾股定理得 OA＝5厘米 . ∴⊙O的半径为5厘米.
已知：如图，在以O为圆心
的两个同心圆中，大圆的弦
AB交小圆于C，D两点.
求证：AC＝BD.
O.
A
E C
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE
如图，用 A︵B表示主桥拱，设 A所︵B在圆的圆心为O，半 径为R．经过圆心O AB 作弦 AB 的垂线OC，D为垂足， O中C点与，ACBA是︵B相交的于中点点D，，C根D据就前是面拱的高结．论，D 是AB 的
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
C
AD 1 AB 1 37.4 18.7,
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个
· 半A⌒C圆,重⌒AD合分，别点与AB与⌒C点、BB重⌒D合重，合A．E与BE重合， O
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 A E
B
直线是它的对称轴. （2） 线段： AE=BE
弧:⌒AC=B⌒C,A⌒D=B⌒D
AE－CE＝BE－DE
∴ AC＝BD
已知：⊙O中弦 AB∥CD.
求证：A⌒C＝B⌒D
M
C
D
A
B
.O
证∴明MN：⊥作C直D径，M则NA⊥⌒MA＝BB，⌒M∵，ACB⌒M∥＝CDD⌒M， N （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M ∴A⌒C＝B⌒D
结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
C
【优质】初三九年数学：《垂径定理第1课时垂径定理》ppt课件
【拓展创新】 15．(12分)如图，已知A︵B扇形OAPB 是半径为2的⊙O的一部分，点P(不
解：如图，分别延长 PM，PN 交⊙O 于点 Q，S，∵PM⊥AO，PN⊥BO，∴PM＝QM，PN＝NS.
与点A，B重合)是弧AB上一动点， ∵OP＝OQ＝OS，∴∠POA＝∠QOA，∠PON＝∠SON.∵∠AOB＝120°， 且PM⊥AO，PN⊥BO，垂足分别为 M，N，且∠AOB＝120°.当点P在 ∴∠QOA＋∠POA＋∠PON＋∠SON＝2(∠POA＋∠PON)＝2∠AOB＝240°，∴∠QOS＝120°. 上运动时，试判断线段MN的长度 过点 O 作 OK⊥QS 于点 K，连结 MN，∴∠QOK＝60°，QK＝SK，∴QK＝ 3OQ＝ 3，∴QS＝2 3.
第3章 圆的基本性质
3.3 垂径定理
第1课时 垂径定理
浙教版·九年级上册
1．(4分)(2017秋·绍兴期末)⊙O的B 弦 AB的长为8 cm，弦AB的弦心距为3
D
cm，则⊙O的半径为( ) A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．10
cm 3D．3(4分5)绍兴3 是著名的桥乡，如图
所示的是绍兴某处一圆拱桥的拱顶 到水面的距离CD为8 m，桥拱半径
(1)求证：AP＝AO； (2)过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，则 AH＝HB.∵AB＝12，∴AH＝6.由(1)可知 PA＝OA＝10，∴PH
＝PA＋AH＝16.∵在 Rt△OAH 中，OH＝ OA2－AH2＝ 102－62＝8，∴OP＝ PH2＋OH2＝8 5.
(2)若△PQS 的边 PQ 和 PS 的中点，∴MN 为其中位线，∴MN＝1QS＝ 3(定值)，
2
是否为定值． ∴MN 的长度是定值．
《垂径定理》课件1
判断函数单调性
利用垂径定理确定函数图 像的对称轴，进而判断函 数在不同区间的单调性。
结合函数的导数，分析函 数在不同区间的增减性。
通过比较函数值或观察图 像，确定函数的单调区间。
分析函数图像特征
利用垂径定理确定函数图像的对称轴，分 析图像的对称性。
结合函数的奇偶性，分析图像关于原点的 对称性。
其他领域应用举例
航海和航空导航
在航海和航空导航中，垂径定理可以用于计算航向和距离。通过观察天体（如太阳、星星）的位置和角度，可以 利用垂径定理确定航行方向和距离，实现准确的导航。
地理测量
垂径定理在地理测量中也有应用。例如，在测量地球表面上两点之间的距离时，可以利用垂径定理计算出大圆距 离，这是一种更精确的距离测量方法。
建立平面直角坐标系
以圆心为原点，以过圆心的直线为x轴 建立平面直角坐标系。
设圆的方程和弦的方程
联立方程求解
将两个方程联立，消去y得到关于x的 二次方程，由根与系数的关系可得垂 线平分弦的结论。
设圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，设 弦所在直线的方程为y = kx + b。
向量法证明
1 2
定义向量 设圆心为O，弦的两个端点分别为A和B，垂足为 C，则向量OC垂直于向量AB。
利用向量数量积的性质 由向量数量积的性质可知，OC·AB = 0，即 |OC|·|AB|·cos90° = 0，由此可推出垂线平分弦。
3
利用向量加法的性质 由向量加法的性质可知，向量OA + 向量OB = 2 向量OC，由此可推出垂线平分弦。
03
垂径定理在几何问题中应用
求解三角形问题
利用垂径定理求解直角三角形中的边长和角度