第七节电子自旋新新角动量

3, 自旋算符与 Pauli 矩阵
一方面，自旋既是角动量就应当满足角动量的对易规则，
[ ] si , s j = ihε ijk sk , 这里 i = x, y, z 等
（7。4）
另一方面，自旋变数取值只有两个， ± 1 ，并且波函数相应为两分量
2
的列矢量，于是自旋角动量的三个分量算符 Si 自然应当是 3 个 2 × 2 的
厄米矩阵，以便对这些两分量的列矢量进行变换。于是，引入三个二
阶厄米矩阵σ i 来表示 Si ，令
Si
=
h 2
σ
i
,
(i = x, y, z)
(7.5)
这里已经抽出
S
i
的绝对数值
h 2
，所以
σ
i
的本征值只能为
±
1
，就是说，
σ i 为自逆矩阵。将σ i 代入对易规则（7。4）式，就得到决定它们的下
列关系，
157
⎧ψ ⎪ ⎪⎩⎨χ
(rv , (s z
sz ,
,t)
t)
=
=ϕ
⎜⎜⎝⎛
χ1 χ2
(rvt)χ (sz ,t ((tt))⎟⎟⎠⎞ =χ 1(t
) )
α
+ χ 2 (t) β
考虑电子自旋角动量之后， Schro&&dinger 方程便由单分量的方程扩充为
两分量的方程，后者常称为 Pauli 方程。
( ) { } = 2iε ijk σ iσ k + σ kσ i = 2iε ijk σ i ,σ k .
对任一给定的 j ，总可以取 i,k ，使 i ≠ k ≠ j ，于是得到σ i 之间的反对
[ ] ⎧
⎨ ⎩
σ
i
,
σ σ
j i
2
= 2iε =σ0
ijk
σ
k
(7.6a)
σ0
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
0 1
⎟⎟⎠⎞
为二阶单位矩阵。由
σ
i
间的这些对易关系也能导出
σ
i
间的
反对易关系，
[ ] [ ] [ ] [ ] 0 = σ 0 ,σ j = σ i 2 ,σ j = σ i σ i ,σ j + σ i ,σ j σ i
2
假定电子存在一个内禀磁矩 μr 并且和自旋角动量 sv 之间的关系为（电
子电荷为 − e ）
μr = − e sv μc
（7。1）
这表明，电子自旋的旋磁比是轨道旋磁比的两倍。于是，电子便具有 了 μ,e, sv, μr 共四个内禀的物理量。根据实验事实用外加的方式引入电
子自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本
作用来解释，因为这只能分裂谱线为 (2l +1)重，即奇数重；1922 年
1 杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989 年 155
Stern—Gerlach 实验，实验中使用的是中性顺磁的银原子束，通过
一个十分不均匀的磁场，按经典理论，由于束是中性的，不受 Lorentz
力的作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发出来成
s
取朝上
zBiblioteka Baidu
h 2
和朝下
−
h 2
的状态。于是
∫ ψ1 2drv =自旋朝上的几率
∫ ψ 2 2 drv =自旋朝下的几率
总的归一化表示为
( ) ∫ ∫ ψ +ψdrv = drv ψ1 2 + ψ 2 2 = 1
(7.3)
如果系统哈密顿量 H 中不含自旋角动量，或是自旋部分和空间部分可
以分开（即 H = H 0 + H s ），则自旋波函数和空间波函数就可以分离，
变数
sz
只能取两个值
±
h 2
，于是电子的状态波函数应当是一个两分量
的列矢量，
ψ
(rv,
sz
,
t
)
=
⎜⎜⎝⎛ψψ
1 2
(rv, (rv,
t t
))⎟⎟⎠⎞
=
ψ
1
(rrt )
α
+ ψ 2 (rvt ) β
(7.2)
这 里 α = ⎜⎜⎝⎛10⎟⎟⎠⎞, β = ⎜⎜⎝⎛10⎟⎟⎠⎞ 分 别 代 表 自 旋 角 动 量 第 三 分 量
第七章 电子自旋角动量
实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于 电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。 在 Dirac 的相对论性电子方程中，这个内禀角动量很自然地体现在该 方程的旋量结构上。由于 Schro&&dinger 方程是最低阶非相对论近似的结 果，因此 Schro&&dinger 方程自然也就忽略了它们。换句话说，在电子运 动能量为非相对论性的情况下，自旋作用表现出来是另外一种自由 度，与电子的外部空间运动没有直接关系，所以对它的描写只能以外 来方式添加在 Schro&&dinger 方程上。到目前为止，非相对论量子力学所 拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测 实验测量结果并计算它在各种场合下的运动和变化。但是，整个量子 理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理本质依然 不十分了解1。
束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的，于是在穿过非均匀磁场
时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接
受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成
一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况
的实测结果为 ± μB ，即数值为 Bohr 磁子。
针对以上难以解释的实验现象，1925 年 Uhlenbeck 和 Goudsmit 提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量 sv, 它 在任意方向的取值只能有 ± h 两个数值。为使这个假设与实验一致，
§7.1 电子自旋角动量
1, 电子自旋的实验基础和其特点
早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比 如，对应于氢原子 2 p → 1s 的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线， 碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 年反常 Zeeman 效应，特 别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互
这就是说，为了要在 re 的半径下旋转得出 h 的角动量，电子必须大致
以 137 倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，
电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。虽然现在能进行有
关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本
质有透澈的了解。
2, 电子自旋态的表示法
由于电子自旋是一个新的自由度，并且相应于这个新自由度的新
身的一些精细结构，以及在外场下的多重分裂现象，也都得到了很好
的解释。
然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即
遭到否定。假设电子半径为 re ，作为定性的估算可以合理地假定
156
e2 re
~
μ c 2 , re p ~ h
∴
υ
=
p μ
≈
h μ re
≈
⎜⎛ ⎝
hc e2
⎟⎞c ⎠
= 137c,