浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程
所以直线l的方程为x－y＋1＝0. 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]
(1)直线x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________． (2)(2017·舟山模拟)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－ 3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________． (1) (2) [(1)当θ＝kπ＋(k∈Z)时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾 斜角为. 当θ≠kπ＋(k∈Z)时，直线l的斜率为 tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以直线l的倾斜角的取值范围是∪. 综上，α的取值范围是. (2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝＝－5， kPB＝＝－. 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]
[思想与方法] 1．求直线方程的两种常见方法： (1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线 方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构 造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程． 2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要 注意分类讨论思想的应用． [易错与防范] 1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾 斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正 切函数的单调性． 3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0. 4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B ＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－. 课时分层训练(四十三) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 A组 基础达标 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 D [直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1， 即x＋y＋1＝0.] 2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b 满足( )
已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两 点，O为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程． [解] (1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)． 设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，3分 当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.5分 (2)设直线l的斜率为k，则k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)， 则A，B(0,1－k)，8分 所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.11分 当且仅当k2＝，即k＝－1时，上式等号成立． 所以当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为x＋y－2＝0.14分 [规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA|＋|OB|与|MA|2＋|MB|2取 得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定 要注意等号成立的条件． 2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形 式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜 式；已知截距选择截距式． [变式训练3] 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4， 当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为
(1)D (2) [(1)设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直 线在x轴上的截距为1－. 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞. (2)直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1. 又y＝tan α在上是增函数，因此≤α＜.]
(1)过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为 ________． (2)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的 截距相等，求直线l的方程． (1)4x＋3y－13＝0 [设所求直线的斜率为k，依题意 k＝－4×＝－. 又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0.] (2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a. 由题意得M(3,2).2分 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)， 所以直线l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.6分 若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，
19,15 分(理) 19,15 分(文)
21,15分 (理) 22,7分 (文)
22(2)，9 分(理) 22,14分 (文)
21(2)，8 分(理) 22,15分 (文)
[重点关注] 综合近5年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、 抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合 应用，突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的考 查．
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向 上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式 (1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 点斜 式 斜截 式 两点 式 截距 式 一般 式 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b ＝ ＋＝1 Ax＋By＋C＝0，A2 ＋B2≠0 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直 线y＝y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 平面内所有直线都适用
因为直线l过点M(3,2)，所以＋＝1，10分 所以a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0. 综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.14分 法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线 l的方程为y－2＝k(x－3).2分 令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.6分 所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.10分 所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)， 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.14分 [规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问 题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解． 2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待 定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法， 注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要． [变式训练2] 求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角 的2倍的直线方程． [解] 由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，2分 则所求直线的倾斜角为2α.6分 ∵tan α＝3， ∴tan 2α＝＝－.10分 又直线经过点A(－1，－3)， 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.14分
程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．(教材改编)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段 PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( ) A. B．－ C．－ D. B [设P(x,1)，Q(7，y)，则＝1，＝－1， ∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)， 故直线l的斜率k＝＝－.] 3．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂 直，则直线l的方程是( ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 D [圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1 ＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得 x－y＋3＝0.] 4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝ ________. 【导学号：51062257】 1或－2 [令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x 轴上的截距为1＋. 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.] 5．(2017·湖州模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反 数的直线l的方程为________． 3x－2y＝0或x－y＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－ 2y＝0. 当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1. 将P(2,3)代入方程，得a＝－1，
17,4分 (文)
15,4分 (理)
3,5分(理) 4,5分(文)
5,5分 (文)
21(1)，16 分(理) 13,4分 (文)
16,4分 (理) 17,4分 (文)
椭圆的标 准方程及 其性质
7,5分 (理)
21(1)，7 分(理)
9,5分(理) 21,15分 (理)
21(1)，7 分(理) 8,5分(文)
创新大课堂2018届高三数学理一轮复习课件：第八章 平面解析几何 第1节 精品
(3)BC 的斜率 k1＝－12，则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2 ＝2，由点斜式得直线 DE 的方程为 2x－y＋2＝0.
[答案] B
2．若 ab＞0，且 A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线， 则 ab 的最小值为________．
[解析] 根据 A(a,0)、B(0，b)确定直线的方程为ax＋by＝1， 又 C(－2，－2)在该直线上，故－a2＋－b2＝1，所以－2(a＋b) ＝ab.又 ab＞0，故 a＜0，b＜0.
[题组集训]
1．(2016·长沙模拟)曲线 y＝13x3＋x 在点(1，43)处的切线与
坐标轴围成的三角形面积为( )
2
1
A.9
B.9
1
2
C.3
D.3
[解析] y′＝f′(x)＝x2＋1，在点(1，43)处的切线斜率为 k ＝f′(1)＝2，所以切线方程为 y－43＝2(x－1)，即 y＝2x－23，与 坐标轴的交点坐标为(0，－23)，(13，0)，所以三角形的面积为12×13 ×|－23|＝19，故选 B.
一般式
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
所有直线
[质疑探究3] 截距是距离吗？ 提示：直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵) 坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是 距离．
3．线段的中点坐标公式 若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2
高考数学复习笔记第八章 平面解析几何
第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k 的直线方程 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb ＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线 解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数， 故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角．又k PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－AB . 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1， 解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________．(2)过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3x ＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)， 即3x －y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2. 故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：(1)3x －y ＋6＝0 (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )． ∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，∴⎩⎨⎧2k －1k＞0，1－2k ＞0，得k ＜0.∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k－4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2 (－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－k ＝－1k ， 即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 由直线方程可知斜率k ＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B.2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2 解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 5．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n 的最小值为4.6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝07．若直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.答案：2x ＋3y ＋12＝08．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0， ∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2， 因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1ex＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b ≥26ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式1．(2018·金华四校联考)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝()A．2B．－3C．2或－3 D．－2或－3解析：选C∵直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，∴2m＝m＋13≠4－2，解得m＝2或－3.2．“a＝14”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0相互垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0相互垂直，得(a＋1)(a－1)＋3a(a＋1)＝0，即4a2＋3a－1＝0，解得a＝14或－1，∴“a＝14”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x,1－x)，x∈R，则动点P的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P的坐标为(x，y)，则y＝1－x，即动点P的轨迹方程为x＋y－1＝0.原点到直线x＋y－1＝0的距离为d＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P的轨迹的最小值．答案：x＋y－1＝02 21．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－ab ＋2，－ab －2，由－ab ＋2·⎝⎛⎭⎪⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x－y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1， 即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13. ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13， ∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0. 当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)．∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)．法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)． 答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上．所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32. 法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32. 答案：－2或－32考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.答案：2x －3y －9＝0角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎨⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧ x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)． 2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧ b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0. 又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1， 即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎨⎧ y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)， ∴△ABC 周长的最小值为 ||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C. 2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3) D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)． 3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0 解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0. 4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c －1， 解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c 2＝0， 又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6. 答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上，∵|P Q |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910. 4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎨⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345. 5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎨⎧ y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)． 同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)．所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0.答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝8.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210. 答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________．。
2018届数学复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程学案文
错误!错误!1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式,两点式及一般式等），了解斜截式与一次函数的关系．知识点一直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角（1)定义：当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．(2）倾斜角的范围为________．2．直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．（2）过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝________。
答案1．(1)正向向上0°（2）[0°，180°）2．(1）正切值tanα(2）错误!1．直线2x＋1＝0的倾斜角为________．解析:直线2x＋1＝0的斜率不存在，倾斜角为90°。
答案:90°2．过点M（－2，m），N(m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为(）A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析:由题意知,错误!＝1，解得m＝1。
答案：A知识点二直线方程1．直线方程的五种形式2。
线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2）,线段P1P2的中点M的坐标为(x，y），则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．答案1．y＝kx＋b y－y0＝k(x－x0)错误!＝错误!错误!＋y b＝1 2。
错误! 错误!3．已知直线l 经过点P （－2，5），且斜率为－错误!。
则直线l 的方程为( ）A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：由点斜式得y －5＝－错误!(x ＋2），即3x ＋4y －14＝0.答案：A4．已知直线l :ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ）A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析:当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝错误!,得a ＝－2或a ＝1。
(浙江专用)高考数学第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案(含解析)
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴订交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线 l与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2) 范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)直线 l的倾斜角为α(α≠π)，则斜率2k ＝tan_α.y 2－y 1(2) P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用范围斜截式 纵截距、斜率y ＝kx ＋b与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率y － 0＝( － 0)y kx x两点式过两点y －y 1 x －x 1与两坐标轴均不垂直的直y －y ＝ －x线1x122x y但是原点且与两坐标轴均截距式纵、横截距a ＋b ＝1不垂直的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)全部直线4．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝x 1＋x 22 ，此公式为线段PP 的中点坐标公式．y 1＋y 212y ＝2，[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为()A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°分析：选D由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜 角为α－135°，应选D.2．以下说法中正确的选项是( ) y －y 1 A. ＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k 的直线方程x －x 1B ．直线 y ＝ kx ＋ b 与 y 轴交于一点 (0， )，此中截距 b ＝| |B bOB C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是 x y＋ ＝1a bD ．方程( x 2－ 1)( y － 1)＝( y 2－ y 1)( x －1)表示过点1( x 1，1)，2(x 2， y 2)的直线x y x P y P分析：选D 关于A ，直线不包含点 P 1，故A 不正确；关于 B ，截距不是距离，是 B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；关于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是x y0，不可以表示为a ＋b ＝1，故C 不正确；关于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D 正确．故 选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与 y 轴的交点顺时针旋转90°，则所获取的直线l 2的方程为________________．分析：关于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2 ＝ 0.答案：－2x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不可以表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不可以表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中， 要注意谈论截距能否为零．3．求直线方程时，若不可以判定直线能否拥有斜率时，应注意分类谈论，即对付斜率是 否存在加以谈论．[小题纠偏]1．直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角的范围是()π π π 5π0， π 5πA.6，2 ∪ 2 ， 6B. 6∪6 ，π5ππ 5π C.0，6D. 6，63分析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－3cos α，33又cos α∈[－1,1]，所以－3≤tan θ≤3，又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在0， ππ2 和2，π上均为增函数，故θ∈ 0，π 5π，π .应选B.6 ∪ 62．过点(5,10) ，且到原点的距离为 5的直线方程是________． 分析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.|10－5 |3由距离公式，得k＝5，解得k ＝4.k 2＋1 故所求直线方程为 3 x －4＋25＝0.y综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．若直线l2经过A (2,1)，B (1，－m )(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是()A. 0， πB.π42，πC.π，π D. π， 3π 422 42π π1＋m2分析：选C由于直线l 的斜率k ＝tan α＝2－1＝m ＋1≥1，所以 4≤α＜2.故倾斜角α的取值范围是 π，π42.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l与连接A (1，－2)，B (2,1) 的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.分析：以以下图，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k ＞0时，α为锐角．－2－－又 k PA ＝ 1－0＝－1，k PB ＝1－－＝1，∴－1≤k ≤1.2－0π又当0≤k ≤1时，0≤α≤4；3π当－1≤k ＜0时，≤α＜π.4π 3π故倾斜角α的取值范围为α∈0，4 ∪ 4 ，π.π 3π 答案：[－1,1]0，4 ∪ 4 ，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1＋ 1的值．a b解：∵k0－22－2－2 ，且A ，B ，C 三点共线，∴k ＝k ，即＝a ＝－a ，k＝0－2＝－2ABACb bABAC2b －21 11 －＝－，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得 ＋＝.a －2 2a b2[牢记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈ 0，π 且由0增大到π α≠π时，k 的值由0增大到＋∞. 22 2π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由 π π当α∈ ，π2 α≠2增大到2π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于 0(≠0)．k2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角 α或α的某种三角函数值，一般依据 k ＝tan α求斜率．y 2－y 1(2) 公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般依据斜率公式k ＝x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．A(3) 方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－B .考点二直线的方程要点保分型考点——师生共研[典例引领]求合适以下条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3) 经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，1∴直线方程为y ＝4x ，即x －4y ＝0；x y若a ≠0，则设直线方程为a ＋a ＝1，4 1∵直线方程过点(4,1)，∴a ＋a ＝1， 解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为 x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.x2tan α3 ∵tan α＝3，∴tan2α＝2＝－.1－tan α4又直线经过点(－1，－3)，3所以所求直线方程为 y ＋3＝－ 4(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(3) 由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1) 在求直线方程时，应选择合适的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)关于点斜式、截距式方程使用时要注意分类谈论思想的运用(若采纳点斜式，应先考虑斜率不存在的状况；若采纳截距式，应判断截距能否为零)．[即时应用]求合适以下条件的直线方程：(1) 经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为 ________．(2)过点(2,1) 且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为 6的直线方程为________．分析：(1)由3＋ ＋1＝0，得此直线的斜率为－3，xy所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为 60°，所以所求直线的斜率为3.又直线过点A(－3，3)，所以所求直线方程为y－3＝3(x＋3)，即3x－y＋6＝0.x y(2)由题意可设直线方程为a＋b＝1，a＋b＝6，则21 解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.a＋b＝1，故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.答案：(1)3x－y＋6＝0(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0考点三直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常有的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程．解：(1)设直线l 的方程为y－1＝(x－2)，k1则可得A2－k，0，B(0,1－2k)．∵直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，2k－1∴k＞0，得k＜0.1－2k＞0，1 1 1222－k△AOB＝1 1 14＋2 －1－4k 24－－4k≥2 kk1＝4，当且仅当－k ＝－4k ，11即k ＝－2时，△AOB 的面积有最小值 4，此时直线l 的方程为y －1＝－2(x －2)，即x ＋2y －4＝0.1，0 ，B (0,1－2k )(k ＜0)，(2)∵A 2－ k1 1 1∴截距之和为2－k ＋1－2k ＝3－2k －k ≥3＋2 －2k －k ＝3＋2 2，当且仅12 当－2k ＝－k ，即k ＝－2时等号建立．故截距之和的最小值为3＋22，2此时直线l 的方程为y －1＝－2(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0.1，B (0,1－2k )(k ＜0)，(3)∵A 2－，0k1 21∴|PA |·|PB |＝k 2＋1·4＋4k ＝2－k ＋－k ≥4，1当且仅当－k ＝－k ，即k ＝－1时上式等号建立． 故|PA |·|PB |的最小值为 4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线 C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围π为0，4，则点P 横坐标的取值范围为()1B.[ －1，0A.－1，－2]1C ．[0,1]D.，12 分析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设 (0 ， 0)，Pxy则k ＝2x 0＋2.π由于曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0，4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋1 2≤1，故－1≤x 0≤－2.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax－2y＝2－4，2：2＋2 ＝2 2＋4，当0＜＜2时，直线l1，2与al xay a a l两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，务实数a的值．解：由题意知直线l1，l 2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l 2在2 1 1 2 2x轴上的截距为 a ＋2，所以四边形的面积S＝2×(2－a)×2＋2×(a＋2) ×2＝a－a＋4＝－1 215 1 1a 2 ＋4，当a＝2时，四边形的面积最小，故a＝2.[通法在握]办理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点( ，)，则| |·||的最大值是________．Px y PA PB分析：易求定点A(0,0) ，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，由于P为直线x＋my＝0 与mx－y－m＋3＝0 的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，|PA| 2＋| PB| 2所以|PA|·|PB|≤ 2 ＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号建立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：52．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l 在y轴上的截距为2k＋1，k≥0，解得k≥0，要使直线l不经过第四象限，则1＋2k≥0，故k的取值范围为[0，＋∞).(3)依题意，直线 l 在x 轴上的截距为－ 1＋2k ，在y 轴上的截距为 1＋2k ，k1＋2k∴ A －，0，B (0,1＋2k )．k又－1＋2k＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.k故＝1＝ 1 ×1＋2k × (1 ＋ 2k ) ＝ 14k ＋ 1 ＋4 ≥ 1 ＋ 4)＝， S2|OA ||OB |2k2k2(4411当且仅当4k ＝k ，即k ＝2时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为 ()A.0，πB. 3π ，π4 4πππ π 3πC.0，4∪2，πD.4，2∪4，π分析：选B由直线方程可知斜率k ＝－ 21，设倾斜角为 α，则tanα＝－21，a ＋1a ＋113π而－1≤－a 2＋1＜0，∴－1≤tanα＜0，又∵α∈[0，π)，∴4≤α＜π，应选B.2．直线x sinα＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A ．[0，π)B. 0， π 3π 4∪4，π ππ π C.0，4D.0，4∪2，π分析：选B设直线的倾斜角为 θ，则有tan θ＝－sin α，此中sin α∈[－1,1]．又π 3π≤θ＜π.θ∈[0，π)，所以0≤θ≤4或43．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点 坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )11 A.3B ．－3 3D. 2C ．－32分析：选B依题意，设点 ( 1)，Q(7，)，Pa, ba ＋7＝2，则有解得a ＝－5，b ＝－3，b ＋1＝－2，－ 3－11从而可得直线l 的斜率为7＋5＝－3.4.如图中的直线l ，l ，l 3的斜率分别为k ，k ，k ，则()12123A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2分析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均 为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，所以k 1＜k 3＜k 2，应选D.5．(2018·豫西五校联考 )曲线y ＝x 3－x ＋5 上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．分析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，由于y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，π3πθ的取值范围为0，2 ∪ 4，π.π 3π答案：0，2∪ 4，π二保高考，全练题型做到高考达标1．已知(－1,1)，(3,1) ，(1,3)，则△的 边上的高所在直线方程为( )ABCABC BCA ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0分析：选B 由于(3,1) ，(1,3) ，BC3－1所以k BC ＝＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知直线l的斜率为3，在 y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为()A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝13x ＋2D ．y ＝－3x ＋2A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为 1 分析：选 2， ∴直线l 在y 轴上的截距为 2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，应选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1： ax ＋ ＋＝0和直线l 2：y bbx ＋y ＋a ＝0 的图象可能是()分析：选B当＞0，＞0时，－a ＜0，－＜0，选项B 吻合．a b b4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是()A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)分析：选C令 x ＝0，得 y b＝0，得x＝－，所以所求三角形面积为1b ＝，令|－2 yb2 212122b |＝4b ，且b ≠0，由于4b ≤1，所以b≤4，所以 b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数 y ＝ 1－x (a ＞0， ≠1)的图象恒过定点 ，若点 A 在 ＋ ny －1＝0(＞0)上，aaA mx mn1 1则＋的最小值为()mnA ．2B ．4C ．8D ．1分析：选B ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把(1,1)代入直线方程得＋＝1( ＞0)．Amnmn1 1 ＝ 1 1 ∴＋ ＋mnmnn m nm1 (m ＋n )＝2＋＋≥2＋2 ·＝4(当且仅当m ＝n ＝时取等号)，m nm n21 1的最小值为4.∴＋mn6．(2018·温州调研)已知三角形的三个极点为 A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．分析：∵BC 的中点坐标为3 1 y －0x ＋5，－，∴BC 边上中线所在直线方程为＝，即 22－1－03＋522x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝07．若直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为________________．ax y ＋3 －1＝0，可得( x＋3)＋( y －1)＝0，令x＋3＝0，分析：由＋可得y－1＝0，x＝－3，∴M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对y＝1，称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则|－6＋3－6| |－6＋3＋c|，解得c＝12或c 4＋9＝4＋9＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.答案：2x＋3y＋12＝08．若圆 2 ＋ 2 ＋1＝0关于直线－＋3＝0( ＞0，＞0)对称，则1 3x y ＋2－6 y ax ＋的最x by ab a b 小值是________．分析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)．1 3 1 1 3∴a＋b＝3(a＋3b)a＋b1 3a3b 1 3a3b 16＝31＋b＋a＋9≥310＋2 b ·a ＝3，3b3a当且仅当a＝b，即a＝b时取等号．1 3 16故a＋b的最小值是3.16答案：39．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足以下条件的直线l的方程：(1) 过定点(－3,4) ；A1(2) 斜率为6.4 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4) 4 k ＋3＝±6，解得2 k 1＝－3或8k 2＝－3.故直线 l的方程为 2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.1(2) 设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝6x ＋b ，它在x 轴上的截距是 － 6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10. 如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点 P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落1 在直线y ＝2x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得 k ＝tan45 °＝1，OAk ＝tan(180°－30°)＝－3 ，OB33所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－3x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C m －3n ，m ＋n，22 1由点C 在直线y ＝x 上，且A ，P ，B 三点共线得2m ＋n 1m －3n＝·，222 m －0n －0m －1＝－3n －1，解得m ＝ 3，所以A (3，3)．又P (1,0)3＝3＋3 ，所以k AB ＝k AP ＝2 ，3－1所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－ 3＝0.三登台阶，自主选做志在冲刺名校11．已知曲线y ＝e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的 面积为________．分析：y ′＝－e x－1 ，x＝＋21xe ＋e x ＋2xx1x1 x1x由于e ＞0，所以e ＋e x ≥2 e ·e x ＝2(当且仅当 e ＝e x ，即x ＝0时取等号)，所以e1＋ e x ＋2≥4，－11故y ′＝ x1≥－4(当且仅当x ＝0时取等号)．e ＋e x ＋2所以当x ＝0时，曲线的切线斜率获得最小值，此时切点的坐标为0， 1，切线的方程2 为 y － 1 ＝－ 1 ( x －0)，即 x ＋4－2＝0.该切线在x 轴上的截距为 2，在y 轴上的截距为 1 ， 2 4 y211 1所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝2×2×2＝2.1答案：22.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ， B 两点，以以下图，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，x y则直线l 的方程为a ＋b ＝1.3 2由于l 过点P (3,2)，所以a ＋b ＝1.326由于 1＝a ＋b ≥2ab ，整理得 ab ≥24，1所以S △ABO ＝2ab ≥12，32当且仅当a ＝b ，即a ＝6，b ＝4时取等号．xy此时直线l 的方程是6＋4＝1，即2x ＋3y －12＝0. 法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，2则A3－k，0，B(0,2－3k)，1 3－2S kk2112＋－9k 4＝2 ＋－k112＋2 －9k 4≥2 －k1＝×(12＋12)＝12，242当且仅当－9k＝－k，即k＝－3时，等号建立．所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程习题课件文
解 (1)证明：直线 l 的方程可化为 k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令x1＋－2y＝ ＝00， ， 解得xy＝ ＝－ 1. 2， ∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当 k≠0 时，直线在 x 轴上的截距为－ 1＋k2k，在 y 轴上的截距为 1＋2k，要使直线不经过第四象限， 则必须有－1＋k2k≤－2， 解得 k＞0；当 k＝0 时，直线为
1＋2k≥1， y＝1，符合题意，故 k 的取值范围为[0，＋∞)．
第二十九页，共31页。
(3)由题意可知 k≠0，再由 l 的方程， 得 A－1＋k2k，0，B(0,1＋2k)． 依题意得－1＋k2k＜0， 解得 k＞0.
1＋2k＞0，
第三十页，共31页。
∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋k2k·|1＋2k| ＝12·1＋k2k2＝124k＋1k＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是 k＞0 且 4k＝1k，即 k＝12， ∴Smin＝4，此时直线 l 的方程为 x－2y＋4＝0.
第七页，共31页。
6．(2017·浙江诸暨质检)直线 Ax＋By－1＝0 在 y 轴上的 截距是－1，而且它的倾斜角是直线 3x－y＝3 3的倾斜角 的 2 倍，则( )
A．A＝ 3，B＝1 B．A＝－ 3，B＝－1 C．A＝ 3，B＝－1 D．A＝－ 3，B＝1
第八页，共31页。
解析 将直线 Ax＋By－1＝0 化成斜截式 y＝－ABx＋B1. ∵B1＝－1，∴B＝－1.又直线 3x－y＝3 3的倾斜角 α＝3π， ∴直线 Ax＋By－1＝0 的倾斜角为 2α＝23π，∴斜率－AB＝ tan23π＝－ 3，∴A＝－ 3，故选 B.
而 m－02＋n－02表示 4m＋3n－10＝0 上的点(m， n)到原点的距离，如图．
2018年秋高考数学一轮总复习课件：第八章 平面解析几何 8.1
0°
(2)倾斜角的取值范围为______________. 0°≤α <180°
2.直线的斜率
条件
直线的倾斜角θ ,且 θ ≠90° 直线过点A(x1,y1),B(x2,y2) 且x1≠x2
公式
k=______ tanθ
y1 y2 k=________ x1 x 2
3.直线方程的五种形式 名 已知条件 称 点 斜率k与点 斜 (x1,y1) 式 斜 斜率k与直线在 截 y轴上的截距b 式
方
程
适用范围 不含直线x=x1 不含垂直于x 轴的直线
____________ y-y1=k(x-x1)
_______ y=kx+b
名 称
已知条件
方
程
适用范围
两 两点(x1,y1), 点 (x2,y2) 式 截 直线在x轴、y 距 轴上的截距分 式 别为a,b
y y1 x x1 ___________
一般式
__________ Ax+By+C=0 __________ (A2+B2≠0)
【教材拓展微思考】 1.直线都有倾斜角,但是不是都有斜率?倾斜角越大,斜
率k就越大吗?
提示:不是.倾斜角α ∈[0,π ),当α = 时,斜率k不 2 存在;因为k=tanα .当α ∈ 时,α 越大,斜率k (0, ) ( ) 2 α ∈(0,π ) 2 就越大,同样α ∈ 时也是如此 ,但当 ( , ) 且α ≠ 时就不是了 2 . 2
第八章 第一节
平面解析几何
直线的斜率与直线方程
【教材知识精梳理】 1.直线的倾斜角 (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的 直线l,把x轴(正方向)按_______方向绕着交点旋转到和 逆时针 直线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴 平行或重合时,规定它的倾斜角为____.
2018年高考数学浙江专用一轮复习练习：第8章 平面解析
[2017高考导航]3．会利用抛物线方程解决简单的实际问题．曲线与方程 1.了解曲线的方程、方程的曲线等概念，了解曲线方程的完备性与纯粹性． 2．掌握求曲线方程的基本方法，掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法.直线与圆锥曲线的位置关系 1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系，能用判别式法研究直线与圆锥曲线之间的位置关系．2．掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的简单问题的基本解法，掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法.第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程,[学生用书P163])1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． (2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程名称 几何条件 方 程 局限性点 斜 式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜 截 式 斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点 式 过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不包括垂直于坐标轴的直线截距 式 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0) x a ＋y b ＝1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)1．辨明四个易误点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．(4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB.2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论． (2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．1．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A.y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0.2．经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B.tan 3π4＝2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1，y ＝－3.3．如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－CB＞0，故选C.4．(必修2 P95练习T3(1)改编)过点(0，5)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为________．答案：y 5－x3＝15．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________．解析：直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，则直线l ：y ＝23x .答案：y ＝23x考点一 直线的倾斜角与斜率[学生用书P164](1)(2016·杭州质检)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)(2016·南通调研)过原点引直线l ，使l 与连接A (1，1)和B (1，－1)两点间的线段相交，则直线l 斜率的范围为________，倾斜角的范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)如图所示，直线l 的斜率k ∈[－1，1]．倾斜角α∈[0°，45°]∪[135°，180°)．[答案] (1)B (2)[－1，1] [0°，45°]∪[135°，180°)(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围．②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 求倾斜角时要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.1.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1；当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1考点二 求直线的方程(高频考点)[学生用书P164]直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目． 高考中对直线方程的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程，求直线的倾斜角、斜率；(见考点一) (3)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．(2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0[解析] 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0. [答案] D与直线方程有关问题的解题策略(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．2.根据下列条件，分别写出直线的方程：(1)经过点A (－3，2)，B (－3，5)；(2)斜率为32，在x 轴上的截距为－7；(3)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°所得的直线方程；(4)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．解：(1)显然A 、B 的横坐标相同，故直线AB 与y 轴平行，其方程为x ＝－3. (2)由题意，直线过点(－7，0)．代入直线的点斜式方程得y ＝32(x ＋7)，即3x －2y ＋73＝0.(3)由题意，得M (2，0)，设直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线的斜率为k ，则k －21＋2k＝1，解得k ＝－3，则所求直线方程为y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. (4)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.考点三 直线方程的综合问题[学生用书P165](2016·绍兴模拟)直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程． [解] 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫1－4k ，0； 令x ＝0，可得B (0，4－k )．|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝⎛⎭⎫k ＋4k ＝5＋⎝⎛⎭⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9.所以当且仅当－k ＝4－k且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.在本例条件下，若|P A |·|PB |最小，求l 的方程．解：|P A |·|PB |＝ ⎝⎛⎭⎫4k 2＋16·1＋k 2 ＝－4k (1＋k 2)＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)．所以当且仅当1－k＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.直线方程的应用问题常见的类型及解法(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x 、y 的关系，将问题转化成关于x 的某函数，借助函数性质来解决．(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决．3.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )．依题意得错误!解得k ＞0.因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.,[学生用书P166])方法思想——分类讨论思想在求直线方程中的应用(2016·常州模拟)过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________．[解析] (1)当截距不为0时，设所求直线方程为 x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. 因为点P (－2，3)在直线l 上， 所以－2＋3－a ＝0，所以a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0. (2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. [答案] x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解． (2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．(3)求直线方程时，还要断定直线是否具有斜率，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．1.若直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析：选D.若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.2．过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0.答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝01．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析：选B.直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0 D.3x ＋y ＋3＝0 解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 3．(2016·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－13C ．－32 D.23解析：选B.依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0≤α＜πB ．0≤α≤π4或π2＜α＜πC ．0≤α≤π4 D.π4≤α＜π2或π2＜α＜π解析：选B.直线l 的斜率为k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4.故选B.5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )解析：选C.因为x ＜0时，a x＞1，所以0＜a ＜1.则直线y ＝ax ＋1a 的斜率0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1.故选C.6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2，0)∪(0，2] D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：3x ＋4y ＋15＝0 8．(2016·嘉兴质检)若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：49．(2016·沈阳质量监测)若直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线经过点(1，2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b，因为b a ＋2a b ≥2b a ×2ab＝22⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋2 2. 答案：3＋2 210．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a＝12时，面积最小． 答案：1211．(2016·台州高三质检)已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得交点P (1，2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.12．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m.由题意得－1m＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.1．(2016·成都模拟)已知函数f (x )＝a sin x －b ·cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π4解析：选D.由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为ab ＝－1，故其倾斜角为3π4.2．已知两点P (a ，3)，Q (－1，2)，且实数a ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，则直线PQ 的倾斜角α的范围为________．解析：当a ＝－1时，直线PQ 的方程为x ＝－1，此时直线PQ 的倾斜角α＝π2.当a ≠－1时，由题意，得直线PQ 的斜率为k ＝tan α＝1a ＋1.又a ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，所以k ∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，所以α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.故直线PQ 的倾斜角α的范围为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.答案：⎣⎡⎦⎤π6，23π3．(2016·宁波调研)求曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围． 解：记曲线上点P 处的切线的倾斜角是θ， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，所以当θ为钝角时，应有θ∈⎣⎡⎭⎫3π4，π；当θ为锐角时， tan θ≥－1显然成立．综上，θ的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.4．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a ＞－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.(2)由直线方程可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0，2＋a )，因为a ＞－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[（a ＋1）＋1]2a ＋1＝12⎣⎡⎦⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（a ＋1）·1a ＋1＋2＝2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程课件
x y 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 ＋ ＝ 1 a b ________ 2 一般式 ______________ _________ 平面内所有直线都适用 Ax＋By＋C＝0 ， A ＋B2≠0
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) ) )
∴直线 l1 与 l2 交于点 A(2,2)(如图)． 易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a，6 分
12 1 1 2 2 则 S 四边形 OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝2×2(a ＋2)＋2×2(2－a)＝a －a＋4＝a－2
15 ＋ 4 ，a∈(0,2)，12 分 1 ∴当 a＝2时，四边形 OBAC 的面积最小.14 分
1 tan α＝cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以直线 l 综上，α
π π π 3π 的倾斜角的取值范围是4，2∪2， 4 .
－3－2 (2)因为 P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则 kPA＝ ＝－5， －2－－3 0－2 1 kPB＝ ＝－3. 3－－3 如图所示，当直线 l 与线段 AB 相交时，直线 l
的倾斜角为 0.
[0，π) ． (2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是_______
2．斜率公式
tan α (1)直线 l 的倾斜角为 α≠90° ，则斜率 k＝_______.
y2－y1 x2－x1 (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝________.
1 1 x y 设直线 l 的方程为a＋b＝1，则a＋b＝1，
近年高考数学复习 第8章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时分层训练(202
（浙江专版）2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时分层训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时分层训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时分层训练的全部内容。
课时分层训练（四十三）直线的倾斜角与斜率、直线的方程A组基础达标(建议用时:30分钟）一、选择题1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0D[直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0。
] 2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α,且sin α＋cos α＝0，则a，b满足（）A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝0D[由sin α＋cos α＝0，得错误!＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－ab，所以－错误!＝－1，则a＝b.]3．若方程（2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是（）【导学号:51062259】A．m≠－错误!B．m≠0C．m≠0且m≠1D．m≠1D[由错误!解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．］4．在等腰三角形AOB中,OA＝AB,点O（0,0），A（1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3（x－3) B．y－1＝－3(x－3）C．y－3＝3(x－1）D．y－3＝－3（x－1)D[设点B的坐标为(a,0）(a＞0），由OA＝AB，得12＋32＝（1－a)2＋（3－0)2，则a＝2，∴点B（2,0),易得k AB＝－3，由两点式，得AB的方程为y－3＝－3（x－1)．]5．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是（)A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2A[∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为错误!π.依题意，所求直线的倾斜角为错误!－错误!＝错误!，斜率不存在，∴过点(2，1)的所求直线方程为x＝2.]二、填空题6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1,－1)，则l 的斜率是________。