解决分数问题的利器--一图八式
初中数学 分式运算技巧点点通-
分式运算技巧点点通江苏 何春华分式运算是令同学们比较头痛的一种运算，因此如何巧妙地进行分式运算便成了同学们最关心的事情，下面归纳了几种常见的运算技巧，希望对同学们的学习有所帮助．一、巧用乘法公式例1 计算2211a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 分析：本题符合平方差公式（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2的特征，可应用平方差公式进行计算． 解：原式1111a a a a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-+ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭ 242a a a b a b==++． 二、巧用分解因式例2 计算2222222222x xy y x xy y x y xy x y xy -+++--+． 分析：本题每个分式的分子、分母都是多项式，故可先因式分解，约去公因式，然后进行计算．解：原式22()()()()x y x y xy x y xy x y -+=--+ x y x y xy xy-+=- 22y xy x -==-． 三、巧用乘法分配律例3 化简1122x y x y x x y x +⎛⎫---- ⎪+⎝⎭．分析：本题按分配律先把1x y+与括号里的项相乘，则会使计算简便． 解：原式111()22x y x y x x y x x y+=-++++ 11122x x =-+ =1．四、巧设k 值例4 已知234x y z ==，求2222323x y z xy yz xz -+++的值． 分析：本题与比例有关，可以通过设中间量来达到化简求值的目的．解：设234x y z k ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ． 所以原式222(2)2(3)3(4)(2)(3)2(3)(4)3(2)(4)k k k k k k k k k -+=++ 223454k k= 1727=． 五、巧用整体思想 例5 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b +---的值． 分析：将已知条件变形可得a -b =-3ab ，然后代入原式即可．解：∵113a b-=，∴3a b ab -=-． 代入2322a ab b a ab b +---，得 原式2()3()2a b ab a b ab-+=-- 6332ab ab ab ab-+=--35=． 总之，在进行分式的运算时，我们需要根据题目的具体情况，找出分式的特点，采用巧妙灵活的方法进行求解，最后达到事半功倍的效果．牛刀小试：1．化简2211()a b a b a b ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭． 2．已知2231x x x =-+，求2421x x x -+的值． 3．已知1b c c a a b a b c+++===，求()()()abc a b b c c a +++的值． 参考答案：1．-2b ； 2437．（提示：可将231x x x -+变形为1213x x=-+，得172x x +=，进而求解）；3．1．。
小学六年级数学解决问题中“图解辅助法”的应用方法
小学六年级数学解决问题中“图解辅助法”的应用方法作者：颜远来源：《学习与科普》2019年第12期摘要：解决问题是学习的关键，是探究新知识路上的利器。
所以，文章以小学六年级数学教学为例，对“图解辅助法”在解决问题中应用的内容展开了细致的剖析与探究。
关键词：小学六年级；数学解决问题；图解法；应用分析在深入推动了教育教学改革后，我们对小学数学教学也有了全新的认识，即学生思维能力的培养，以及解题技巧的锻炼。
所以，为了迎合这种教学和培养方式，自然需要相应教学方法的引入，其中，图解辅助法就是一个很好的选择。
一、研究背景在平时的小学数学授课中，我们灵活的通过“图解辅助法”施教，将思维导图为学生直观呈现出来，分析所学知识，将各个数理间的关系捋顺清楚，将其融合起来，逐层推进，从而将一个问题解决的系统构建起来。
通过“图解辅助法”并与老师讲授结合，可以将学生的听觉、视觉调动起来，在学生头脑中形象、鲜明的刻印重难点知识。
在小学六年级数学教学中应用“图解辅助法”看似比较容易，但是它可以逐层剖析，找出核心点，为学生更好的学习奠定基础。
二、授课探究1、利用图解辅助法解决具体问题“解决问题”是小学六年数学中的一个重要内容，学好这些知识内容，对提升学生数学思维能力、知识水平都将发挥重要作用。
然而，在解决问题中，尤其是解题技巧方面，学生容易暴露问题和缺陷，例如，没有认真、细致的审查题干，甚至题意模糊的情况大有存在，所以，他们就很难找到解题的切入点，进而会渐渐加剧学习压力。
在辅助学生解决问题时，“图解辅助法”展现出了巨大的应用价值，这种方法在应用中，学生需要先弄清题干所讲，然后将相应的图例绘制出来，通过纸上绘制简图，让学生明确题目中已知条件和未知条件的关联性，使得题干的意思更好的被学生所了解，而且，还能够将问题的突破口找出来，这样学生的思维将会被打开，方便了学生解决问题。
比如，在学习“圆”的知识内容中，图解辅助法就可以派上场，把学生思维打开，引导他们在图例中寻找圆的信息，让他们快速搜集和认识问题。
判断分数应用题中单位“1”的专项练习之欧阳家百创编
判断分数应用题中单位“1”的专项练习欧阳家百（2021.03.07）【基本原则】一、基本思路：分数的意义，“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫分数”。
所以单位1的判定，就是看把谁平均分了，就把谁看作单位1.谁的几分之几，谁就把谁看作单位1。
.如一桶油用去14，男生占全班的25，桃树棵数相当于梨树棵树的34，一台电视机降价15。
男生比女生多全班的18.把全班人数看作单位1。
.在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。
例如：六（2）班男生比女生多12。
理解为男生比女生多女生的12，所以把女生人数为标准，看作单位“1”，看在谁的基础上增加或减少，那个基础量就是单位“1”例如，水结成冰后体积增加了110，把水看作单位“1”，冰融化成水后，体积减少了112。
把冰看作单位“1”二、单位“1”的应用题：单位1的量×分率=分率对应量；分率对应量÷分率=单位1的量三、说明单位“1”在“是”、“比”、“占”，“相当于”后，分率前。
已知单位“1”用乘法，未知单位“1”用除法，用具体数÷对应分率=单位“1”的量。
【详细说明】正确找准单位“1”，是解答分数（百分数）应用题的关键。
每一道分数应用题中总是有关键句（含有分率的句子）。
如何从关键句中找准单位“1”，我觉得可以从以下这些方面进行考虑。
一、部分数和总数在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例如我国人口约占世界人口的1/5，世界人口是总数，我国人口是部分数，所以，世界人口就是单位“1”。
再如，食堂买来100千克白菜，吃了2/5，吃了多少千克？在这里，食堂一共买来的白菜是总数，吃掉的是部分数，所以100千克白菜就是单位“1”。
解答这类分数应用题，只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
二、两种数量比较分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。
趣味数阵小学五年级奥数
例二,请你将一～七这七个数分别填在○ 内,使每条线段上的三个数的和相等,
答案：
解答： 设中心数为a,中心数在求和过程 中使用了三次,
每条边上的三数之和为k, 三k=[一＋二＋三＋四＋五＋六＋七]
＋二a =二八＋二a
k=[二八＋二a]÷三 经实验：当a=一时,k=三0÷三=一0;
例七,把一～八这九个数分别填在三 角形三条边的八个○内,使每条边上四 个○内的数的和相等,[求出两个基本解]
答案：
解答：设顶点上的数分别为a,b,c,每条边上四个数的和 为k,
三k=[一＋二＋三＋四＋五＋六＋七＋八＋八]＋[a ＋b＋c]
=四五＋a＋b＋c k=[四五＋a＋b＋c]÷三 当a=一,b=二,c=三时,k=五一÷三=一七[最小值] 当a=七,b=八,c=八时,k=六八÷三=二三[最大值] 因此,k的值是一七、一八、一八、二0、二一、二二 、二三, [一]当k=一八时,a＋b＋c=一二,a=二,b=三,c=七, [二]当k=二一时,a＋b＋c=一八,a=三,b=七,c=八,
答案：
解答：设顶点上的数分别为a,b,c,d,每条边上三个 数的和为k,
四k=[一＋二＋三＋四＋五＋六＋七＋八]＋[a ＋b＋c＋d]
=三六＋a＋b＋c＋d k=[三六＋a＋b＋c＋d]÷四 当a=一,b=二,c=三,d=四时,k=四六÷四=一 一.五,k为整数,最小值为一二, 当a=五,b=六,c=七,d=八时,k=六二÷四=一 五.五,k最大值为一五, 因此,k的值是一二、一三、一四、一五,
三k=[一＋二＋三＋四＋五＋六]＋[a＋b＋ c]
=二一＋a＋b＋c k=[二一＋a＋b＋c]÷三 当a=一,b=二,c=三时,k=二七÷三=八[最小 值] 当a=四,b=五,c=六时,k=三六÷三=一二[最 大值]
中考专题复习：几种化学计算题型的突破--课件
三.统计图型试题的突破
热点题型精讲
数学统计图应用于化学知识的学习和考查，能 直观明了地显示各种数据的大小及其相对关系，近 几年中考试题中，运用统计图来考查化学基础知识 的题目屡见不鲜。
类型一 ：用扇形图考查物质（或元素）含量的相关知识
例6：下列图示的各物质（或元素）相对含量错误的是－－－－－（ A ）
例1：某学习小组欲测定石灰石中碳酸钙的质量分数，采用的方法如下： 取该石灰石样品16g，把80g稀盐酸分四次加入，实验过程所得数据如下表 （已知石灰石样品中含有的二氧化硅等杂物不溶于水，不与稀盐酸反应）。
实验次数 加入稀盐酸的质量/g 剩余固体的质量/g
1
20 光
11 余
2
20 光
6余
3
20
余
2.8 光
【答案】D
例9：在一密闭容器内加入甲、乙、 丙、丁四种物质，在一定条件下发生 化学反应，反应前后各物质的质量变 化如右图。下列说法中正确的是( C ) A. 该反应为化合反应 B. 丙一定为该反应的催化剂 C. 参加反应的乙、丁质量比为3∶2 D. 丁相对分子质量是甲的2倍
3
甲增加2g，乙减小6g,丁增加4g 实际反应为：乙 → 甲+ 丁
样品中碳酸钙的质量分数为（13.2g/16g)*100%=82.5%
3.由实验1、2可知，当20g稀盐酸反应光时，消耗碳酸钙的质量 为5g。 设稀盐酸中溶质的质量分数为x
CaCO3＋2HCl===CaCl2＋H2O＋CO2↑ 100 73
5g 20g*x 列式（略） 解得x=18.25% 答：略
类型二：实验分几次完成，每次加入的固体或溶液质量不等。
中考化学专题复习
几种化学计算题型的突破
数学解题利器之方块图
数学解题利器之方块图数学讲究的是严谨的逻辑思维，但形象思维能帮助孩子更容易理解数学定理和找到解题思路。
在小学数学中，在使用未知数和方程之前，线段图和方块图是一把解题利刃。
如果是涉及到加/减或者简单的倍数关系时，线段图能很好的帮助孩子理解题目，从而找到解题思路。
如果涉及到了乘/除，则使用方块图可以表达出题目的内容涉及到乘法的典型题目有:（1）被除数、除数、商的问题（2）行程问题（3）物品的单价、数量和总价问题下面以三个例题来演示方块图的解题方法（一）有个小马虎在计算一道除法算式时，把除数25看成了28，从而导致商比原来正确结果少了3，但是余数没有变化仍然是13，请问小马虎道题的被除数和商各是多少？被除数除÷除数=商……余数 => 被除数-余数=除数×商，除法是乘法的反运算，所以经过转换，就有了乘法，这个问题可以用方块图来帮助我们解题。
方块图的两边分别用来表示除数和商，面积则用来表示他们的积25 （ D A’B’如上图所示AD 表示原来的除数25，B ’C 表示看错后的除数28，所以A ’E=28-25=3CD 表示正确的商，CD ’表示除数看错后的商。
（1）由于看错后商比原来结果少了3，所以DD ’=3。
由于余数13不变，被除数不变，所以除数看错（变大）后导致商产生了变化（变小），在此题中，（被除数-13）=长方形ABCD 的面积=长方形A ‘B ’CD ‘的面积，长方形ABCD 和长方形A ‘B ’CD ‘有公共的区域EBCD ’，所以 长方形AEDD ’的面积=长方形A ’B ’BE ，从而25×3=3×CD ’=>CD’=25, 所以CD=CD ’+3=28，所以原来的商是28，原来的被除数是：25×28+13 = 25×4×7+13 = 100×7+13 = 713（二）甲乙两机器人同时、同地出发去同一目的地，甲的速度为28千米/时，乙的速度为25千米/时，途中甲机器人故障停了4小时，结果甲比乙迟到1小时到达目的地。
西师大版-数学-三年级上册-【高效课堂】1.认识分数 综合能力训练
1.认识分数综合能力训练【能力点一】用画辅助线法解决分数意义问题例1仔细观察图形，说出图中的阴影部分占长方形的几分之一?分析要想知道阴影部分占长方形的几分之一，可以在原图上添加几条辅助线(如下图)，从图中可以看出把长方形平均分成了8份，阴影部分占其中的一份。
解答阴影部分占长方形的18。
总结可以先用添加辅助线的方法帮助理解，再看看阴影部分相当于把这个图形平均分成多少份当中的一份(或几份)。
【能力点二】用画直观图法解决表示分数问题例2仔细观察下图，想一想图中涂色部分可以用哪几个分数来表示?分析用分数表示涂色部分，也就是把这些图形看作一个整体，平均分成多少份，分母就是几，而涂色部分是其中的几份，分子就是几。
上图中共有16个○，可以每一个○都单独划分为1份，平均分成16份，其中涂色的占4份，用分数416表示(如图1)；也可以每2个O划分为1份，平均分成8份，其中涂色的占2份，用分数28表示(如图2)；还可以每4个○划分为1份，平均分成4份，其中涂色的占土份，用分数14表示(如图3)。
解答可以用416表示，或者用28表示，还可以用14表示。
总结分数最重要的就是平均分，平均分成多少份，分母就是多少；取其中的几份，分子就是几。
图1 图2 图31．（探究题）阴影部分分别占大正方形的几分之一。
2．（创新题）你能用三个不同的分数表示下面图形中的阴影部分吗？3．（潜能开发题）你能用分数表示下面各题的阴影部分吗?1．分析：要想知道阴影部分分别占大正方形的几分之一，图①很容易能看出来。
图②、③、④可以在原图上添加几条辅助线，从图中可以看出把正方形分别平均分成了4份、8份、16份，阴影部分占其中一份。
解答：图①阴影部分占大正方形的12，图②阴影部分占大正方形的14，图③阴影部分占大正方形的18，图④阴影部分占大正方形的116。
2．分析：用分数表示阴影部分，就是把这些图形看作一个整体，平均分成多少份，分母就是几；而阴影部分是其中的几份，分子就是几。
应用题中利用画图的策略，发展学生的数学思维
应用题中利用画图的策略，发展学生的数学思维作者：倪建毅来源：《天津教育·中》2022年第01期在小学数学应用题学习中，画图策略是一项学生必须重视并加以掌握的技巧。
一方面，小学生的想象力丰富、逻辑能力不足，利用画图可以将抽象的问题具体化、直观化，达到“四两拨千斤”的效果，帮助小学生真正解决较为困难的应用题;另一方面，数学本身就是一门与图形、图形密不可分的学科，在应用题中这一特点更是体现得淋漓尽致，很多应用题需要学生去画线段图、平面图、立体图、集合图、统计图，然后据此分析题目、理解数量关系、解决实际问题。
为了进一步发挥画图策略在应用题教学中的价值，教师应该从将知识化静为动、将知识化繁为简、实现数形结合、增强学生画图兴趣四个维度出发，让学生掌握画图这种策略，直观、正确地解决问题。
一、利用画图策略，将知识化静为动小学时期的学生正是汲取数学基础知识的起步阶段，他们善于观察，直观思维占据主要的地位。
小学阶段，随着数学学习的深入，越来越多的应用题会以纯文字形式呈现，这些问题在语言表述上言简意赅、逻辑性强，以至于直观思维占据主要地位的小学生经常读不懂题意，进而走进误区，即便最后解决了应用题，也走了很多弯路。
因而，在数学实际问题的教学时，教师要基于学生的形象直观思维特点建构数学理解活动的过程，促进学生的数学直观思维向抽象理性思维发展。
俗话说：“授人以鱼，不如授之以渔。
”教师不能只教学生如何解题，还要交给其解题的方法，这就需要引导学生在草稿纸上进行画图，利用示意图等形式将抽象的问题具象化，在画图中体会方法、学习逻辑，从而还原应用题的本来面目，让学生更容易地解读题目，把握其中的重点和难点。
例如，在教学“比……多（或少）”的数学实际问题时，有的学生往往会形成习惯性思维——“遇到了多就加，遇到了少就减。
”但是二者之间也是存在转化关系的。
例如，在教授“小灰兔有10只，小灰兔的只数比小白兔的只数少5只，那么小白兔有多少只呢？”首先，教师让学生对题目进行两遍阅读，而后找出已知条件：①小灰兔的只数是10只;②比小白兔少5只，问题：小白兔有多少只。
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一图八式（4）
7.甲比乙多（）分之（）？ 分析：我要认真的解说了。这里把乙看作单 位“1”，这题的意思是说甲比乙多乙的几 分之几，可以先要算甲比乙多几份，再除 以单位“1”乙，得出的就是这题的结果。 列式：（5-3）÷3=2÷3=2/3。 或者先算出甲是乙的几分之几，再减去单位 “1”。列式：5÷3-1=5/3-1=2/3。
慈祥的老人→
一图八式（2）
3.甲：乙=（5）：（3） 4.乙：甲=（3）：（5） 分析：这两题很简单，学过比的人都知道怎 么做，所以在此我就不废话了，套一下公 式：甲：乙=甲÷乙=甲/乙，但大家应该注 意的是：结果一定要写成最简整数比哦~。
一图八式（3）
5.甲：（甲+乙）=（5）：（8） 6.乙：（甲+乙）=（3）：（8） 分析：这两题和上两题差不多，区别在于这 里把甲与乙的和看做单位“1”。大家都知 道要怎么做了。此类型主要用于完成按比 例分配一类题。
一图八式的应用
★找出下列各题中的单位“1”。 • ①男生人数占女生人数60%。 • • ②男生人数比女生人数多20%。 • • ③女生人数比男生人数少25%。 • • ④加工一批零件，已完成了80%。 • • ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了80%。
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一图八式（4）
8.乙比甲少（）分之（）？ 分析：这里单位“1”是甲，可以先算 出乙比甲少几份，再除以单位“1”甲， 即：（甲-乙）÷甲=结果。列式： （5-3）÷5=2/5。 或者先算出乙是甲的几分之几，再用 单位“1”去减。列式： 1-3÷5=1-3/5=2/5。 肥肥的阿笠博士↑
一图八式的应用
●甲4/5等于乙的3/7，甲是乙的几分之几？
●五（2）班有学生54人，男生人数的75%和女 生人数的80%都参加了课外兴趣小组，而未参加 课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班 男、女生各有多少人？
●甲、乙两班共有96人，选出甲班人数的1/4和 乙班人数的1/5，组成22人的数学兴趣小组，问甲、 乙两班原来各有多少人？
一图八式
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一图八式（1）
1.甲是乙的几分之几？ 答：∵乙是单位“1”，∴甲是乙的几分之几 就是甲÷乙。列式：5÷3=5/3 2.乙是甲的几分之几？ 答：这里甲是单位“1”，∵甲是单位“1”， ∴乙是甲的几分之几就是乙÷甲。列式： 3÷5=3/5
一图八式的应用
★根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶20公顷，实际种茶25公 顷，________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？
一图八式的应用
★根据算式填条件 果园里有苹果树200棵，―――――― ， 梨树有多少棵？ ①200÷20%―――――――――――― ②200×20%――――――――――― ③200÷（1+20%）――――――――― ④200÷（1-20%）――――――――― ⑤200×（1-20%）――――――――― ⑥200×（1+20%）――――――――
加油！加油！加油！加油！加油！
• 兴奋的蓝波→
←进击的超大型巨人
• 谢谢欣赏！ • •
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——XX
一图八式的应用
★根据所给信息，说出数量间的相等关系 ①一条路，已修了全长的60% ②一种彩电，现价比原价降低10% ③松树的棵数比柏树多1/3
一图八式的应用
★列式计算： （1）一个数的75%比30的25%多1.5，求这个 数。
（2）一个数的25%比它的75%少30，求这个数。
一图八式的应用
★对比练习 （1）某工厂六月份用煤60吨，六月份比五月 份少用煤25％，五月份用煤多少吨？
一图八式的应用
★男生人数是女生人数的4/5，男生人数是 学生总人数的几分之几？
★兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱 数是兄的4/5，若弟给兄4元，则弟的钱数 是兄的2/3，求兄弟两人原来各有多少元？
一图八式的应用
▲ 甲是乙的2/3，乙是丙的4/5，甲是丙的 的几分之几？
▲ 某工厂计划一月份生产一批零件，由 于改进生产工艺，结果上半月生产了计划 的3/5，下半月比上半月多生产了1/5，这样 全月实际生产了1980个零件，一月份计划 生产多少个？
解决分数基本问题的利器
——“一图八式”
“一图八式 ”
如词所说，“一图八式”就是看图列算式， 一个示意图能列出八个式子，——知道其 中的任意一个式子就可以画出示意图，并 可以列出其他的七个式子。下面让我们来 举个例子，说明为什么叫一图八式。喂！ 蠢纲你给我记住！别给我睡觉！ ——里包恩
一图八式
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一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，两次 共剪去6米，这条绳子共长多少米？
一条绳子，第一次剪去全长的25%，第二次剪去全长的35%，第二 次比第一次多剪了1米，这条绳子长多少米？
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（2）某工厂六月份用煤60吨，五月份比六月 份多用煤25％，五月份用煤多少吨？
一图八式的应用
一张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌单价的60%，课 桌和椅子的单价各是多少元？
果园里的梨树和苹果树共有360棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵 树的20%。苹果树和梨树各有多少棵？
一套桌椅的价格是78元，其中椅子的价格是桌子的30%。桌子和椅 子的价格各是多少元？