最新人教版22.1.4二次函数的图像公开课
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人教版九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质课时 课件(共30张PPT)
对称轴：
x b 2a
课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质：
开口方向 顶点坐标 对称轴
a>0 向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
x= b
2a
增减性
最值
a<0 向下
对接中考
关于二次函数 y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( D )
A.图象与 y 轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在 y 轴的右侧
10
5
O
5
10 x
新知探究 知识点1
结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其性质. 2
y
x=6
10 当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大.
5
O
5
10 x
新知探究 跟踪训练
知识点2 我们如何用配方法将一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 化成顶点式 y=a(x-h)2+k？
知识点2
y
x b 2a
O
x
如果 a>0，
当
x<
b 2a
时，y
随
x
的增大而减小；
当
x>
b 2a
时，y
随
x
的增大而增大.
知识点2
y x b
2a
O
x
如果 a<0，
当 x< b 时，y 随 x 的增大而增大；
2a
当 x> b 时，y 随 x 的增大而减小.
2a
跟踪训练
已知二次函数 y=-2x2+4x+3，请回答下列问题： (1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数 y=-2x2+4x+3 的图象，并指出抛物 线 y=-2x2+4x+3 是由抛物线y=-2x2 经过怎样的平移得到的； (3)对于二次函数 y=-2x2+4x+3，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
22.1.4二次函数y=a(x-h)
主备: 审核: 时间 : 编号:2204 课题 22.1.4二次函数y ＝a(x-h)2的图像性质 课型自学互学展示课 学 习 目 标1、会画二次函数y ＝a （x -h ）2的图象； 2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用；重点 会用描点法画出二次函数y ＝a(x －h)2的图象，并能应用性质解决实际问题难点理解二次函数y ＝a(x －h)2的性质，理解二次函数y ＝a(x －h)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的相互关系 一、前置问题问题1：在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝21x 2，y ＝21(x －1)2，y ＝21(x+1)2的图象。
1、完成下表填空。
x －3 －2 －1 0 1 2 3 y ＝21x 2y ＝21(x+1)2y ＝21(x －1)22、根据图像回答下列问题：(1)y ＝21(x+1)2的开口____；顶点坐标（ ， ）对称轴是过点( )且平行于y 轴的直线，所以对称轴是______；有最______值为____； 增减性：当x____—1时，__________________； 当x____—1时，__________________；y ＝21(x —1)2的开口____；顶点坐标（ ）， 对称轴是______；有最______值为____； 增减性：当x____1时，_________________; 当x____1时，__________________； 问题2：在直角坐标系中，画出二次函数y ＝—21x 2，y ＝—21(x －1)2，y ＝—21(x+1)2的图象。
二、总结二次函数y ＝a(x+h)2的图像性质 y ＝a(x-h)2 a ＞0a ＜0图像形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 最 值平移y ＝a(x+h)2可以看作是由y=ax ²向____（h ＞0）或向_____（h ＜0）平移_____个单位得到的。
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
初中数学人教版九年级上册 第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(共21张PPT)
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个 桥拱的最大高度为16m，跨度为40m． 现把它的图形放在坐标系里(如图所示)， 求抛物线的解析式． 解： 设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值 是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图 象经过点（3，-6）。求aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb、c。
用待定系数法求二次函数的解析式
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
y＝3x2
y= -2x2+3
y= - 4(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
25 5 ∴ 所求抛物线解析式为 y
1
x2 8 x
25 5
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个
桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．
现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，
求抛物线的解析式．
解 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
法 二
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数的图像和性质 .1.4(第6课时)
练习 已知二次函数y=ax² +bx+c(a≠0)的图像如图所 示，在下列5个结论中： （1）2a-b＜0 （2）abc＜0 （3）a+b+c＞0 （4）a-b+c＜0 （5）4a-2b+c＞0，正确的有（ ） A 1个
y
B 2个
C 3个
D 4个
-1
O
x
1 2 （4） y x 4x3 2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x 4 顶 20 .5
4 0 . 5 3 4 y 5 顶 4 0 . 5
2
顶 点 坐 标 为 4 , 5
对 称 轴 x4
当 x 4 时 ， y ＝ 5 最 小 值
我们知道，像
y a x h k 这样的函数，容易确定相应抛物线的
2
顶点为（h,k)，二次函数
1 y x2 6x21 也能化成这样的形式吗？ 2
配方可得
1 2 1 y x 6x21 x62 3 2 2
1 2 y x 6x21 的顶点是（6，3），对称轴 由此可知，抛物线 2
昌宁县第三中学
李 雁
22.1.4 二次函数的图象和性质 (第6课时）
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
学习目标：
会用配方法将数字系数的二次函数表达式化 为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数 图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向。
1 我们来画 y x2 6x 21 的图象，并讨论怎样 2 2 画二次函数 y a x b xc a 0 的图象．
是直线 x = 6 接下来，利用图象的对称性列表（请填表）
人教版初中数学九年级上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
b 的符号．顶点在第一、四象限，－ ＞0，
2a 由此得 a、b 异号；顶点在第二、三象限，
A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线 x＝－
2 ＝1，∵函数图象开口向下，
2 × （－1） 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，∴a ≤ 1.∵ － 1＜ x＜ a， ∴ a>－ 1， ∴ － 1<a≤1，故选择 B.
b － ＞0，∴选项 A 错，选项 D 正确；B 图
2a
TB:小初高题库
人教版初中数学
和 C 图中直线 y＝ax＋b 过二、三、四象 限 ， ∴ a＜ 0， b＜ 0， ∴ 抛 物 线 的 开 口 向
b 下，且对称轴 x＝－ ＜0，∴选项 B，C
2a 错．故选择 D.
方法总结：多种函数图象的识别，一 般可以先确定其中一种函数的图象(如一次 函数)，再根据函数图象得到该函数解析式 中字母的特点，最后结合二次函数图象的 开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对 选项进行逐一考察，得出结论．
【类型四】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的 平移
(2014·浙江丽水)在同一平面直 角坐标系内，将函数 y＝2x2＋4x－3 的图 象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单 位，得到图象的顶点坐标是( )
A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 解析：二次函数 y＝2x2＋4x－3 配方 得 y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3 ＝2(x＋1)2－5，将抛物线 y＝2(x＋1)2－5 向右平移 2 个单位所得抛物线的解析式为 y ＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛 物线 y＝2(x－1)2－5 向下平移 1 个单位所 得抛物线的解析式为 y＝2(x－1)2－5－1＝ 2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为 (1，－6)，故选择 C. 方法总结：二次函数的平移规律：将 抛物线 y＝ax2(a≠0)向上平移 k(k>0)个单 位所得的函数关系式为 y＝ax2＋k，向下平 移 k(k>0)个单位所得的函数关系式为 y＝ ax2－k；向左平移 h(h>0)个单位所得函数 关系式为 y＝a(x＋h)2；向右平移 h(h>0) 个单位所得函数关系式为 y＝a(x－h)2；这 一规律可简记为“上加下减，左加右减”．
2a 由此得 a、b 异号；顶点在第二、三象限，
A．a＞1 B．－1＜a≤1 C．a＞0 D．－1＜a＜2 解析：抛物线的对称轴为直线 x＝－
2 ＝1，∵函数图象开口向下，
2 × （－1） 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大，∴a ≤ 1.∵ － 1＜ x＜ a， ∴ a>－ 1， ∴ － 1<a≤1，故选择 B.
b － ＞0，∴选项 A 错，选项 D 正确；B 图
2a
TB:小初高题库
人教版初中数学
和 C 图中直线 y＝ax＋b 过二、三、四象 限 ， ∴ a＜ 0， b＜ 0， ∴ 抛 物 线 的 开 口 向
b 下，且对称轴 x＝－ ＜0，∴选项 B，C
2a 错．故选择 D.
方法总结：多种函数图象的识别，一 般可以先确定其中一种函数的图象(如一次 函数)，再根据函数图象得到该函数解析式 中字母的特点，最后结合二次函数图象的 开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对 选项进行逐一考察，得出结论．
【类型四】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的 平移
(2014·浙江丽水)在同一平面直 角坐标系内，将函数 y＝2x2＋4x－3 的图 象向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单 位，得到图象的顶点坐标是( )
A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 解析：二次函数 y＝2x2＋4x－3 配方 得 y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3 ＝2(x＋1)2－5，将抛物线 y＝2(x＋1)2－5 向右平移 2 个单位所得抛物线的解析式为 y ＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛 物线 y＝2(x－1)2－5 向下平移 1 个单位所 得抛物线的解析式为 y＝2(x－1)2－5－1＝ 2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为 (1，－6)，故选择 C. 方法总结：二次函数的平移规律：将 抛物线 y＝ax2(a≠0)向上平移 k(k>0)个单 位所得的函数关系式为 y＝ax2＋k，向下平 移 k(k>0)个单位所得的函数关系式为 y＝ ax2－k；向左平移 h(h>0)个单位所得函数 关系式为 y＝a(x＋h)2；向右平移 h(h>0) 个单位所得函数关系式为 y＝a(x－h)2；这 一规律可简记为“上加下减，左加右减”．
二次函数的图像和性质一般形式(精品课件).ppt
4
∴开口方向：向上; 对称轴：x=4; 顶点坐标:(4,-4)；
-----------------------
X=4
﹒ ·（4，-4）
y
9
8 7 6 5 4 3 2
1
32 1 0 1 2 3 4 5 1 2
将抛物线y 1 x2 2
向右平移4个单位后， 再向下平移4个单位， 会得到抛物线：
y
1 2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
一般地， a我(x 们 b可)2以 4用ac 配b2方法 求抛物线y=a2xa2+bx+4ca (a≠0) 对称的轴顶为点： 与对直称线轴x b ，
2a 顶点坐标是： 推2导ba过, 4程a！c4a b2
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的 图象与性质
• 1.将二次函数y=4x2_8x-1等号左边配方得 ______________
• 2.你能说出函数y=4(x-2)2+1图象的开口方 向、对称轴和顶点坐标吗？
• 3.函数y=4(x-2)2+1图象与函数y=4x2的图象 有什么关系？
试研究二次函数y
（1）y -2x2 - 4x 3
对于二次函数 y ax2 bxc，你能用配方法求出 它的对称轴和顶点坐标吗？
解：y ax2 bx c
a(x2 b x) c a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c
a
2a
2a
a x b 2 4ac b2
2a
4a
(平移？
说一说
根据图象，你能说出它的增减性吗？
X=4
-----------------------
人教课标版 初中 数学 九年级上册第22章22.1.4二次函数图象和性质综合应用(共26张PPT)
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知
抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
可得方程组
评价 通过利用给定的条件
列出a、b、c的三元
一次方程组，求出a、
b、c的值，从而确定
函数的解析式．
过程较繁杂，
例题选讲
例4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度
为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里
解： 设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
评价
选用两根式求解， 方法灵活巧妙，过 程也较简捷
用待定系数法求函数解析式的主要步骤：
1．准确设出函数解析式；【设】 2．找点代入解析式，列方程（组）；【代】 3．解方程（组），得出待定系数的值；【解】 4. 确定函数解析式．【定】
4
A
_O
2
x
2、根据下列所给图象特征，你能设出它所对应的函数解析式吗？
y
y
8
x
y ax2
y
6
x
y 4 ax2 k
y
2
-15
-10
-5
x
ya(xh)2
x5
-2
ya(xh)2k
-4
8
探究一：如图所示，抛物线过点B(2,2)，求此函数的解析式 6
y
解：设 y ax2
4
∵过点B（2,2）
2
B(2,2)
1.已知一个二次函数图象经过（-1， 10）、（2，7）和（1，4）三点，那么 这个函数的解析式是_______。
• 2.已知一个二次函数的图象经过 （－1，8），（1，2），（2，5） 三点。求这个函数的解析式