传递过程原理作业题解(1-7章)

第二章

1. 对于在r θ平面内的不可压缩流体的流动，r 方向的速度分量为2

cos /r u A r θ=-。试

确定速度的θ分量。

解：柱坐标系的连续性方程为

11()()()0r z ru u u r r r z θρρρρθθ∂∂∂∂+++='∂∂∂∂

对于不可压缩流体在r θ平面的二维流动，ρ=常数，0,

0z z u u z

∂==∂，故有

11()0r u ru r r r θ

θ

∂∂+=∂∂ 即

2

2

cos cos ()()r u A A ru r

r r r r

θ

θ

θ

θ∂∂

∂

=-

=-

-=-

∂∂∂

将上式积分，可得

22

cos sin ()A r A u d f r r θθθ

θ=-=-+⎰

式中，()f r 为积分常数，在已知条件下，任意一个()f r 都能满足连续性方程。令

()0f r =，可得到u θ的最简单的表达式：

2

sin A u r θθ

=-

2．对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。

（1）在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动； （2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动； （3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动；

（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动； （5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。

解： ()0ρ

ρθ

∂+∇=∂u

（1） 在矩形截面管道内，可压缩流体作稳态一维流动

0x z x y z u u u u u u x y z x y z ρ

ρ

ρ

ρ

ρθ∂∂∂∂∂∂∂++++++=∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫

⎪⎝⎭

y 稳态：

0ρ

θ

∂=∂，一维流动：0x u =， 0y u = ∴ z 0z u u z z ρ

ρ

∂∂+=∂∂， 即 ()0z u z

ρ∂=∂ （2）在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动

()()()0y x z u u u x

y

z

ρρρρθ

∂∂∂∂+

+

+

=∂∂∂∂

稳态：

0ρ

θ

∂=∂，二维流动：0z u = ∴

()()0y x u u x

y

ρρ∂∂+=∂∂， 又cons t ρ=，从而

0y

x u u x y

∂∂+=∂∂ （3）在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动 在此情况下，（2）中cons t ρ≠

∴

()()0y x u u x

y

ρρ∂∂+

=∂∂

（4）不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动

()()()110r z r u u u r r r z

θρρρρθθ∂∂∂∂

+++='∂∂∂∂ 稳态：

0ρθ∂='∂，轴向流动：0r u =，轴对称：0θ

∂=∂ ∴

()0z u z ρ∂=∂， 0z u

z

∂=∂ （不可压缩cons t ρ=） （5）不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动

22()(sin )()1110sin sin r r u u u r r r r θφρρθρρθθθθφ

∂∂∂∂+++='∂∂∂∂ 稳态

0ρθ∂='∂，沿球心对称0θ

∂

=∂，

0φ∂=∂，不可压缩ρ=const ∴

22

1()0r r u r r ∂=∂ ，即 2

()0r d r u dr

= 3．某粘性流体的速度场为

2

2

538=x y xyz xz +-u i j k

已知流体的动力粘度0.144Pa s μ=⋅，在点（2，4，－6）处的法向应力2

100N /m yy τ=-，试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。

解： 由题设 2

5x u x y =，3y u xyz =，28z u xz =-

10316xy xz xz ∇⋅=+-u

10x u xy x

∂=∂，

3y u xz y

∂=∂，

16z

u xz z

∂=-∂ 因 22()3y y x z

yy

u u u u p y x y z

τμ

μ∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂ 故 22(

)3

y y x z yy u u u u p y

x

y

z

τμ

μ∂∂∂∂=-+-+

+

∂∂∂∂

在点（2，4，－6）处，有

22(100)20.144(36)0.14423667N /m 3

p =--+⨯⨯--

⨯=⨯

所以 2()32y x z

x xx u u u x y z

u p x μτμ

∂∂∂++∂∂∂∂=-+∂- 2

2

6720.144800.144236

3

66.6N /m =-+⨯⨯-⨯⨯=- 2()32y x z

z zz u u u x y z

u p z μτμ

∂∂∂++∂∂∂∂=-+∂- 2

34.4N /m =-

()y

x xy yx u u y x

ττμ∂∂==+∂∂

220.144[527.5N /m 34(6)]=⨯⨯-+⨯⨯-=

(

)y

z yz

zy u u y z

ττμ∂∂==+∂∂ 20.144 3.5N /m 324=⨯⨯⨯=

(

)x z

zx

xz u u z x

ττμ∂∂==+∂∂ 2

0.144(41.5N /m 836)=⨯-⨯=-

4. 某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动，此正方形截面的边界分别为x a =±和y a =±，有人推荐使用下式描述管道中的速度分布

2

22

[1()][1()]4z a p

x y u z a a μ∂=-

--∂ 试问上述速度分布是否正确，即能否满足相关的微分方程和边界条件。