港澳学生内地联考：数学必考试题：圆锥曲线选择题二(含答案)
C、 0, 3 3
D、 0, 3
8 ．已知点 A 0, 1 ，抛物线 C : y 2 px
p 0 的焦点为 F ，直线 AF 与抛物线 C 在第一象限交于 M 点，
AF FM ， O 为坐标原点，则 OAM 的面积为
A、1 B、
2 2
） C．
2
角形，则椭圆的离心率 e 为（ A．
3 1 2
B．
5 1 2
1 5 4
D．
3 1 4
23．已知点 A（1，2）在抛物线 ：y 2 px 上．若△ABC 的三个顶点都在抛物线 上，记三边 AB，BC，CA 所 在直线的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ，则 A．1 A． y 2 x
x2 y 2 1 上的一点， F1 , F2 是 C 的两个焦点，若 MF1 MF2 0 ，则 y0 的取值 2
3 3 , 6 6 2 2 2 2 , 3 3 2 3 2 3 , 3 3
7 4
D．
3 4
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2
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18．双曲线 C : 等于（ A．2 ） B． 2 2 C． 2 3 D．4
x2 y2 1a 0, b 0 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 3 ，则 C 的焦距 a2 b2
19．已知双曲线 （ A．4 ）
x2 y2 1 的焦点与抛物线 y 2 ax 的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为 4 5
B．5
C．
5 2
D．
5 2 1 ，则椭圆 C 的方程是（ 2
D、 ）
20．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F 1 ， 0 ，离心率为 A、
x2 y2 1 3 4
D． y
3 x 3
32．如果方程 A． a 6
x2 y2 1 表示椭圆，则实数 a 的取值范围是（ ） a2 a 6
B． 2 a 3 C． a 2或a 3 D ． a 6 且 a 2 且 a 3 ）
33．过点 C（4，0）的直线与双曲线 A．|k|≥1
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x2 y2 x2 y2 3 45．已知椭圆 C : 2 2 1( a b 0) 的离心率为 ，双曲线 1 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四 2 a b 2 2
个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆的方程为（ A． ） D．
在双曲线上，则双曲线的离心率是（ A． 4 2 3 B． 3 1 C． 3 1
2
） D． 3 1
x2 4．抛物线 y 的准线方程为（ 4
A． x 1
2
） C． x
B． y 1
1 16
D． y ）
1 16
5．抛物线 y x 上的点到直线 2 x y 4 的最短距离是（ A．
x2 y2 1 的焦距是 2，则 m 的值是（ 11．椭圆 m 4
A．5 B．5 或 8 C．3 或 5
12．集合 A={1，2，3，4，5}（a，b∈A）．则方程 A．5 个 B．10 个 C．20 个
x2 y 2 1 可表示焦点位于 y 轴的椭圆有（ a b
）
D．25 个
13．设 F1 、 F2 分别是椭圆 C :
3 3 , 3 3
C．
D．
x2 y2 2 1 的渐近线与圆 x 3 y 2 r 2 r 0 相切，则 r （ 27．双曲线 6 3
A． 3 28．若椭圆 （ A．4 ） B． 2 C．1 D． B．2 C． 3 D． 6
x2 y2 15．若点 P (2, 0) 到双曲线 2 2 1 的一条渐近线的距离为 2 ，则双曲线的离心率（ a b
A． 2 B． 3
2
C． 2 2
D． 2 3 ）
16．若动点 P ( x, y ) 在曲线 y 2 x 1 上移动，则 P 与点 Q (0, -1 ) 连线中点的轨迹方程为（ A． y 2 x
2
B． y 4 x
2
C． y 6 x
2
D． y 8 x
2
17．已知抛物线 y
y2 1 2 x 与双曲线 2 x 2 1( a 0) 有共同的焦点 F ， O 为坐标原点， P 在 x 轴上方且在双曲 8 a
）． C．
线上，则 OP FP 的最小值为（ A． 3 2 3 B． 2 3 3
2
） C． y
2
3 x 2
2
B． y 3 x
2
9 x 2
D． y 9 x ）
2
10． 过抛物线 x 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 若 y1 y2 6 ， 则|P （ 1P 2|的值为 1 x1 , y1 , P 2 x2 , y2 两点， A．5 B． 6 C． 8 D．10 ） D．20
x2 y2 1 1 是（ ，则曲线 sin cos 5
B．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的双曲线
）
x2 y2 x2 y2 1 1 有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ 和双曲线 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2
B． y
）
A． x
15 y 2
x2 y 2 1 a b 0 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1 的 a 2 b2
中点在 y 轴上，若 PF1 F2 30 ，则椭圆的离心率为（ A．
）
3 3
2
B．
3 6
C．
1 3
D．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 6
）
14．抛物线 y 2 px 上一点 Q (6, y0 ) ,且知 Q 点到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离是（ A．4 B． 8 C．12 D．16 ）
B、
2
x2 y2 1 4 5
C、
x2 y2 1 4 2
）
x2 y2 1 4 3
21．过点 (0,2) 且与抛物线 y 4 x 只有一个公共点的直线有（ A．1 条 22．椭圆 B．2 条 C．3 条
D．无数条
x2 y2 1 ( a b 0) 的两个顶点为 A(a, 0), B (0, b) ，且左焦点为 F ， V FAB 是以角 B 为直角的直角三 a 2 b2
北京博飞--华侨港澳台培训学校 圆锥曲线选择题二
2 2 1．已知双曲线 x y 1( a 0, b 0) 的一条渐近线过点（2， 3 ），则双曲线的离心率为（ a2 b2
）
A．
1 2
B． 7 2
C． 3 2
D． 3 3
2．已知双曲线
x2 y2 1(a 0, b 0) 的一个焦点与抛物线 y 2 12 x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 3 ， a2 b2
A．
1 2
B．1 或 2
C．1 或
1 2
D． 4
D．1 ）
42．（2015 秋•吉林校级月考）椭圆 x2+my2=1 的焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为（ A． B． C．2
43．“方程
x2 y2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ m 1 3 m 3 2
C． y
3 x 3
D． y
3 x 2
40．已知椭圆 A．3
x2 y2 + =1 上的一点 P 到椭圆一焦点的距离为 3，则 P 到另一焦点距离为（ ） 25 16
B．7 C．5 D．9
x2 y2 x2 y2 1 与双曲线 1 有相同的焦点，则 a 的值是（ ） 41．若椭圆 4 a2 a 2
B． 1 m 2
2
）
A． 1 m
C． 2 m 3 ）
D． 1 m 3
44．抛物线 y ax 的焦点坐标是（ A． (0,
1 ) 4a
B． (0,
1 ) 4a
C． (0, )
a 4
D． (0, )
5
a 4
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最大值为（ ） A．199 B．200 C．99 D．100 30．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是( A．
)
1 2
2
B．
2
2 2
C．
3 2
)
D．
3 3
31．双曲线 3 x y 1 的渐近线方程是 ( A． y 3 x B． y
1 x 3
C． y 3 x
15 x 2
C． x
3 y 4
D． y
3 x 4
x2 y 2 2 39．已知双曲线 2 2 1 a 0, b 0 的离心率为 2 ，一个焦点与抛物线 y 16 x 的焦点相同，则双曲线的渐 a b
近线方程为（ A． y 3 x ） B． y
3 x 2
）
x2 x2 y 2 1 与双曲线 y 2 1 有相同焦点 F1 , F2 ， P 是这两条曲线的一个交点，则 F1 PF2 的面积是 4 2 1 2
x2 y2 1 1 上有 n 个不同的点 P 29． 若椭圆 组成公差 d 的等差数列， 则n的 PF 1, P 2 P n ，F 为右焦点， i 4 3 100
）
则该双曲线的标准方程为（
x2 y2 1 A． 27 18
(word完整版)圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案,文档.docx
1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线x2 2 py 外一点 P(x0 , y0 ) 的任一直线与抛物线的两个交点为C、 D ，与抛物线切点弦 AB的交点为 Q。
（1）求证：抛物线切点弦的方程为x0 x p( y＋ y0 ) ；（2）求证：112.PC| PD || PQ |2. 已知定点F（ 1，0 ），动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M ，并延长MP 到点 N，且PM PF 0,| PM | | PN |.（1）动点 N 的轨迹方程；（2）线 l 与动点 N 的轨迹交于 A，B 两点，若OA OB4, 且4 6| AB | 4 30 ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .3. 如图，椭圆C1:x2y21的左右顶点分别为A、B，P 为双曲线C2: x 2y 21右支4343上（ x 轴上方）一点，连AP 交 C1于 C，连 PB 并延长交1于 D，且△ ACD与△ PCD的面积C相等，求直线 PD 的斜率及直线CD 的倾斜角 .4. 已知点M ( 2,0), N (2,0)，动点P满足条件| PM || PN | 2 2 .记动点 P 的轨迹为W.（Ⅰ）求 W 的方程；uuur uuur（Ⅱ）若 A, B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值.5.已知曲线 C的方程为 : kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈ R)（Ⅰ）若曲线 C是椭圆，求 k的取值范围；（Ⅱ）若曲线 C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线 l： y=x-1对称，若存在，求出过 P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。
6. 如图（ 21）图，M（-2，0）和 N（ 2，0）是平面上的两点，动点P满足：PM PN 6.(1)求点 P 的轨迹方程；2(2)若PM·PN＝1 cos MPN,求点 P 的坐标 .x2y21 (a b x 2y217. 已知F为椭圆b20) 的右焦点，直线l过点 F 且与双曲线b2a2a 的两条渐进线 l1, l2分别交于点M , N，与椭圆交于点A, B.（I）若MON，双曲线的焦距为4。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
圆锥曲线综合练习题(有答案)
圆锥曲线综合练习一、 选择题：1.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4,则m 等于( )A.4 Ｂ.5 C ．7 D.8【解析】由242(10)()2m m ---=，得8m =,故选：D2．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ )A B.12 C D ．23【解析】直线220x y -+=与坐标轴的交点为(20)(01)-，，，，依题意得21c b ==，,a所以e . 3.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）Ａ.４ B.３ C ．2 D ．１ 答案:C4．若m 是2和８的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B D 答案:D５．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( ）A 答案:Ｄ6.已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ )Ａ．0 Ｂ.1 C ．2 D ．答案:Ｃ7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为1２，则到另一个焦点的距离为（ )A ．22或２ Ｂ.7 Ｃ．２２ Ｄ.2【解析】由双曲线定义知，12||||||10PF PF -=,所以1||22PF =或2||2PF =，故选A ．8．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点,则||||PM PN -的最大值为（ ) Ａ．6 B ．７ Ｃ．８ D.9【解析】设双曲线221916x y -=的左、右焦点分别为12F F ，,则圆22(5)4x y ++=的圆心为1F ,半径12r =.圆22(5)1x y -+=的圆心为2F ,半径21r =．所以max 111||||||2PM PF r PF =+=+,min 222||||||1PN PF r PF =-=-． 由双曲线定义得12||||6PF PF -=，所以max 12(||||)||2(||1)9PM PN PF PF -=+--=．故选:D9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( )A ．2 B.４ C.8 D ．1６【解析】准线方程为x p =-,由已知得810p +=,所以2p =，所以焦点到准线的距离为24p =．1０．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，,向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为( ） AB1 C11 【解析】设正ABC △的边长为2，向量12DE BC =,则D E ，分别是AB AC ，的中点.由双曲线定义知||||2BE EC a -=，所以a 1c =所以离心率1ce a=．故选：Ｄ 11.两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是且a b >,则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ) A ．5(0)16-， Ｂ.2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 【解析】依题意得920a b ab a b +=⎧⎪=⎨⎪>⎩,解得54a b ==，,所以抛物线方程为254y x =-，其焦点坐标为1(0)5-，,故选：C1２.已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为( ）Ａ.49 B ．23 C ．595【解析】设00()P x y ，，则000049y y x a x a ⋅=-+-,化简得220022149x y a a+=，可以判断2249b a =，2451()19b e a =--故选:Ｄ13.已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点,点B 也在椭圆 上,且满足0OA OB +=（O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=,若椭圆的离心率等于22， 则直线AB 的方程是（ ) Ａ． 2y = B ．2y = Ｃ.3y = D ．3y 答案:A14.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A ．3 B 17 Ｃ5 D ．92答案:B15.若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数)有共同的焦点F 1,F ２,Ｐ 是两曲线的一个公共点,则12||||PF PF ⋅等于ﻩﻩ( ）A ．m p +ﻩB ．p m - C.m p - D ．22m p -答案：Ｃ16.若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点,且满足20a b ->，20a b +>,则该点P 一定位于双曲线（ )A.右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 Ｄ．不能确定 答案:Ａ１7.如图,在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=,AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点,且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ） A.3 ﻩＢ.1 ﻩC ．32Ｄ.2答案:A【解析】设c AB 2||=， 则在椭圆中,而在双曲线中,1８.221+=表示的曲线是（ )A.焦点在x 轴上的椭圆 Ｂ.焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【解析】即又方程表示的曲线是椭圆。
港澳台全国联考试题：数学-圆的方程选择题1-5(含答案)
）
A． ( x 2) ( y 6) 1
2 2
B． ( x 6) ( y 2) 1
2 2
C． ( x 1) ( y 3) 1
2 2
D． ( x 1) ( y 3) 1
2 2
40．若直线 y kx 4 2k 与曲线 y A． 1, B． 1,
2 2 2
B． x ( y 2) 1
2
C． ( x 1) ( y 3) 1
2
2 2
D． ( x 1) ( y 3) 1
2 2
24．直线 3 x 4 y 5 0 与圆 x y 4 相交于 A 、 B 两点，则弦 AB 的长等于（ A． 2 3
2
）
2
A、 ( x 1) ( y 4) 4 C、 ( x 4) ( y 1) 4
2 2 2 2
B、 ( x 1) ( y 4) 4
2 2
D、 ( x 4) ( y 1) 4
2 2
4． 已知圆 O ：x y 4 上到直线 l : x y a 的距离等于 1 的点至少有 2 个， 则 a 的取值范围为 （ A． ( 3 2,3 2) B． ( , 3 2 ) (3 2, ) C． ( 2 2, 2 2 ) D． [ 3 2,3 2 ]
2 2
14．过点 A． 15．已知圆 A． 16．直线 A．相交
有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是（ C． D． ）
）
，则两圆的公共弦长为（ C． 2 D．1 ）
的位置关系是 （ C．相离
D．不确定
17．直线 y kx 3 与圆 ( x 3) ( y 2) 4 相交于 M，N 两点，若 | MN | 2 3 ，则 k 的取值范围是 （ ）
圆锥曲线测试题(20个选择,10个填空)(含答案)
圆锥曲线测试题姓名 得分 一、选择题（20小题，每题5分）1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=2.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则此双曲线的离心率等于A ． 2B ．3 CD ．93．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1 (a>0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A . 3B . 6C ．2D ．34.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =-B ．28y x =C ．24y x =- D ．24y x = 5. 已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A（B（C ） 2 （D ） 36. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45 B ．35 C ．35-D ．45-7. 设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．18. 双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）429. 已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（A ）34 （B ）1 （C ）54 （D ）7410. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25B ．45CD11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A．2214x =B ．22145x y -= C ．22125x y -=D．2212x =12. 已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±13. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12B．2C ．1 D14. 若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（ ）A ．y =±2xB ．y=C ．12y x =±D．2y x =±15.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=16. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =17. 已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等18. 从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 （ ） AB ．12CD19. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ）A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(X-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1)D ．y=(x-1)或y=-(x-1)20. O 为坐标原点,F为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为（ ）A ．2B．C．D ．4二、填空题（10小题。
圆锥曲线题库(含答案)
圆锥曲线题库1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程．(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点)．点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(i)设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2，证明存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值；(ii)求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5.因此2×25a 5＝4105，即a ＝2，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.……………5分(2)(i)设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)．因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，且AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.kx ＋m ，y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8mk1＋4k2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m 1＋4k 2.由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)．令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0)．可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此，存在常数λ＝－12使得结论成立．10分(ii)直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即，－34y 由(i)知M (3x 1，0)，所以△OMN 的面积S ＝12×3|x 1|×34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时，等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.……………16分2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=．（1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．解：（1）由题意知，12c e a==，72CD a =-，所以22224,3a c b c ==．……………………………2分因为点74(,)2c c -在椭圆上，即222274()2143c c c c -+=，所以1c =．所以椭圆的方程为22143y x +=．……………………6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=；……………………………7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，所以1x =，2x =所以212212(1)|34k AB x x k+=-=+．……………………………10分同理，2222112(1)12(1)4343k k CD k k++==++．所以2222222212(1)12(1)84(1)3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，……………………12分令21t k =+，则1t >，23441k t +=-，23431k t +=+，设222(41)(31)111149()12()24t t f t t t t t-+==-++=--+，因为1t >，所以1(0,1)t ∈，所以49()(12,]4f t ∈，所以8448[,7)()7AB CD f t +=∈．综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48[,7]7．……………………………16分xyABF ODC3.给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值．解：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b＝1，ca＝32，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1．…………………………………………4分（2）由（1）知，椭圆C的方程为x24＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0．………………………………6分因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，kx＋m，y2＝1（*）有且只有一组解．由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝0．化简，得m2＝1＋4k2．①……………………………………10分因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为22，所以圆心到直线l的距离d＝5－2＝3．即|m|k2＋1＝3．②…………………………………14分由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3．…………………………………16分4.如图，圆O 与离心率为23的椭圆T ：12222=+by a x （0>>b a ）相切于点M )1,0(。
港澳台联考数学二轮复习试卷(含答案)——15圆锥曲线
2
2
） D． 一个点 ）
x2 2 ＋（y – 1） ＝ 1 上的点到坐标原点距离的最大值为（ 4
A．
5
B．
4 5 3
C． 2 2
D． 弧度. ）
4 3 3
12．直线 x－3y＋3＝ 0 与直线 2x－y＋2＝0 的夹角为 13． 双曲线 x －
2
y2 ＝ 1 的焦点到该双曲线的渐近线的距离为（ 3
B．
港澳台联合招生二轮复习资料/中山一中/朱欢
20．经过点 A（2，1）作直线 l ，交抛物线 y 2 ＝4x 于 P、Q 两点，且 A 恰好是 PQ 中点，求直线 l 的方程
21．在直角坐标平面上，向量 OA＝（1，3）与 OB ＝（－3，1）在直线 l 上的射影长度相等，且直线 l 的 倾斜角是锐角，求 l 的斜率。
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15．圆锥曲线 试卷（1） 1． 方程 y＋2 3 x ＝ 0 所表示的曲线是（ ）
2
A． 一个圆
B． 半个圆
C． 半个椭圆
D． 一个椭圆
2．给定两点 A(－2，0)和 B（2，0） ，若动点 M 使直线 MA 和 MB 的斜率之乘积等于常数－3，则点 M 的 轨迹之方程为 。
22．在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 P（0，1）的直线与抛物线 y ＝ 4x 有两个交点 A 和 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹之方程。 （写成普通方程的பைடு நூலகம்式）
2
23．在平面直角坐标系 xOy 中，两圆 x ＋y ＝9 和（x－6） ＋y ＝1 的外公切圆的圆心在直线 2x－y＝4 上，求这个公切圆的方
x2 y2 16．设双曲线 2 2 ＝1 的右准线与两条渐近线的交点分别为 E 和 G，右焦点为 F，且△EFG 是正三角 a b
港澳学生内地联考：数学必考试题：圆锥曲线选择题一(含答案)
1． 抛物线 x2=2y 的焦点坐标为（ A． 2． 已知双曲线 B． ） C．（0，1） D．（1，0）
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l：4x﹣3y+20=0，且双曲线的一个焦点在直线 ） =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
l 上，则双曲线的方程为（ A． ﹣ =1 B． ﹣
准线上，则双曲线的方程为（ A．
） D．
x2 y2 1 21 28
B．
x2 y 2 x2 y2 1 C． 1 28 21 3 4
x2 y2 1 4 3
）
x2 y2 x2 y 2 1 的焦点与椭圆 1 的焦点重合，则 m 的值等于（ 8．双曲线 m 4 20 4
x2 y2 1 与 x2 1 3 3
2
D．
43．已知抛物线 y ax ( a 0) 的焦点到准线距离为 1，则 a （ A． 4 B． 2 C．
1 4
D．
1 2
）
44．已知双曲线 C :
x2 y 2 5 ，则 C 的渐近线方程为（ 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 2 2 a b
为 (1, 1) ,则 E 的方程为（ ）
A．
x2 y2 1 18 9
B．
x2 y 2 1 36 27
C．
x2 y 2 1 27 18
4
D．
x2 y 2 1 45 36
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北京博飞华侨港澳台学校
北京博飞--华侨港澳台培训学校
35．过点 P 2,1 的双曲线与椭圆 A． x 2 y 0
3．已知焦点在 x 轴上的椭圆 A．12 B．18 C．
2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷(解析版)
2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（ ）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【答案】D【解答】解：因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，所以B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：D．2．（5分）已知（2+i）＝5+5i，则|z|＝（ ）A．B．C．5D．5【答案】B【解答】解：由（2+i）＝5+5i，得＝＝＝＝3+i，则z＝3﹣i，|z|＝＝．故选：B．3．（5分）设向量，，若，则x＝（ ）A．5B．2C．1D．0【答案】A【解答】解：∵向量，，，∴＝0，可得2（x﹣2）+（x+1）×（﹣1）＝0，∴x＝5．故选：A．4．（5分）不等式的解集为（ ）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，）【答案】C【解答】解：，则，解得0＜x＜1，故原不等式的解集为（0，1）．故选：C．5．（5分）抛物线y2＝2px过点，求焦点（ ）A．（，0）B．（，0）C．D．【答案】C【解答】解：抛物线y2＝2px过点，则3＝2p，解得p＝，故该抛物线的焦点为（）．故选：C．6．（5分）长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：不妨设长方体底面为正方形，边长为a，高为b，则底面的对角线为，∵长方体的对角线长为1，表面积为1，∴，解得，∴长方体体积为．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，则b＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：f（x）＝x3+ax2+x+b，则f'（x）＝3x2+2ax+1，∵函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，∴，解得，故f（x）＝x3﹣2x2+x+1，f'（x）＝3x2﹣4x+1，令f'（x）＝0，解得x＝或x＝1，f（x）在（﹣∞，），在（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减，故f（x）在x＝1处取得极小值，故b＝1，符合题意．故选：C．8．（5分）已知函数，则（ ）A．上单调递增B．上单调递增C．上单调递减D．上单调递增【答案】A【解答】解：，令，k∈Z，解得，k∈Z，当k＝0时，，故f（x）在（﹣，）上单调递增．故选：A．9．（5分）若，且x＞0，则x＝（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵，∴x2+2x+1＝16，且x＞0，解得x＝3．10．（5分）S n为等差数列的前n项和，S9＝81，a2＝3，则a10＝（ ）A．2B．11C．15D．19【答案】D【解答】解：设等差数列的公差为d，则：，解得，∴a10＝a1+9d＝1+18＝19．故选：D．11．（5分）O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝（ ）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：O为原点，P在圆C（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上，OP与圆C相切，则|OP|＝＝＝2．故选：A．12．（5分）在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在2、3、5、6中任选2个不同数字，基本事件总数n＝＝6，其乘积能被3整除a的基本事件有5个，分别为：（2，3），（2，6），（3，5），（3，6），（5，6），则其乘积能被3整除的概率为．故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
高考数学总复习：圆锥曲线2(含答案)
高考数学总复习：圆锥曲线2（含答案）1．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点F 也是抛物线24y x=的焦点． （1）求椭圆方程；（2）若直线l 与C 相交于A 、B 两点． ①若2AF FB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；②若动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，问动点P 的轨迹能否与椭圆C 存在公共点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，右准线l 交x 轴于点A ，且122AF AF =u u u r u u u u r．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值．3．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，点2F 在线段1PF 的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线2F M 与2F N 的倾斜角分别为α，β，且αβπ+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．4．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足1MF FB =u u u u r u u u rg ．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．5．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且23OA OB =u u u r u u u r g ，23AOB S ∆=，求直线l 的方程．参考答案1.解：（1）根据(1,0)F ，即1c =，据c a=得a =b =， 所以所求的椭圆方程是22132x y +=．（2）①当直线l 的斜率为0时，检验知2AF FB ≠u u u r u u u r．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．， 根据2AF FB =u u u r u u u r得1(1x -，12)2(1y x -=-，2)y 得122y y =-．设直线:1l x my =+，代入椭圆方程得22(23)440m y my ++-=， 故12122244,2323m y y y y m m +=-=-++，得1222842323m my y m m =-=++， 代入122423y y m =-+得222844()()232323m m m m m -=-+++，即228123m m =+，解得m =l 的方程是1x y =+． ②问题等价于是不是在椭圆上存在点P 使得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立．当直线l 是斜率为0时，可以验证不存在这样的点， 故设直线方程为:1l x my =+．用①的设法，点P 点的坐标为12(x x +，12)y y +， 若点P 在椭圆C 上，则221212()()132x x y y +++=，即22221122112222132x x x x y y y y +++++=，又点A ，B 在椭圆上，故222211221,13232x y x y +=+=，上式即12122103x xy y ++=，即12122330x x y y ++=，由①知222212121212222448(1)(1)()111232323m m m x x my my m y y m y y m m m =++=+++=--+=-++++， 代入12122330x x y y ++=得22216122302323m m m -+-+=++，解得212m =，即m =当m =122423m y y m +=-=+121213()2222x x m y y +=++=-+=；当m =122423m y y m +=-+，121213()2222x x m y y +=++=-+=． 故C上存在点3(,2P 使OP OA OB =+成立，即动点P 的轨迹与椭圆C 存在公共点，公共点的坐标是3(,2．2.解：（Ⅰ）由题意，12||22F F c ==u u u u r，2(A a ∴，0)， Q 1222AF AF F =∴u u u r u u u u r为1AF 的中点23a ∴=，22b =即椭圆方程为22132x y +=．（Ⅱ）当直线DE 与x轴垂直时，2||2b DE a ==，此时||2MN a ==，四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设:(1)DE y k x =+，代入椭圆方程，消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=．设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以，12||x x -所以，12|||DE x x =-=，同理，222211)1)1)||1323()2k k MN k k-++==+-+． 所以，四边形的面积222222113(1)24(2)||||1312226()13k DE MN k k S k k k+++===+++g g ，令221u k k =+，得24(2)44136136u S u u +==-++ 因为2212u k k =+…， 当1k =±时，962,25u S ==，且S 是以u 为自变量的增函数， 所以96425S <„． 综上可知，96425S 剟．即四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．3.解：（1）由椭圆C的离心率e得c a =c ， 椭圆C 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 又点2F 在线段1PF 的中垂线上 122||||F F PF ∴=，∴222(2)(2)c c =+-解得1c =，22a =，21b =，∴2212x y +=椭圆的方程为．（2）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y kx m =+．由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则△222(4)4(21)(22)0km k m =-+-… 即22210k m -+…则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，且221212,11F M F N kx m kx m k k x x ++==-- 由已知αβπ+=，得2212120,011F M F N kx m kx m k k x x +++=+=--即． 化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=∴222224()2202121m km m k k m k k ----=++g 整理得2m k =-． ∴直线MN 的方程为(2)y k x =-，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)4.解：（1）根据题意得，(,0)F c ，(,0)A a -，(,0)B a ，(0,)M b∴(,),(,0)MF c b FB a c =-=-u u u u r u u u r∴21MF FB ac c =-=-u u u u r u u u rg （2分）又c e a ==∴a∴221c -=21c ∴=，22a =，21b =∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分） （2）假设存在直线l 满足条件，使F 是三角形MPQ 的垂心． 因为1MF K =-，且FM l ⊥， 所以11k =，所以设PQ 直线y x m =+， 且设1(P x ，1)y ，2()Q x ，2y 由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得2234220x mx m ++-=△221612(22)0m m =-->，2212124223,33m m m x x x x -<+=-=． 22222121212122242()()()333m m m y y x m x m x x m x x m m --=++=+++=-+=．（8分） 又F 为MPQ ∆的垂心， PF MQ ∴⊥，∴0PF MQ =u u u r u u u u rg又1122(1,),(,1)PF x y MQ x y --=-u u u r u u u u r∴2221121221121242220333m m PF MQ x y x x y y x x m x x y y m m --=+--=++--=-+--=u u u r u u u u r g ∴24033m m --+=， ∴24340,,13m m m m +-==-=（10分）经检验满足23m <（11分）∴存在满足条件直线l 方程为：10x y -+=，3340x y --=（12分）10x y -+=Q 过M 点 即MP 重合 不构成三角形，3340x y ∴--=满足题意．5.解：（1）短轴长22b =，1b =，ce a ==又222a b c =+，所以1a c ==，所以椭圆的方程为2212x y +=（2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，222)22y kx my x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 得，1222222122412(12)42202212mk x x k k x mkx m m x x k -⎧+=⎪⎪++++-=⎨-⎪=⎪+⎩g ，121223OA OB x x y y =+=u u u r u u u r g 即2223222123m k k --=+即2212129108||||23AOBm k S m x x ∆=+=-== 即222229(12)(12)m k m k +-=+ 22222229(12)(12)9108m k m k m k ⎧+-=+⎨=+⎩， 解得21k =，22m =，所以y x =±±。