非经典热传导问题多尺度分析方法研究

张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究非经典热传导问题多尺度分析方法研究古张洪武张盛郭旭大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，工程力学系．大连１１６０２４

摘要根据时空间尺度的高阶均匀化理论．建立分析尉期性结构中非傅立叶热传导问题的时间一空训多尺度分析方法，通过引入放大空间尺度和缩小时间尺度，研究了由空间非均匀性引起的非傅立叶热传导的波动效应和非局部效应，得到具有非局部效应的四阶微分方程，对高阶非局部热传导方程进行修正．使问题的求解避免了对有限元离散的Ｃ—ｌ连续性要求。给出三种不同材料参数情况的计算结果．验证方法正确性的同时，对存在的问题进行了讨沦。关键词非傅立叶热传导；多尺度方法；均匀化方法：非局部模型

１引言传统的傅立叶（Ｆｏｕｒｉｅｒ）导热定律是导热现象规律性的经验总结，它是建立在大量常规传热实验的基础上的。傅立叶导热定律不涉及热传导时间项，定律本身隐含了热传播速度为无限大的假设。但对极端热传导条件下的非稳态传热过程，如激光表面热处理、脉冲干燥及微时间或微空间尺度条件下的传热问题等，热传播速度的有限性却必须考虑，此时会出现一些不同于常规传热过程的物理现象．这种热传导效应称为非傅立叶（ｎｏｎ．Ｆｏｕｒｉｅｒ）热传导效应。传统傅立叶导热定律的本构方程描述了热流量和温度空间梯度分布之间的关系，其数学表达式为抛物线型偏微分方程。而非傅立叶导热定律还考虑了热波的时间迟滞，其数学表达式为双曲线型偏微分方程。热传导问题多尺度分析方法的研究具有极大的学术探讨价值和广泛的工程应用领域“’…。本文主要目的是根据非傅立叶导热定律本构方程，研究不同材料组成的多相结构中热传导问题的时间．空间多尺度分析方法ｈ５１ｏ在非均匀介质的分界面上存在的反射和折射作用影响了脉冲激励的传播，在宏观上出现了勃、散，衰减等现象。为了解决这一勃、散效应，本文采用了多时间一空间尺度的高阶均匀化理论对问题进行分析。通过引入放大空间尺度和缩小时间尺度，从数学上获得不同阶次的时间一空间问题的均匀化方程，对这些具有不同阶次的均匀化方程进行合并整理，最终得到用于结构宏观多尺度分析的高阶均匀化方程。

２时间一空间多尺度渐进分析的基本方法如图ｌ所示，假设宏观的特征尺寸￡远大于非均匀性尺寸，。在空间上引入两个尺度：一个是宏观或整体空间尺度ｘ，另一个是微观或局部放大空间尺度ｙ，且Ｙ＝Ｉ／ｓ，其中ｓ＜＜１。在时间上引入

一个一般时间尺度，即ｔｏ＝ｒ，同时还引入一个缩小时间尺度：ｔｌ＝８２ｆ，以进行时间域的多尺度分析。因为瞬态温度场≯与ｘ、Ｙ、ｔｏ、ｔ１相关，对≯采取近似多尺度渐进展开，得ｄ（ｘ，Ｙ，ｆ）＝如（ｘ，Ｙ，ｔｏ，＾）＋印【（ｘ，Ｙ，ｔｏ，ｒ１）＋占２≯２（ｘ，ｙ，ｆｏ，‘１）＋－…・・（１）

Ｉ鼻＾ｌｅ：＾黝材料＝

图ｌ一维杆和单元结构所研究的结构右侧施加热源加），其余表面绝热，其特征长度为ｆ（在ｘ尺度上）和盎（在ｙ尺度上）

＋幽家自然科学基金５０１７８０１６、杰出青年科学基金１０２２５２１２资助项目堡兰查兰！！！丝苎垫竺兰望兰兰墨垦坌堑三堡翌墨——————————————型且盎：，／ｓ。并认为热流量的温度空间梯度项ｑ’＝々（ｘ）屯在壶上有周期性。瞬杰非傅立叶热传导微分方程＾（√ｓ）扛∽ｓ礁。＋九｝一诲∽ｓ谚，Ｉ，＝０（２）

宏观边界上的边界条件，舳）－ｏ，织（“）＝音鼯

≯－，ｏ）＝，０），畦，ｘ，ｏ）＝ｇｂ）其中：≯（，，：／。，ｆ）表示瞬态温度场；＾Ｇ／ｓ）表示单位体积物质的比热：ｒｂ肛）表示驰豫时间：女ｂ肛）表示热传导系数（々∽ｓ）、ｒ（∥ｓ）和ｚ∽ｓ）具有局部周期性）；Ｆ表示横截面积；Ｑ０）表示热源密度；（１，

和（１，分别表示空间和时间的导数。为建立均匀化模型．定义平均算子（．）：１卅－１ｆ．ｄＹ。利用链式法则，空间和时间导数表示为

畦：＝破，＋ｓ一‘九．≯＝谚ｂ＋ｓ２哆＾，≯＝谚协＋２ｅ２谚＾ｂ＋ｓ４声ｖ。热流量温度空间梯度Ｉ贝为ｑ’＝ｔ（九十ｓ。幻）（３）式（２）热传导微分方程变为州“杀＋ｓ２毒ｘ誉“２静＋（翌ｃ３ｔｏｗ２丝Ｏｔ。）Ｊ＿瞰＋ｓ－ｌｑｊＪ

Ａ・【（哦０ｆ０＋虬）＋ｓ２（２嘛＾＋移＾）＋ｓ４嗍＾】－眈＋ｓ。ｑ：ｙ】（４）把≯（ｘ，Ｙ，ｆ）的渐进展开式（１）代入式（４）左边，得（４）左边２Ａ・【（砒，。０ｆｏ＋九山）＋ｄ确，，。～＋Ａ，‰）＋ｓ‘（晚，。ｍ＋如，ｆ０）＋……＋

ｏｅ２（２ｒ耐ｏ＾ｆＩ＋如，ｆ．）＋ｓ３（２硝Ｊ以＋氟＾）＋占４（２确山ｆ．＋晚．ｆ．）＋’・…’＋４确＾ｆＩ＋Ｆ５吮ｖ１＋ｓ６确，¨＋…‘＿】把≯（ｘ，Ｙ，ｔ）的渐进展开式（Ｉ）代入式（３）ｔ得ｑ’＝七｛【九一＋ｓ一１九∥】＋【渐．，＋卉∥】＋【占２如，，＋锄∥１＋‘‘‘‘。｝

＝七ｐ－１≯¨＋【九。＋蛾，，１＋４＃ｈＦ＋如，，】＋¨…）＝Ｆ一１ｑ：ｌ＋蕊＋叼：＋ｃＺｑ；＋……（５）其中ｑ！ｌ＝ｋ‰∥ｑ：＝ｋ【丸．，＋≯¨，ｙ１，ｓ＝ｏ，ｌ，２……

（６）

把ｑ’的渐进展开（５）代入式（４）右边，得（４）右边＝ｓ＿ｑ！ｔ．ｊ＋酶，，＋唧ｉｄ＋……＋声－２口！ｔ，，＋ｓ叫ｑ；，ｙ＋ｑ０＋……

＝ｓ一２ｑ！ｌ，，＋ｓ一１（ｑ；∥＋ｇ！１．Ｊ）＋（ｑｉ，，＋口；，，）＋‘・・・・＿根据式（４）两边比较（相同的∥项对应系数相等），得到以下各阶传热方程“ｓ“）：目！１．。＝０

０（ｓ一‘）．ｑ如＋ｇ：ｌＪ＝ｏＯ（ｅｏＪ．２－（砒Ｊｍ＋氏．‰）＝叱＋叱

ｏ（ｅ。）．２（硝ｍ＋Ａ，ｆ０）＝吐，＋ｇｉ．，ｏ（ｓ２）：＾（砸２如ｂ＋≯２，～＋２哦山＾＋‰）２ｑ；，ｙ＋ｑ！．，

（７）（８）（９）（１０）（Ｌ１１４８２张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究３对不同阶问题的解

１）ｏ（ｓ一２）问题由传热方程（７），ｇ：¨＝０，两边同乘以九，在单胞域ｒ上分步积分，得ｆ４）ｏｑ＇－ｔ，ｙｄＹ＝Ｉ≯ｏｑ＇－－ｒｉｄｓ一卜（粕，，）２ｄｙ＝ｏｒｄｖｒ由于以Ｙ为周期的单胞边界ａｒ上边界积分项为零，那么式（１２）第一项Ｉ≯ｏｑ＇－。ｒｉｄｓ‘且ｌｔ（九）２ｄ，，＝ｏ，推出ｒ九，，＝０ｊ‰＝中ｏ（ｘ，ｔｏ，ｔ１）

ｑ＇ｔ＝ｔ如。＝０

（ｔ２）０。因为ｋ是止数

ｎ３）ｆ１４１２１ｏ（ｅ１）ｆ司题由传热方程（８），孤，＋ｑ：Ｌ，。＝０，由式（１４）ｑ！Ｉ＝０得ｑ：Ｌ．。＝０，并把式（６）和（１３）代／２（８），得吐ｙ＋ｑ＇－Ｉ．，＝畹ｙ＝【ｋ（Ｏｏ，。＋Ａ，ｙ）】．，＝０（１５）

可以观察到Ａ是关于中¨的线性函数，那么可假设办（ｘ，Ｙ，ｔｏ，ｔｔ）＝Ｏｔ（ｘ，ｔｏ，ｔｔ）＋Ａ（ｙ）（ｂｏ．，（１６）

把式（１６）代入（１５）、（６）得［ｔ（１＋“，ｙ）】．，＝０（１７）

“＝ｍＯ，ｘｋ０＋Ａ，ｙ）（１８）考虑图中的单胞结构。单胞域是由Ａ１和Ａ２微结构子域组成，如Ａ‘”＝圳０＜Ｙ＜蕊】；∥＝叫蕊‘Ｙ＜囱

其中：０≤口≤ｌ是单胞的体积分率方程（１７）和０８）在整个单胞可表示为ｋｊ（１＋Ａｊ，ｙ）＝口Ｊ；甜”＝ｏｏ，，ｋｊ（１＋Ａｊ∥）（Ｊ＝ｔ，２）（１９）

其中：ａ；为常数

由解在单胞上的周期性、界面处的连续性以及均匀化条件可解出Ａｊ，（，）圳２丽（１－ａ）（ｋ２－ｋ０旷，争圳＝百轰瓮护坐竽】

（２０）ｋ＝（州坞））２瓦鬟意（２１）

３）０（ｓｏ）问题由传热方程（９），２－（哦山ｆｏ＋ｑ）Ｏ，ｔｏ）＝乱ｙ＋酰，＝ｔ【哦，，＋如，ｙ】，，＋ｔ【南，，＋Ａ，，】，，根据周期函数的导数在一个周期域上积分值为零和平均算子定义可知（ｑｉ．，）＝０。把式（１３）代入传热方程（９），并对传热方程两边取平均算子。为了进一步推导，取驰豫时间ｆ＝“＾一（面ｏ．ｒ幽＋ｍｏ山）一（ｑｏ．，）＝０（２２）

其中厶＝《五）＝瑾＾＋（１一口）如，“＝（ｆ）＝口１＋（１一ａ）ｒ２把式（１８）代２ｋ（２２）得到宏观传热方程Ｚ一（种。山ｆ０＋Ｏｏ．ｆ０）一ｋＨ＜ｂｏ，。＝０（２３）

ｍ式（２３）得

ｔｏｏ，ｆ。，。＋ｍｏ，ｔ。＝石１ｋ月巾ｏ，肼张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究代入传热方程（９）ｑｌ。＝ｐ（ｙ）ｋ…Ｏｏ—ｑ；，，ｆｌ（Ｙ）＝２（ｙ）／２．

ｆ２４１

把式（１６）代／ｋ（２４）左边，得左边＝ｑｉ．ｙ＝【七（Ａ．，＋如，ｙ）】，ｙ＝｛七［≯２，ｒ＋ｍｌ，，＋４００．“】｝，ｙ把式（１６）４ｔＡ．（２４）右边，得右边２ｆｌ（ｙ）ｋ。ｍｏ，。一（中０，ｘｔ（１＋Ａ．，））．，＝西ｏ．。［ｆｌ（ｙ）ｋ。一ｋ（１＋Ａ．，）】方程变为｛七【疵．，＋中Ｉ．，＋４中ｏ．“】｝．ｐ＝ｏｏ．“【卢（ｙ）一１）】七。（２５）可以观察到也是关于西１．，和ｍｏ。的线性函数，那么可假设≯２（ｘ，ｙ，ｔ０，ｔ１）＝ｑ）２（ｘ，ｔＯ，ｔｉ）＋４（ｙ）ｏＩ，＋Ｂ（ｙ）Ｏｏ“（２６）把（２６）代入（２５）、（６）可知｛ｋ［Ａ＋只，】｝．，＝【ｆｌ（Ｙ）一Ｉｌｋ。（２７）

“＝ｋ（Ｌ＋Ａ．ｙ）ｍｌ一＋ｋ（Ａ＋量Ｐ）ｍｏ．“（２８）同理可解口（，），得州加ｔ鼍ｃ扣一赛辫等，ｙ２＋ｔ一鲁ｃ扣＋篆鬻警岩加

｛一些毪害盟（扣。ａ（１－ⅥａＸ旷ｌ－…２ａ）．ｆｉ２唰（ｋ２－ｋ１）｝２ｋｋ（２９ａ）、ｌ，，、＾。’Ｌ川ｌＩ一口ＩＥ．＋触，ｌ

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圳＝ｔ象ｃ砉叫＋而ｏｔ（而ｋ２－ｋ面ｔ）旷斗与警ｃ砉叫＋桨舞笔者¨

卜畦堑型１蒙２ｋｋ生幽监（和＋坐１业２［（１－ａ丝）ｋ警≯｝（２９ｎ）、ｌ２、九

７

ｌ＋础２】’

……

由（２９）可以得到（２，４）＝０（３０）

（ｔ（Ａ＋彤））２０（３１）

４）ｏ（ｅ‘）问题由传热方程（１０），Ａ・（硝州。＋Ａ，～）＝ｑ；．ｙ＋ｑｉ，＝【女（戎．，＋如．，）】，，＋【々（Ａ，，＋如，，）】，，，根据周期函数的导数在一个周期域上积分值为零和平均算子定义可知（吐，）＝０。把式（１６）代入传热方程（１０），并对传

热方程两边取平均算子兄一（ｄｌｌｔＪ０ｆ０＋中ＩＪｏ）＋（＾彳Ｘｒ（ｏｏ，，），，讹＋（ｍｏ．，）ｔｆｏｌ＝（ｇ：，，）（３２）

把式（２８）代ｆｌ，（３２）得＾（椰’¨山＋ｍ‰）＋（＾一Ｘｆ（巾吣）．ｒ山＋（ｏ吣）．ｂｌ＝（七（１＋Ａ，ｙ））ｏＩ．“＋（七（Ａ＋置，））巾ｏ，埘（３３）

把式（２１）、（３０）和（３１）代入（３３）得到宏观传热方程＾。（ａＩｈ，‘＾＋中ｌ，～）一‘ｍｌ，。＝０（３４）把式（１６）、（２６）和（２３）、（３４）代入传热方程（１０）得（ｔ（丸，，＋ｔ１）２，，＋爿中ｌ，。＋脚Ｉｏ．一）｝，ｙ＝ｔ。（卢一ｌ冲ｔ，。＋［ｔ。肛－ｋ（Ａ＋钆）归ｏ．一（３５）可以观察到九是中２∥母１．。和ｍｏ．一的线性函数，那么可假设鸡（ｘ，Ｙ，ｔＯ，ｔｔ）＝０３（ｘ，ｔｏ，ｔｉ）＋爿（ｙ）ｍ２，，＋Ｂ（ｙ）ｍ１．“＋Ｃ（ｙ）ｍｏ．脚（３６）

把式（３６）代入（３５）、（６）得【ｋ（Ｂ＋Ｃ，）ｂ＝ｔ。肛一ｋ（Ａ＋只ｙ）（３７）

醴＝七。西２．，十七（彳＋量ｙ）巾Ｉ．盯＋七（口＋ｃｙ）中ｏ．一（３８）同理可解得ｃ（ｙ），由ｃ（，）可以得到