《线性代数》复习题
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
线性代数 复习题
第一章 行列式1.4 独立作业1.4.1 基础训练1．设ij a D =为n 阶行列式,则11342312n n n a a a a a - 在行列式中的符号为( ) ． (A) 正 (B) 负 (C) 1)1(--n (D) 2)1()1(--n n2．行列式n D 为0的充分条件是（ ）．(A) 零元素的个数大于n; (B) n D 中各行元素的和为零； (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零． 3．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．4．方程0881441221111132=--x xx 的根为 （ ）．(A) 1，2，2- (B)1，2，3 (C)1，1-，2 (D)0，1，25．如果4333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=------=3332333123222321131213111434343a a a a a a a a a a a a D （ ）． (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-486．行列式=9092709262514251（ ）.7．abba log 11log = ( ).8．行列式cb dc a bcb a, 则=++312111A A A （ ）.9．函数xx xxx f 121312)(-=中,3x 的系数为（ ）. 10．4444333322225432154321543215432111111= ( ).11．49362516362516925169416941， 12．0000000x yy x y x x y D =13．20001200000013012000101--=D ， 14．xyz zx yyz x111 15．520003520003520035200035， 16．44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++17．nn n n a a a a a a b b b b b 13221132100000000-----,（其中),,2,1(,0n i a i =≠） 18．nx x x D0100101111021= (),,2,1,0n i x i =≠19．43211111111111111111x x x x ++++， 20．n222232222222221 21．211121112=n D .22．当μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解？23．证明αααααααsin )1sin(cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 2+=n(其中0sin ≠α)．1.4.2 提高练习1．设A 为n 阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A 为（ ）(A) 2A (B) 12-n A (C) nA 2 (D) nA2．设A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，=00AB ( ).(A)BA - (B)BA (C)B A mn )1(- (D) BA n m +-)1(3．若xx x x xx g 171341073221)(----=，则2x 的系数为（ ）.(A) 29 (B) 38 (C) —22 (D) 344．347534453542333322212223212---------------=x x x xx x x x x x x x x x x x g(x)，则方程=)(x g 0的根的个数为（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．当≠a （ ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y ax z ax x z ax 只有零解.(A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 26．排列n r r r r 321可经过（ ）次对换后变为排列121r r r r n n n --. 7．四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为（ ）.8．设y x ,为实数，则当=x （ ），=y ( )时，01100=---x yy x. 9．设A 为4阶方阵，B 为5阶方阵，且,2,2-==B A 则 =-A B ( ),=-B A （ ）.10．设A ,B 为n 阶方阵，且,2,3-==B A 则 =-1*3B A ( ).11．设A 为3阶正交矩阵，0>A ，若73=+B A ，则=+T AB E 21（ ）. 12．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=653042001A ，则=+-12A E （ ）.13．解方程组011112222212112=nnn nnnn b b b b b b b b b x x x，其中n b b b b ,,,,321 为各不相同的常数.14．证明：)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d nn n n n n =∑=n i nn n n in i i n x a x a x a x a dx dx a dx d x a dxd x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(15．设xx x x x x x g 620321)(332=，求)(x g '.16．设17131231533111)(85222------=x x x x x x x g ，试证：存在)1,0(∈ξ，使得0)(='ξg .17．证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18．设z y x ,,是互异的实数，证明：0111333=z y x z y x 的充要条件是0=++z y x . 19．设4322321143113151-=A ，计算44434241A A A A +++的值，其中)4,3,2,1(4=i A i 是A 的代数余子式.20．利用克莱默法则求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+3232222321321321x x x x x x x x x .21．求极限111cos sin 3212sin 1231lim230x x x x x x x →.第一章 参考答案1.4 独立作业 1.4.1 基础训练1． (C) 2． (B) 3． (C) 4．(A) 5． (B) 6．解=⨯==17092142512000200070922000425190927092625142515682000.7．0 ， 8． 解 0111312111==++cb c acb A A A ，故答案为09．解 因为在此行列式的展开式中，含有3x 的只有主对角线上的元素的积，故答案为2- 10．解 由范德蒙行列式得行列式的值为28811．解0222222229753169411311971197597531694149362516362516925169416941===.12．解 xy xy x x x y y y x y xyy x y x x y D 0000000000000000--==22222)(y x xyy x xxyy x y --=-=13．解 013120101420000013012001012200012000000130012000101-⨯-=-⨯-=--=D2031124313120014=--⨯-=--⨯-=14．解 yz x z x y x z y xz x y z x y yz x xyzzx y yz x----=------=11))(()(0)(01111=))()((x z z y y x ---15．解 52000352000352000350000335200035200035200035200032520003520003520035200035+==52003520035200353252000352000352000350000332000032000032000320000325+=+== 66516．解1413121414131213141312121413121144342414433323134232221241312111y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ---+---+---+---+=++++++++++++++++=017．解132111322113210000000000)1(0000000-+------⨯-=---=n n n n n n n n a a a a b a a a a a a b b b b b D=--⨯+----12221122100000n n n n n a a a a a b b b b a==+- 121n n n n nD a a b a a a )(121∑=ni ii n a b a a a18．解 由第i (n i ,,2,1 =)列的ix 1-倍加到第一列上去.nni inx x x x x x x D000000111101001001111021121∑=-===)1(121∑=-ni in x x x x19．解43211114321100100111111111111111111x x x x x x x x x x x ---+=++++432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++==3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++20．解 2020012000200021222232222222221--=n n202012002--=n=)!2(2--n21．解 211121111)1(211121111*********+=+++==n n n n D n111011001)1(+=+=n n22．解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知0111213142=------μμμ解之得μ=0,2,3. 于是当μ=0，2，3时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解.23．证明 (1)当1=n 时，结论显然成立, (2)假设当k n ≤时,结论成立, (3)当1+=k n 时11cos 210001cos 200000cos 210001cos 210001cos 2++=k k D αααααk k D ααααcos 2100010000cos 210001cos 2100001)1(cos 23-+=ααααααααααsin )2sin(sin sin sin sin cos 2sin )1sin(cos 21+=-=-+=-k k k D k k ααsin ]1)1sin[(++=k 故结论成立． 1.4.2 提高练习1．B , 2．C , 3．D , 4．B , 5．D, 6.2)1(-n n , 7．44332112a a a a 8．0, 0, 9．32, 64 , 10．2312--n , 11．277, 12．613．提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为i b x =，（n i ,,2,1 =）， 14．(用行列式的定义和导数的运算法则)证明))()()()1(()()()()()()()()()(11)(12122221112112211x a x a x a dx dx a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d n n p p p p p p t nn n n n n ∑-==))())(()()()1((111)(12211x a x a dx d x a x an i n p p p p p p p t∑-=∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dxd x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(15．利用(14)的结论进行计算便可得结果，答案为62x ．16．（用罗尔中值定理证）证明 （1）显然)(x g 是多项式，故)(x g 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==g g ，从而由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(='ξg ． 17．用行列式的性质3的推论（同济四版）18．证明 333333333333001111xz xy x z x y x z x y x x z x y xz y x z y x----=----=0))()()((11))((2222=++---=++++--=z y x y z x z x y x xz z x xy y x z x y由于z y x ,,是互异的实数，故要使上式成立，当且仅当0=++z y x .19．解 61111321143113151********=-=+++A A A A , 20． 11=x ，22=x ，33=x21．解 (用罗必塔法则求解)111000132120012300001112310011sin cos 3212sin 1230230cos 11231lim111cos sin 3212sin 1231lim2230230=+=-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 矩阵\(A\)的行列式为0，那么\(A\)的秩是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)和向量\(\vec{b} = (4, 5, 6)\)的点积为：A. 14B. 32C. 8D. 22答案：A4. 矩阵\(A\)的转置矩阵记作\(A^T\)，那么\((A^T)^T\)等于：A. \(A^T\)B. \(A\)C. \(A^{-1}\)D. \(A^2\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为-5，则\(A^{-1}\)的行列式为______。
答案：\(\frac{1}{5}\)2. 矩阵\(A\)的秩为2，那么\(A\)的零空间的维数为\(\_\_\_\_\)。
答案：\(n-2\)（其中n为\(A\)的列数）3. 向量\(\vec{a} = (1, 2)\)和向量\(\vec{b} = (3, 4)\)的叉积为______。
答案：\(-2\)4. 若\(\vec{a} = (1, 0, 0)\)，\(\vec{b} = (0, 1, 0)\)，\(\vec{c} = (0, 0, 1)\)，则\(\vec{a} \times \vec{b} =\_\_\_\_\_\)。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案**线性代数考试题及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 可交换D. 不可交换答案：B2. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. s ≤ nB. s > nC. s ≥ nD. s < n答案：A4. 矩阵A的特征值是（）A. 矩阵A的行最简形式B. 矩阵A的列最简形式C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λE|=0的λ值答案：D5. 矩阵A和B相等的充要条件是（）A. A和B的对应元素相等B. A和B的行向量组相同C. A和B的列向量组相同D. A和B的秩相等答案：A6. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）A. |A|≠0B. A的秩为nC. A的行列式为1D. A的转置矩阵可逆答案：AA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：C8. 向量组α1，α2，…，αn线性相关，则（）A. 存在不全为0的k个向量，使得k个向量线性组合等于0B. 存在不全为0的n个向量，使得n个向量线性组合等于0C. 存在不全为0的n+1个向量，使得n+1个向量线性组合等于0D. 存在不全为0的m个向量，使得m个向量线性组合等于0，其中1≤m≤n答案：DA. r(A+B) = r(A) + r(B)B. r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}C. r(A) = r(A^T)D. r(A) = r(A^-1)答案：B10. 若矩阵A和B均为n阶方阵，且AB=0，则（）A. A=0或B=0B. A和B至少有一个为0C. A和B都为0D. A和B可能都不为0答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 若矩阵A的行列式|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|= _ 。
线性代数复习题部分参考答案
线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一） 一、填空题（每小题4分）1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三） 一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行 初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。
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《线性代数》复习题
一、单项选择题
1、行列式
2 35 4
中元素12a 的代数余子式是（ ）
A ．5 B.-5 C.3 D.-3 2、设矩阵2332,33,
B A
C ⨯⨯⨯，则下列运算可行的是（ ） A 、CAB B 、 ACB C 、 CBA
D 、BAC
3、已知B =1 35 4⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则伴随矩阵*
B =（ ） A ．1 53 4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1 -3-5 4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 4 -3-5 1⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 4 35 1⎛⎫ ⎪⎝⎭
4、如果12(,,...),s r r s ααα=<则下列结论正确的是：（ ）
A 、12,,...s ααα线性无关
B 、若A=（12,,...s ααα），则r(A)=s
C 、12,,...s ααα线性相关
D 、以上答案都不对
5、n 元齐次线性方程组AX=0由m 个方程组成，当m <n 时，AX=0（ ）
A 、无解
B 、有唯一非零解
C 、有唯一零解
D 、有无穷多个非零解
二、填空题
6、若行列式
1112
2122
2a a a a =，则
1112
21112212
22a a a a a a =-- .
7、已知A=1234⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则A 1
-= . 8、n 元齐次线性方程组AX=0有非零解，且r(A)= r ，则基础解系所含向量的个数为 . 9、若向量β可由向量组12,,...s ααα线性表示，则向量组β,12,,...s ααα线性 . 10、若A 是可逆矩阵，0λ为A 的特征值，则
1
λ为 的特征值.
三、判断题
11、如果P 为n 阶初等矩阵，A 为n 阶矩阵，则r(AP)≠ r(A). （ ）
12、如果AB=AC ，且A ≠0，则B=C. （ ）
13、A 、B 均为n 阶反对称矩阵，则A ＋B 为反对称矩阵. （ ）
14、已知三阶矩阵的行列式A =()123,,A A A =1，则231det(,2,)A A A =2. （ ）
15、n R 中的一组基一定是线性无关的. （ ）
四、计算题
16、计算行列式
4
-00
1-307322-321
.
17、求矩阵方程3541212301X -⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.
18、已知A=2310,1202B ⎛⎫⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
且1-=ABA C ，求2
C .
19、已知向量组T ），（7,1-2=1
α，T ），（11,41=2α，T
）
，（3,6-3=3α，讨论其线性相关性. 20、用配方法化二次型32212
221321623),,(x x x x x x x x x f ---=为标准形,并写出非退化的线性替换
五、解答题
21、设A=
111 023 001
-
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（1）求A的特征值与特征向量（2）A是否可对角化？为什么？
（3）求T
A的特征值.
22、讨论线性方程组
123
123
123
2
1
1
x x px
x px x
px x x
++=-
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
解的情况，并在有无穷多解时,用基础解系表示其全部解.
六、证明题
23、证明：设A是n阶矩阵，则A与T
A有相同的特征值.。