线性代数复习题
线性代数基本复习题
1.1计算行列式 行列式的求法法一利用定义展开计算:1122111nnni i i i ni ni i i i A a A a A a A =======∑∑∑法二化为三角型行列式:11221122***0**0*0nn nnb b A b b b b ==2323342141344324241332131020102010201020143604560609010330253025301030150311015001523102001033311(5)(3)450053003r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔+↔+-----===+-----=+=⋅⋅⋅-⋅-=---1.2求逆矩阵 逆矩阵的求法法一行变换:()()1A I I A -−−−→ 行变换 法二行列式的方法:*1A A A-=利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵: (1)122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999221221999-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦利用行列式的方法求下列矩阵的逆矩阵:*1A A A-=(1)套用公式()10ab d b ad bc cd c a ad bc -⎡⎤⎡⎤=-≠⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 得12525212521211522--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⋅-⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(2)套用上述公式, 得22cos sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1.3利用逆矩阵定义证明 逆矩阵的定义1,AB BA I AB-==⇒=1.6设方阵A 满足矩阵方程220I --=AA , 证明A 及2I +A 都可逆, 并求1-A 及()12I -+A .由220I --=A A 得()12I I -=A A , 故A 可逆, 且()112I -=-AA . 由220I --=A A 也可得(2)(3)I I I+-=-A A 或1(2)(3)4I I I⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦A A , 故2I+A 可逆, 且()12I -+A 1(3)4I =--A . 1.4行列式与逆矩阵的关系 行列式,逆矩阵的关系**AA A A A I==*1*1A A A A AA--=⇔=*111,n A A A A--==1.21设3阶方阵A 的转置伴随矩阵为adj A 且1det 2=A , 求()1det 32(adj )A A -⎡⎤-⎣⎦.()()()()1*11*1*11133111111323232321222116323212333272A A A A I A A A I A E A A IAA A A --------------=-=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 或 ()321****1243222...333A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.5矩阵的运算和运算律 矩阵的运算包括1*,,,,,,T B kA AB A A A A -+A注意特殊的运算律()()111TT Tn AB B A AB B A AB A B kA k A---====以下运算率不成立:00AB BAAB A ==⇒=或B=0所以,下面的公式也不成立:()()222222222()()AB A B A B A AB B A B A B A B =+=++-=+-(2)[]123321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝35649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，(3)213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]12-＝241236-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1.4讨论下列命题是否正确: (1)若2=A , 则0=A ; (2)若2=AA, 则0=A 或=A E ;(3)若=AB AC 且0≠A , 则=B C .(1)不对. 反例:01000000⎛⎫⎛⎫=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ,但20000⎛⎫= ⎪⎝⎭A.(2)不对. 反例: 设1000⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 则0≠A 且≠A E , 但2=AA.(3)不对. 反例: 设1000⎛⎫=⎪⎝⎭A ,0002⎛⎫= ⎪⎝⎭B ,0003⎛⎫= ⎪⎝⎭C , 则有=AB AC 且0≠A , 但=B C(1)1101n⎛⎫⎪⎝⎭, (2)100100nλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2311111112,0101010111111213,010101011111111.01010101n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分块对角矩阵计算AB,1,A A-11112222A O B O A B O OA OB OA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122A OA A OA =1111122A O A O O A OA ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.1判断线性无关或相关方法1:利用线性无关和线性相关的定义 方法2:利用秩和行列式判断 方法3:利用定理证明(1) 123(2,1,0),(1,1,3),(1,0,3)=-=-=ααα(2) 12(1,3,4),(2,0,1)=-=αα (1)()12123131212333211011110,,110110011033000000r r r r T T Tr r r r +↔----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→-→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα 可见{}123,,23R m =<=ααα, 故向量组线性相关.总结：计算秩来判断线性关系，证明题的时候才考虑用定义和定理 (2)()21312321312412020010,3010100141010100r r r T Tr r r r -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αα可见{}12,22R m ===αα, 故向量组线性无关.当A 是方阵的时候用行列式来判断线性关系(1) 12123131212333*********,,1101100110033000000r r r r T T Tr r r r A +↔----==-=-=-=ααα可见0A =, 故向量组线性相关(1)设向量组123,,ααα线性无关, 则下列向量组线性相关的是 C . (A)11213,,++ααααα (B)112123,,+++αααααα (C)123123,,+++αααααα (D)121331,,++-αααααα(B)不是线性相关的, 因为()()()()11212312312312323300k k k k k k k k k +++++=+++++=ααααααααα123123233000000k k k k k k k k k ++==⎧⎧⎪⎪⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩(C)是线性相关的, 因为()()()112233123131232233()0()0k k k k k k k k k +++++=+++++=ααααααααα131232323010110k k k k k k k k k +==⎧⎧⎪⎪⇒+=⇒=⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎩(B)112123,,+++αααααα []112323111,,011001αβββαα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()3R =A(C)123123,,+++αααααα[]112323101101,,011011011000αβββαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2R =A2.2求秩定义法和行阶梯形阵方法 2.3方程组有解的条件1111221211222211220(1)0(2)0()n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x m ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ 线性方程组齐次方程组有唯一零解()R n ⇔=A当A 是方阵时，0A A ⇔≠⇔可逆A ⇔行向量或者列向量线性无关有无穷多解()R n ⇔<A当A 是方阵时，0A A ⇔=⇔不可逆A ⇔行向量或者列向量线性相关 非齐次方程组有唯一解()()R R B n ⇔==A当A 是方阵时，0()()A R R B n ⇔≠==且A有无穷多解()R(B)R n ⇔<＝A 当A 是方阵时，0()()A R R B n ⇔===且A无解()R(B)R ⇔≠A2.4**求最大无关组与线性表示----找出最大无关组，包括利用最大无关组进行线性表示方法：利用列向量组成矩阵进行行变换，目标是行最简形矩阵 例题2.7求下列向量组的最大无关组，并把其他向量用此无关组线性表示。
线性代数 复习题
第一章 行列式1.4 独立作业1.4.1 基础训练1．设ij a D =为n 阶行列式,则11342312n n n a a a a a - 在行列式中的符号为( ) ． (A) 正 (B) 负 (C) 1)1(--n (D) 2)1()1(--n n2．行列式n D 为0的充分条件是（ ）．(A) 零元素的个数大于n; (B) n D 中各行元素的和为零； (C) 次对角线上元素全为零; (D) 主对角线上元素全为零． 3．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D)保持相同的正负号．4．方程0881441221111132=--x xx 的根为 （ ）．(A) 1，2，2- (B)1，2，3 (C)1，1-，2 (D)0，1，25．如果4333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=------=3332333123222321131213111434343a a a a a a a a a a a a D （ ）． (A)-12 (B)12 (C)48 (D)-486．行列式=9092709262514251（ ）.7．abba log 11log = ( ).8．行列式cb dc a bcb a, 则=++312111A A A （ ）.9．函数xx xxx f 121312)(-=中,3x 的系数为（ ）. 10．4444333322225432154321543215432111111= ( ).11．49362516362516925169416941， 12．0000000x yy x y x x y D =13．20001200000013012000101--=D ， 14．xyz zx yyz x111 15．520003520003520035200035， 16．44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++17．nn n n a a a a a a b b b b b 13221132100000000-----,（其中),,2,1(,0n i a i =≠） 18．nx x x D0100101111021= (),,2,1,0n i x i =≠19．43211111111111111111x x x x ++++， 20．n222232222222221 21．211121112=n D .22．当μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解？23．证明αααααααsin )1sin(cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 2+=n(其中0sin ≠α)．1.4.2 提高练习1．设A 为n 阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A 为（ ）(A) 2A (B) 12-n A (C) nA 2 (D) nA2．设A 为n 阶方阵，B 为m 阶方阵，=00AB ( ).(A)BA - (B)BA (C)B A mn )1(- (D) BA n m +-)1(3．若xx x x xx g 171341073221)(----=，则2x 的系数为（ ）.(A) 29 (B) 38 (C) —22 (D) 344．347534453542333322212223212---------------=x x x xx x x x x x x x x x x x g(x)，则方程=)(x g 0的根的个数为（ ）. (A)1 (B)2 (C)3 (D)45．当≠a （ ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y ax z ax x z ax 只有零解.(A)-1 (B) 0 (C) -2 (D) 26．排列n r r r r 321可经过（ ）次对换后变为排列121r r r r n n n --. 7．四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为（ ）.8．设y x ,为实数，则当=x （ ），=y ( )时，01100=---x yy x. 9．设A 为4阶方阵，B 为5阶方阵，且,2,2-==B A 则 =-A B ( ),=-B A （ ）.10．设A ,B 为n 阶方阵，且,2,3-==B A 则 =-1*3B A ( ).11．设A 为3阶正交矩阵，0>A ，若73=+B A ，则=+T AB E 21（ ）. 12．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=653042001A ，则=+-12A E （ ）.13．解方程组011112222212112=nnn nnnn b b b b b b b b b x x x，其中n b b b b ,,,,321 为各不相同的常数.14．证明：)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d nn n n n n =∑=n i nn n n in i i n x a x a x a x a dx dx a dx d x a dxd x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(15．设xx x x x x x g 620321)(332=，求)(x g '.16．设17131231533111)(85222------=x x x x x x x g ，试证：存在)1,0(∈ξ，使得0)(='ξg .17．证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18．设z y x ,,是互异的实数，证明：0111333=z y x z y x 的充要条件是0=++z y x . 19．设4322321143113151-=A ，计算44434241A A A A +++的值，其中)4,3,2,1(4=i A i 是A 的代数余子式.20．利用克莱默法则求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+3232222321321321x x x x x x x x x .21．求极限111cos sin 3212sin 1231lim230x x x x x x x →.第一章 参考答案1.4 独立作业 1.4.1 基础训练1． (C) 2． (B) 3． (C) 4．(A) 5． (B) 6．解=⨯==17092142512000200070922000425190927092625142515682000.7．0 ， 8． 解 0111312111==++cb c acb A A A ，故答案为09．解 因为在此行列式的展开式中，含有3x 的只有主对角线上的元素的积，故答案为2- 10．解 由范德蒙行列式得行列式的值为28811．解0222222229753169411311971197597531694149362516362516925169416941===.12．解 xy xy x x x y y y x y xyy x y x x y D 0000000000000000--==22222)(y x xyy x xxyy x y --=-=13．解 013120101420000013012001012200012000000130012000101-⨯-=-⨯-=--=D2031124313120014=--⨯-=--⨯-=14．解 yz x z x y x z y xz x y z x y yz x xyzzx y yz x----=------=11))(()(0)(01111=))()((x z z y y x ---15．解 52000352000352000350000335200035200035200035200032520003520003520035200035+==52003520035200353252000352000352000350000332000032000032000320000325+=+== 66516．解1413121414131213141312121413121144342414433323134232221241312111y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ---+---+---+---+=++++++++++++++++=017．解132111322113210000000000)1(0000000-+------⨯-=---=n n n n n n n n a a a a b a a a a a a b b b b b D=--⨯+----12221122100000n n n n n a a a a a b b b b a==+- 121n n n n nD a a b a a a )(121∑=ni ii n a b a a a18．解 由第i (n i ,,2,1 =)列的ix 1-倍加到第一列上去.nni inx x x x x x x D000000111101001001111021121∑=-===)1(121∑=-ni in x x x x19．解43211114321100100111111111111111111x x x x x x x x x x x ---+=++++432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++==3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++20．解 2020012000200021222232222222221--=n n202012002--=n=)!2(2--n21．解 211121111)1(211121111*********+=+++==n n n n D n111011001)1(+=+=n n22．解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知0111213142=------μμμ解之得μ=0,2,3. 于是当μ=0，2，3时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解.23．证明 (1)当1=n 时，结论显然成立, (2)假设当k n ≤时,结论成立, (3)当1+=k n 时11cos 210001cos 200000cos 210001cos 210001cos 2++=k k D αααααk k D ααααcos 2100010000cos 210001cos 2100001)1(cos 23-+=ααααααααααsin )2sin(sin sin sin sin cos 2sin )1sin(cos 21+=-=-+=-k k k D k k ααsin ]1)1sin[(++=k 故结论成立． 1.4.2 提高练习1．B , 2．C , 3．D , 4．B , 5．D, 6.2)1(-n n , 7．44332112a a a a 8．0, 0, 9．32, 64 , 10．2312--n , 11．277, 12．613．提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为i b x =，（n i ,,2,1 =）， 14．(用行列式的定义和导数的运算法则)证明))()()()1(()()()()()()()()()(11)(12122221112112211x a x a x a dx dx a x a x a x a x a x a x a x a x a dx d n n p p p p p p t nn n n n n ∑-==))())(()()()1((111)(12211x a x a dx d x a x an i n p p p p p p p t∑-=∑=ni nn n n in i i n x a x a x a x a dx d x a dx d x a dxd x a x a x a 1212111211)()()()()()()()()(15．利用(14)的结论进行计算便可得结果，答案为62x ．16．（用罗尔中值定理证）证明 （1）显然)(x g 是多项式，故)(x g 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==g g ，从而由罗尔中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(='ξg ． 17．用行列式的性质3的推论（同济四版）18．证明 333333333333001111xz xy x z x y x z x y x x z x y xz y x z y x----=----=0))()()((11))((2222=++---=++++--=z y x y z x z x y x xz z x xy y x z x y由于z y x ,,是互异的实数，故要使上式成立，当且仅当0=++z y x .19．解 61111321143113151********=-=+++A A A A , 20． 11=x ，22=x ，33=x21．解 (用罗必塔法则求解)111000132120012300001112310011sin cos 3212sin 1230230cos 11231lim111cos sin 3212sin 1231lim2230230=+=-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x x x。
线性代数复习题
线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即333332222211111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( )2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( )3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( )4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( )5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( )6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( )7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( )8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( )9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( )二、单项选择题 1. 设行列式1311111223212122, ,a a a a m n a a a a ==则行列式=++232221131211a a a a a a( )n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C ( n m - )D (2. 行列式701215683的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( )33 )A (33 )B (- 56 )C ( 56 )D (-3. 四阶行列式111111111111101-------x 中x 的一次项系数为 ( )1 )A (-1 )B ( 4 )C (4 )D (- 4. 设,..................... ,......... (112)11,12,11,12122122221112111nnn n n nn n n nnn n n n a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D ---==则D 2与D 1的关系是 ( )12 )A (D D =12 )B (D D -= 12)1(2)1( )C (D D n n --=1)1(2)1( )D (D D n n --=5. n 阶行列式ab b a bab a D n 0000000000=的值为 ( )n n b a + )A ( n n b a - )B (n n n b a 1)1( )C (+-+ )( )D (b a n +6. 已知,1002103211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-A 则=*A ( )1 )A (2 )B (- 2 )C (3 )D (7. 设A 是n 阶方阵且5=A ，则=-1T )5(A ( )15 )A (+n 15 )B (-n 15 )C (--nn -5 )D (8. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵)(n m ≠，则下列运算结果是m 阶方阵的是 ( )AB )A (T T )B (B ABA )C (T )( )D (B A +9. A 和B 均为n 阶方阵，且2222)(B AB A B A ++=+，则必有 ()E A = )A (E B = )B ( B A = )C ( BA AB = )D (10. 设A 、B 均为n 阶方阵，满足等式O AB =，则必有 ( )O B O A == )A (或 O B A =+ )B (0 0 )C (==B A 或 0 )D (=+B A11. 设A 是方阵，若有矩阵关系式AC AB =，则必有 ( )O A = )A ( O A C B =≠ )B (时 C B O A =≠ )C (时C B A =≠ 0 )D (时12. 已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=133312321131131211232221333231232221131211 ,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B A ，以及初等变换矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101010001 ,10000101021P P ，则有 ( )B P AP =21 )A ( B P AP =12 )B ( B A P P =12 )C ( B A P P =21 )D (13. 设A 、B 为n 阶对称阵且B 可逆，则下列矩阵中为对称阵的是 ( )A B AB 11 )A (--- A B AB 11 )B (--+ AB B 1 )C (- 2 )D ()(AB14. 设A 、B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是 ( )(A) 若A 、B 均可逆，则A +B 可逆 (B) 若A 、B 均可逆，则AB 可逆 (C) 若A+B 可逆，则A －B 可逆(D) 若A +B 可逆，则A 、B 均可逆15. 下列结论正确的是 ( )(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵 (B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵 (C) 非奇异阵等价于单位阵 (D) 奇异阵等价于单位阵 16. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中 ( )(A) 所有r －1阶子式都不为0 (B) 所有r －1阶子式全为0 (C) 至少有一个r 阶子式不为0(D) 所有r 阶子式都不为0 17. 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，且ABC = E ，以下式子(1) BCA = E ，(2) BAC = E ，(3) CAB = E ，(4) CBA = E中，一定成立的是 ( ) (A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A 是n 阶方阵，且O A =s (s 为正整数)，则1)(--A E 等于 ( )AE -1)A ( 1 )B (--A E s A A A +++... )C (2 1... )D (-+++s A A E 19. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412101213A ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A 中位于(1, 2)的元素是 ( ) (A) －6(B) 6 (C) 2(D) －220. 已知A 为三阶方阵，R (A ) = 1，则 ( )3 )A (=*)(A R2 )B (=*)(A R1 )C (=*)(A R0 )D (=*)(A R21. 已知43⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则矩阵A T 的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组s ααα ..., , ,21和s βββ ..., , ,21均线性相关，则 ( )(A) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββλλλ (2211)(B) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=++++++)(... )( )(222111s s s βαβαβαλλλ(C) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21使得0=-++-+-)(... )( )(222111s s s βαβαβαλλλ(D) 存在不全为0的数s λλλ ..., , ,21和不全为0的数s μμμ ..., , ,21使得0=+++s s αααλλλ... 2211和0=+++s s βββμμμ (2211)23. 设有4维向量组621 ..., , ,ααα，则 ( )(A) 621 ..., , ,ααα中至少有两个向量能由其余向量线性表示 (B) 621 ..., , ,ααα线性无关 (C) 621 ..., , ,ααα的秩为4 (D) 上述说法都不对24. 设321 , ,ααα线性无关，则下面向量组一定线性无关的是 ( )32 , , )A (αα0113(B) , 2, ααα133221 , , )C (αααααα+++133221 , , )D (αααααα---25. n 维向量组)3( ..., , ,21n s s ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( )(A) s ααα ..., , ,21中任意两个向量都线性无关(B) s ααα ..., , ,21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (C) s ααα ..., , ,21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (D) s ααα ..., , ,21中不含零向量 26. 下列命题中正确的是 ( )(A) 任意n 个n +1维向量线性相关(B) 任意n 个n +1维向量线性无关 (C) 任意n +1个n 维向量线性相关(D) 任意n +1个n 维向量线性无关27. 已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0......0...0...221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的系数行列式D =0，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 已知非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111的系数行列式D =0，把D 的第一列换成常数项得到的行列式01≠D ，则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解 (B) 一定有无穷多解 (C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. 已知A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关(D) A 的行向量线性相关30. 已知A 为n m ⨯矩阵，且方程组b Ax =有唯一解，则必有 ( )m R <),( )A (b An R <),( )B (b A m R =),( )C (b A n R =),( )D (b A31. 已知n 阶方阵A 不可逆，则必有 ( )n R <)( )A (A1)( )B (-=n R A0=A )C ((D) 方程组0=Ax 只有零解32. n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为n +1，则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 不能确定其解的数量33. 已知21 ,ηη是非齐次线性方程组b Ax =的任意两个解，则下列结论错误的是 ( )(A) 21ηη+是0=Ax 的一个解 (B))(2121ηη+是b Ax =的一个解 (C) 21ηη-是0=Ax 的一个解(D) 212ηη-是b Ax =的一个解34. 若4321 , , ,v v v v 是线性方程组0=Ax 的基础解系，则4321v v v v +++是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 基础解系(C) 通解(D) A 的行向量35. 若η是线性方程组b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则以下选项中是方程b Ax =的解的是 ( ) (C 为任意常数)ξηC + )A (ξηC C + )B ( ξηC C - )C ( ξη+C )D (36. 已知n m ⨯矩阵A 的秩为1-n ，21 ,αα是齐次线性方程组0=Ax 的任意两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0=Ax 的通解为 ( )1 )A (αk2 )B (αk )( )C (21αα+k)( )D (21αα-k37. n 阶方阵A 为奇异矩阵的充要条件是 ( )(A) A 的秩小于n0 )B (≠A(C) A 的特征值都等于零(D) A 的特征值都不等于零38. 已知A 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，A 的三个特征值分别为3 ,2 ,1-，则下列矩阵中是可逆矩阵的是 ( )E A - )A (E A + )B ( E A 3 )C (+ E A 2 )D (-39. 已知21 ,λλ是n 阶方阵A 的两个不同特征值，对应的特征向量分别为21 ,ξξ，则 ( )(A) 1ξ和2ξ线性相关 (B) 1ξ和2ξ线性无关 (C) 1ξ和2ξ正交(D) 1ξ和2ξ的内积等于零40. 已知A 是一个)3( ≥n 阶方阵，下列叙述中正确的是 ( )(A) 若存在数λ和向量α使得αA αλ=，则α是A 的属于特征值λ的特征值 (B) 若存在数λ和非零向量α使得0=-αA E )(λ，则λ是A 的特征值 (C) A 的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 若321 , ,λλλ是A 的三个互不相同的特征值，321 , ,ααα分别是相应的特征向量，则 321 , ,ααα有可能线性相关41. 已知0λ是矩阵A 的特征方程的三重根，A 的属于0λ的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有 ( )3 )A (≤k3 )B (<k 3 )C (=k 3 )D (>k42. 矩阵A 与B 相似，则下列说法不正确的是 ( )(A) R (A ) = R (B )(B) A = BB A = )C ((D) A 与B 有相同的特征值43. n 阶方阵A 具有n 个线性无关的特征向量是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 的n 个列向量都是单位向量 (C) 1T -=A A(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组45. 已知A 是正交矩阵，则下列结论错误的是 ( )1 )A (2=AA )B (必为1T 1 )C (A A =-(D) A 的行(列)向量组是单位正交组46. n 阶方阵A 是实对称矩阵，则 ( )(A) A 相似于单位矩阵E (B) A 相似于对角矩阵T 1 )C (A A =-(D) A 的n 个列向量是一个正交向量组47. 已知A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，AC C B T =，则 ( )(A) A 与B 相似(B) A 与B 不等价 (C) A 与B 有相同的特征值(D) A 与B 合同三、填空题1. 已知44513231a a a a a k i 是五阶行列式中的一项且带正号，则i = ，k = .2. 已知三阶行列式987654321=D ，ij A 表示元素ij a 对应的代数余子式，则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为.3. 已知022150131=---x ，则x = . 4. 已知A ，B 均为n 阶方阵，且0 ,0≠=≠=b a B A ，则=T )2(B A ，=-121AB . 5. 已知A 是四阶方阵，且31=A ，则=-1A ，=--1*43A A . 6. 已知三阶矩阵A 的三个特征值分别为123-,,，则1*4---=A A . 7. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221131211a a aa a a A ，B 是方阵，且AB 有意义，则B 是 阶矩阵，AB 是 行 列矩阵.8. 已知矩阵n s ij c ⨯=)( , ,C B A ，满足CB AC =，则A 与B 分别是 ， 阶矩阵. 9. 可逆矩阵A 满足O E A A =--22，则=-1A .10. 已知T 3T 2T 1)2 ,3 ,1( ,) ,0 ,( ,)1 ,1 ,1(===αααy x ，若321 , ,ααα线性相关，则x ，y 满足关系式 .11. 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 关. 12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 .13. 设A 是43⨯矩阵，3)(=A R ，若21 ,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，则该方程的通解为 .14. 已知A 是n m ⨯矩阵，)( )(n r R <=A ，则齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系中含有解的个数为 .15. 已知方程组12312112323124x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭无解，则a = .16. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213211x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ需要满足 .17. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化，则x = .18. 已知向量α、β的长度依次为2和3，则向量内积[, ]+-=αβαβ .19. 已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324 ,201b a ，c 与a 正交，且c a b +=λ，则=λ ，c = .20. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111x 为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b aA 的特征向量，则a = ，b = . 21. 已知三阶矩阵A 的行列式8=A ，且有两个特征值1-和4，则第三个特征值为 . 22. 设实二次型),,,,(54321x x x x x f 的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形),,,,(54321z z z z z f 为 .23. 二次型233221321342),,(x x x x x x x x f +-=的矩阵为 .24. 已知二次型),,(z y x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--050532021，则此二次型=),,(z y x f .25. 已知二次型31212322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 要满足 .四、行列式计算1. 已知A ，B 为三阶方阵，2 ,1-==B A ，求行列式A AB 1*)2(-.2. 已知行列式219221612132402-----=D ，求4131211145A A A A ++-.3. 计算n 阶行列式2...010...201 (02)=n D ，其中主对角线上的元素都是2，另外两个角落的元素是1，其它元素都是0.4. 计算n 阶行列式xaa a xa a ax D n .........=.5. 计算n 阶行列式21...00000 (2100)0 (1)2100...012 =n D .6. 计算行列式dx cbad c x b a d c b x a d c b ax ++++.7. 计算行列式yy x xD -+-+=1111111111111111.8. 计算行列式3......3 (3)212121+++=n n n n x x x x x x x x x D .五、矩阵计算1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=042132 ,121043021B A ，求 (1)T AB ；(2)14-A .2. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=115202 ,212241222B A ，且X B AX +=，求X .3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020102A ，B 为三阶方阵，E 为三阶单位阵，且B A E AB +=+2，求B .4. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2000120031204312 ,1000110001100011C B ，E 为四阶单位阵，且矩阵X 满足关系式E B C X =-T )(，求X .5. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=310021 ,110162031B A ，且B XA =，求X .6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ，问：当k 取何值时，有 (1)1)(=A R ；(2)2)(=A R ；(3)3)(=A R .六、向量组的线性相关性及计算1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1325 ,3214 ,2143 ,21114321αααα，求向量组4321 , , ,αααα的秩和一个最大线性无关向量组，并判断4321 , , ,αααα是线性相关还是线性无关.2. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 ,1301 ,3192 ,01414321αααα，求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a 取何值时，向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a 2121 ,2121 ,2121321ααα线性相关？4. 将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014 ,131 ,121321ααα规范正交化.七、线性方程组的解1. 给定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=9410 ,1203 ,4231 ,30124321αααα，试判断4α是否为321 , ,ααα的线性组合；若是，则求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x .3. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x .4. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x k x x x 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.5. 当k 满足什么条件时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++=+-+2)1(2221)1(321321321kx x k kx x kx kx x x k kx 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解.6. 已知非齐次线性方程组b Ax =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 543215432543215432133453622 3232，问：当a 、b 取何值时，方程组b Ax =有无穷多个解？并求出该方程组的通解.7. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值.8. 设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知321 , ,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ηη，求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵()b A A =，A 经过初等行变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→300001311021011λ A ，则 (1) 求对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系；(2) λ取何值时，方程组b Ax =有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000002 ,10100002y x B A ，若方阵A 与B 相似，求x 、y 的值.2. 设方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A 的一个特征值为3，求y 的值.3. 已知三阶方阵A 的特征值为1、2、3-，求行列式E A A 231++-的值.4. 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值与对应的特征向量.5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110A ，求可逆矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A ，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角矩阵.7. 已知矩阵110430102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A , 判断是否存在一个正交矩阵P , 使得1-=P AP Λ为对角矩阵.8. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A 的特征值为1、1、8-，求正交矩阵P ，使得AP P 1-为对角阵.九、二次型1. 当t 取何值时，32312123222132142244),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型？2. 求一个正交变换把二次型123122331(,,)222f x x x x x x x x x =-++化成标准形.十、证明题1. 已知向量组r ααα ..., , ,21线性无关，而r r αααβααβαβ+++=+==... ..., , ,2121211，证明：向量组r βββ ..., , ,21线性无关.2. 设A 、B 都是n 阶对称阵，证明：AB 是对称阵的充要条件是AB = BA .3. 已知方阵A 满足O E A A =--1032，证明：A 与E A 4-都是可逆矩阵，并求出它们的逆矩阵.4. 设A 、B 为n 阶对称阵，且B 是可逆矩阵，证明：A B AB 11--+是对称阵.5. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：1*-=n AA .6. 已知向量b 可由向量组321 , ,a a a 线性表示且表达式唯一，证明：321 , ,a a a 线性无关.7. 设321 , ,ααα是n 阶方阵A 的三个特征向量，它们的特征值互不相等，记321αααβ++=，证明：β不是A 的特征向量.8. 已知向量组321 , ,a a a 线性无关，3133222114 ,3 ,2a a b a a b a a b +=+=+=，证明：向量组321 , ,b b b 线性无关.9. 设0η是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21 ,ξξ是对应的线性方程组0=Ax 的一个基础解系，证明：(1) 101202, ==++ηηξηηξ都是b Ax =的解；(2) 210 , ,ηηη线性无关.10. 已知A 是n 阶方阵，E 是n 阶单位阵，E A +可逆，且1))(()(-+-=A E A E A f ，证明：(1) E A E A E 2)))(((=++f ；(2) A A =))((f f .11. 设方阵A 与B 相似，证明：T A 与T B 相似.12. 已知方阵A 、B 都是正定阵，证明：B A +也是正定阵.13. 设n 阶行列式n D 的元素满足n j i a a ji ij ..., ,2 ,1 , ,=-=，证明：当n 为奇数时0=n D .14. 已知A 为正交阵，k 为实数，证明：若A k 也是正交阵，则1±=k .15. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，证明：(1) 矩阵AB 是正交阵；(2) 矩阵1-AB 是正交阵.16. 若A 是n 阶方阵，且T =AA E ，| A | =－1，这里E 为单位阵. 证明：| A +E | = 0.。
线性代数期末复习题
《线性代数》综合复习题一、单项选择题：1、若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D =（ ）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶方阵A 的列向量组，且齐次线性方程组AX =O 仅有零解，则（ ）(A) 1α可由23,αα线性表示 (B) 2α可由13,αα线性表示 (C) 3α可由12,αα线性表示 (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（ ）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a , B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则有（ ）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（ ） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的行向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶方阵，且O E A A =+-232，则（ ）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13； （B ）19； （C ）14； （D ）13。
线性代数期末复习题
线性代数期末复习题《线性代数》综合复习题⼀、单项选择题：1、若三阶⾏列式D 的第三⾏的元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为4、2、1，则D =（）(A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 112、设123,,ααα是三阶⽅阵A 的列向量组，且齐次线性⽅程组AX =O 仅有零解，则（）(A) 1α可由23,αα线性表⽰ (B) 2α可由13,αα线性表⽰ (C) 3α可由12,αα线性表⽰ (D) 以上说法都不对3、设A 为n(n ≥2)阶⽅阵，且A 的⾏列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（）(A) 3n a (B) 3a n -1(C) 3n a n -1 (D) 3a n4、设A =333231232221131211a a aa a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,????=1010100012P ，则有（）(A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．．的是（） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的⾏向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶⽅阵，且O E A A =+-232，则（）(A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A =(C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2=7、设矩阵210120001A ??=，矩阵B 满⾜2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A *为A 的伴随矩阵，则B = （A ）13；（B ）19；（C ）14；（D ）13。
线性代数复习题
,
2 )T 3
，= α 2
(
2 3
,
1 3
,
−
2 )T 3
，α=3
( 2 , − 2 , 1)T 是 R3 的一组标准正 3 33
交基，则向量 β = (1,1,1)T 在这组基下的坐标为
.
28．设矩阵 A 的特征多项式 λE − A = (λ + 1)(λ + 5)(λ + 7) ，则 A−1 = __ _ .
A.
r
(α1
,
α
2
,
,
α
r）≥
r(β1,
β
2
,
,
βs )
B. r ≥ s
C. r(α1,α2 ,,αr）≤ r(β1, β2 ,, βs )
D. r ≤ s
14．设α1 , α2 是非齐次线性方程组 AX = b 的两个解，则下列仍为线性方程组 AX = b 的解的
（
）.
A. α1 + α2 B. α1 − α2
3.
已知向量组 α1
=
−421,α
2
=
3 1 2
,α
3
=
−5 3 6
,
α
4
=
−2 2 0
,α
5
=
−8611,
.求向量组的秩
和一个极大线性无关组；将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = a
4.
已知线性方程组
3x1
+2 x2
− 1
1
β1 = 1 ， β 2 = 1 ，则 AX = b 的全部解可表示为
线性代数复习题含答案
（C ）a +a ,a +a ,a +a （D ）a −a ,a −a ,a −a
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
分析：（A ）含有0 的向量组一定线性相关，0 +0a2 +0a3 0 ；
分析：∵A 的特征值是 1，2，−3 ．
∴ A −E 0 ， A −2E 0 ， A +3E 0 ．
∴ （A ）A −E ，（D ）A −2E ，（C ）A +3E 不可逆．
二． 填空题
1． 已知a31a21a13a5k a44 是 5 阶行列式中的一项且带正号，则i 5 ，k 2 ．
⎪ 21 1 22 2 2n n 2
⎨
⎪
n n−1 n−2 2 1 n n−1 n−2 2 1
共交换了n −2 次；……；r 与r 交换，共交换了 1 次．
2 1
( )
（A ）D D （B ）D =−D （C ）D =−1 2 D （D ）D =−1 D
（C ）一定无解 （D ）不能确定是否有解
分析：系数行列式D 0 =⇒R A <n ，方程组无解或无穷多解
( )
( ) ( )
) 1 ( ) 1
⎛a11 a12 a13 ⎞
2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1
分析：r 依次与r ,r ,,r ,r 交换，共交换了n −1次（r 移到第 1 行）；r 依次与r ,,r ,r 交换，
1 2 3
----------------------- Page 2-----------------------
（A ）0,a ,a （B ）a ,2a ,a
线代复习题
线代复习题
1. 矩阵的基本概念
- 定义矩阵及其元素
- 矩阵的阶数
- 矩阵的表示方法
2. 矩阵的运算
- 矩阵的加法和减法
- 矩阵的数乘
- 矩阵的乘法
- 矩阵的转置
- 矩阵的逆
3. 特殊矩阵
- 零矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵
- 斜对角矩阵
- 正交矩阵
4. 行列式
- 行列式的定义
- 行列式的计算方法
- 行列式的性质
5. 线性方程组
- 线性方程组的表示
- 高斯消元法
- 线性方程组的解的存在性
- 齐次线性方程组的解
6. 向量空间
- 向量空间的定义
- 基和维数
- 向量的线性组合
- 向量的线性相关性
7. 特征值和特征向量
- 特征值和特征向量的定义
- 特征值和特征向量的计算方法 - 特征多项式
8. 二次型
- 二次型的定义
- 二次型的矩阵表示
- 正定二次型
9. 线性变换
- 线性变换的定义
- 线性变换的矩阵表示
- 线性变换的性质
10. 矩阵分解
- 矩阵的对角化
- 矩阵的谱分解
- 矩阵的QR分解
11. 应用题
- 利用矩阵解决实际问题
- 矩阵在不同领域的应用案例分析
请根据以上复习题进行复习，确保掌握线性代数的基本概念和运算法则。
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线性代数复习题
填空题
1．行列式0
22230334
4045
550= 。
2．行列式2
34545790
0680057
= 。
3.设123023003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，011111B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则AB = ，
T T B A = 。
4.设12,ξξ是非齐次线性方程组AX β=的两个解向量，则
12235
A ξξ+= 。
5．设3阶方阵A 的行列式2A =，则132A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 。
6.行列式1111111
111
11a
a a a = 。
7.行列式1
23423450
0250026
= 8.设111012003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111011B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AB =
，
T T B A =。
9.设3阶A 的行列式 = -8 ，A 的两个特征值为1，2 则A 的另一个特征为 A*的三个特征值为
10.设4阶方阵()1234,,,A αααα=，()1234,,,B βααα=，且1A =，2B =，则
A B += 。
11.行列式
=
12.行列式
=
13.设矩阵
A = ，
B = 则AB =
r （AB ）=
14.设
，是非齐次线性方程组AX=β的两个解向量，则A （）=
15.设3阶方阵A 的3个特征值为-1，2，4，则
的3个特征值为
单项选择题
1、设3阶方阵A 的行列式=3，则=（ ）
（A ）
（B ）
（C ） （D ）
2、设 A = 则 A -1 = （ ）
（A ） （B ）
（C ）
（D ）
3、设A 为正交矩阵，则=（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）±1
解矩阵方程
1.设400140114A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵B ，使得23AB A B -=。
2. 设 A =
求 ：矩阵 B ，使得AB-2A=2B
解下列各题
1.问 a b ，取何值时，向量组()1,1,1a α=，()21,,1b α=，()32,3,2b α=线性无关，又为何值时线性相关。
2．求向量组()Ⅰ()11,1,1,2α=-，()22,3,4,5α=-，()31,2,3,4α=--，()44,5,6,9α=-的秩，并求出它的一个极大无关组。
3.问k ，为何值时，向量组
=（1，-1，2），=（2，k ，3），=（2，-2，）线性相关？
4.求向量组=（1，1，-1，2），=（3，4，2，2），=（2，3，-3，4），=（5，6，0，6）的秩，并求出它的一个极大无关组。
5.问k取何值时，
()
1
1,1,2
α=
，
()
2
2,,4
k
α=
，
()
3
2,3,5
α=
线性相关，又为何值
时线性无关。
6.求向量组
()
1
1,1,1,2
α=
，
()
2
1,0,2,3
α=-
，
()
3
2,3,4,5
α=
，
()
4
2,3,5,9
α=
的秩并
求出它的一个极大无关组。
7.问k ，为何值时，向量组=（1，-1，2）
，=（2，k，3），=（3，-3，）线性无关？
8.求向量组=（1，1，2，-1），=（3，4，2，2），=（2，3，4，-3），=（5，6，6，0）的秩，并求出它的一个极大无关组。
解线性方程组
1.求齐次线性方程组
1234
1234
1234
230
3420
56580
x x x x
x x x x
x x x x
+++=
⎧
⎪
+++=
⎨
⎪+++=
⎩
的基础解系及通解。
2.求齐次线性方程组的基础解系及通解。
3.求非齐次线性方程组
1234
1234
1234
22
234 5
45569
x x x x
x x x x
x x x x
++-=
⎧
⎪
++-=
⎨
⎪++-=
⎩
的全部解（用特解与导出组的
基础解系表示）。
4.求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示）。
5.求齐次线性方程组的基础解系及通解。
6.求非齐次线性方程组
的全部解（用基础解系表
示）。
解题：
1.设()222123123121323,,666f x x x x x x x x x x x =++--- （1）求一正交变换化f 为标准形
（2）判定f 的正定性
2.设
1）求一正交变换化为标准形。
2）判定的正定性。
3.设
， 1）求一正交变换，化为标准形。
2）判定的正定性
证明题
1.设n 维向量组线性无关，证明向量组
线性无关。
2.设n 阶方阵A 满足22A A =。
证明A 的特征值只能是0或2。
3.设
411
141
114 A
⎛⎫
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
1）求正交矩阵C，使得T
C AC为对角形。
2）写出A对应的二次型f。
3）写出f的标准形。