线代(1)复习题
大一线性代数期末考试试题
大一线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间的定义中，下列哪一项不是其公理化系统的一部分？A. 向量加法的封闭性B. 向量的数乘封闭性C. 向量加法的交换律D. 存在非零零向量2. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 - 2A + I = 0，其中I是3阶单位矩阵。
则A^3的值为：A. AB. 2AC. 3AD. 03. 在线性代数中，下列哪个矩阵是不可逆的？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 行最简矩阵D. 行阶梯矩阵4. 特征值和特征向量的定义中，下列说法正确的是：A. 特征向量可以是零向量B. 每个特征值都有对应的特征向量C. 一个矩阵的特征值是唯一的D. 一个矩阵可能没有特征值5. 设T是一个线性变换，且T保持向量加法和数乘，那么T是一个：A. 线性变换B. 非线性变换C. 仿射变换D. 恒等变换二、填空题（每题2分，共10分）6. 若向量v = (1, 2, 3)，向量w = (x, y, z)，且v与w垂直，则x + y + z = _______。
7. 设矩阵A = (\*, \*, \*; \*, \*, \*; \*, \*, \*)，若A的行列式为0，则称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
对于3阶方阵，其行列式计算公式为：det(A) = \*\*\* - \*\*\* + \*\*\* - \*\*\*+ \*\*\*。
8. 在求解线性方程组时，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组是_______的。
9. 设P是n阶置换矩阵，那么P的行（或列）向量中，有_______个1，n-_______个0。
10. 对于一个n维向量空间，其基可以通过_______个线性无关的向量来构造。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 请简述线性相关与线性无关的定义，并给出一个例子说明两者的区别。
12. 给出一个具体的3维向量空间，并说明其基和维数。
13. 解释何为矩阵的秩，并举例说明如何计算一个矩阵的秩。
线性代数第一章题库及解答
第一章会计算反序数，掌握行列式的性质，会计算行列式，掌握克莱姆法则 第22页2.计算下列各行列式. （1）|1232121−11|=|132230100|=|323|=−6 （2）307220583 =|307−2201303| =2⋅（−1）2+2⋅|37133| =2(3×3−7×13)=−164.（3）|20000−1000030000−5|=2×(−1)×3×(−5)=30（4）|1111123413610141020|=|11110123013601410|=|111101230013014|=|1111012300130001|=1 （5）5042111141201121=|5114121301−10010| =|54231−1010|=−|523−1| =11 （6）|11111−11111−11111−1|=|11110−20000−20000−2|=−8（第一行乘-1加到下面各行）4、k 取何值时，下列齐次线性方程组仅有零解？（系数行列式不等于0） （1）{3x +2y −z =0kx +7y −2z =02x −y +3z =0 D =|32−1k7−22−13|=|32−1k −6301150|=-|k −63115|=−(5k −30−33)=−(5k −63)≠0 所以k ≠635(2){kx 1+x 2+x 3=0x 1+kx 2−x 3=02x 1−x 2+x 3=0 D =|k 111k −12−11|=|k 11k +1k +102−k −20|=(k +1)|112−k−2|=(k +1)(−2−2+k )=(k +1)(k −4)≠0 所以k ≠−1并且k ≠−4第25页4、（1）|21413−12112325062|=|2141506212325062|=0 （将第一行加到第二行后，第二行和第四行元素对应相等） （2）方法一：|1201135001561234|=|100111500156134|=|100111000106134|=3⋅(−1)4+3|101110016|=−3|10101−1016|=−3|1−116|=−21方法二：|1201135001561234|=|1201015−10156033|=|15−1156033|=3|15−1007011|=−21|1501|=−21（3）a b b bb a b b b b a bb b b a=|a +3bbb b a +3b a b b a +3b b a b a +3b b b a | =|a +3b bb b 0a −b 0000a −b 0000a −b| =(a +3b)(a −b)3 （4）x yyxx x y y yx x y+++ =|2x +2y y x 2x +2y x +y y 2x +2yx x +y |=|2(x +y)y x0x y −x 0x −y y | =2(x +y )|x y −x x −y y|=2(x +y )[xy +(x −y )2] =2(x 3+y 3) 或者：x yy x x x y y yxx y+++=1213222222x y y x c c x y x y y c c x yxx y+++++++11(22)1(22)010y x y x x y x yy x y xy x xx yx yy=++=+-+-2233(22)2()()2()x y x x y x y x xy y x y x yy-=+=+-+=+-单项选择题（1） 关于行列式，下列命题错误的是（B ）.A. 行列式第一行乘以2，同时第二列除以2，行列式的值不变 B ．互换行列式的第一行和第三行，行列式的值不变 C ．互换行列式的任意两列，行列式仅仅改变符号 D ． 行列式可以按任意一行展开（2） 关于行列式，下列命题正确的是（A ）. A. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等B ．互换行列式的任意两行所得到的行列式一定与原行列式相等C ．如果行列式有一行的所有元素都是1，则这个行列式等于零D ． 以上命题都不对（3）下列命题错误的是（ B ）.A. 如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组有唯一解 B ．如果线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组无解C ．如果齐次线性方程组的系数行列式等于零，则该方程组有非零解D ．如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则该方程组只有零解 （4）排列1 6 5 3 4 2的逆序数是（ B ）.0+0+1+2+2+4=9 A. 8 B ．9 C ．7 D ． 6（5）212431235-的代数余子式12A 是（ C ）.A. 2143-- B ．2143- C ．4125--D ．4125- 2.填空题.（1）|1−221|= 5（2）|123045006|=1×4×6=24（3）若52k 74356=，则k =_7_________.（4）212431235-的余子式32M =|22−41|，代数余子式32A =−|22−41|.（5）若a c 3b d =，则2a 2c2b 2d -=--12，a 2c b 2d --=--6，2a 2cb d=---6. （6）已知k341k 000k 1-=，则k =_1或3_________.3、在四阶行列式中，确定下列各项的符号.a13a24a31a42t（3412）=2+2=4 所以a13a24a31a42的符号是正号.a34a23a41a12将行标按自然顺序排列a12a23a34a41t（2341）=1+1+1=3 所以a34a23a41a12的符号是负号.。
线性代数综合复习资料
《线性代数》综合练习资料第一章 n 阶行列式一、判断题1．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ × ） 2．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ × ） 3．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号 ( √ ). 4. 已知n 阶矩阵A 各列元素之和为0，则A ＝0 ( √ ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( √ )6、齐次线性方程组有非零解，则系数行列式的值一定为零。
（ √ ）7、1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ （ × ）二.填空题：1．多项式=)(x P 333322221111x c b a x c b a xcb a （其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 ,,x a x b x c === .2.. 三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 0 。
3、(),____1________.nn ij ij D a a D a a ===-=-若则4.设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且|A |=3，|B|=2，C=00A B⎛⎫⎪⎝⎭，则|C |=______()16nm-⋅_____. 5、设四阶行列式3214214314324321，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则_______3331=+A A ，_______3432=+A A .根据定义求即可 6 ．已知4阶行列式D 的第一行元素分别是－1，1，0，2；第四行元素对应的余子式依次为5，x ，7，4，则x ＝ 3-7、已知n 阶行列式100110111 =D ，则D 的所有元素的代数余子式之和等于 n .三.选择题1、设）（则B a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D =---===333231312322212113121111333231232221131211324324324,1 （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）12．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4， 则D= ( A )（A ） -15 （B ） -5 （C ） 5 （D ） 1 3、已知四阶行列式A 的值为2，将A 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ A ）（A ） 2 ； （B ） 0 ； （C ） ―1 ； （D ） ―24、n 阶行列式D 不为零的充分必要条件是（ D ）（A ）D 中至少有n n -2个元素不为零 （B ）D 中所以元素都不为零（C ）D 的任意两列元素之间不成比例 （D ）以D 为系数行列式的非齐次线性方程组有唯一解5．如果行列式02002000110011=kk k ，则（ A ）。
线性代数总复习题(一)
九． 设 A、B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB = BA ． 证明：∵ A, B 都是 n 阶对称阵．
∴ AT = A ， B T = B ．
∴ AB 是对称阵 ⇔ ( AB ) = AB
T
⇔ B T AT = AB ⇔ BA = AB
十． 求下面矩阵的特征值和特征向量：
1． 设 D1 =
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
， D2 =
an1 an −1,1 a11
an 2 an −1,2 a12
ann an −1, n a1n
，则 D1 与 D2 的关系是（
C
） ．
（A） D2 = D1 分析： rn 依次与 rn −1 , rn − 2 ,
∴ i = 2 ， k = 5 ；或 i = 5 ， k = 2 ．
． 若 i = 2 ， k = 5 ，则列标排列 32145 的逆序数为 3，这一项的符号为“ − ” ． 若 i = 5 ， k = 2 ，则列标排列 35142 的逆序数为 6，这一项的符号为“ + ”
∴ i =5，k = 2．
（2） R ( A ) = 2 ； （3） R ( A ) = 3 ． （1） R ( A ) = 1 ；
−2 3k ⎞ ⎛ 1 −2 3k ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ( k − 1) 解： A = ⎜ −1 2k −3 ⎟ ∼ ⎜ 0 2 ( k − 1) ⎟． ⎜ k −2 3 ⎟ ⎜ 0 0 −3 ( k + 2 )( k − 1) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ （1）当 k ≠ −2 且 k ≠ 1 时， 2 ( k − 1) ≠ 0 ， −3 ( k + 2 )( k − 1) ≠ 0 ， R ( A ) = 3 ． ⎛ 1 −2 −6 ⎞ ⎜ ⎟ （2）当 k = −2 时， A ∼ ⎜ 0 −6 −9 ⎟ ， R ( A ) = 2 ． ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −2 3 ⎞ ⎜ ⎟ （3）当 k = 1 使， A ∼ ⎜ 0 0 0 ⎟ ， R ( A ) = 1 ． ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
(完整版)线性代数复习——选择题.doc
《线性代数》复习一：选择题a11 a12 a13 2a11 2a12 2a131.如果a21 a22 a23 = M，则2a21 2a22 2a23 = （）a31 a32 a33 2a31 2a32 2a33A. 8MB. 2MC. MD.6M2. 若 A，B 都是方阵，且 |A|=2， |B|=-1，则 |A -1B|= （）A. -2B.2C. 1/2D. –1/23. 已知可逆方阵 A 1 3 7则 A （）1 2A. 2 7B.2 7C.3 7D.3 7 1 3 1 3 1 2 1 24. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A.AOB. r(A)> 0C. r(A)< nD. r( A) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 A O 且 AB O 则下列结论必成立的是（）A. BA OB. B OC. (A B)( A B) A2 B2D. (A B)2 A2 BA B26. 下列各向量组线性相关的是（）A. 1 (1 0 0) 2 (0 1 0) 3 (0 0 1)B. 1 (1 2 3) 2 (4 5 6) 3 (2 1 0)C. 1 (1 2 3) 2 (2 4 5)D. 1 (1 2 2) 2 (2 1 2) 3 (2 2 1)7. 设 AX b 是一非齐次线性方程组 1 2 是其任意 2 个解则下列结论错误的是（）A. 1 2是 AX O 的一个解 B. 1 12是 AX b 的一个解+ 2 1 2C. 1 2是AX O 的一个解D.2 1 2是AX b 的一个解8. 设 A为 3阶方阵 A的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 3 6 9C.12 3D. 1 1/2 1/39. 设 A 是 n 阶方阵且 |A| 2 A*是 A 的伴随矩阵则 |A*| （）A. 1B. 2nC. 1D. 2n 12 2 n 11 y 210. 若 x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案 :1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设30 ，则取值为（）2 1A. λ=0 或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0 且λ≠ -3D. λ≠02. 若 A 是 3 阶方阵，且 |A|=2， A* 是 A 的伴随矩阵，则 |A A* |=（）A. -8B.2C.8D. 1/23. 在下列矩阵中可逆的是（）0 0 01 1 0 1 1 0 1 0 0 A. 0 1 0B.2 2 0 C. 0 1 1D. 1 1 10 0 10 0 1 1 2 11 0 14. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A+3E O 则 A 1 （ ）A. EB. 1C. 2A 3ED. A(2E A)31 a a a5. 设 Aa 1 a aa a 1 a ,若 r(A) 1, 则 a （ ）aaa 1A.1B.3C.2D.46.x 1 x 2 x 3 0,若齐次线性方程组x 1 x 2x 3 0, 有非零解则常数（ ）x 1 x 2 x 3 0A.1B.4C.2D.1 7. 设 A B 均为 n 阶矩阵则下列结论正确的是（ ）A. BA ABB.(A B)2 A 2BA ABB 2C. (A B)(A B) A 2B 2D. (A B)2A 22 AB B 28. 已知 1(10 0) 2(200)3 (0 0 3) 则下列向量中可以由123 线性表示的是（）A. (1 2 3)B.(12 0)C. (0 2 3)D. (3 0 5)9. n 阶方阵 A 可对角化的充分条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B.A 的不同特征值的个数小于 nC. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为fy 12y 223 y 32 ，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4 阶方阵，且 |A|=2，则 |-2A |=（ ）A. 16B. -4C. -32D. 32 2. 3 4 6行列式 k 5 7 中元素 k 的余子式和代数余子式值分别为（）1 2 8A. 20， -20B.20，20C. -20，20D. -20，-203. 已知可逆方阵 A2 7则 A1）1 3 （A.2 7B.2 7C.3 7 D.371 31 31 2 124. 如果 n 阶方阵 A 的行列式 |A | 0则下列正确的是（）A.AOB. r (A )> 0C. r(A)< nD. r(A ) 05. 设 A B 均为 n 阶矩阵 则下列结论中正确的是（）A. (A B)(A B) A2 B 2B. (AB )k A k B kC. |kAB | k|A | |B |D. |(AB )k| |A |k |B|k6. 设矩阵 A n n的秩 r(A ) n 则非齐次线性方程组 AX b（）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解7. 设 A 为 n 阶方阵 A 的秩 r(A) r n 那么在 A 的 n 个列向量中（）A.必有 r 个列向量线性无关B.任意 r 个列向量线性无关C. 任意 r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出8.已知矩阵 A4 4的四个特征值为 4， 2， 3， 1，则 A =（）A.2B.3C.4D.249. n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有 n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有 n 个不同的特征向量D. A 有 n 个线性无关的特征向量10. n 阶对称矩阵 A 为正定矩阵的充要条件是（）A. A 的秩为 nB. |A| 0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案 : 1.D 2. A 3. D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D3 4 61. 行列式 2 5 7 中元素y的余子式和代数余子式值分别为（）y x 8A. 2，-2B. –2， 2C. 2，2D. -2， -22. 设 A B 均为 n(n 2)阶方阵则下列成立是（）A. |A+B| |A |+|B|B. AB BAC. |AB | |BA |D. (A+B) 1 B 1+A 13. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2 2A E 则(A-2E ) 1 （）A. AB. 2 AC. A+2ED. A-2E4. 矩阵A 1 1 1 12 2 2 2 的秩为（）3 3 3 3A.1B.3C.2D.45. 设 n 元齐次线性方程组AX O 的系数矩阵 A 的秩为 r 则方程组 AX 0 的基础解系中向量个数为（）A. rB. n- rC. nD. 不确定6. 若线性方程组x1 x2 2x3 1无解则等于（）x1 x2 x3 2A.2B.1C.0D. 17. n 阶实方阵 A 的 n 个行向量构成一组标准正交向量组，则 A 是（）A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D.| A |= n8. n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于 nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设 1 2 是非齐次线性方程组Ax=b 的任意 2 个解则下列结论错误的是（）A.1+ 2 是 Ax =0 的一个解 B. 1 η1η2 1 2 2是 Ax =b 的一个解C.12 是 Ax =0 的一个解D. 2 1 2 是Ax=b的一个解10.设二次型的标准形为f y12y223y32，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案 : 1. D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.D 9.A10.D1.a b 0设 D b a 0 0 ，则 a， b 取值为（）1 0 1A. a=0， b≠ 0B. a=b=0C. a≠ 0， b=0D. a≠0， b≠ 02. 若 A 、B 为 n 阶方阵且AB=O 则下列正确的是（）A. BA OB. |B | 0 或|A| 0C.B O或A OD. (A B)2 A2 B23. 设A是3 阶方阵，且 | A | 2，则|A 1|等于（）A. 2B. 1C.2D.1 2 24. 设矩阵 A B C满足AB AC 则 B C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵5. 如果 n 阶方阵 A O 且行列式 |A| 0 则下列正确的是（）A. 0<r( A) < nB. 0 r(A) nC. r(A )= nD. r(A) 07 x1 8x2 9x3 06. 若方程组x2 2 x3 0 存在非零解则常数 b （）2 x2 bx3 0A.2B.4C.-2D.-47. 设 A 为 n 阶方阵且 |A| 0 则（）A.A 中必有两行 (列 )的元素对应成比例B.A 中任意一行 (列 )向量是其余各行 (列) 向量的线性组合C.A 中必有一行 (列 )向量是其余各行 (列 )向量的线性组合D.A 中至少有一行 (列 ) 的元素全为零8. 设A为 3阶方阵 A 的特征值为 1 2 3 则 3A 的特征值为（）A. 1/6 1/3 1/2B. 369C.123D. 1 1/2 1/39. 如果 3阶矩阵 A 的特征值为 -1,1,2 ，则下列命题正确的是（）A. A 不能对角化B. A 0C. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为 f y12 y22 3 y32，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案:1.B 2.B 3. B 4. C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D10.Ca11 a12a13 4a a a a11 11 12 131. 如果 a21 a22a23 =M，则 4a21 a21 a22 a23 =（）a31 a32a33 4a31a31a32a33A. -4MB. 0C. -2 MD. M2. 设 A ij 是 n 阶行列式 D |a ij |中元素 a ij的代数余子式则下列各式中正确的是（）nB. n nD.nA. a ij A ij 0 a ij A ij 0 C. a ij A ij D a i1A i 2 Di 1 j 1 j 1 i 11 0 02 0 03. 已知A 0 1 0 ，B 2 2 1 ，则 |AB |=（）3 0 1 3 3 3A.18B.12C.6D.364. 方阵 A 可逆的充要条件是（）A.AOB. |A| 0C. A* OD. |A| 15. 若 A 、B 为 n 阶方阵 A 为可逆矩阵且 AB O 则（）A. B O 但 r( B) nB. B O 但 r(A) n, r (B ) nC. B OD. B O 但 r(A) n, r(B) n6. 设 1 2 是非齐次线性方程组AX b 的两个解则下列向量中仍为方程组解的是（）A. 1 2B. 1 2C. 1D.+2(β1 2β2)7. n 维向量组 1 2 s线性无关为一 n 维向量则（）A. 12 s 线性相关B. 一定能被12C. 一定不能被12 s 线性表出D. 当 s n 时一定能被8. 设 A 为三阶矩阵 A 的特征值为 2 1 2 则A 2E 的特征值为（3β2β1 25s线性表出12s 线性表出）A. 212B.-4-10C.124D.41-49.若向量α=（ 1， -2，1）与β=（ 2， 3， t）正交，则 t=（）A.-2B.0C.2D.41 y 210. 若x z 3 正定则 x y z 的关系为（）0 0 1A. x+y zB. xy zC. z xyD. z x+y参考答案:1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C3 4 6中元素 x 的余子式和代数余子式值分别为（1. 行列式 2 5 7 ）y x 8A. –9， -9B. –9，9C. 9， -9D. 9，91 1 1 12.2 3 4 53 3 3 3 =（ ）4 3 4 4A.2B.4C.0D.1 3. 设A 为4 阶矩阵 |A | 3 则其伴随矩阵A *的行列式 |A *| （）A.3B.81C.27D.9 4. 设 A B 均为 n 阶可逆矩阵则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T A T +B TB.(A +B) 1 A 1+B 1C.(AB)1B 1A 1D. (AB )T B T A T 5. 设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A +EO 则(A+E ) 1（ ）A. AB. -(A+E )C. –AD. -(A 2+A )6. 设 n 阶方阵 A B 则下列不正确的是（ ）A. r(AB )r(A)B. r(AB )r(B)C. r( AB ) min{ r(A )， r(B )}D. r(AB )>r (A )7. 已知方程组 AX b 对应的齐次方程组为 AX O ， 则下列命题正确的是（）A. 若AX O 只有零解 则 AX b 有无穷多个解B. 若AX O 有非零解 则 AX b 一定有无穷多个解C. 若AX b 有无穷解 则 AX O 一定有非零解D. 若AXb 有无穷解 则 AXO 一定只有零解8.10 1已知矩阵 A 02 0 的一个特征值是 0 则 x （ ）1 0 xA.1B.2C.0D.31 09.与A02 1 相似的对角阵是（）0 1 21111A.Λ1B.Λ2C. Λ1 D. Λ 1 333 410. 设 A 为 3 阶方阵 A 的特征值为 1 0 3则A 是（）A. 正定B.半正定C.负定D. 半负定参考答案 : 1. C 2. C3. C4. B5. C6. D7. C8.A 9.A 10.B1. 设 A B 都是 n 阶方阵A. 若|A| 0 则A Ok 是一个数 B. |kA|则下列（|k| |A |）是正确的。
线性代数大学试题及答案
线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。
答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。
答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。
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线性代数练习题一、行列式1. n 阶行列式D=nn 0000100200100-=___________ .2. 设A 是3阶方阵, | A | = –2, 把A 按行分块⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321αααA , 其中αj (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行，则行列式121332αααα-= . 3. 设,142212101,10540321⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B A 则| AB | = ( ). (A) 8; (B) –10; (C) 12; (D) –14.4. 设3阶方阵A 按列分块为A = (a 1, a 2, a 3), 并且det A = 5, 又设B = (a 1+2a 2, 3a 1+4a 3, 5a 2),则det B = .5. 设A 为3×3矩阵, | A | =–2, 把A 按列分块为 A = (A 1, A 2, A 3), 其中A j (j=1,2,3)是A 的第j 列 , 则 | A 3 – 2A 1, 3A 2, A 1 | = .6.设A , B 均为4阶方阵| A | = 2, | B | = 1, A = (α, r 2, r 3, r 4), B = (β, r 2, r 3, r 4), α, β, r 2, r 3, r 4均为4维列向量，则| A +B | = .7. 计算行列式D =1256427825169454321111. 8.计算行列式2111111211211211.9.计算n 阶行列式D n =aa a a 001000000100(主对角线元素全是,a 其余未写出的元素全是0). 10. 计算n 阶行列式a x x x x a x xx x a xxx x a D n=. 11.计算n 阶行列式()0,1111111112121≠+++=n nn a a a a a a D.12. 计算D n = 2122122111222212121111111------+++++++++n nn n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x. 13. 计算行列式nna b b b b a b b bb a b b b b a D321=. 14.计算nnnnn a a a b a a a b a a a b a a aD---=22222111111111. 15.计算n 阶行列式D n =xy y x y x y x 000000000000 .123100101a x a a x x +---. 17.计算行列式D =dc b a 100110011001---.1.当k =_____ 时，矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛121k 不可逆。
2.设,025013200⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 则(A *)-1 =( ).3．设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛333022001的伴随矩阵为A *, 则(A *)–1 =4. 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0012000123001100A , 则A -1 = 5. 设A 是3阶方阵,且| A | = 5, 则| –2A | = , | (A –1)T |= . 6. 设A 为3阶方阵, 且| A | = 2, 则| 2A -1 | = , | A * | = . 7．设A 为n 阶方阵, A *是A 的伴随矩阵, 则 ||A |A *| = .8. 设A 为n 阶矩阵，且| A | = 2，则*411A A +⎪⎭⎫⎝⎛--=9．设向量a T =(a 1, a 2, a 3), 则a T a = , aa T =10.设3阶方阵A , B 满足A *BA = 2BA – 8E ，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100020001A , E 是单位矩阵, A *是A 的伴随矩阵，则B = .11．设,100011001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121112301A , 则B -1 = . 12.设n 阶矩阵A 满足关系A 2 + 2A – 3E = O ，则(A + 4E )–1 = . 13. 已知矩阵A 满足A 2–A –2E = 0, 则A – 1 = .14.设A 为三阶非零方阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10012121t B ，且r (A ) = 2, r (AB ) = 1，则t = .15.设A 为n 阶方阵, AA T = E (其中E 为n 阶单位阵, A T 为A 的转置), 且| A | < 0, 则| A + E | = . 16. 设A 是m ⨯n 矩阵, C 是与n 阶单位矩阵E 等价的矩阵, 且有B = AC , 若rank A = r , rank B = s , 则（ ）.A. r > s ;B. r < s ;C. r = s ;D. 以上结论都不正确.17. 设,222,323331222321121311333231232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ,100020001,010********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P 则B =（ ）. A.P 1 P 2A ; B. AP 2P 1; C. P 1AP 2; D. P 2AP 1. 18. 若A , B 均为n 阶方阵，则下列说法正确的是（ ）.A ． (AB )–1= A –1 B –1; B. (A +B )2 = A 2 + AB + B 2; C. | AB | = | BA | D. | A +B | = | A | + | B |. 19. 设A 为n 阶可逆矩阵，则(A *)*为（ ）.A ．| A |n –1A ; B. | A |n +1A ; C. | A |n –2A ; D. | A |n +2A . 20. 设n 阶方阵A , B ,C 满足关系式ABC = E , E 为n 阶单位矩阵, 则必有( ).(A) ACB = E ; (B) CBA = E ; (C) BAC = E ; (D) BCA = E . 21．设n 阶矩阵A 满足A 2 = 0, E 是n 阶单位矩阵，则( ). (A) |E – A | ≠ 0, 但| E + A | = 0; (B) |E – A | = 0, 但| E + A | ≠ 0;. (C) |E – A | = 0, 且| E + A | = 0; (D) |E – A | ≠ 0, 且| E + A | ≠ 0. 22. 设A , B , A +B , A –1+B –1皆为n 阶可逆矩阵, 则(A –1+B –1) –1 =( ).(A) A –1+B –1; (B) A +B ; (C) (A +B )–1; (D) A (A +B )–1B . 23. 下列命题中不正确的是( ).(A) 若⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n λλλΛ 21, 则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k n kk k λλλΛ 21; (B) 若BA = E ,则(AB )k= AB ; (C) 若A = P Λ P –1, 则A k = P Λk P –1; (D) 若A , B 为同阶方阵, 则(AB )k = A k B k . 24．设F = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--124301231, P = E (1, 3(2)) =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010201是3阶初等方阵, 则PF = . (A)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-124301477, (B)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--126305233, (C)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1210301238, (D)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---024301732.25．已知A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛t 03032321，B ≠0, B 为3阶矩阵, 且AB = 0, 则t = . (A) –9, (B) 27, (C) 18, (D) –27.26.已知()1,1,11-=⎪⎭⎫⎝⎛-=B A , 求(AB )n .27.设A 是3阶方阵, | A |=21, 求|(2A )–1–5A *|.28.设A 为n 阶方阵，且det A =2, 计算行列式⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--*131det A A 的值.29.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210021101A ,证明A E +2可逆并求()()E A E A 4221-+-.30. 设A 为3阶方阵，且| A | = 3, 计算: (1) | | A |A * |; (2) | 3A –1 – 2A * | .31.设3阶矩阵A , B 满足关系式A –1BA = 6A + BA , 且,7/10004/10003/1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 求矩阵B .32.若A , B 是两个3阶方阵, 且| A | = –1, | B | = 2, 求| 2(A T B -1)2 |.33.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100110011B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120312C , 矩阵X 满足关系式X ( E – C -1B )T C T = E , 求X .34.设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1500370000020024,且BA = A +B , 求矩阵B .35.求解矩阵方程AX = B , 其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110321,334212211B A .36.计算题设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001,001120110,100042011E B A , 求满足下列矩阵方程组的X ，Y ,⎩⎨⎧=--=+-002B AY AX E YB XB .三、线性方程组1.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ只有零解，则λ应满足的条件是 .2.设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0, 且rank A = n – 1, 则线性方程组Ax = 0的通解为 。
3.齐次线性方程组Ax =0的系数矩阵A 的列向量组线性相关，则此方程组有 .4．经过初等行变换，方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000002011111300，则方程组的通解为 5. 设非齐次线性方程组Ax = b 有n 个未知量, m 个方程, 且R (A ) = r , 则此方程组( )。
(A) r = m 时, 有解; (B) r = n 时, 有唯一解； (C) m = n 时, 有唯一解; (D) r < n 时, 有无穷多解. 6. 设非齐次线性方程Ax =b 有m 个方程n 个未知量, 则以下结论正确的是( ).(A)若Ax = 0仅有零解, 则Ax = b 有唯一解; (B)若Ax = 0有非零解, 则Ax = b 有无穷多解; (C)若Ax = b 有无穷多解, 则Ax = 0仅有零解; (D)若Ax = b 有无穷多解, 则Ax = 0有非零解.7.设A 为m ⨯n 矩阵, b 为m 维非零列向量，则有( ).(A) 当m <n 时，方程组Ax = b 有无穷多解;(B) (B)当m <n 时，Ax = 0有非零解，且基础解系中含n –m 个线性无关解向量;(C)若A 有n 阶子式不为零，则Ax = b 有唯一解; (D)若A 有n 阶子式不为零，则Ax = 0仅有零解.8. 若方程组A m ⨯n x = b (m ≤ n ) 对于任意m 维列向量b 都有解, 则以下结论( )是正确的.(A) R (A ) = n ; (B) R (A ) = m ; (C) R (A ) > n ; (D) R (A ) < m .9. 要使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110,20121ξξ都是线性方程组Ax = 0的解, 则系数矩阵A 为( )..110224110.D ;110201.C ;110102B.);1,1,2(.A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-- 10．设四元非齐次线性方程组Ax =b 的系数矩阵A 的秩为3，已知η1,η2,η3是它的三个解向量, 且,4321,5432321⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηη求该方程组的通解.11．设4元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 的秩为2, 已知η1, η2, η3为它的三个解向量, 且⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101,4321,10113211ηηηη, 求其通解.12． 设A 是m ⨯3矩阵, 且R (A )=1, 如果非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量η1, η2, η3满足: η1+η2 = (1, 2, 3)T , η2+η3 = (0, –1, 1)T , η3+η1 = (1, 0, –1)T , 求Ax =b 的通解.13．四元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 的秩为2, 已知η1, η2, η3, η4为它的四个解向量, 且η1 = (1, 1, 0, 1)T , η2 +η3,= (1, 2, 3, 4)T , η4 = (1, 0, 1, 1)T , 求Ax = b 的通解.14． 设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2, α1, α2, α3, α4是它的解,α1 = (1, 0, 0, 1)T , α2 = (2, 2, 1, 2)T , α3+α4 = (3, 4, 5, 7)T , 求此四元非齐次线性方程组的通解.15．解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=++-+=++-+432636242232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 16． 解线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x .17． 求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+-=-+-337713343424313214314321x x x x x x x x x x x x x 的通解 18．解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--032030432143214321x x x x x x x x x x x x19．解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=+-+=-+-0793083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 20． 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=--+642136511354432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.21．求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解. 22.求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=++-=--+0739083032054321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系.23．设矩阵A = (α1, α2, α3, α4)，其中α2, α3, α4线性无关, α1 = 2α2–α3, 向量b = α1 + α2 + α3 + α4, 求方程组Ax = b 的通解.四、线性相关性1．.向量组A ：s αα,,1 可由向量组组B ：t ββ,,1 表示，且 ，则向量组A 必线性相关。