二次根式综合复习提优
八年级初二数学下学期二次根式单元 期末复习提优专项训练
一、选择题1．计算32782-⨯的结果是（ ） A ．3 B ．3- C ．23 D ．53 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9B ．13C ．20D ．73．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．15B ．8C ．13D ．264．下列运算正确的是（ ） A ．235+= B ．322-＝3 C ．2(2)-＝﹣2 D ．24322÷=5．下列各式中，无意义的是（ ）A ．23-B ．()333-C ．()23-D ．310-6．下列运算中，正确的是( )A ．325+=B ．321-=C ．326⨯=D ．3322÷= 7．当4x =时，22232343124312x x x x x x -+--+++的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．38．化简二次根式 22a a a +-的结果是（ ） A ．2a --B ．－2a --C ．2a -D ．－2a - 9．若实数a ，b 满足+=3，﹣=3k ，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣3≤k ≤2 B ．﹣3≤k ≤3C ．﹣1≤k ≤1D ．k ≥﹣1 10．已知，5x y +=-，3xy =则y x xy x y 的结果是（ ） A ．3B ．3- C ．32D ．32-二、填空题11．若0a >4a b-化成最简二次根式为________． 12．把31a -根号外的因式移入根号内，得________13．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．14．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.15．(623÷=________________ . 16．化简(32)(322)+-的结果为_________.17．2121=-+3232=+4343=+20202324320202019+++++……=___________． 18．28n n 为________．19．12a 1-能合并成一项，则a =______．20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b c p ++=，那么三角形的面积()()()S p p a p b p c =---ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题21．先阅读材料，再回答问题： 因为)21211=2121=+；因为(32321=，所以3232=+(43431=4343=+ （154=+ ，1n n=++ ； （2213210099⋅⋅⋅++++的值． 【答案】（1541n n +2）9【分析】（1）仿照例子，由54541+=54+的值；由1+=1的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案．【详解】解：（1）因为1-=；因为1=1（2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=．【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．22．已知x=2，求代数式（7+x 2+（2）x【答案】2【解析】试题分析：先求出x 2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.试题解析：x 2=（2）2=7﹣则原式=（7﹣+（2=49﹣23．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解.【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++=6x+6把1x =代入原式=61）【点睛】 此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.24．计算②)21-【答案】① 【分析】 ①根据二次根式的加减法则计算；②利用平方差、完全平方公式进行计算．【详解】解：①原式＝②原式＝(5-2-＝【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是关键．25．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a b a b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【详解】 原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+，当，b=1时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.26．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．27．计算：（1（2|a ﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a 的取值范围进行化简．【详解】解：（1－1＝2－1＝1（2）∵1＜a ，a ﹣1＝2﹣a ＋a ﹣1＝1．【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．28．计算：（1）13⎛+-⨯ ⎝⎭（2）)()2221+．【答案】（1）6-；（2）12-【分析】（1）原式化简后，利用二次根式乘法法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．【详解】解：（1）原式＝1(233⨯⨯-⨯＝3-⨯＝⨯⎭＝6-；（2）原式＝3﹣4+12﹣＝12﹣．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先计算二次根式乘法，再合并同类二次根式即可．【详解】原式=故选：A．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．2．D解析：D【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可．【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A错误；=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B错误；3=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C错误；是最简二次根式，故选项D 正确.故选D ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．3．D解析：D【分析】根据最简二次根式的特点解答即可.【详解】A ，故该选项不符合题意；B =C 、=3，故该选项不符合题意；D 不能化简，即为最简二次根式，故选：D .【点睛】此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.4．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB 、＝，故此选项错误；C 2，故此选项错误；D ，正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．5．A解析：A【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案．【详解】AB，有意义，不合题意；CD 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A.【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．6．C解析：C【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果．【详解】不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；=D2=，故此选项错误； 故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键． 7．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式2223232323x x x x112323x x 将4x =代入得，原式11423423 22111313131133331131=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．8．B解析：B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】22202a a a a a +-∴+<∴<- 222222a a a a a a a a a+----∴-==•=--- 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．9．C解析：C【解析】依据二次根式有意义的条件即可求得k 的范围．解：若实数a ，b 满足+=3，又有≥0，≥0， 故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则 ﹣3≤-≤0 ②+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣=3k ， 即﹣3≤3k ≤3，化简可得﹣1≤k ≤1．故选C ． 点睛：本题主要考查了二次根式的意义和性质．解题的关键在于二次根式具有双非负性，即≥0（a ≥0），利用其非负性即可得到0≤≤3，0≤≤3，并对0≤≤3变形得到﹣3≤-≤0，进而即可转化为关于k 的不等式组，求出k 的取值范围.10．B解析：B【分析】由x+y=-5，xy=3可得到x ＜0，y ＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式=2x xy y xy xy =-，然后把xy=3代入计算即可． 【详解】∵x+y=−5，xy=3，∴x<0，y<0，∴原式=22x xy y xy xy xy x y =2xy =-（x ＜0，y ＜0）， 当xy=3时,原式=23-故选B.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于先化简.二、填空题11．【分析】先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵∴∴所以答案是：【点睛】本题考查了二次根式的性质. 解析：2ab b- 【分析】先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可.【详解】解：∵40,0a a b-≥> ∴0b < 2a b b b b=--所以答案是： 【点睛】a =.12．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴， ∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质解析：a【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．13．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()aa cbc b =aa cbc b =-2a .【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.14．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.15．【解析】=，故答案为.解析：【解析】÷====-， 故答案为16．1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.解析：1【分析】根据平方差公式进行计算即可.【详解】原式=(223981-=-=.故答案为：1.【点睛】本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 17．2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第1个等式为：，第2个等式为：，第3个等式为：，归纳类推得：第n 个等式为：（其中，解析：2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第11=，第2=，第3=归纳类推得：第n 1=-n 为正整数），则2020++，2020=+，=， 20202=-，2018=，故答案为：2018．【点睛】本题考查了二次根式的加减法与乘法运算，依据已知等式，正确归纳出一般规律是解题关键．18．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．19．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．20．【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．所以三角形的面积S ＝＝＝4．故答案为：4．【点睛】本题主解析：【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝2a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572++＝8．所以三角形的面积S ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式综合复习(提优)
课题二次根式全章综合复习1、理解二次根式的概念，并利用a （ a ≥ 0）的意义解答具体题目学习目标2、理解 a （ a ≥ 0）是一个非负数和（ a ）2=a （ a ≥ 0）并利用它们进行计算和化简3、二次根式的运算与化简求值学习重点二次根式的性质及其运算知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才 9 有意义．【典型例题】例 1、下列各式 1）1, 2) 5,3)x22, 4) 4,5) ( 1)2,6) 1 a,7) a 2 2a 1 ，其中是二次53根式的是 _________（填序号）． 练习：1 、下列各式中，一定是二次根式的是（）2A 、 aB 、10C 、 a 1D 、a 12 、在a 、 a 2b 、 x 1、 1x 2、3中是二次根式的个数有 ______ 个例 2、若式子 1． [来源 :学 *科 *网 Z*X*X*K]有意义，则 x 的取值范围是x 3练习：1 、使代数式x3有意义的 x 的取值范围是（ ）x 4A 、x>3B 、 x ≥3C 、 x>4D 、 x ≥3 且 x ≠42 、如果代数式m1P （ m ， n ）的位置在（ ）有意义，那么，直角坐标系中点 mnA 、第一象限B 、第二象限C、第三象限D、第四象限例 3、若y=x 5 + 5 x +2009，则x+y=练习：1、若x 1 1 x(x y)2，则x－y的值为（）A．－ 1 B ． 1C． 2 D ． 32 、当a取什么值时，代数式2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。
例 4、已知 a 是 5 整数部分，b是 5 的小数部分，求a1的值。
b2练习：1 、若 3 的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则3a b。
2 、若17 的整数部分为x，小数部分为x 21y，求y 的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性： a (a 0) 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ( a ) 2 aa(0) ．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a ( a ) 2 (a 0)3. a2a( a 0)|a|0)a( a 注意：（1）字母不一定是正数．（ 2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（ 3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式 a2a(a 0) aa( 0) 的区别与联系|a|与 ( a ) 2a( a0)（1）a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2） ( a) 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（ 3） a 2 和 ( a) 2 的运算结果都是非负的．【典型例题】例 4、若a 22b 3c 40，则 a b c．练习：1 、已知 x, y 为实数，且 x 13 y2 2 0 ，则 x y 的值为（）A ． 3B ．– 3C ．1D ．– 12 、已知直角三角形两边x 、 y 的长满足｜ x 2－ 4 ｜＋y 2 5y 6 ＝ 0 ，则第三边长为＿＿＿＿＿＿ .、若a b1 与20053 a2b 4互为相反数，则a b_____________。
二次根式综合性大题训练(培优)
二次根式综合性大题训练（培优）1．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2√2=(1+√2)2，善于思考的康康进行了以下探索：设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b√2化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(c+d√3)2，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若7−4√3=(e−f√3)2，且e、f均为正整数，试化简：7−4√3；（3）化简：√7+√21−√80．2．观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．3．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）4．小明在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√121+√119．（2）若a=√2−1．求：①求3a2﹣6a+1的值．②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2−5a+1a+2=．5．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（√a）2+（√b）2＝m，√a•√b=√n，那么便有√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b），例如：化简√7+4√3．解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（√4）2+（√3）2＝7，√4•√3=√12，∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4)2+(√3)2=2+√3．由上述例题的方法化简：（1）√13−2√42；（2）√7−√40；（3）√2−√3．6．细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：OA 22=(√1)2+1=2，S 1=√12（S 1是Rt △OA 1A 2的面积）；OA 32=(√2)2+1=3，S 2=√22（S 2是Rt △OA 2A 3的面积）； OA 42=(√3)2+1=4，S 3=√32（S 3是Rt △OA 3A 4的面积）；…（1）请用含有n （n 为正整数）的式子填空：OA n 2= ，S n ＝ ； （2）求1S 1+S 2+1S 2+S 3+1S 3+S 4+⋯+1S 99+S 100的值；（3）在线段OA 1、OA 2、OA 3、…、OA 2022中，长度为正整数的线段共有 条．7．已知a ，b 均为正整数．我们把满足{x =2a +3b y =3a +2b 的点P （x ，y ）称为幸福点．（1）下列四个点中为幸福点的是 ； P 1（5，5）；P 2（6，6）；P 3（7，7）；P 4（8，8） （2）若点P （20，t ）是一个幸福点，求t 的值；（3）已知点P （√m +1，√m −1）是一个幸福点，则存在正整数a ，b 满足{√m +1=2a +3b √m −1=3a +2b ，试问是否存在实数k 的值使得点P 和点Q （12a +k ，12b ﹣k ）到x 轴的距离相等，且到y 轴的距离也相等？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．8．阅读下列材料，并解答问题：①√2+√4=√4−√22=2−√22；②√4+√6=√6−√42=√6−22；③√6+√8=√8−√62=2√2−√62；④√8+√10=√10−√82=√10−2√22；……（1）直接写出第⑤个等式；（2）用含n（n为正整数）的等式表示你探索的规律；（3）利用你探索的规律，求√2+√4+√4+√6+√6+√8+⋯+√198+√200的值．9．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+√5=（+√5）2；（3）化简√16−6√7−√11+4√710．数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=1 2（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．11．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如√5、√23、√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√5=√5√5×√5=35√5；（Ⅰ）√2 3=√2×33×3=√63（Ⅱ）√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1．（Ⅳ）（1）请用不同的方法化简√5+√3．①参照（Ⅲ）式得√5+√3=．②参照（Ⅳ）式得√5+√3=．（2）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．12．观察下列等式：①√2−1=√2+1；②√3−√2=√3+√2；③√4−√3=√4+√3；…，（1）请用字母表示你所发现的律：即√n+1+√n=．（n为正整数）（2）化简计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√2016+√2017．13．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112；√1+122+132=1+12−13=116；√1+132+142=1+13−14=1112，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：√1+172+182=＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算√8281+1100．14．阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．15．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：OA1＝1OA2=√12+12=√2；S1=12×1×1=12OA3=√2+12=√3；S2=12×√2×1=√22OA4=√3+12=√4；S3=12×√3×1=√32（1）推算出OA5＝；（2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？（3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即S n＝；（4）求出s12+s22+s32+⋯⋯+s1002的值．。
中考数学总复习《二次根式》提优测试卷
一、选择题(每题3分，共24分)1.在式子(0),2,1(2),2(0)2x x y y x x >+=--<23,1,,3x x y ++中，二次根式有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2．已知x ＜1，则化简的结果是（ ）A ．x ﹣1B ．x+1C ．﹣x ﹣1D ．1﹣x 3．已知则与的关系为（ ）4．若，则x 3﹣3x 2+3x 的值等于（ ） A ． B ． C ． D ．5.若a b +与a b -互为倒数，则( ).A.1a b =-B.1a b =+C.1a b +=D.1a b +=-6.若01a <<，则2212)a a a a 11+-÷(1+⨯1+可化简为( ). A.11a a -+ B.11a a-+ C.21a - D.21a - 7．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+的结果是（ ）A ．﹣2a +bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b8.在化简x y x y-+时，甲、乙两位同学的解答如下： 甲：22()()()()()()()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y ----===-++--. 乙:22()()()()x y x y x y x y x y x y x y--+===-+++. 下列说法正确的是( ).A.两人解法都对B. 甲错乙对C. 甲对乙错D.两人都错二、填空题(每题3分，共24分)9. 化简188-= ;63= .10. 当 时，212x x ++-有意义.11．已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．12.当= 时，最简二次根式和可以合并.13. 已知三角形三边分别为18cm 、12 cm 、18cm ，则它的周长为 cm.14．若x 、y 为实数，且230x y ++-=，则2016()x y +的值为 . 15. 已知a 、b 、c 是ABC 的三边长，且满足解析式2220c a b a b --+-=，则ABC 的形状为 .16．设，，，…，． 设，则S= （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．三、计算题(每题5分，共30分)17. 计算：(1048627412)6-+÷.18. 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：22()()a b a c c b b --++---.c a 0 b19．先化简，再求值：，其中x=﹣3﹣（π﹣3）0．20.（10分）已知23,23x y =-=+，求下列代数式的值：（1）222x xy y ++ ；(2)22x y -.21.（8分）已知，求的值. 22.（8分）已知0)2(12=-+-ab a ，求)2004)(2004(1...)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值.四、解答题(每题11分，共22分)23. 设8a x =-，34b x =+，2c x =+.（1）当x 取什么实数时，a 、b 、c 都有意义？（2）若a 、b 、c 为直角ABC 的三边，求x 的值.24. 观察下列各式及验证过程：11122323-=，验证211121223232323-===⨯⨯； 11113()23438-=，验证21111313()23423423438-===⨯⨯⨯⨯； 11114()345415-=，验证21111414()345345345415-====⨯⨯⨯⨯；… （1） 按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想111()456-的变形结果并进行验证.（2） 针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意的自然数，且2n ≥）表示的等式，无需证明.参考答案1.D2.D3.D4.B5.B6.A7.A8.B9.2 37 10.122x -≤≤ 11.1± 12. 10 13. 1 14.30a -<≤ 15.6223+ 16.17. 1 18.等腰直角三角形19.152 20. -221.由数轴，得0,0,0,0a b a c c b b -<+<-<-<，原式a b a c c b b =--++---b a ac c b b b =-++-+-=.22.化简，得原式1a a -，当12a =+，原式=222. 23.方程2310x x -+=中，当0x =时 ，方程左边为00110-+=≠，故0x ≠； 将方程两边同除以x ，则有：130x x-+=，即13x x +=； ∴原式22124x x =++-21()4x x =+-234-5= 24.(1)483x -≤≤ (2)25x =或2x = 11115()456524-= 验证21111115()456456456524-===⨯⨯⨯⨯ 21111()111n n n n n n -=-+- 【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。
二次根式单元 期末复习提优专项训练试卷
二次根式单元 期末复习提优专项训练试卷一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A 1BCD ±2．下列式子为最简二次根式的是（ ）A B C D3．若2a <3=（ ）A ．5a -B ．5a -C ．1a -D ．1a --4．若 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >B ．3x ≥C ．3x ≤D ．x 是非负数5．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ）A ．2a b =+ B 22a b =+C a b =+D a b =+6．下列计算结果正确的是（ ）A B ．3=C =D=7．下列各式中，无意义的是（ ）A B C D ．310-8．a b =--则（ ） A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b +=9．下列说法错误的个数是（ ）a =；④数轴上的点都表示有理数 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个10． ）A B ．C D ．11．A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．912．下列根式中是最简二次根式的是（ ） A ．23B ．10C ．9D ．3a二、填空题13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 满足32016p q +=，则整数对()p q ，的个数是_______________；（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．实数a 、b 满足22a -4a 436-12a a 10-b 4-b-2+++=+，则22a b +的最大值为_________．15．已知a ＝﹣73+，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____．16．已知函数1x f xx，那么21f _____．17．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行 13154 1732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 18．若实数23a =-，则代数式244a a -+的值为___. 19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．20．1=-==++……=___________．三、解答题21．若x，y为实数，且y12．求xyyx++2－xyyx+-2的值．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x=14，此时y=12．即可代入求解．【详解】解：要使y有意义，必须140410xx-≥⎧⎨-≤⎩，即1414xx⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴x＝14．当x＝14时，y＝12．又∵xyyx++2－xyyx+-2＝－|∵x＝14，y＝12，∴xy＜yx．∴+当x＝14，y＝12时，原式＝．【点睛】（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．22．先阅读材料，再回答问题：因为)111=1=；因为1=，所以=1== （1= ，= ； （2⋅⋅⋅+的值．【答案】（12）9 【分析】（1）仿照例子，由1+=的值；由1+=1的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】解：（1）因为1-=；因为1=1（2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=．【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．23．计算：10099+【答案】910【解析】【分析】先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】10099++=2100992-++++=991224-+-++-=1- =1110- =910【点睛】本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
人教版二次根式单元 期末复习测试提优卷试题
人教版二次根式单元 期末复习测试提优卷试题一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ）A B ．C =3D ．2．下列等式正确的是（ ）A 7=-B 3=C ．5D ．=3．已知：x ，y 1，求x 2﹣y 2的值（ ）A ．1B ．2C D ．4．若2019202120192020a =⨯-⨯，b =，c a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a ba b+-的值为( )A B C ．2D ．±26．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或7．下列计算正确的是（ ）A 6=±B ．=C ．6=D =（a≥0，b≥0）8．下列说法中正确的是（ ）A ±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D .9．若a =，2b =+a b 的值为（ ）A ．12B ．14CD10．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A B C D11．是同类二次根式，那么a 的值是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．212．x y x x y >=->+中，二次根式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．)30m -≤，若整数a满足m a +=a =__________． 14．+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.15．若2x ﹣x 2﹣x=_____．16．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____. 17．已知1＜x ＜2，171x x +=-_____．18．3y =，则2xy 的值为__________．19．有意义，则x 的取值范围是____． 20．n 为________．三、解答题21．计算及解方程组： （1-1-） （2)2+（3）解方程组：251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】（1）2）7；（3）102x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（11-1+（11=1（22+）=34-=7-=7-（3）251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．22．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a =，)111=11互为有理化因式．（1）1的有理化因式是 ；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：3==，25384532++====-进行分母有理化． （3）利用所需知识判断：若a =，2b =a b ，的关系是 ．（4）直接写结果：)1=．【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；（3）将a=（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）∵()()1111=，∴1的有理化因式是1；（2227 -==-（3）∵2a===，2b=-，∴a和b互为相反数；（4）)1 ++⨯=)11⨯=)11=20201-=2019，故原式的值为2019.【点睛】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．23．阅读下列材料，然后回答问题：1== .以上这种化简过程叫做分母有理化.3+1还可以用以下方法化简：22(3)1(3+1)(31)=313+13+13+13+1--===-. （1）请用其中一种方法化简1511-；（2）化简：++++3+15+37+599+97.【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==；（2）原式=+++…=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1=3﹣1【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.24．计算：（1(0112441238--；（2326232423⎛- ⎝【答案】（12；（2）6-【解析】试题分析：根据二次根式的性质及分母有理化，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可解答.试题解析：（1(0112441238--22 2（2326232423⎛- ⎝-0-=25．计算（1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差．【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3；（2）原式=﹣3﹣2+﹣3=-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．+26．计算：（1）+-（2(33【答案】（1）2） -10【分析】（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可． 【详解】解：（1）+===（2(33+-=5+9-24=14-24 =-10． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．27．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得 【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++ =6x+6把1x =代入原式=61）【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.28．先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m =.【答案】22mm-+ 1． 【解析】分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =221m m --（）÷241m m --=221m m --（）•122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+=22m m-+当m ﹣2时，原式===﹣1+=1．点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．29．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4 【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可． 【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩,解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -= 3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．30．计算：（1 ；（2）))213【答案】（1）2）1-. 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则可以算得答案． （2）结合整式的乘法公式和二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）原式==（2）原式=212---=1-. 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的意义、性质和运算法则是解题关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二次根式的化简进行选择即可． 【详解】AB 、C ，故本选项正确；D 、=18，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可． 【详解】解：AB 3=，故本选项符合题意；C 、5=-，故本选项不符合题意；D 、=-，故本选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．3．D解析：D 【分析】先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】∵1,1x y ==，∴11112x y x y +==-=-=，则22()()2x y x y y x -=+-== 故选：D ． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．4．A解析：A 【分析】利用平方差公式计算a ，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b ，利用二次根式大小的比较办法，比较b 、c 得结论． 【详解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019；∵20222-4×2021=（2021+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2021-1）2=20202，∴b=2020；>∴c ＞b ＞a ．故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020解决本题的关键．5．A解析：A【解析】【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a-b ）的值，即可得出答案．【详解】∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，∴∴a ba b +-= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．6．C解析：C【解析】试题解析：∵a 1，a∴1-a ≥0，a ≤1，故选C ．7．D解析：D6=，故A 不正确；根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确；根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；=（a≥0，b≥0）可知D 正确.故选：D 8．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=，故C 选项错误；D 选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．9．B解析：B【分析】将a 乘以 可化简为关于b 的式子, 从而得到a 和b 的关系, 继而能得出a b 的值【详解】解：4b a ==== 14a b ∴= 故选：B .【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．10．A解析：A【解析】试题分析：最简二次根式是指不能继续化简的二次根式，A 、原式=；B 、是最简二次根式，不能化简；C 、原式=；D 、原式=. 考点：最简二次根式 11．D解析：D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．【详解】123由题意，得7-2a=3，解得a=2，故选D ．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．12．B解析：B【解析】解：当y =﹣2时，y +1=﹣2+1=﹣1，∴2y +y =－2）无意义；当x ＞02x -无意义；2x x ＞02 21x +共3个．故选B ．二、填空题13．【分析】先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．14．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++． 2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.15．【解析】【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x ﹣1= ，∴（2x ﹣1）2=3∴4x2﹣4x+1=3∴4（x2﹣x ）=2∴x2﹣x=故答案为【点解析：12【解析】【分析】 根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．【详解】解：∵2x ﹣，∴（2x ﹣1）2=3∴4x 2﹣4x+1=3∴4（x 2﹣x ）=2∴x 2﹣x=12故答案为12【点睛】 本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 16．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.17．-2【详解】∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，即 =4，又∵1＜x ＜2,∴=-2，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是解析：-2【详解】∵x+11x-=7，∴x-1+11x-=6，∴（x-1）-2+11x-=4，即2=4，又∵1＜x＜2,∴，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.18．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy=-2×52×3=-15.19．x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】∵有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．解析：x≥0．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义，∴x≥0，故答案为x≥0．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．20．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
八年级初二数学第二学期二次根式单元 期末复习提优专项训练
一、选择题1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12B ．30C ．8D ．122．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32D ．83．若 3x - 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >B ．3x ≥C ．3x ≤D ．x 是非负数 4．下列运算正确的是（ ） A ．235+=B ．322-＝3C ．2(2)-＝﹣2D ．24322÷=5．下列式子中，是二次根式的是( ) A ．2B ．32C ．xD ．x6．设,n k 为正整数，()()1314A n n =+-+，()2154A n A =++，()3274A n A =++，()4394A n A =++，…()1214k k A n k A -=+++，….，已知1002005A =，则n =( ).A ．1806B ．2005C ．3612D ．40117．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，那么化简代数式2b -|a +b |+|a -c |-222c bc b -+的结果为（ ）A ．2c -bB ．2c -2aC ．-bD ．b8．下列计算不正确的是 （ ）A ．35525-=B ．236⨯=C 7742=D 363693=+==9．下列运算一定正确的是( ) A 2a a =B ab a b =C ．222()a b a b ⋅=⋅D ()0n mnaa m=≥ 10．下列各式计算正确的是（ ） A ．233= B ()255-=± C 523=D ．3223=二、填空题11．已知实数,x y 满足(22200820082008x x y y --=，则2232332007x y x y -+--的值为______.12．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．13．已知3x x+=，且01x <<，则2691x x x =+-______． 14．甲容器中装有浓度为a 的果汁40kg ，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．15．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.16222a a ++的最小值是______． 17．(623÷=________________ .18．化简：321x19．如果0xy >2xy -． 20．已知23x =243x x --的值为_______．三、解答题21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：2222221122a b c S a b ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：2()()()S p p a p b p c =---2a b cp ++=（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积．（2）请证明：12S S【答案】（12） 证明见解析 【分析】（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出2212S S =，即可得出12S S ．【详解】解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：S == （2）222222211[()]24a b a S c b +-=-=222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(21)4c a c a b b +⋅---⋅ =()(1()()16)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---∵2a b cp ++=， ∴22()(2)(222)S a a b c a b c a b c a b cb c +++++++-+=-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅=1()()()()16a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =∵10S >，20S >， ∴12S S ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．22．解：设x222x=+，x=++2334x2=10∴x=10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x两边平方得：x2=2+2+即x2=4+4+6，x2=14∴x=．0，∴x．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．23．已知x=2，求代数式（7+x2+（2）x【答案】2【解析】试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.试题解析：x2=（2）2=7﹣则原式=（7﹣+（2=49﹣24．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有mn 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；（2）填空：13-( - 2；（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46. 【解析】 试题分析：（1）把等式)2a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；（2）由（1）中结论可得：2231324a m n b mn ⎧=+=⎨==⎩，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；（3）将()2a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.试题解析：（1）∵2a n =+)，∴223a m n +=++， ∴2232a m n b mn =+=，；（2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ，∵a b m n 、、、都为正整数， ∴12m n =⎧⎨=⎩ 或21m n =⎧⎨=⎩ ， ∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，∴(2131--；（3）∵222()52a m m n +=+=++ ∴225a m n =+，62mn = ， 又∵a m n 、、为正整数，∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =， 即a 的值为：46或14.25．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()23a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.26．计算 （11132528+（2251694y y y +- （331)a b a b÷ （4）(23+5235 【答案】（1）32272y 334）7． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （3）根据二次根式的乘除法则运算； （4）利用平方差公式计算； 【详解】（1+=+22=；（2==；÷（3）2b=2b=；4（4）((22=-=7【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．27．观察下列各式：11111=+-=122111=+-=11236111=+-=113412请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．28．计算下列各式：（1；（2【答案】（12 ；（2） 【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】（1）原式2=-2=；（2）原式==.【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b=≥≥=（a≥0，b>0）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】解：A=不是最简二次根式，本选项错误；BC=不是最简二次根式，本选项错误；D=故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．2．B解析：B【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】∴a≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意，∴a的值可能是2．故选：B．【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．3．B解析：B【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【详解】有意义的x的取值范围是：x≥3．故选：B．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．4．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB、＝，故此选项错误；C2，故此选项错误；D，正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．5．A解析：A【分析】a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．【详解】解：A是二次根式，符合题意；B是三次根式，不合题意；C、当x＜0D 、x 属于整式，不合题意；故选：A ．【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．6．A解析：A【解析】【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A 1，A 2，A 3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解.【详解】∵(n+3)(n-1)+4=n 2+2n-3+4=n 2+2n+1=(n+1)2，∴A 11n =+∵(n+5)A 1+4=(n+5)(n+1)+4=n 2+6n+5+4=n 2+6n+9=(n+3)2，∴A 23n =+∵(n+7)A 2+4=(n+7)(n+3)+4=n 2+10n+21+4=n 2+10n+25=(n+5)2，∴A 35n =+⋯⋯依此类推，A k =n+(2k-1)∴A 100=n+(2×100-1)=2005解得，n=1806.故选A.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A 1，A 2，A 3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.7．D解析：D【解析】解：∵|a |+a =0，∴|a |=﹣a ，∴﹣a ≥0，∴a ≤0，∵|ab |=ab ，∴ab ≥0，∴b ≤0，∵|c |﹣c =0，∴|c |=c ，∴c ≥0，∴原式=﹣b +（a +b ）﹣（a ﹣c ）﹣（c ﹣b ）=b ．故选D ．8．D解析：D【解析】根据二次根式的加减法，合并同类二次根式，可知=故正确；=根据二次根式的性质和化简，=，故正确；根据二次根式的加减，不是同类二次根式，故不正确.故选D.9．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．10．A解析：A【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．【详解】A、23=此选项计算正确，符合题意；B、5=此选项计算错误，不符合题意；C-不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；D、-=故选：A．【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，准确利用二次根式的性质计算是解题的关键．二、填空题11．1【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.12．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．13．．【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．【详解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【点睛】本题考查二次根式的运．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．【详解】3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x<<，=，∴1xx=-=-∴原式====．故答案是：12．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．14．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m即可．【详解】，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，，=，整理得，-6b=5ma-5mb，∴（a-b）=5m（a-b），．∴m=5【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．15．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.a=a+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.16．0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。
二次根式单元 期末复习测试提优卷试题
一、选择题1．2的倒数是（ ） A ．2B ．2 C ．2- D ．2-2．要使2020x -有意义，x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020B ．x≤2020C ．x> 2020D ．x< 2020 3．下列各式中正确的是（ ） A ．36＝±6 B ．2(2)2--=-C ．8＝4D ．2(7)-＝74．若1x +有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠25．设,n k 为正整数，()()1314A n n =+-+，()2154A n A =++，()3274A n A =++，()4394A n A =++，…()1214k k A n k A -=+++，….，已知1002005A =，则n =( ).A ．1806B ．2005C ．3612D ．40116．如图直线a ，b 都与直线m 垂直，垂足分别为M 、N ，MN ＝1，等腰直角△ABC 的斜边，AB 在直线m 上，AB ＝2，且点B 位于点M 处，将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止，记点B 平移平移的距离为x ，等腰直角△ABC 的边位于直线a ，b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若ab ＜0，则代数式可化简为（ ）A ．aB ．aC ．﹣aD ．﹣a8．若a 3235++，b ＝610，则a b 的值为（ ）A ．12B ．14C ．321+D 610+9．设2222222211111111111112233499100+++++++++S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．10110．已知实数x ，y 满足（x 22008x -y 2-2008y ）=2008，则3x 2-2y 2+3x -3y -2007的值为（ ） A ．-2008B ．2008C ．-1D ．1二、填空题11．已知实数,x y 满足(22200820082008x x y y --=，则2232332007x y x y -+--的值为______.12．能力拓展：12121A =+23232A =+；3:4343A =+；454A =________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A322132+21+3221()343-3276541n n +1n n -13．2215x 19x 2+-=2219x 215x -+=________． 14．若613x ，小数部分为y ，则(213)x y 的值是___. 15．11882．16．已知1＜x ＜2，171x x +=-_____．17_____．18．3y =，则2xy 的值为__________．19．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=．20．如果0xy >．三、解答题21．2-+1 【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法. 【详解】2-+=1)2(3+⨯=121. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1.【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.23．先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中1x =..【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.【详解】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1 x x x xx x x x x---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅=⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x==【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.24．计算（1）（4﹣3）+2（2）（3）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天出次品的数量如表：请计算两组数据的方差．【答案】（1）6﹣3；（2）-6（3）甲的方差1.65；乙的方差0.76【解析】试题分析：（1）先去括号，再合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后去绝对值合并；（3）先分别计算出甲乙的平均数，然后根据方差公式分别进行甲乙的方差．试题解析：（1）原式=4﹣3+2=6﹣3；（2）原式=﹣3﹣2+﹣3=-6；（3）甲的平均数=（0+1+0+2+2+0+3+1+2+4）=1.5，乙的平均数=（2+3+1+1+0+2+1+1+0+1）=1.2，甲的方差=×[3×（0﹣1.5）2+2×（1﹣1.5）2+3×（2﹣1.5）2+（3﹣1.5）2+（4﹣1.5）2]=1.65；乙的方差=×[2×（0﹣1.2）2+5×（1﹣1.2）2+2×（2﹣1.2）2+（3﹣1.2）2]=0.76．考点：二次根式的混合运算；方差．25．计算：（1）0 1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(4【答案】（1）-5;（2）9【分析】（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）0 1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭41=--，5=-；（2）(4167=-9=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．26．计算下列各式：（1；（2【答案】（12；（2）【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.【详解】（1）原式2=-2=；（2）原式==. 【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b =≥≥=（a ≥0，b >0）.27．计算：（1）-（2）【答案】（1）21 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．28．化简求值：212(1)211x x x x -÷-+++，其中1x =．【答案】3【解析】分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式2112,2111x x x x x x -+⎛⎫=÷- ⎪++++⎝⎭2112,211x x x x x -+-=÷+++ ()211,11x x x x -+=⋅-+1.1x =+当1x =时，113x ==+ 点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据倒数的定义，即可得到答案. 【详解】2，2； 故选：B. 【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题.2．A解析：A 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可． 【详解】∴x-2020≥0， 解得：x ≥2020； 故选：A ． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A ，故A 错误；B 12=，故B 错误；C =C 错误；D 、2(=7，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．4．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A 1，A 2，A 3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解. 【详解】∵(n+3)(n-1)+4=n 2+2n-3+4=n 2+2n+1=(n+1)2，∴A 11n =+∵(n+5)A 1+4=(n+5)(n+1)+4=n 2+6n+5+4=n 2+6n+9=(n+3)2，∴A 23n =+∵(n+7)A 2+4=(n+7)(n+3)+4=n 2+10n+21+4=n 2+10n+25=(n+5)2，∴A 35n =+ ⋯⋯依此类推，A k =n+(2k-1)∴A100=n+(2×100-1)=2005解得，n=1806.故选A.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1，A2，A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.6．D解析：D【解析】【分析】根据等腰直角△ABC被直线a和b所截的图形分为三种情况讨论：①当0≤x≤1时，y是BM+BD；②当1＜x≤2时，y是CP+CQ+MN；当2＜x≤3时，y＝AN+AF，分别用x表示出这三种情况下y的函数式，然后对照选项进行选择．【详解】①当0≤x≤1时，如图1所示．此时BM＝x，则DM＝x，在Rt△BMD中，利用勾股定理得BD＝2x，所以等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y＝BM+BD＝（2+1）x，是一次函数，当x＝1时，B点到达N点，y＝2+1；②当1＜x≤2时，如图2所示，△CPQ是直角三角形，此时y＝CP+CQ+MN＝2+1．即当1＜x≤2时，y的值不变是2+1．③当2＜x≤3时，如图3所示，此时△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，则AF2（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣2）x+3+32，是一次函数，当x＝3时，y＝0．综上所述只有D答案符合要求．故选：D．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到y与x 的函数式．7．C解析：C【解析】【分析】二次根式有意义，就隐含条件b＜0，由ab＜0，先判断出a、b的符号，再进行化简即可．【详解】解：若ab＜0，且代数式有意义；故由b＞0，a＜0；则代数式故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a＞0时，，当a＜0时，，当a=0时，.8．B解析：B【解析】【分析】将a 235235+-可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出ab的值．【详解】a3235++323523523526+-=+-2235b44=．∴14ab=．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．9．B解析：B【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99．【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n-+， ∴=1111111+11122399100-++-+++- =199+1100- =100-1100，∴不大于S 的最大整数为99．故选B.【点睛】 1111n n =+-+是解答本题10．D解析：D【解析】由（x y）=2008，可知将方程中的x,y对换位置，关系式不变，那么说明x=y是方程的一个解由此可以解得，或者则3x2-2y2+3x-3y-2007=1，故选D.二、填空题11．1【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.12．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.13．【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m＝，n＝，那么m−n＝2①，m2＋n2＝()2＋()2＝34②．由①得，m＝2解析：13【解析】【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】设m n那么m−n＝2①，m2＋n2＝2＋2＝34②．由①得，m＝2＋n③，将③代入②得：n2＋2n−15＝0，解得：n＝−5（舍去）或n＝3，因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．n＋2m＝13．【点睛】此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．14．3【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.【详解】因为,所以,因为6－的整数部分为x,小数部分为y,所以x=2,解析：3【分析】先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解.【详解】因为34<,所以263<-<,因为6x ,小数部分为y ,所以x =2, y=4-,所以(2x y =(4416133=-=, 故答案为:3.【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 15．【解析】【详解】根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.故答案为.【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.【解析】【详解】22.故答案为2. 【点睛】 此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.16．-2【详解】∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，即 =4，又∵1＜x ＜2,∴=-2，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是解析：-2【详解】∵x+11x-=7，∴x-1+11x-=6，∴（x-1）-2+11x-=4，即2=4，又∵1＜x＜2,∴，故答案为-2.【点睛】本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.17．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可．【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．18．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 19．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．20．【分析】由，且，即知，，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵，且，即，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．解析：-【分析】由0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥知0x <，0y <，据此根据二次根式的性质化简可得．【详解】∵0xy >，且20xy -≥，即•0y xy -≥，∴0x <，0y <，==-故答案为：-【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
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例1、• X 2 2,4八 4,5) i (-；)2,6) ,1 - a,7)a 2 -2a 1，其中是二次[来源：课题 二次根式全章综合复习1、理解二次根式的概念，并利用Ja （a > 0）的意义解答具体题目学习目标2、理解府（a> 0）是一个非负数和（） 2=a （ a> 0）并利用它们进行计算和化简3、二次根式的运算与化简求值学习重点 二次根式的性质及其运算知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如J 二二2 'll 的式子叫二次根式，其中 」叫被开方数，只有当是一个非负数时，丄 才9有意义. 【典型例题】題固一：二次報氏的鞘定根式的是 _____________ （填序号）. 练习：1、 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A 、石B 、\ 帀C 、 、、a 1D 、2、 在 ^^^a 、、％ x 1、人1 x 、⑴3 中是二次根式的个数有 ________________________ 个1例2、若式子一—有意义，则x 的取值范围是J x —3练习：1、 使代数式有意义的x 的取值范围是（）x -4A 、x>3B 、x > 3C x>4D 、x > 3 且 x 丰 4F 列各式1）2、如果代数式J-m + j—有意义，那么，直角坐标系中点P （m n）的位置在（）-m nA、第一象限B、第二象限C、第三象限 D第四象限2、若、17的整数部分为x,小数部分为y, 求的值.例3、若 y= I x -5 + , 5 -x +2009，则 x+y=练习：1、若x 一1 一1 一x = (x y)2，则x —y 的值为( )A.— 1 B . 1 C . 2 D . 32、当a取什么值时，代数式2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。
UB:丸划精血分例4、已知a是• 5整数部分，b是、5的小数部分，求a • 的值。
b+2练习:1、若、3的整数部分是a,小数部分是b,贝U 3a-b =a(a _0)-a(a ：：知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：「a(a_0)是一个非负数•注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. ( .a)2 =aa 0).方的形式： a = ( a)2 (a 亠0)注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平3.2、已知直角三角形两边已知x -3y ：|x2 _9x 32x +1=0,求—1的值。
注意：（1）字母不- 正数.（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.4.公式与（（a）? =a Q A0）的区别与联系-a（a cO）（1）扌表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.（2）（ a）2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.（3）i a2和（.、a）2的运算结果都是非负的.【典型例题】«a=:二次擾氏的用負徘负隹例4、若l a -2|十J b -3+(c-4) =0 侧a-b+c =练习：1、已知x, y为实数，且.口・3y-22=0，贝U x-y的值为（）A. 3B.- 3C. 1D.— 1x、y的长满足丨x2— 4 | + £ y2—5y+6 = 0,则第三边长为 _______________________20053、若a _b 1与.a 2b 4互为相反数，则a_b = ------------------ =次隈式的性展2 （公式（la）2=a（a启0）的运用）例&化简：|a _1 + （J a _ 3） $的结果为（）A、4— 2aB、0 C 、2a—4 D、4练习：2 4 21、在实数范围内分解因式：x 3 = ； m「4m 4 =2、化简：'-3 - 3 1 - ' 3________ . 2、 化简：・ I a 10一1 2例9、已知a 、b 、c ABC 的三边长,IMO : Mtmz （公式0 = a 」3O ）的应用） 、—a （acO ）-例7、已知x ：：2 则化简、.x 2 _4x 4的结果是A x -2B 、x 2C -x -2D 2-x练习：1、 已知a<0，那么丨”a — 2a |可化简为（）A. — a B . a C . — 3a D . 3a2、 若a — 3 v 0,则化简 V —6a +9 +|4—a |的结果是（ ） （A ）— 1（B ） 1（C ） 2a — 7（D ） 7 — 2aa 2 - 2a 12~3、 当avl 且a 工0时，化简 a -a = __________________________________ .J —（a+丄）2 -*+（a -丄）2 4、 已知a ：：：0，化简求值：： a \ a例8、如果表示a, b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a — b | +、,(a ■ b)2的结果等于()A . — 2bB . 2bC . — 2aD . 2a练习：1、实数a 在数轴上的位置如图所示： 化简：|a_1| +J(a_2)2 =已知实数 a , b 在数轴上的位置如图，、a 2b 2(a-b)2 (b -1)2 - (a-1)2化简（a b c ）2 ■、（a b -c ）2 （a - b - c ）2 .. （c - a - b ）WORD格式可编辑2练习：在厶ABC中，a、b、c是三角形的三边长，化简.'(a —b • c)2 —2c — a —b例10、化简1 _x|_ J x2 _8x +16的结果是2x-5，则x的取值范围是( )(A)x 为任意实数(B)1 w x< 4 (C) x> 1 (D x w 1练习：1、若代数式,(2 —a)2、(a -4)2的值是常数2，则a的取值范围是( )A. a A 4B. a w 2 c. 2 w a w 4 D. a 二2 或a 二42、如果a .a2_2a ^1，那么a的取值范围是( )A. a=0B. a=1C. a=0 或a=1D. a w 13、若-3)2• x -3 = 0，则x的取值范围是( )(A) x 3 ( B) x：：：3 (C) x_3 (D) X E34、化简二次根式a j—^o^2的结果是(A) 、-a-2 (B) - -a-2 (C) a-2 (D) - a-2知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：(1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号.2、同类二次根式(可合并根式)：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】例11、在根式1) a2b2;2) -xy;4) ■ 27abc最简二次根式是(A . 1) 2)练习：3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)1、45a, 30, .^1，.40b2, 54, ,17(a2b2)中的最简二次根式是 ________________________________________(3)2、 下列根式不是最简二次根式的是 （）A. .. a 2 1B. 2x 13、 把下列各式化为最简二次根式：2⑴12（2）.45ab ⑶例12、下列根式中能与,3是合并的是（） A. *8B. 阿C.2y/5 D.上、2练习：1、如果最简二次根式与旳/17-2a 能够合并为一个二次根式,则a= _________________________知识点四：分母有理化 【知识要点】1.分母有理化： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2 .有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用 「a •.a 二a 来确定，如：a 与, a ，、- a b 与 a b , ■. a -b 与•、a-b 等 分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a ；b 与a -b ,.a - b 与、• a - . b ,a ；x by y 与a ■. x -b ..： y 分别互为有理化因式。
【典型例题】例13、 把下列各式分母有理化练习：把下列各式分母有理化:知识点五：二次根式的乘除2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
4a = b【知识要点】1.积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
*ab =、a • X b (a>0, b>0)(2)逅•五=Tab • (a>0, b> 0)3 •商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a = a (a>0, b>0)b 、b4 •二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
【典型例题】A 、x 2B 、 X 一 0C 、 ° <x < 2D 、无解知识点六：二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数 不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类 二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】知识点七：二次根式的混合计算与求值【知识要点】 1、 确定运算顺序；2、 灵活运用运算定律；3、 正确使用乘法公式；4、 大多数分母有理化要及时；5、 在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】— 4 停 + 4 *- 2 迄 +1 例16、已知：1「一「_，求 二一 二的值.例14、能使等式2 2 x -y \ 4x 4y例 15、(1) 3 x-y4、计算11 J 一2 .3 + .3 .4 +…+1、• 99（&_ 侖）2 +4-Jab练习：1、已知_；■-.,求的值._ JF-9+M-八22、已知:、：‘是实数，且，一一，求〔my的值.2006 —2007 0 3、已知a =[2 \5 5 -2 -2 <5 22-2，求a2 4a的值二次根式易错及高频考题11、12.13.4 ^m与2：一3化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为14.15. 24--4等于16.A. 01.要使企丄有意义，则x的取值范围是A J3^X ---------------------2.若 y= 1 — 2x + .. 2x— 1 + (x — 1)2，则(x+y) 2003= ______________________________3.若最简根式帀—3与.... 5m+3是同类二次根式，则 m= ________________________14•若5的整数部分是a，小数部分是b，则a —石= ________________________5•计算：｛(1—血2= ___ —;V(x—3$(x>3)= __________________ , J x2—2xy + y2(x c y)= _____________ 6•若1 V x V2,则_3+並-右=——d i J7•实数P在数轴上的位置如图所示：则J p2 _2p+1 + Jp2 _4p + 4 = _______________ .8、把(a-1)J—1—中根号外的(a-1)移人根号内得 ________________________a -19、若a + Ya2—2a +1 =1，贝U a的取值范围是 ___________10、若化简式子|1 — x| —J X2-8X+16的结果是2x-5，则x的取值范围是x_4仝x-4成立的条件是x - 5 x - 5Sy -= m，贝y 1* y的结果为如yxy =0，且、.、x3y2二一村一 x成立的条件是计算：J(2a -1 2+ J(1 -2a f 的值是(B. 4a -2C. 2 -4aD. 2 -4a 或4a -2式子2WORD格式可编辑把a j—a的根号外的因式移到根号内等于17.18. 若2Y aY 3，则：2—a 2a -3等于( A. 5—2a B. 1 -2a C. 2a -5 D. 2a—119、使式子•.-(x -5)2有意义的未知数x有()个.WORD格式可编辑A . 0B . 1C .2D .无数20、若X <0 ,则卜虧-x(A) 0 ( B))-2x 等于（)(C) 2x (D) 0 或2x21 •已知a,b是实数，且a^2ab~b2二b-a，则a与b的大小关系是( )(A) a ::: b ( B) a . b (C) a 亠b (D) a 乞b22.已知x2 -3x • 1 =0 ,求，.x2• ； -2 的值。