高一下学期数学期末考试试题(含答案)
第二学期末检测 高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}21A x x =-<<，{}0≥=x x B ，则AB =（ ）A ．{}2->x xB ．{}0≥x xC ．{}10<≤x xD ．{}12<<-x x 2.0000sin 75sin15cos75cos15+的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21D ．233.已知直线01=--+a y ax 与直线021=-y x 平行，则a 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 4.已知向量()()3,1,2,1=-=b a ，则( )A ．b a ⊥B ．b a // C.()b a a -⊥ D ．()b a a -//5.某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于h km /90的约有( )A ．100辆B ．200辆 C.300辆 D ．400辆 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4 C. 8 D ．16 7.点()0,2关于直线4--=x y 的对称点是（ ）A ．()6,4--B ．()4,6-- C. ()7,5-- D ．()5,7--8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积是（ ）A ．12B ．284+ C.248+ D ．244+9.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点E 在AD 边上，且AE AD 3=，则用向量CA CB ,表示CE 为( )A ．CA CB CE 3241+=B ．CA CB CE 3294+= C.CA CB CE 3241-= D ．CA CB CE 3294-=10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A ．231-B ．23 C.434- D ．43 11.已知以下四个结论：①函数x y tan =图像的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2π； ②函数1sin +=x y 的最小正周期为π；③⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的表达式可以改写为()⎪⎭⎫⎝⎛-=x x f 267cos π； ④若4=+B A ，则()().2tan 1tan 1=++B A 其中，正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④ C.②③ D ．②④ 12.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f ，在一个周期内图像如图所示，若()()21x f x f =，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈65,12,21ππx x ，21x x ≠，则()=+21x x f ( )A ．3B ．2 C.3- D ．2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x e x x x f x，则()()=-+30f f ．14.甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，以这5次测试成绩为判断依据，则甲、乙两名运动员成绩稳定性较差的是 ．（填“甲、乙”）15.若直线()42+-=x k y 与圆()4122=-+y x 相切，则实数k = ．16.如图所示，摩天轮的半径为40米，点O 距地面高度为50米，摩天轮做匀速运动，每3分钟转一圈，以点O 为原点，过点O 且平行与地平线的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，设点P 的起始位置在最低点（且在最低点开始时），设在时刻t （分钟）时点P 距地面的高度h （米），则h 与t 的函数关系式()t h = ．在摩天轮旋转一周内，点P 到地面的距离不小于70米的时间长度为 （分钟）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知()()()5,2,1,0,0,1C B A ，求： (Ⅰ)AC AB +2； （Ⅱ）.cos BAC ∠18. 已知函数().,42sin 2R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=π（Ⅰ）求()x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）说明函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=,42sin 2π的图像可由正弦曲线x y sin =经过怎样的变化得到； （Ⅲ）若απα,2382=⎪⎭⎫⎝⎛-f 是第二象限的角，求.2sin α 19.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下图所示（x （吨）为该商品进货量，y （天）为销售天数）：（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图：（Ⅱ）根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品24吨，预测需要销售天数；参考公式和数据：1221,.ni ii nii x y nxyb a y b x xnx ∧∧∧==-==--∑∑.241,356,32,48818128181====∑∑∑∑====i i i i ii i i iy x x y x20.如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ,D 为AB 的中点，(Ⅰ) 求证：直线//1BC 平面CD A 1；(Ⅱ) 若E BB AB ,21==是1BB 的中点，求三棱锥CDE A -1的体积； 21.已知圆心在原点的圆被直线1+=x y 截得的弦长为.14 (Ⅰ) 求圆的方程；(Ⅱ) 设动直线()()01≠-=k x k y 与圆C 交于B A ,两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；22.已知函数().2cos 2sin x x x f -= (Ⅰ) 求证：()x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π47；（Ⅱ）若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，使得()012=-+k x f 有解，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈85,0πx 时，函数()()()122+-=x mf x f x g 有四个不同零点，求实数m 的取值范围；试卷答案一、选择题1-5:ACDCC 6-10: CACAA 11、12：BA二、填空题13. 1- 14. 甲 15.125 16.（1）()()0,32cos 4050≥-=t t t h π ；（2） 1 三、解答题17.解：（Ⅰ）()()()7,12,5,1,1,1-=+=-=AC AB AC AB所以，.252=+AB62,2==AC 4=⋅AC ABcosAB AC BAC AB AC⋅∠===⋅ 18.解：（Ⅰ）由()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭可知，函数的最小正周期为ππ==22T 令42π+=x u ，则u y sin 2=的增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ, 由224222πππππ+≤+≤-k x k ，解得.,883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 所以函数()x f 的单调递增区间是.8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ （Ⅱ）将x y sin =和图像纵坐标不变， 横坐标为原来的21倍得到x y 2sin =的图像，将x y 2sin =和图像向左平移8π得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 的图像，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 的图像横坐标不变，纵坐标为原来的2倍得到()⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2πx x f 的图像 或，将x y sin =和图像向左平移4π，得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 的图像，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 纵坐标不变，横坐标为原来的21得到⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 的图像，将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 图像横坐标不变，纵坐标为原来的2倍得到()⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2πx x f 的图像. （Ⅲ）由()⎪⎭⎫⎝⎛+=42sin 2πx x f 知，所以23sin 282==⎪⎭⎫⎝⎛-απαf ，即43sin =α， 又α是第二象限的角，所以413431sin 1cos 22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=αα， 所以839413432cos sin 22sin -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==ααα 19.解：（Ⅰ）散点图如图所示：（Ⅱ）依题意，(),611986543281=+++++++=x (),4865432181=++++++=y ,356121816436251694812=+++++++=∑=i ix,2418854402415126281=+++++++=∑=i ii yx,684968356468241882812281=⨯-⨯⨯-=--=∑∑=-=∧i i i i i x x xy y x b ,3411668494-=⨯-=∴∧a ∴回归直线方程为.34116849-=∧x y（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当24=x 时，,173411246849≈-⨯=y 即若一次性买进蔬菜24吨，则预计需要销售约17天.20.解：(Ⅰ)连接1AC 交于点F ，则F 为1AC 的中点，又D 为AB 的中点，所以DF BC //1，又⊄1BC 平面CD A 1，又⊂DF 平面CD A 1，所以//1BC 平面CD A 1.（Ⅱ）三棱锥CDE A -1的体积11113A CDE C A DE A DE V V S h --∆==⋅，其中点C 到平面11A ABB 的距离3==CD h ，又23212111212121221=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆DEA S ，所以.233233131111=⨯⨯=⋅==∆--h S V V DE A DE A C CDE A 21.解：（Ⅰ）圆心()0,0到直线1+=x y 的距离21=d ，由圆的性质可得4214222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=d r ，所以，圆的方程为422=+y x ；（Ⅱ） 设()()()2211,,,,0,y x B y x A t N ，由()⎩⎨⎧-==+1422x k y y x 得，()04212222=-+-+k x k x k , 所以.14,1222212221+-=+=+k k x x k k x x 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则02211=-+-⇒-=tx yt x y K K BN AN ， 即()()()()021201121212211=+++-⇒=--+--t x x t x x tx x k t x x k()().4021121422222=⇒=+++-+-⇒t t k t k k k 所以当点N 为()0,4时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称； 22.解：（Ⅰ）x x x x x f 2cos 2sin 227cos 227sin 47-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππ 所以，()x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π47（Ⅱ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=42sin 22cos 2sin πx x x x f[]1,142sin 2,22,2242sin ,4,0-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πππx x x ()012=-+kx f ，即()[]3,12∈+=x f k （Ⅲ）令()x f t =，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈85,0πx ，所以，(]2,1-∈t ， 函数()()()122+-=x mf x fx g 有四个不同零点等价于()122+-=mt t t h 在()2,0∈t 有两个不的零点由根的分布知识可得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><<>∆0200200h h m ，解得:2431<<m .11。
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.在▵OMN 中，ON−MN +MO =( )A. 0B. 2MOC. 2OMD. 02.复数2+3i 1+i 对应的点( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )A. 40B. 35C. 30D. 254.水平放置的▵ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2，则▵ABC 的面积是( )A. 4B. 5C. 6D. 75.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m ，n ，则点P (m,n )在直线x +y =8上的概率是( )A. 112B. 19C. 536D. 166.在▵ABC 中，B =30∘,b =2,c =2 2，则▵ABC 的面积为( )A. 3+ 3B. 3+1C. 3± 3D. 3±17.已知▵ABC 中，AC ⋅AB =0,2AD−AC−AB =0,|AD |=|AB |，则CA 在CB 上的投影向量为( )A. 14CBB. 34CB D. −34CB 8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体(如图2).设这种酒杯内壁的表面积为Scm 2，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S 的取值范围是( )A. [24π,+∞)B. (18π,24π]C. [30π,+∞)D. (18π,30π]9.设向量a,b满足|a|=|b|=1，且|3b−a|=10，则以下结论正确的是( )A. a⊥bB. |a−b|=2C. |b−3a|=10D. 向量a+b与a−b夹角为60∘10.下列命题中真命题是( )A. 如果不同直线m、n都平行于平面α，则m，n一定不相交B. 如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行C. 如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m//nD. 如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在[40,50)内，则( )A. 图中的a=0.005B. m=200C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷(含答案)
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A ．B ．0C ．1D ．22．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．三角形确定一个平面D ．一条直线和一个点确定一个平面3．某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ）A ．53B ．52C ．51D ．244．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．10D ．5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ）A．B ．C ．D ．6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．7．从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ）A ．所取的2个球中至多有一个是黑球B ．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球C ．所取的2个球都是红球D ．所取的2个球中至少有一个红球8．某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）()21i z m m =++-i m =2-ABC △π4,5,6AB BC B ===AB BC ⋅= --(),x y A A 11219536512π3π22π35π6A A [)[)[]50,60,60,70,,90,100A ．图中B ．估计样本数据的第80百分位数为93分C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分D ．测试成绩低于80分的人数为450人9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）A ．与共线的单位向量的坐标为或B ．在方向上的投影向量为C ．与垂直的单位向量的坐标为或D ．若向量与向量垂直，则11．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形②该三棱台的表面积为0.001x =,αβ,m n ,m m αβ∥∥αβ∥,m n αα⊥∥m n ⊥,m αβα⊥∥m β⊥,m n n α⊥⊥m α∥()()2,1,4,3a b =-=-b 43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭b a 115a- a ⎛ ⎝a b λ+ a b + 37λ=ABC △,,A B C ,,a b c cos cos b aA B c--=ABC △12,4,AB BC AA M ===11A C ,,B C M ,,B C M 172+③二面角④三棱锥的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．若复数（是虚数单位），则___________．14．一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________．15．已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________．16．已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________．17．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________．19．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居1M BC C --M ABC -81π413i1iz +=+i z =12,,,n x x x 122,2,,2n x x x +++ AOB △()45A O B x O y ''''''∠=︒△AOB △2O B '='O B ''A C ''P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA E =PA O ABCD A EBD -OE CD中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________．20．在中，，并且满足．（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（本小题满分12分）已知向量满足．（Ⅰ）求向量的数量积；（Ⅱ）求向星夹角的余弦值；（Ⅲ）求的值．22．（本小题满分12分）甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率；（Ⅰ）甲、乙两同学都能通过；（Ⅱ）甲、乙两同学恰有一人通过；（Ⅲ）甲、乙两同学中至少有一人通过．23．（本小题满分13分）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．ABC △5,3AB AC ==25CB AB ⋅=A =DBC D ,B C AD P 12AP =43PA mPB m PC ⎫⎛=+- ⎪⎝⎭mCD ,a b ()()2,1,1,3a b ==-,a b a b ⋅,a bθ2a b +2334111ABC A B C -E AC（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．24．（本小题满分13分）已知的三个内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求；（Ⅲ）若为边上一点，且满足，，试求的最大值．滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷高一年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112ACDAABCDBCDA 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．1314．16 15．4，616．5.6，2 17．2 18 19．20．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．1AB ∥1BC E 1BC E ⊥11ACC A M 1A A 114AM AA =BM 1BC E ABC △,,A B C ,,a b c 222b ac bc =-+A ABC △2c b =a D AC cos cos AB BD BA BD AB A BD CDB λ⎫⎛⎪ +=+⎪ ∠⎝⎭a =BD CD +π3725π221．解：（Ⅰ）（Ⅱ）又（Ⅲ）22．解：设“甲通过”，“乙通过”，则“甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．由已知可得，．（Ⅰ）“两人都通过”，由事件的独立性定义，得所以两人都通过的概率为（Ⅱ）“恰好有一人通过”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为（Ⅲ）事件“至少有一人通过”，且与两两互斥所以所以两人中至少有一人通过的概率为23解：（Ⅰ）连接交于点，连接．()21131a b ⋅=⨯+⨯-=-a === cos ab a b θ⋅==== ()()()22,121,34,5a b +=+-=-2a b ∴+==A =B =A =B =A B A B AB A B ()()()()2311,,,3434A P A PB B P P ====AB =()()()231342P AB P A P B ==⨯=12AB AB = AB AB ()()()()()()()A A P AB B P AB P B P A P P B A B P =+=+ 211311534346412=⨯+⨯=+=512AB AB AB = ,AB AB AB ()()()()()()151121212P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB =++=+=+= 11121B C 1BC G EG在中，为的中点，为的中点．是的中位线，平面平面平面（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，在等边中，为的中点，又是平面内的两条相交直线．平面，又平面，平面平面（Ⅲ）连接，和都是直角三角形，且，，，由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，又平面，1AB C △G 1B C E AC EG ∴1AB C △1EG AB ∴∥EG ∈ 11,BC E AB ⊄1BC E1AB ∴∥1BC E111ABC A B C -1CC ⊥ ,ABC EB ⊂ABC 1CC EB∴⊥ABC △E AC AC EB ∴⊥AC EB∴⊥1CC AC 、11ACC A EB ∴⊥11ACC A EB ⊥1BC E ∴1BC E ⊥11ACC A EM AEM △1CC E △12CC AECE AM==11,AEM CC E CC E AEM ∴∠=∠△∽△111ππ,22CC E CEC CEC AEM ∠+∠=∴∠+∠= 1ME C E ∴⊥1BC E ⊥11ACC A 1BC E 111ACC A C E =ME ∈11ACC A平面为直线与平面所成的角．在中，所以直线与平面24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，（Ⅱ）由面积公式得，又（Ⅲ）取的中点，则，又为等边三角形ME ∴⊥1BC EEBM ∴△BM 1BC E Rt BME △BE ME ==tan ME EBM BE ∴==△BM 1BCE222cos 2b c a A bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()π0,,3AA π∈∴=ABC △1sin 2ABC S bc A =△11πsin sin 4223ABC S bc A bc bc ====∴=△222,2,8c b b c =∴== 2226a b c bc a =+-=∴=AD E 2BA BD BE +=()2cos cos AB AC BD AC BA BD AC BE AC AB A BD CDB λ⎫⎛⋅⋅⎪ ∴+⋅=⋅=+⎪ ∠⎝⎭()AC AC λ=-=,BE AC BA BD∴⊥=π,3A ABD =∴ △在中，由余弦定理得，又由基本不等式得，当且仅当时，等号成立的最大值为4．2π3BDC ∴∠=BCD △2222cos a BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠2222()12a BD CD BD CD BD CD BD CD =++⋅=+-⋅=222()3()12244BD CD BD CD BD CD BD CD +++⎫⎛⋅≤=≤ ⎪⎝⎭BD CD =4BD CD ∴+≤BD CD ∴+。
2022-2023学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年黑龙江省牡丹江市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（）A．平均数小，方差大B．平均数小，方差小C．平均数大，方差大D．平均数大，方差小【答案】D【分析】根据平均数与方差的含义即可求解.【详解】方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小.故选：D2．下列说法错误的是（）A．一个棱柱至少有5个面B．斜棱柱的侧面中没有矩形C．圆柱的母线平行于轴D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【答案】B【分析】根据几何体的性质判断即可.【详解】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.故选：B3．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169966151525271937592408569683 471257333027554488730863537039据此估计P的值为（）A ．0.6B ．0.65C ．0.7D ．0.75【答案】B【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率P 的值.【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：151525271592408471257333027554730537039一个有13组，所以其3次射击至少2次击中目标的概率130.6520P ==，故选：B.4．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”【答案】D【分析】根据互斥事件和独立事件的概念，结合试验条件逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，当从口袋中取出两个黑球时，事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件，所以A 不符合题意；对于B 中，从口袋中取出两个球，事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但必有一个事件发生，所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”对立事件，所以B 不符合题意；对于C 中，当从口袋中取值一红一黑时，事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件，所以C 不符合题意；对于D 中，事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，当取出两个红球时，事件都没有发生，所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件但不是对立事件，符合题意.故选：D.5．掷两枚质地均匀的正方体骰子，设出现的点数之和为5，7，9的概率分别为123,,p p p ，则（）A ．132p p p <<B ．132p p p =<C ．132p p p =>D ．132p p p >>【答案】B【分析】根据题意可知，掷两枚骰子，一共有36种等可能的结果，分析出点数之和分别为5，7，9的情况种数，接下来利用概率计算公式进行计算，再比较三个概率的大小即可.【详解】掷两枚质地均匀的正方体骰子，记出现的点数为(,)m n ，{},1,2,3,4,5,6m n ∈，共有36种结果，点数之和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种，191346p ∴==，点数之和为7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，261366p ∴==，点数之和为9的情况有3,6,4,5,5,4,()()()(6,3)，共4种，391346p ∴==，则132p p p =<.故选：B.6．某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，这组数据中位数的估计值为（）A ．70B ．77C ．80D ．82【答案】B【分析】由频率之和为1求出x 值，由中位数公式计算中位数的估计值．【详解】由频率之和为1得：()100.0050.0350.0300.0101x ++++=，解得0.020x =，[50,70)的频率为0.005100.02100.250.5⨯+⨯=<，[50,80)的频率为0.005100.02100.035100.60.5⨯+⨯+⨯=>，则中位数在[70,80)内，所以这组数据中位数的估计值为0.50.2570770.035-+≈，故选：B ．7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（）A ．5B ．22C ．10D ．15【答案】C【分析】将1,,AB AD AA作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示1AC uuur ，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得11,2AB AD AA === ，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒ ，因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++uuu r uuu r uuu r ,所以()2211AC AB AD AA =++ 212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅ 114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒10=，所以110AC =uuur，故选：C8．我们可以用24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(小于10mm)，中雨(10mm －25mm)，大雨(25mm －50mm)，暴雨(50mm －100mm)，小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨【答案】C【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得积水厚度，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()300150mm 2=的圆面内的降雨充满一个底面半径为()300200100mm 2300⨯=，高为()200mm 的圆锥，所以积水厚度()221π100200329.6mm π150d ⨯⨯=≈⨯，属于大雨.故选：C.二、多选题9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论为（）A ．直线AM 与1C C 是异面直线B ．A ，M ，B ，N 四点共面C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线MN 与AC 是相交直线【答案】AC【分析】根据图形及异面直线的定义判断即可.【详解】因为A ∉面11CDD C ，M ∈面11CDD C ，1C C ⊂面11CDD C ，1M C C ∉，所以AM 与1C C 是异面直线，故A 正确；连接11,A D BC ，因为N ∉面11ABCD ，B ∈面11ABC D ，AM ⊂面11ABC D ，B AM ∉，所以AM 与BN 是异面直线，故B 错误；因为M ∉面11BCC B ，1B ∈面11BCC B ，BN ⊂面11BCC B ，1B BN ∉，所以BN 与1MB 是异面直线，故C 正确；延长DC 与MN 交于点E ，因为M ∉面ABCD ，E ∈面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，E AC ∉，所以ME 与AC 是异面直线，即MN 与AC 是异面直线，故D 错误.故选：AC.10．如图是一个古典概型的样本空间Ω及事件A 和事件B ，其中()24n Ω=，()12n A =，()8n B =，()16n A B ⋃=，则（）A ．()23P A B ⋃=B ．()13P AB =C ．事件A 与B 互斥D ．事件A 与B 相互独立【答案】ABD【分析】计算出事件A 和事件B ，以及A B ⋃，AB 的概率，即可判断A,B ；由于()4,n AB AB =≠∅，可判断C;分别计算()()(),P A P B P AB ⋅的值，看二者的关系，判断D.【详解】()()()()()Ω24,Ω24168,128164n n AB n n A B n AB =∴=-⋃=-==+-= ，()()()()()()41162,Ω246Ω243n AB n A B P AB P A B n n ⋃∴===⋃===，()81()(Ω)243n AB P AB n ===，故A 正确，B 正确；()4,n AB AB A =∴≠∅∴ 与B 不互斥，故C 错误；()()()()()()()()()12181111,,Ω242Ω243236n A n B P A P B P A P B P AB n n ======∴⋅=⨯== ，∴事件A 与B 相互独立，故D 正确.故选：ABD.11．已知,,a b l 为不同的直线，,,αβγ为不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bB ．若,,//a b αβαβ⊥⊂，则a b⊥r rC ．若,,,,l a b a b αβαβαβ⊥⋂=⊂⊂⊥，则,a b 至少有一条与直线l 垂直D ．若,,l αβαγβγ⊥⊥⋂=，则l α⊥【答案】BCD【分析】根据空间直线与平面间的位置关系进行判断A ，由线面、面面垂直的判定写性质判断BCD ．【详解】若//,,a b αβαβ⊂⊂，,a b 可能平行也可能异面，A 错；,a ααβ⊥∥，则a β⊥，又b β⊂，则a b ⊥r r，B 正确；若,,,,l a b a b αβαβαβ⊥⋂=⊂⊂⊥，假设a 与l 不垂直，过直线a 任一点P 在平面α内作直线c l ⊥，因为αβ⊥，所以c β⊥，又b β⊂，则c b ⊥，又b a ⊥，,a c 是平面α内两相交直线，因此b α⊥，而l ⊂α，所以b l ⊥，即直线,a b 中如果有一条不与l 垂直，则另一条必定与直线l 垂直，C 正确；若,,l αβαγβγ⊥⊥⋂=，如图，设a αβ⋂=，b αγ= ，过直线l 上一点P 在平面β内作直线m a ⊥，则m α⊥，同理过P 在平面γ内作直线n b ⊥，则n α⊥，因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以,m n 重合，即重合为平面β和γ的交线l ，所以l α⊥，D 正确．故选：BCD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 为底面ABCD 的中心，1AC 交平面1A BD 于点E ，点F 为棱CD 的中点，则（）A ．1,,A E O 三点共线B ．异面直线BD 与1AC 所成的角为60︒C ．点1C 到平面1A BD 的距离为233D ．过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面的面积为98【答案】ACD【分析】由题意可证得1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 的交线上，可判断A ；由题意可证得BD ⊥平面11ACC A ，从而1BD AC ⊥，可判断B ；由题意可证得1AC ⊥平面1A BD ，则1C E 的长度就是点1C 到平面1A BD 的距离，求解可判断C ；取1D D 的中点G ，因为11FG CD A B ∥∥，所以等腰梯形1A BFG 就是过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面，求出面积可判断D.【详解】因为O 为底面ABCD 的中心，所以O 为BD 和AC 的中点，则,O BD O AC ∈∈，因为BD ⊂平面1,A BD AC ⊂平面11ACC A ，所以O ∈平面1,A BD O ∈平面11ACC A ，所以点O 是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点；显然1A 是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点；因为1AC 交平面1A BD 于点1,E AC ⊂平面11ACC A ，所以E 也是平面1A BD 与平面11ACC A 的公共点，所以1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 的交线上，即1,,A E O 三点共线，故A 正确；因为1C C ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1BD C C ⊥，又11,,,BD AC AC C C C AC C C ⊥=⊂ 平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，即异面直线BD 与1AC 所成的角为90︒，故B 不正确；根据证明1BD AC ⊥的方法，同理可得11AC A B ⊥，因为11,,BD A B B BD A B =⊂ 平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，则1C E 的长度就是点1C 到平面1A BD 的距离，显然E 为正三角形1A BD 的中心，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，所以正三角形1A BD 的边长为2，所以12362323A E =⨯⨯=，又112AC =，所以2221111623233C E AC A E ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭,即点1C 到平面1A BD 的距离为233，故C 正确；取1D D 的中点G ，连11,,,FG GA BF A B ，因为11FG CD A B ∥∥，所以等腰梯形1A BFG 就是过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面，如图：因为122,2A B FG ==，152A G BF ==，所以等腰梯形1A BFG 的高为22113224A B FG h A G -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以等腰梯形1A BFG 的面积为()1112329222248A B FG h ⎛⎫+⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，即过点1,,A B F 的平面截该正方体所得截面的面积为98，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．从我校高三某班抽取10名同学，他们的数学高考成绩如下：116，117，122，125，127，131，135，139，143，150(单位：分)，则这10名同学数学成绩的第70百分位数是．【答案】137【分析】根据百分位数定义可求.【详解】因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1351391372+=，故答案为：137.14．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角111B A C B --的余弦值为．【答案】33/133【分析】连接11AC 和11B D 交于点E ，可证得11A C ⊥平面11BB D D ，则11AC BE ⊥，又111A C B E ⊥，所以1B EB ∠为二面角111B A C B --的平面角，在直角1B EB 中，解三角形即可求出结果.【详解】如图，连接11A C 和11B D 交于点E ，连接,BD BE ．∵1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，∴111BB AC ⊥，又11111111111,,,A C B D B D BB B B D BB ⊥=⊂ 平面11BB D D ，∴11A C ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，∴11A C BE ⊥，又111A C B E ⊥，∴1B EB ∠为二面角111B A C B --的平面角，在直角1B EB 中，设12B B =，则12,6B E BE ==，故13c 3os 26B EB ==∠．故答案为：33.15．如图，圆柱的底面直径AB 与母线AD 相等，E 是弧AB 的中点，则AE 与BD 所成的角为．【答案】π3【分析】过B 作BF AE ，交圆柱底面圆于F ，则FBD ∠即异面直线AE 与BD 所成的角，求解即可.【详解】如图，过B 作BF AE ，交圆柱底面圆于F ，连接AF ，DF ，则FBD ∠即异面直线AE 与BD 所成的角．不妨设2AB AD ==，则22BD =，由题意可得ABF △是等腰直角三角形，所以2BF AF ==．在直角AFD △中，DF =226AF AD +=，所以222DF BF BD +=，所以BDF V 是直角三角形，又2BD BF =，所以π3FBD ∠=，故答案为：π3．16．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，E 为棱CD 的中点，F 为棱11C D （包括端点）上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值是．【答案】2449π/2449π【分析】取AE 的中点1O ，过1O 作平面ABCD 的垂线，与平面1111D C B A 交于点M ，过M 作11C D 的垂线，垂足为N ，设1OO m =，NF n =，则03n ≤≤．设球O 的半径为R ，求出286n m +=，得到m的取值范围，即得解.【详解】解：如图，取AE 的中点1O ，过1O 作平面ABCD 的垂线，与平面1111D C B A 交于点M ，过M 作11C D 的垂线，垂足为N ，则三棱锥E ADF -外接球的球心O 在1MO 上．设1OO m =，NF n =，则03n ≤≤．设球O 的半径为R ，则222R OE OF ==，即()2222222534R m OM MN NF m n =+=++=-++，所以286n m +=．因为03n ≤≤，所以41736m ≤≤，则226159R m =+≥.故三棱锥A DEF -外接球的表面积224449S R ππ=≥．故答案为：2449π四、解答题17．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos a B b A c +=.（1）求B ；（2）设2a c =，2b =，求c .【答案】（1）4π；（2）2.【分析】（1）由题设，根据正弦定理得sin sin sin cos sin A B B A C +=，结合三角形内角的性质得tan 1B =，即可求B ；（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c .【详解】（1）由正弦定理得：sin sin sin cos sin A B B A C +=，而()()sin sin sin sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴sin sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，cos 0B ≠，∴tan 1B =，又0B π<<，即4B π=.（2）由余弦定理2222cos b c a ac B =+-，即2a c =，∴222242222c c c =+-⨯，解得2c =.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AC 与BD 交于点O ，PA ⊥面ABCD ，且2PA =.(1)求证BD ⊥平面PAC .；(2)求PD 与平面PAC 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30【分析】（1）由AC BD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，得到PA BD ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得BD ⊥平面PAC ；（2）连接PO ，得到DPO ∠为PD 与平面PAC 所成的角，在直角DPO 中，即可求得PD 与平面PAC 所成的角.【详解】（1）解：因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（2）解：连接PO ，因为BD ⊥平面PAO ，所以DPO ∠为PD 与平面PAC 所成的角，因为2AB PA ==，所以6,2PO DO ==，在直角DPO 中，23tan 36DODPO PO∠===，所以30DPO ∠= ，即PD 与平面PAC 所成的角为30 .19．在①sin 4a C =，②62a b c ++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断 ABC 的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在 ABC ，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2,23ABC a c b S +== ，______？，注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】若选①，由sin 4a C =结合23ABC S = 可得3b =，则23a c +=，后由基本不等式结合23ABCS = 可判断三角形是否存在；若选②，由题可得224223ABC b a c S ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ .由余弦定理结合23ABC S = 可得11cos sin B B+=，可解得π3B =，可得,ac a c +.即可判断三角形是否存在.【详解】解：若选①，这样的 ABC 不存在.理由如下：则1sin 233,232ABC S ab C b a c ==⇒=+= 则()213323422sin sin ABC a c ac S ac B B +≤=⇒==≤ .得43sin 13B ≥>，与正弦函数的有界性矛盾.故这样的 ABC 不存在；若选②，这样的 ABC 存在.22223426223ABC ABC a c bb S ac a b c S ⎧+==⎧⎪⎪⎪=⇒+=⎨⎨⎪⎪++==⎩⎪⎩ .由余弦定理：()()2222221cos cos b a c ac B a c ac B =+-=+-+.得()cos 112ac B +=.又123432sin sin ABC S ac B ac B ==⇒= .则1133162cos πsin cos sin sin B B B B B⎛⎫+=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭.因为a ，b ，c 成等差数列，b 不是最大边，所以π02B <<，所以ππ66B -=，即π3B =.则82242ac a c a c =⎧⎪⇒==⎨+=⎪⎩，则此时 ABC 为等边三角形.20．立德中学在端午节到来之际准备举办端午知识趣味竞赛，甲、乙两位同学组成“星队”参赛，每轮活动由甲、乙各回答一道题，已知甲每轮猜对的概率是p ，乙每轮猜对的概率是89p ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，其中112p <<．(1)若在一轮比赛中“甲答对题目且乙答错题目”的概率为14，求p ;(2)在（1）的条件下，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．【答案】(1)34(2)512【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列式求解；（2）设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，设“星队”在两轮活动中猜对3个成语为事件A ，则1221A A B A B = ，根据独立事件及互斥事件的概率公式求解即可.【详解】（1）根据题意，81194112p p p ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩，所以34p =；（2）设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据题意得()()1231133339,444484416P A P A =⨯+⨯==⨯=，()()1221124224,33339339P B P B =⨯+⨯==⨯=．设“星队”在两轮活动中猜对3个成语为事件A ，则1221A A B A B = ，且12A B 与21A B 互斥，1A 与22,B A 与1B 相互独立，所以()()()()()()()12211221P A P A B P A B P A PB P A P B =+=+349458916912=⨯+⨯=，因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为512．21．4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间(单位：小时)的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间(单位：小时)的频率分布直方图．(以各组的区间中点值代表该组的各个值)男生一周课外阅读时间频数分布表小时频数[)0,29[)2,425[)4,63[]6,83女生一周课外阅读时间频率分布直方图(1)从一周课外阅读时间为[)4,6的学生中按比例分配抽取6人，再从这6名学生中选出2名同学调查他们阅读书目．求这两人都是女生的概率；(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数,x y ；(3)估计总样本的平均数z 和方差²s ．参考数据和公式：男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为2 2.4s =男和23s =女，()()404060602222211111()()100i i i i i i s x x x z y z y y ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑，()140i x i ≤≤和()160i y i ≤≤分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中Z i ∈．【答案】(1)23(2)3x =，4y =；(3) 3.6z =，23s =.【分析】（1）首先求出[)4,6中女生的人数，再利用分层抽样计算抽取的男生与女生的人数，利用古典概型公式求出概率；（2）根据平均数公式计算可得；（3）首先求出总体的平均数，再根据所给公式及数据求出总体的方差.【详解】（1）一周课外阅读时间为[)4,6的学生中男生有3人，女生有1260158⨯⨯=人，若从中按比例分配抽取6人，则男生有361315⨯=+人，女生有1565315⨯=+人，用a 表示男生，用1，2，3，4，5表示女生，则样本空间为{}Ω1,2,3,4,5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45a a a a a =，设事件A =“选出两人都是女生”，则{}12,13,14,15,23,24,25,34,35,45A =，由于抽中Ω中每一个样本点的可能性相等，所以这是一个古典概型，所以()()()102Ω153n A P A n ===.（2）估计男生一周课外阅读时间平均数193255373340x ⨯+⨯+⨯+⨯==；估计女生一周课外阅读时间的平均数1111212325274244812y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（3）估计总样本的平均数3404603.6100z ⨯+⨯==，∵()()4060222211112.4,34060i i i i x x s y ys ==-==-==∑∑男女，∴()()406022221140 2.44096,60360180i i i i x xs y ys==-=⋅=⨯=-=⋅=⨯=∑∑男女，4060222211()40(3 3.6)14.4,()60(4 3.6)9.6i i x z y z ==-=⨯-=-=⨯-=∑∑，∴21[9614.49.6180]3100s =+++=，所以估计总样本的平均数 3.6z =，方差23s =．22．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；(3)设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．【答案】(1)24(2)52(3)1111【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，求出1222PG AM ==，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM 为平行四边形，从而得到2215122CN MQ ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭；（3）作出辅助线，得到∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，建立空间直角坐标系，用含θ的关系式表达出平面PAM 和平面PBC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到29cos 80609t t α=+-，结合t 的取值范围求出余弦值的最小值【详解】（1）取AM 的中点G ，连接PG ，因为PA =PM ，则PG ⊥AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且1222PG AM ==，底面ABCM 为梯形，面积为()1312122+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为13223224⨯⨯=（2）取AP 中点Q ，连接NQ ，MQ ，则因为N 为PB 中点，所以NQ 为△PAB 的中位线，所以NQ ∥AB 且12NQ AB =，因为M 为CD 的中点，四边形ABCD 为矩形，所以CM ∥AB 且12CM AB =，所以CM ∥NQ 且CM =NQ ，故四边形CNQM 为平行四边形，所以2215122CN MQ ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.（3）连接DG ，因为DA =DM ，所以DG ⊥AM ，所以∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,1,0,0,2,0A M C ，过P 作PH ⊥DG 于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ，设()000,,P x y z ，因为22PG =，所以()222sin ,cos ,1cos 222PH GH DH θθθ===-，所以()()002211cos 1cos 222x y θθ==-⨯=-，02sin 2z θ=所以()()1121cos ,1cos ,sin 222P θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1cos cos 121,1,0,,,sin 222AM PA θθθ⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAM 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1111101cos cos 12sin 0222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩，令12z =，则()1tan ,tan ,2n θθ= ，设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r ，因为()cos 1cos 321,0,0,,,sin 222CB PC θθθ⎛⎫-+==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22220cos 1cos 32sin 0222x x y z θθθ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令22sin y θ=，可得：()20,2sin ,3cos n θθ=+ ，设两平面夹角为α，则()()21222212sin 2322cos 3cos 1cos cos 11cos 6cos 2tan2sin 6cos 10n n n n θθθθαθθθθθ++⋅+===⋅-++++ 2213cos 3380201201801cos cos 1133393cos 9cos 33θθθθθ+==⎛⎫⎛⎫+--++++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令11cos 3t θ=+，π0,2θ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦，所以3,34t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以29cos 80609t t α=+-，所以当3t =时，cos α有最小值1111，所以平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值为1111【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.。
高一数学试题与解析-唐山市2023-2024学年高一下学期期末考试+数学答案
唐山市2023－2024学年度高一年级第二学期期末考试数学参考答案及评分一．选择题：1～4．ACCB5～8．DBDC二．选择题：9．BCD 10．AD 11．ACD 三．填空题：12．713．2712514．77四．解答题：（若有其他解法．．．．．．，请参照给分．．．．．） 15．解：（1）若a ∥b ，则3sin α－cos α＝0， …3分解得tan α＝33， …5分因为α∈[0，π]，所以α＝ π6． …7分（2）若a ⊥b ，则sin α＋3cos α＝0， …10分解得tan α＝－3， …12分 因为α∈[0，π]，所以α＝2π3． …13分16．解：（1）记“甲独立解答正确”为事件A ，“乙独立解答正确”为事件B ，且事件A ，B 相互独立．所以两人解答都正确的概率为…5分（2）“至多一人解答正确”的对立事件为“两人都解答正确”，所以至多一人解答正确的概率为1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1…10分（3）“至少一人解答正确”的对立事件为“两人都未解答正确”，所以至少一人解答正确的概率为1－P (A-B -)＝1－P (A -)P (B -)＝1－ 1 2× …15分17．解：（1）在△ABC…2分…3分解得sin ∠…5分因为C ＝2π3，所以∠BAC ∈(0， π3)，所以∠…7分所以又AB ＝3，BC ＝3，所以△ABC 的面积×BC ×sin…8分（2）解法一：在△ADC 中，AC ＝BC ＝3，C ＝2π3，因为D 是BC 中点，所以CD ＝ 1 2BC ＝32，由余弦定理，得AD 2 ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C…11分 ＝3＋34－2×3×32×(－ 1 2)＝214．…14分 所以AD ＝212．…15分解法二：由AD →＝ 12(AB →＋AC →)两边平方可得|AD →|2＝ 14(|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →||AC →|cos ∠BAC )…11分由（1）可知AC ＝BC ＝3，AB ＝3，cos ∠BAC ＝32，所以|AD →|2＝ 14(9＋3＋2×3×3×32)＝214．…14分 所以AD ＝212．…15分18．解：（1）这些人的平均年龄为x-＝15×0.05＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.1 …2分＝34.5(岁)． …3分 由频率分布直方图可知，年龄在[10，40)的频率为0.05＋0.35＋0.3＝0.7， 在[10，50)的频率为0.05＋0.35＋0.3＋0.2＝0.9， 则第80百分位数为x 0∈[40，50)，由0.7＋(x 0－40)×0.02＝0.8，解得x 0＝45． …5分所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45．（2）第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1．…6分若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为a1，a2，a3；第四组抽取2人，记为b1，b2；第五组抽取1人，记为c；对应的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c)，(b1，b2)，(b1，c)，(b2，c)}，所以n(Ω)＝15；…8分设事件A为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c)，(a3，b1)，(a3，b2)，，所以n(A)＝11. …10分…12分（3）设第三组、第四组的年龄的平均数分别为x1-，x2-，方差分别为s21，s22．则x1-＝36，x2-＝46，s21＝2，s22＝4．由第三组有30人，第四组有20人，-2s，…14分s…16分26.8．…17分19．解：（1）由已知AC∥A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1．…2分又AC⊂平面ABC，平面A1BC1∩平面ABC＝l，所以AC∥l．…5分（2）取BC中点为O，连接AO，A1O．因为侧面BB1C1C为矩形，所以BB1⊥BC，又AA1//BB1，则AA1⊥BC．由A1C＝A1B，所以A1O⊥BC．…6分又A1O∩AA1＝A1，A1O，AA1⊂平面AA1O，故BC⊥平面AA1O．…8分由于AO⊂平面AA1O，故BC ⊥AO ． …10分又BO ＝CO ，故AB ＝AC ， 又AC ＝BC ，所以△ABC 为等边三角形．…12分（3）记ON 与BC 1交于点H ，连接A 1H ，过O 作OE ⊥A 1H 于点E ，连接BE ．因为O ，N 分别为BC ，B 1C 1中点， 所以ON ∥AA 1，ON ＝AA 1，所以四边形A 1AON 为平行四边形． …13分 所以平面A 1AON ∩平面A 1BC 1＝A 1H ．由（2）可知BO ⊥平面A 1AON ，OE ，A 1H ⊂平面A 1AON ， 所以BO ⊥OE ，BO ⊥A 1H ， 又OE ⊥A 1H ，BO ∩OE ＝O ，所以A 1H ⊥平面BOE ，又BE ⊂平面BOE ， 所以A 1H ⊥BE ，即∠OEB 为平面A 1AN 与平面A 1BC 1所成的锐二面角． …14分 在△A 1BC 中，A 1C ＝A 1B ＝22，BC ＝AB ＝4， 所以△A 1BC 为等腰直角三角形， 所以A 1O ＝2．因为A 1A ＝AB ＝4，△ABC 为等边三角形， 所以AO ＝23， 所以A 1O 2＋AO 2＝AA 21， 则A 1O ⊥OA ． …15分 同理可证A 1O ⊥A 1N ，又知H 为ON 中点，所以A 1H ＝ 12ON ＝2．所以△A 1OH 为边长为2的等边三角形，且OE ＝3， …16分 在△OEB 中，BO ⊥OE ， 因为BE ＝OB 2＋OE 2＝7，所以sin ∠OEB ＝OB BE ＝27＝277． …17分故平面A 1AN 与平面A 1BC 1所成二面角的正弦值是277．…17分（同上）A 1B 1C 1CABNOHE。
武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案
华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。
湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题含解析
河南天一大联考2024届高一数学第二学期期末考试试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4 B ．4 C ．125- D ．1252．如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=4．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是棱1AA 和AB 的中点，P 为上底面1111D C B A 的中心，则直线PB 与MN 所成的角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－32a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1B ． 3 1C ．3 2D ．3 26．已知直线1:230l x ay +-=与()2:110l a x y -++=，若12l l //，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．2或-1 D ．-2或17．若两个球的半径之比为1:3，则这两球的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:1C ．1:27D ．1:98．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，5sin 7A =，5a =，7b =，则sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．37D ．19．函数tan()42y x ππ=-的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅的值为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．710．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题含答案
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题卷（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则A B = （）A.{}|12x x << B.{}|03x x << C.{}|23<<x x D.{}3|1x x <<【答案】A 【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合{}|02A x x =<<，{}|13B x x =<<，则{}|12A B x x ⋂=<<.故选：A.2.“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由π6θ=，可得1sin 2θ=成立，即充分性成立；反正：若1sin 2θ=，可得π2π6k θ=+或5π2π,6k k Z θ=+∈，即必要性不成立，所以π6θ=是1sin 2θ=的充分不必要条件.故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【解析】【分析】根据中位数的求解方法可得【详解】这组数据是按从小到大的顺序排列的，且共有10个数据，又最中间两个数的平均数为454.52+=，该组数据的中位数为4.5故选：C 4.复数13i1iz -=+，则z =（）A.5B.C. D.32【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算化简得出复数，再结合复数的模长公式计算即可.【详解】因为()()()()2213i 1i 13i 1i 3i 3i 24i12i 1i 1i 1i 1i 2z -----+--=====--++--,所以z ==故选：B.5.已知,OA a OB b == ，点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，则PQ =uu u r（）A.a b+ B.22a b + C.b a - D.22b a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量加、减法的法则可得【详解】因为点P 关于点A 的对称点为M ，点M 关于点B 的对称点为Q ，所以22,22OP OM OA a OQ OM OB b +==+==，两式相减可得所以PQ =uu u r OQ OP -= 22b a - ，故选：D6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（）A.20πB.30πC.60πD.90π【答案】C【分析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可.【详解】如图所示，设球O 与圆锥底面相切于点N ，与母线BS 相切于点M ，根据已知得6,3BN OM ==，设母线长BS l =，则在直角△SBN 中SN ==因为SNB SMO △∽△，所以OS BSOM BN=即36336l =，化简得24600l l --=，解得10l =，或6l =-(舍去)，所以圆锥的侧面积为：ππ610=60πBN l ⋅⋅=⨯⨯.故选：C.7.若函数()()22e e 4e e 2xx x x f x b --=+-++（b 是常数）有且只有一个零点，则b 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】由已知条件可判断()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，由函数有且只有一个零点，()f x 过坐标原点即可求解.【详解】函数的定义域为R ，因为()()()22ee 4e e 2xx x x f x b f x ---=+-++=，所以函数()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数()f x 过坐标原点，()024220f b =-⨯+=，解得3b =.故选：B .8.已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足222224a b c ++=，则ABC 面积的最大值为（）A.8B.4C.2D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用两次基本不等式得到2162ABC S ≤ ，从而得解.【详解】因为222224a b c ++=，则222122b c a +=-，24a <，即2222322b c a a +-=-，由余弦定理可得232cos 22bc A a =-，又2sin 4ABC bc A S = ，所以2222234cos 22b c A a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①，22224sin 16ABC b c A S = ②，①+②可得22222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，又()22222221422b c b ca ⎛⎫≤+=- ⎪⎝⎭，即2222231216222ABC a S a ⎛⎫⎛⎫-+≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()22222221316222222ABCSa a a a ⎛⎫⎛⎫≤---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222a a ⎛⎫+-≤= ⎪⎝⎭，即2162ABC S ≤ ，即0ABC ABC S S ⎛+-≤ ⎝，解得04ABC S <≤=，当且仅当22222b c a a⎧=⎨=-⎩时，即21a =，2234b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为24.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用余弦定理与三角形的面积公式得到2222342162ABCb c a S ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，从而结合基本不等式即可得解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.对于事件A 和事件B ，()0.4P A =，()0.5P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.4=P ABB.若A 与B 互斥，则()0.9P A B ⋃=C.若A B ⊂，则()0.1P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.2P AB =【答案】BD 【解析】【分析】由互斥事件的定义，代入计算即可判断AB ，由A B ⊂，则AB A =，即可判断C ，由相互独立事件的定义，即可判断D【详解】因为()0.4P A =，()0.5P B =，若A 与B 互斥，则()0P AB =，()()()0.9P A B P A P B ⋃=+=，故A 错误，B 正确；若A B ⊂，则AB A =，所以()()0.4P AB P A ==，故C 错误；若A 与B 相互独立，则()()()0.40.50.2P AB P A P B ==⨯=，故D 正确；故选：BD10.已知,O A 与,B C 分别是异面直线a 与b 上的不同点，E ，F ，G ，H 分别是线段OA ，OB ，BC ，CA 上的点.以下命题正确的是（）A.直线OB 与直线AC 可以相交，不可以平行B.直线EH 与直线BC 可以异面，不可以平行C.直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交D.直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交【答案】BCD 【解析】【分析】A 可假设直线OB 与直线AC 相交，推出矛盾；B 先根据特殊位置得到两直线异面，再假设两直线平行，推出矛盾；C 根据特殊位置可以得到两直线垂直和相交；D 由特殊位置得到两直线可能异面，可能相交，也可以平行.【详解】A 选项，若直线OB 与直线AC 相交，则,,,O B A C 四点共面，则直线a 与b 共面，与题目条件直线a 与b 异面矛盾，故直线OB 与直线AC 不可以相交，A 错误；B 选项，当,E H 分别和,O A 重合时，直线EH 与直线BC 异面，直线EH 与直线BC 不可以平行，假如直线EH 与直线BC 平行，EH ⊂平面OAH ，BC ⊄平面OAH ，故//BC 平面OAH ，但BC 与平面OAH 有交点C ，显然这是不可能的，假设不成立，B 正确；C 选项，当,E F 均与O 重合，此时直线EG 与直线FH 相交，当调整,E G 的位置，可能有EG ⊥OA ，且令,F H 分别与,O A 重合，此时满足直线EG 与直线FH 垂直，故直线EG 与直线FH 可以垂直，可以相交，C 正确；D 选项，当,E H 均与A 重合，或,GF 均与B 重合时，直线EF 与直线GH 相交，当OE OF OA OB =时，EF 与AB 平行，当CG CHCB CA=时，GH 与AB 平行，此时EF 与GH 平行，其他情况，直线EF 与直线GH 异面，故直线EF 与直线GH 可以异面，可以相交，D 正确.故选：BCD11.小明在研究物理中某种粒子点(),P x y 的运动轨迹，想找到y 与x 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现y 和x 都与某个变量()t t ∈R 有关联，且有sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩.小明以此为依据去判断函数()y f x =的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于原点对称B.函数()y f x =是以2π为周期的函数C.函数()y f x =的图象存在多条对称轴D.函数()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据y 的取值情况判断A 选项，根据正弦余弦函数周期性判断B 选项，根据圆的特性判断C 选项，应用复合函数单调性判断D 选项.【详解】对于A ：由题意知1cos 0y t =-≥，故()f x 不可能关于原点对称，A 选项错误；对于B:sin ,cos y x y x ==周期为2π，则()y f x =是以2π为周期的函数，B 选项正确；对于C ：当π,Z t k k =∈时，πsin ππ,Z x k k k k =-=∈,此时1cos y t =-有多条对称轴，C 选项正确；对于D:sin ,x t t =-设()()()sin ,1cos 0,h t t t h t t h t =-=-≥'单调递增，()11cos ,0,2g t t t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭单调递增，根据复合函数的单调性可得()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：根据对称中心及对称轴定义判对称性即可.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，则()()1ff =_____________.【答案】2【解析】【分析】根据定义域代入相应的解析式可得答案.【详解】因为()()22log 1,22,2x x f x x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以()211213f =+⨯=，()()()()2213log 31log42f f f ==+==.故答案为：2.13.甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发向北偏东60 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为_____________千米.【答案】【解析】【分析】根据已知条件用余弦定理将甲、乙两船的距离表示出来，再求最小值即可求解.【详解】如图所示，设甲船航行到点C ，同时乙船航行到点D ，由已知得10AB =，120ABD ∠=︒，设BD AC x ==，则10BC x =-，在△BCD 中，由余弦定理得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅⋅︒，代入得222221(10)2(10)(10100(5)752CD x x x x x x x =-+---=-+=-+，所以当5x =时，CD =千米.故答案为：.14.在ABC 中，3AB =，6AC =，60BAC ∠= ，D 在边BC 上，延长AD 到E ，使15AE =.若32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则BD =_____________.【答案】4【解析】【分析】建系标点，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据向量的坐标运算解得3cos 5θ=，进而可得4tan 3θ=，结合图形即可得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()()(0,0,3,0,3,33A B C ，可知AB BC ⊥，设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()()()15cos ,15sin ,315cos ,15sin ,315cos ,3315sin EA EB EC θθθθθθ=--=--=--，因为32EA tEB t EC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()3315cos 315cos 15cos 2t t θθθ⎛⎫-+--=-⎪⎝⎭，解得3cos 5θ=，且π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4sin 5θ==，sin 4tan cos 3θθθ==，所以tan 4BD AB θ=⋅=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：建系，根据15AE =可设()π15cos ,15sin ,0,3E θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合题意运算.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，()12122,2a e e b e e λλ=-=-∈R .（1）若,a b可以作为一组基底，求实数λ的取值范围；（2）若,a b垂直，求实数λ的值；（3）求b的最小值.【答案】（1）()(),44,-∞⋃+∞（2）0λ=（3【解析】【分析】（1）根据向量不平行，21,e e 的系数比值不相等可解；（2）根据0a b ⋅=，结合数量积运算性质即可得解；（3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得.【小问1详解】因为,a b 可以作为一组基底，所以,a b不平行，又21,e e 不共线，所以212λ≠--，即4λ≠，所以，实数λ的取值范围为()(),44,∞∞-⋃+.【小问2详解】因为,a b 垂直，所以()()1212220a b e e e e λ⋅=-⋅-=，即()2211222420e e e e λλ-+⋅+= ，又22121211,11cos 602e e e e ==⋅=⨯⨯︒= ，所以()124202λλ-++=，解得0λ=.【小问3详解】因为()()22222221211222442413be e e e e e λλλλλλ=-=-⋅+=-+=-+ ，所以，当1λ=时，2b 取得最小值3，所以b.16.已知函数()cos f x x x =+.（1）求函数()f x 的值域和其图象的对称中心；（2）在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足()f A =2a =，b =，求ABC 的面积S 的值.【答案】（1）值域为[]22-,，ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.（2【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得值域，利用整体代入法求解可得对称中心；（2）根据()f A =A ，利用余弦定理求出c ，然后由面积公式可得.【小问1详解】()πcos 2sin6f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以值域为[]22-,，令ππ6x k k +=∈Z ，，得ππ,6x k k =-+∈Z ，所以()f x 的对称中心坐标为ππ,06k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，.【小问2详解】由()π2sin 6f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0πA << ，ππ7π666A ∴<+<，所以ππ63A +=或2π3，即π6A =或π2A =，2a b =<=，π6A ∴=，由余弦定理得2π4122cos 6c =+-⨯，即2680c c -+=，解得2c =或4.当2c =时，11222S =⨯⨯=；当4c =时，11422S =⨯⨯=故所求ABC 的面积S 17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格.（1）求a 的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.【答案】（1）0.07a =，20.32小时（2）21.73小时（3）25【解析】【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出a ，利用平均数的定义进行计算；（2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为y ，从而得到方程，求出答案；（3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率.【小问1详解】由()0.020.060.0750.02541a ++++⨯=，解得0.07a =，因为()0.02120.06160.075200.07240.02528420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时，所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.【小问2详解】时间从长到短按4:4:2的比例分别被评为优秀、良好、合格，由题意知，即求60百分位数，又()0.020.0640.32+⨯=，()0.020.060.07540.62++⨯=，所以60百分位数位于18~22之间，设60百分位数为y ，则180.60.3222180.3y --=-，解得561821.7315y =+≈小时.故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀.【小问3详解】易知，5名学生中，优秀有452442⨯=++人，设为,A B ，良好有452442⨯=++人，设为,C D ，合格有251442⨯=++人，设为E .任选3人，总共有()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B E A C D A C E A D E ()()()(),,,,,,,,,,,B C D B C E B D E C D E ，10种情况，其中符合的有()()()(),,,,,,,,,,,A C E A D E B C E B D E ，共4种，故概率为42105p ==.18.在四棱台1111ABCD A B C D -中，BC AD ∥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，2AD =，CD =，1111AB BC AA A D ====，1120A AB ∠= .（1）求证：1//A B 平面11CDD C ；（2）求直线1AA 与直线CD 所成角的余弦值；（3）若Q 是1DD 的中点，求平面QAC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24（3）75555.【解析】【分析】（1）根据平行直线的传递性可得11A B CD ∥，然后根据线面平行的判定可得（2）方法一，取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角，然后在直角三角形中求出余弦即可，方法二，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用公式1cos cos AA CD θ=，求出即可（3）利用二面角的定义找出QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角，求出平面QAC 的法向量()m x y z = ，，和平面ABCD 的法向量()001n = ，，，利用cos cos ,n m θ= 求解即可.【小问1详解】连接1CD ，111BC A D == ，11BC AD A D ∥∥，11A BCD ∴是平行四边形，11AB CD ∴∥.又1⊄A B 面11CDD C ，1CD ⊂面11CDD C ，故1//A B 平面11CDD C 【小问2详解】法一：取AD 中点E ，连1D E ，CE ，1BD ，则11AA D E ，BE CD ，所以1BED ∠就是直线1AA 与CD 所成的角.在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥平面11ABB A ，BC ∴⊥平面1CED ，1BC CD ∴⊥，12BD ∴=，1cos 4BED ∠∴==-，所以，直线1AA 与直线CD所成角的余弦值为4.法二：在梯形ABCD 中，由已知可得AB AD ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB 是交线，AD ∴⊥面11ABB A ，如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，()020D ，，，11022AA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，()110CD =-，，1cos cos 4AA CD θ∴==，.【小问3详解】法一：过1D 作CE 延长线的垂线于O ，连接OD ，取OD 中点H ，连接QH ，过H 作HM AC ⊥，连接QM .易证QH ⊥面ABCD ，则QMH ∠就是二面角Q AC D --的平面角.11324QH OD ==，728MH =，所以1108MQ =，故cos 55MH QMH MQ ∠==.法二：()11010A D BC == ，，，11122D ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，，13424Q ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，，设()m x y z = ，，是平面QAC的法向量，则0130424x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，，令x =，得)m =-，又()001n =，，是平面ABCD 的法向量，所以cos cos ,55n m θ===.19.假设()G x 是定义在一个区间I 上的连续函数，且(){|}G x x I I ∈⊂.对0x I ∀∈，记()()1100x G x G x ==，()()()()22100x G x G G x G x ===，…，()()()100n n n x G G x G x -== .若某一个函数()G x 满足()()()21000n n n Gx pG x qG x ++=+，则有n n n x s t αβ=+（其中α，β为关于x 的方程2x px q =+的两个根，s ，t 是可以由0x ，1x 来确定的常数）.（1）若02x =，13x =且满足()()()212222n n n G G G ++=-+.（ⅰ）求2x ，3x 的值；（ⅱ）求n x 的表达式；（2）若函数()G x 的定义域为A ，值域为B ，且()0,A B ∞==+，且函数()G x 满足()()()216n n n G x G x G x ++=-+，求()G x 的解析式.【答案】（1）（ⅰ）21x =，35x =；（ⅱ）()71233n n x =-⋅-（2）()2G x x =【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，利用递推关系即可求解；（ⅱ）由题意知n nn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根可得()2nn x s t =+-，从而可得()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，求解即可；（2）由题意得()32nnn x s t =⋅-+⋅，又由值域为()0,B ∞=+可得0s =，从而可得0x t =，再由()10022x G x t x ===即可求解.【小问1详解】（ⅰ）由题意知212n n n x x x ++=-+，又02x =，13x =，所以2102341x x x =-+=-+=，32121235x x x =-+=-+⨯=.（ⅱ）由题意知，nnn x s t αβ=⋅+⋅，又α，β为22x x =-+的两个根1，2-，()2n n x s t ∴=+-.又()01223x s t x s t =+=⎧⎨=+⨯-=⎩，所以7313s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()71233n n x ∴=-⋅-.【小问2详解】由题意知，α，β为关于x 的方程26x x =-+的两个根，所以3,2αβ=-=，则()32nnn x s t =⋅-+⋅，因为值域为()0,B ∞=+，易知0s =；2n n x t ∴=⋅，则002x t t =⋅=，()10022x G x t x ∴===，()2G x x ∴=.。