美式垄断期权定价的数学分析_岑苑君
美式看跌期权定价的数值解法
美式看跌期权定价的数值解法美式期权定价通常采用数值方法，包括二叉树法、有限差分法和monte carlo模拟法。
其中，二叉树法和有限差分法都属于逆向求解的方法，可以求出美式期权的最优执行时刻以及价格，但对于路径依赖期权和具有多标的资产的期权，这两种方法受到了限制。
monte carlo模拟方法的原理虽然是正向求解，但20世纪90年代以来，学者们通过将树图分析技术以及动态规划原理引入monte carlo模拟中，已经实现了美式期权的monte carlo模拟定价。
本文首先介绍了lsm方法的理论框架和基本原理，其次以单一标的资产的美式看跌期权为例，给出了具体的算法实现步骤以及matlab 程序，最后通过一个实例说明lsm方法的可行性及优缺点。
一.lsm方法的理论框架和基本原理为模拟美式期权定价，首先设立以下基本假定：标的资产价格演化过程遵循几何布朗运动市场是无摩擦；无风险利率r为固定的常数。
为简化计算，将期权的有效期[0，t]均分为个子区间，这样期权只可能在n+1个交易时点行权：0=t0<t1<t2<……<tn=t。
在t时刻前的某一可能执行点tn时刻，若立即行权，期权价值即执行期权获得的收益现金流max（k-st，0），是已知的；若继续持有，期权价值即为继续持有该期权的期望收益它是个条件期望，依赖于下一时点期权决策的价值，需逆向求解，这是一般的monte carlo模拟法无法做到的。
然而通过实证研究发现，只要标的资产价格过程具有马尔科夫性，拟合的条件期望函数可用多个不同阶的拉格朗日多项式线性组合而成，根据标的变量个数的不同，选择不同个数的多项式的线性组合。
因此，我们将所有（m条）样本路径在时点tn的价格stn和stn2为解释变量，将对应样本路径上的期望收益作为被解释变量，建立如下线性回归模型：将各个资产价格样本路径带入到回归方程，就可得到期权在各个时点继续持有的价值无偏估计。
金融衍生工具课件：美式期权定价
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第二节 美式期权定价的分析近似类模型
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）近似 ➢ 其他分析近似类模型
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Barone-Adesi和Whaley（1987）近似
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）基于由MacMilan（1986）提出的二次
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已知红利支付率
➢ 唯一可能提前执行的时间点在第二阶段末除权日前的瞬间，我们接下来就分 析第二阶段末除权日前的瞬间各点的提前执行决策，即二叉树图中的B、C、 D各点。以B点为例，若不提前执行美式期权，则期权的价值为6.58。若在B 点提前执行美式买权，则期权的价值为35.90/0.95-30=7.79，大于6.58。故在B 点，投资者应该选择提前执行美式买权。同理，对于C点和D点，我们可以运 用相同的分析方法。在C点，若提前执行，则期权的价值为0；若不提前执行， 期权的价值为1.42。故投资者不会选择提前执行美式买权。在D点，期权处于 虚值状态，投资者不会提前执行，期权的价值为0。
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红利支付
➢ 对于支付红利的股票，美式买权可以视为一系列欧式买权的复合。在任意两 个除权日之间，美式买权都不会被提前执行（理由同上）。在除权日前的瞬 间，投资者将判断是否执行该期权。若执行美式买权，则该期权的存续期中 止；若不执行，则可能的执行时点将是下一个除权日前的瞬间；这样不断往 下，直到期权在最后到期日被执行（等同于欧式期权）。
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➢ 对以于给u 不出 d支一1 付种红可利行的的股参票数，估当计方案的：高t 阶小量可忽略时,使用限制条件
美式垄断期权定价的数学分析
跌 期权 组合 而成 ， 其 中看 涨期 权 的敲 定 价格 Ｋ 高
于 看跌期 权 的敲定 价 格 Ｋ ． 显然 当 Ｋ 与 Ｋ 越 接 近， 购买者拥有的权力就越大， 期权金就越贵 ， 反 之， 期 权金 就越便 宜 ． 美 式期权均具 有 提前 实施 的特 点 ， 但 在 有 效期 内只能实施 一次 ， 故 美式 垄 断期 权并 不 是美 式 标 准 看涨和看跌 期权 的简 单 叠加． 然 而从 它 的 收益 函数
文 章 编 号 ：ｉ ０ ０ ０ — １ １ ９ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ７ ５ ４ ～ ０ ５
美 式垄 断 期 权 定 价 的 数学 分析
岑 苑 君 ，易 法槐
（ １ ． 顺德职业技术学院 高职数学教研室 ， 广东 佛 山 ５ ２ ８ ３ ３ ３ ；２ ． 华 南 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 ，广 州 ５ １ ０ ６ ３ １ ）
摘
要： 介 绍 了美 式 垄 断 期 权 这 一 金 融 产 品 的 数 学 模 型 ． 它 的 定 价 问 题 是 一 个 退 化 的 抛 物 型 变 分
不等式 ， 也 是 一 个 自由 边 界 （ 即最 佳 实 施 边 界 ） 问题 ．该 文 主 要 运 用 微 分 方 程 方 法 分 析讨 论 ， 并 与 美 式标准期权及美式交叉期权进行对 比， 得到 以下应用 结果 ： 美 式 垄 断 期 权 并 不 是 美 式 标 准 看 涨 和
是 上涨 还是 下跌 时 ， 为保 证 收 益 ， 往 往 选 择 购 买 一
它的价 值依 赖 于原 生资产 （ 股票、 利 率 等） 的价格 变 化． 期 权作 为金 融 衍 生 物 的一 种 ， 提供 给期 权 持 有 人在 确定 时 间按 某 一 确 定价 格 购 入 （ 或销 售 ） 一 定 数量 的原 生资 产 的权 利 ， 但 他 不 负 有 必 须 购入 （ 或 销售 ） 的义 务 ， 即看 涨期 权 和看跌 期权 ． 而 根据 合 约 实施 的期 限 则可 以分 为欧式 期权 和美 式期 权． 人 们
美式看跌期权定价的二叉树方法中的几个不等式
美式看跌期权定价的二叉树方法中的几
个不等式
美式期权定价的二叉树方法既考虑的期权的价值，也考虑了未来的期
权价格的变化。
其中，一般包含两个基本不等式，如此可以找到更优的期
权定价解答；这两个不等式就是“中值不等式”（Median Inequality）和“最大不等式”（Maximum Inequality）。
首先，中值不等式（Median Inequality）源自于当价格发生变动时考
虑期权价值不会低于前一个时间段的价值。
它可以表述为：V(T) ≤ V(T-1)，其中V(T)为时间T的期权价格，V(T-1)为时间T-1的期权价格。
这种
情况也适用于期权看跌，声明为：K-V(T) ≤ K-V(T-1)。
其次，最大不等式（Maximum Inequality）源自于期权价格不会高于
某个有限的上限。
它可以表述为：V(T) ≥ K，其中V(T)为时间T的期权价格，K为期权价格上限。
此外，期权看跌也可以用此不等式来表述，声明为：K-V(T) ≥ K。
这两个基本不等式在美式期权定价二叉树法中起到至关重要的作用，
它们可以帮助我们确定期权价格的有限范围，避免可能出现的价格夸大或
下跌的情况。
同时，它们可以帮助我们从期权的历史表现中推导出比较准确的期权定价解。
美式期权定价方法综述
美式期权定价方法综述【摘要】本文介绍了几种主要的美式期权定价方法。
其中，对叉树法、蒙特卡洛法和有限差分法进行了较详细的分类综述。
最后，简单介绍了有限元法，近似解析公式法和提前执行权利金法在美式期权定价方面的应用。
【关键词】美式期权；叉树法；蒙特卡洛；有限差分1 叉树方法叉树方法是将期权的基础资产价格过程在风险中性条件下离散化，在利用动态规划的方法求解该期权的价格。
该方法由Cox，Ross和Rubinstein于1979年提出，因此我们将该模型简称为CRR模型。
Hsia（1983）证明在中心极限定理及某些参数下，二叉树模型将收敛为连续的BS模型。
二叉树方法简单易行，迄今已被广泛扩展。
Hull和White（1988）利用控制变异来修正二叉树模型，并用于美式期权定价，发现此法收敛速度更快。
Breen（1991）通过修正二叉树模型发展出加速二叉树模型，研究表明时间间隔固定时，此法可加速二叉树收敛，并提高精确性。
Boyle（1986）发展出三叉树模型，即一段时间内股价可能上涨，下跌之外或持平。
三叉树定价原理与二叉树类似，因而适用于美式及欧式期权定价，且资产预期价格变动或投资者的风险偏好差异不会影响期权价格。
Rubinstein （2000）比较了三叉树与二叉树模型，发现前者的优越性在于比后者多一个自由度，使股价变化与时间分割相互独立。
2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是使用计算机来模拟基础资产价格变动的随机过程，并求期权价格的方法。
Hull和White（1993）提出蒙特卡洛法时，认为只适用于欧式期权定价。
Tilley（1993）则提出用蒙特卡洛法解决美式期权的提前执行，通过记录基础资产价格路径，并比较提前执行收益与期权价格，判断是否提前执行。
此后学者对这一方法提出新扩展，较为著名的有Barraquand和Martineau（1995）提出的BM模型，和Raymar和Zwecher（1998）提出的RZ模型。
两个模型的提前执行决策都是比较执行价和持有价，但分隔区域的数量不足会造成每一区域持有价格的估计偏差。
美式封顶看涨期权的定价分析
美式封顶看涨期权的定价分析期权是现代金融风险管理的重要工具之一，确定的执行价格以及特殊的损益是期权最大的特点。
美式期权可以在期权到期日之前的任何时间行权，封顶确定了市场价格和执行价格之间的间距，看涨期权具有损失有限收益无限的特点。
自1973年Fischer Black 和Myron Scholes提出了著名的期权定价公式，Black-Scholes的研究框架成为期权定价研究的主流。
标准的美式封顶看涨期权定价是自由边界问题，本文从美式封顶看涨期权性质研究开始，继而建立自由边界模型和变分不等方程两种模型对美式封顶看涨期权的定价进行分析。
标签：美式封顶看涨期权；自由边界模型；变分不等方程模型一、期权理论概述1.期权概述期权根据买方对标的价格不同方向的判断分为看涨期权和看跌期权，看涨期权的买方有权利按照执行价格买入期权标的，买方认为期权标的的价格未来是会上涨的；看跌期权的买方有权利按照执行价格卖出期权标的，买方认为期权标的的价格未来会下跌。
对于期权的买方来讲，收益是不固定的，最大损失已经固定是全部的期权费用加上无风险利率收益，对于期权的卖方来讲，最大收益固定是全部的期权费用，损失空间却很大。
2.美式封顶看涨期权性质看涨期权的损失有限，最大的损失就是购买期权支付的费用，盈利则是无限的，损益如图所示。
当市场价格等于行权价格加上期权费用之和，看涨期权损益正好平衡，市场价格越高，看涨期权盈利越大，并且没有盈利上限，但是在现实生活中，期权标的是不可能无限上涨的，因此笔者认为期权中最重要的就是行权价格的选择，也就是行权价格和市场价格之间的间距确定，封顶期权很好的解决了这个问题。
封顶价格对看涨期权来说是定约价加上一个封顶间距，如果底层证券达到或高于看涨期权的封顶价格，封顶期权将自动履约。
设定一个封顶价格就相当于设定一个期权获利区域，根据美式封顶看涨期权的性质，期权标的的价格明显有两种损益，当市场价格大于零（现实中不存在标的价格小于零的情况），小于或等于行权价格时，看涨期权处于亏损状态，损失为期权费用，这时持有人应当继续持有期权，因此这个区域称为持有区域，当市场价格大于行权价格时，期权损益出现转折，市场价格小于行权价格和期权费用之和，期权仍旧处于亏损状态，但是亏损在逐渐缩小，此时期权的损益等于市场价格减去行权价格减去期权费用，这时期权仍旧不应当被执行，当市场价格大于行权价格与期权费用之和，看涨期权开始盈利，这时应当执行期权，不再被持有，因此期权处于终止持有区域，持有到终止持有的盈利过程在两个区域之间流转，因此一定存在一条最佳实施边界，并且这个边界与封顶上限L有密切联系。
美式期权定价问题罚函数法的欧拉-拉格朗日分裂格式
美式期权定价问题罚函数法的欧拉-
拉格朗日分裂格式
欧拉-拉格朗日分裂格式是一种用于解决美式期权定价问题的数学方法。
它是
一种基于拉格朗日乘子法的改进，可以用来解决复杂的期权定价问题。
欧拉-拉格朗日分裂格式的基本思想是，将期权定价问题分解为一系列子问题，每个子问题都可以用拉格朗日乘子法来解决。
每个子问题都可以用一个拉格朗日乘子来表示，这样就可以将期权定价问题转化为一个约束优化问题，可以用数学方法来求解。
欧拉-拉格朗日分裂格式的优点是，它可以解决复杂的期权定价问题，而且可
以得到更精确的结果。
它的缺点是，它需要计算大量的拉格朗日乘子，这会增加计算的复杂度，并且容易出现数值不稳定的情况。
因此，欧拉-拉格朗日分裂格式是一种有效的期权定价方法，可以用来解决复
杂的期权定价问题。
它的优点是可以得到更精确的结果，但是它的缺点是计算复杂度较高，容易出现数值不稳定的情况。
适于风险厌恶型投资的美式看涨期权定价分析
适于风险厌恶型投资的美式看涨期权定价分析岑苑君;易法槐【摘要】介绍了为风险厌恶型投资者所设计的新型美式看涨期权的数学模型.它的定价问题是一个退化的抛物型变分不等式,也是一个自由边界(即最佳实施边界)问题.与标准美式看涨期权不同,这种新型期权在股票分红时有两条光滑单调的自由边界,而当股票不分红时仅有一条直线型的自由边界.本文运用偏微分方程方法分析讨论解的存在唯一性,自由边界的单词性、连续性、可微性以及关于事先承诺的价格l的相关性质.【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(038)004【总页数】6页(P71-75,112)【关键词】美式看涨期权;期权定价;最佳实施边界【作者】岑苑君;易法槐【作者单位】顺德职业技术学院高职数学教研室,广东佛山528333;华南师范大学数学科学学院,广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O175.26期权的价值依赖于原生资产的价格变化.看涨期权持有者具有在确定时间按某一确定价格购入一定数量的原生资产的权利，但不负有必须购入的义务.人们对于期权的定价已经完成了许多研究工作，1973年，欧式期权定价公式，即Black-Scholes公式［1，2］问世.与欧式期权不同，美式期权具有提前实施特点，因此，获利的机会多，也比欧式期权贵.越来越多不同类型的美式期权被开发出来，而期权持有者最关注的问题仍然是何时实施可以获得最大利益.本文讨论的新型美式看涨期权来自参考文献［3］中的第三种类型.这类期权假设风险厌恶型投资者期望即使市场急剧崩盘，风险也可以通过得到某个事先承诺的价格l（l＞0）得以部分转移.但这个事先承诺的价格l与一般的敲定价格不同，导致这类期权基本“无风险”——允许持有者在任何时刻t实施，获得max｛l，S（t）｝或记为［S（t）-l］++l，即现金l或是股票S（t）.期权持有人自然会寻求最佳的实施策略，最大化他未来收益的贴现值.美式期权定价的数学模型是1个抛物型变分不等式，也是非线性自由边界（即最佳实施边界）问题，一般得不到解的显式表达式，通过引入惩罚方法，若求解区域是凸的，则问题解的存在唯一性及自由边界的一些分析性质已经得到证明［1，4］.期权作为一种金融衍生产品，它的定价模型取决于原生资产价格的演化.要对期权进行定价，首先必须建立描述原生资产价格变化趋势的模型.假设原生资产的价格变化过程S（t）满足：其中，r＞0是无风险利率，q≥0是原生资产的红利率，σ是波动率，Wt是标准布朗运动.其中,，T是合约到期日.在（2）中，令x=lnS，τ=T-t，并设u（x，）=V（S，t），则u（x，）满足其中现用有界区域逼近无界区域ΩT.在有界区域考虑问题为证明问题（4）解的存在性，构造惩罚函数βε（t）（见图1），满足其中同时定义一个逼近t+的磨光函数πε（t）（见图2）在R上一致收敛.引理1∀n∈Z+，问题（4）存在唯一解，其中1＜p＜+∞，P0=（lnl，0），Bδ（P0）是以P0为中心，以δ为半径的圆盘.当n足够大时，有证明分别应用Schauder不动点定理和极值原理可证明问题（5）W2，1p解uε，n的存在性和唯一性.由于证明过程步骤标准，这里不再叙述.不难通过比较原理，得到由于uε，n是问题（5）的唯一解，结合（9），参照［4］中的方法，应用Sobolev嵌入定理，可证明当ε→0+时，有在中弱收敛，在中一致收敛，且（6）成立，其中，u是问题（4）的解.n下证（7）.∀δ＞0，uε，n（x，τ+δ）满足根据抛物方程的比较原理，有令ε→0+，得.则（7）成立.下证（8）.在问题（5）两边同时对x求偏导，记，则满足：在区域上，uε，n在x=-n处取得最小值l，因此，应用极值原理，有.令ε→0+，（8）得证.最后证明问题（4）解的唯一性.假设u1和u2是问题（4）属于的两个解.设若A 非空，即则在A中成立.记ω=u2-u1，则ω满足：应用A-B-P极值原理，得ω≤0在A中成立，这与A的定义矛盾.唯一性得证.定理1∀R＞0，∀δ＞0，1＜p＜+∞，问题（3）存在唯一解，且有证明在（4）中，当时，L0un=0；当时，L0un≥0.而L0l=rl，.将问题（4）改写为以下形式其中表示集合A的特征函数.显然，∀R＞0，在-R≤x≤R上，有，其中C与R有关，与n无关.因此，∀R＞δ＞0，当n＞R时，结合（6），在中有如下估计［6］：其中C2与R有关，与n无关.由的弱列紧性知，存在的子列（仍记为｛｝un）使得：中弱收敛.由Sobolev嵌入定理有：定义u=uR，x∈［-R，R］，则u是良定义的，u就是问题（3）的解，且∂xuR∈C（ΩT），由Cα估计知u∈）.而（11）（12）就是（7）（8）的直接结果.唯一性的证明与引理1相似.定理2V（S，t）≥Vc（S，t）.其中，V（S，t）是问题（2）的解，Vc（S，t）是敲定价格为l的标准美式看涨期权的解.这恰好说明在敲定价格相同的条件下，本文所述的看涨期权要比标准美式看涨期权获利更多，自然也更贵.下面研究期权的最佳实施边界（自由边界）的性质.引理2设u（x，）是问题（3）的解，则定义继续持有区域S（u）=｛（x，）|u（x，）＞（ex-l）++l｝.终止持有区域C1（u）=｛（x，）|u（x，）=l｝，C2（u）=｛（x，）|u（x，）=ex｝.其中，C1（u）为实施期权得到现金收益l的区域，C2（u）为实施期权得到股票的区域.显然，C1（u）⋃C2（u）=｛（x，）|u（x，）=（ex-l）++l｝.∀（x1，1）∈C1（u），u（x1，1）=（ex1-l）++l=l，则x1≤l，即C1（u）⊆（0，lnl］×（0，T］.同理，C2（u）⊆（lnl，+∞）×（0，T］.因此，最多在｛lnl｝×（0，T］两侧各有1条最佳实施边界.1）当q＞0时，结合（13），即0≤ux≤ex，知当x＜lnl时，有∂xu-∂x（l）=∂xu≥0.而当x＞lnl时，有∂xu-∂x（ex）=∂xu-ex≤0.因此，定义在｛lnl｝×（0，T］左侧和右侧的自由边界分别为参照［4］中的讨论，类似可得自由边界（h1）和（h2）的有界性、单调性和连续性.引理3［3］稳态问题min｛-L1V1，V1-［（S-l）++l］｝=0的解V（S，al，bl）为其中，是的解，满足：定理3h1（）和h2（）满足定理4在（0，T］上，h1（）严格单调减少，h2（）严格单调增加.从金融的角度分析，若合约马上临近到期日，即当→0+时，h1（）越来越大，但若此时股价S（t）＜l，则应立即实施期权得到现金l，再存进银行赚取利息.而当→0+时，（h2）越来越小，若此时股价S（t）＞l，则应立即实施期权得到股票S （t），否则将蒙受股价波动带来的损失.不妨定义.则有定理5 h1（）和h2（）在［0，T］上连续，且h1（0）=h2（0）=lnl.（见图3）定理6 h1（），h2（）∈C∞（0，T］.结合参考文献［5，7，8］，利用靴带原理即可证明.接下来给出问题（3）的解u和自由边界h1（）、h2（）关于事先承诺的价格l的单调性.定理7问题（3）的解u（x，，l）关于l单调增加.证明设l1＜l2，ui（x，，li），i=1、2是下面问题的解：由变分不等式的解对初值和障碍的单调性可知u1（x，，l1）≥u2（x，，l2），即u（x，，l）关于l单调增加.这与标准美式看涨期权关于敲定价格l单调减少的性质截然不同，说明文中所讨论的看涨期权的事先承诺的价格l跟敲定价格并不是一回事.期权金的高低主要还是跟持有者的权益大小有关，当l越大，期权持有者的收益就越高，吸引力就越大，因此期权要更贵，但反过来，发行该期权的金融机构的成本就越高，需谨慎选择合适的l.定理（8h1，l）和（h2，l）关于l严格单调增加.2）当q=0时.由参考文献［4］第16页知，不支付红利的标准美式看涨期权不存在最佳实施边界.引理4当q=0时，设u（x，）是问题（3）的解，而u*（x，）是下面问题的解，则u（x，）≥u*（x，），（x，）∈ΩT.由引理4知C（u）⊂C（u*），而u*（x，）是敲定价格为l的永久美式看涨期权变换后的解，在｛lnl｝×（0，T］右侧没有自由边界，故u（x，）只在｛lnl｝×（0，T］左侧有1条自由边界.结合（13），即0≤ux≤ex，知当x＜lnl时，有∂xu-∂xl=∂xu≥0.因此，定义在｛lnl｝×（0，T］左侧的自由边界为h（τ）=max ｛x| u（x，τ）=l｝，0＜τ≤T.定理9当q=0时，设问题（3）的最佳实施边界为h（τ）=lnl.（见图4）当q=0时，在引理3中的稳态问题中，γ0=1，a=1，b→+∞，因此有且只有一个自由边界点S=l，则lnl≤（h）≤lnl成立，因此（h）=lnl.这种情况相当特殊，说明当股票不分红时，立即实施期权，获得现金l是最合理的. ［1］BLANK F，SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilities ［J］.Political economy，1973，81（3）：637-654.［2］WILMOTT P，DEWYNNE J，HOWISON S.Option pricing［M］.London：Oxford Financial Press，1993.［3］GUO X，SHEPP L.Some optimal stopping problems with nontrival boundaries for pricing exotic options［J］.Appl Prob，2001，38：647-658. ［4］JIANG L S.Mathematical modeling and methods of option pricing ［M］.Singapore：World Scientific，2005.［5］AVNER FRIEDMAN.Variational principle and free boundary problems［M］.New York：John Wiley&Sons，1982.［6］陈亚浙.二阶抛物型偏微分方程［M］.北京：北京大学出版社，2003.［7］CONNON J R，HENRY D B，KOTLOV D B.Continuous differentiability of the free boundary for weak solutions of the Stefan problem［J］.Bull Ane Math Soc，1974，80：45-48.［8］FRIEDMAN A.Parabolic variational inequalities in one space dimension and smoothness of the free boundary［J］.J Funct Anal，1975，18：151-176.【相关文献】对于任意确定的l＞0，设V（S，t）是这种新型美式看涨期权的价格，则它适合两可问题：。
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σ ２ 烄 ″ ｒ Ｓ Ｖ ′ ｒ Ｖ０ ＝ ０， Ｓ － ＳＶ ０－ ０＋ ０ ＜ Ｓ； ２ Ｖ０（ Ｓ ＝ Ｋ１ －Ｓ ０） ０； （ ） ４ 烅 Ｖ ′ Ｓ ＝－１； ０（ ０） Ｓ － Ｋ２ ≤ Ｖ０（ Ｓ）≤ Ｓ ＋ Ｋ１ ． 烆 ２ ２ 方程 －σ Ｓ Ｖ ″ ｒ Ｓ Ｖ ′ ｒ Ｖ０ ＝ ０ 的通解为 数学分析
７ ５ ５
利率 ， Ｗｔ 是标准布朗运动 ． σ 是波动率 ， ］中的讨论相似 ， 与文献 ［ 可以推导出该期权 ３ 价格的数学模型 ． ）是美式垄断 期 权 的 价 格 ， 设 Ｖ（ 则它适合 Ｓ， ｔ 两可问题 ： ｛ （ ｝＝ ０， ｍ ｉ ｎ Ｖ， Ｖ－［ Ｋ１ －Ｓ）＋ （ Ｓ － Ｋ２） ］ －Ｌ 烄 ）∈ Σ； Ｓ， ｔ （ 烅 ＋ ＋ ， Ｖ（ Ｓ， Ｔ）＝ （ Ｋ１ －Ｓ） Ｓ － Ｋ２） ＋（
继续持有区域 Ｎ（ Ｖ０） Ｓ｜ Ｖ０（ Ｓ） Ｋ１ － ＝｛ ＞（
＋ ｝ Ｓ）＋ （ Ｓ － Ｋ２） ． ＋
Ｖ０（ Ｓ ＝Ｓ ２） ２ － Ｋ； Ｖ ′ Ｓ ＝ １． ０（ ２） 烆
（ ） １ ０
２ 方 程 －σ Ｓ Ｖ ″ ｒ－ｑ） Ｓ Ｖ ′ ｒ Ｖ０ ＝０的通 ０－（ ０＋ ２ 解为 Ｖ０（ 其中 ， Ｓ）＝ Ａ Ｓα＋ ＋Ｂ Ｓα－ ． ２ ２ ２ ２ ／ ／ ｒ ２） －ｒ＋ｑ＋σ／ α ω ＋２ σ， ω＝ （ σ． ± ＝ ω± 槡 α α ＋ ＋ ω ／ · 注意 到 １ ＋ ω ＝ ＝ （ ω ｑ ｑ ２ ２ ２ ／ ／ ， 以及ｑ＝０时 ， 则当ｑ ｒ ω ＋２ σ） σ ＞０， α 槡 ＋ ＝１ ２
｛ ｝＝ ０， ， ｍ ｉ ｎ Ｌ Ｖ１ ， Ｖ１ － Ｓ∈ （ ０， ｜Ｋ１ －Ｓ｜ ＋ ∞） １ （ ） ８ 及 ｛ ｝＝ ０， ｍ ｉ ｎ Ｌ Ｖ２ ， Ｖ２ － Ｓ∈ （ ０， ｜Ｓ － Ｋ２ ｜ ＋ ∞） １ （ ） ９ 的解 ． 证 明 因为Ｌ 且Ｖ１（ Ｖ１ ≥０， Ｓ） １ ≥｜Ｋ１ －Ｓ｜≥
不存在套利的机会 ． 费和税收 ，
１ 模型
只购买一 张 看 涨 （ 或 看 跌） 期权在熊市（ 或牛 时没有任何收 益 ． 而当期权购买者预期原生资 市）
收稿日期 ： ２ ０ １ ３ ０ ２ ２ ５． － － ） ； ） 基金项目 ：国家自然科学基金项目 （ 高等学校博士学科点专项科研基金项目 （ １ １ ２ ７ １ １ ４ ３， １ １ ３ ７ １ １ ５ ５ ２ ０ １ ２ ４ ４ ０ ７ １ １ ０ ０ ０ １ ． ： ａ ｉ ｌ ｕ ａ ｎ ｕ ｎ ｃ ｅ ｎ ６ ３． ｃ ｏ ｍ． ＊Ｅ－ｍ ＠１ ｙ ｊ
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２
华中师范大学学报 （ 自然科学版 ）
＋ ＋ ｝ ， Ｓ） Ｓ － Ｋ２） ＋（
７卷 第 ４
σ ２ ） ， 烄 ″ ｒ－ｑ Ｓ Ｖ ′ ｒ Ｖ０ ＝ ０ Ｓ － ＳＶ ０－（ ０＋ １ ＜Ｓ ＜Ｓ ２； ２ Ｖ０（ Ｓ ＝ Ｋ１ －Ｓ １） １；
烅 Ｖ ′ Ｓ ＝－１； ０（ １）
由引理１知 Ａ ＝１． 结合自由 Ｖ０（ Ｓ） Ｓ ＋Ｂ Ｓ－σ２ ． ＝Ａ 边界条件得
２ ｒ
２
（ ）的上解 ， 即 ３
１ ， ， 且０＜Ｓ Ｖ１（ Ｓ） Ｓ） Ｓ∈ （ ０， ＋ ∞） １ ≥Ｖ０（ ＜ （） １ ４ Ｋ１ ＜ Ｓ ２ ＜＋ ∞ ． 同理可得 ２ ， ， 且０＜Ｓ Ｖ２（ Ｓ） Ｓ） Ｓ∈ （ ０， ＋ ∞） １ ≥Ｖ０（ ＜ （） ２ ４ Ｋ２ ＜ Ｓ ２ ＜＋ ∞ ． ） 定理 ２ 当ｑ ＞ ０ 时 ， 稳态问题 （ 有且只有两 ３ （） ［］ （） ［］
即不支付红利的美 式看涨期权等价于欧式看涨期权， 式看涨期权不存在最佳实施边界． 下面求解这时的永 久美式垄断期权仅有的一个最佳实施边界的表达式 ． ） 引 理１ 设Ｖ０（ 是当ｑ＝０时稳态问题 （ 的 Ｓ） ３ 则 Ｓ － Ｋ２ ≤ Ｖ０（ 解， Ｓ）≤ Ｓ ＋ Ｋ１ ． ）可解 ． 定理 １ 当ｑ ＝ ０ 时 ， 稳态问题 （ ３ ）等 价 于 找 出 ｛ ， 证明 稳 态 问 题 （ ３ Ｖ０（ Ｓ） Ｓ ０｝ 满足 ：
金融衍生物是金融市场上一种风险管理工具 ， 它的价值依赖于原生资产 （ 股票 、 利率等 ） 的价格变 期权作为金融 衍 生 物 的 一 种 ， 提供给期权持有 化． 人在确定时间按某 一 确 定 价 格 购 入 （ 或销售） 一定 数量的原生资产的 权 利 ， 但他不负有必须购入（ 或 销售 ） 的义务 ， 即看涨期权和看跌期权 ． 而根据合约 人们 实施的期限则可以分为欧式期权和美式期权 ． 对于这几 种 期 权 的 定 价 已 经 做 了 许 多 研 究 工 作 ， １ ９ ７ ３ 年 Ｆ． Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ 和 Ｍ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ建立了 欧 式 期 权 定 ［ ］ 价公 式 ， 即Ｂ 与欧式期权不 ｌ ａ ｃ ｋ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 公 式 １－２ ． － 美式期权具有提前实施特点 ， 因此 ， 获利的机会 同， 多， 也比欧式期权 贵 ． 美式期权持有人最关注的问 题是何时实施可以获得最大利益 ． 美式期权定价模型是一个抛物型变分不等式 ， 这是个非线性的自由边界 （ 即最佳实施边界 ） 问题 ， 一般得不到解的显式表达式 ， 但许多人对其性质进 行理论研究 ， 通过 引 入 惩 罚 方 法 ， 若求解区域是凸 则问题解的存在唯一性及自由边界的一些分析 的， 性质已经得到证明 本文不再详细叙述 ． ． 本文始终假设交易是连续的 ， 不需要支付交易
， Ｖｃ（ Ｓ）≤ Ｖ０（ Ｓ） Ｓ∈ （ ０， ． ＋ ∞） ） 引 理３ 设Ｖ０（ 是当ｑ＞０时稳态问题 （ 的 Ｓ） ３ ， ， 则Ｖ１（ 解， Ｓ） Ｓ） Ｖ２（ Ｓ） Ｓ） Ｓ∈ （ ０， ＋ ≥Ｖ０（ ≥Ｖ０（
（ （ （ （ １） １） ２） ２） ｛ ， ， 其中 ， 及｛ ． Ｖ１（ Ｓ） Ｓ Ｓ Ｖ２（ Ｓ） Ｓ Ｓ ∞） １ ， ２ ｝ １ ， ２ ｝ 分别是稳态问题 ：
＋ ＋
（ ） 稳态问题 （ 可解 ． 虽无法给 ３ Ⅱ ）当ｑ＞０时 ， 出两个最佳实施边界的解析式 ， 但利用连续函数的 性质可给出存在性及取值范围 ． ） 引 理２ 设Ｖ０（ 是当ｑ＞０时稳态问题 （ 的 Ｓ） ３ ， ， 则Ｖｐ （ 解， Ｓ） Ｓ） Ｖｃ（ Ｓ） Ｓ） Ｓ∈ （ ０， ＋ ≤Ｖ０（ ≤Ｖ０（ ｛ ， ， 其中 ， 及｛ 分别是稳态 ． Ｖｐ （ Ｓ） Ｓ Ｖｃ（ Ｓ） Ｓ ∞） ｃ｝ ｐ｝ 问题 ：
（ ） 文章编号 ： １ ０ ０ ０ １ １ ９ ０ ２ ０ １ ３ ０ ６ ０ ７ ５ ４ ０ ５ － － －
美式垄断期权定价的数学分析
岑苑君１＊ ，易法槐２
（ ） 顺德职业技术学院 高职数学教研室 ，广东 佛山 ５ 华南师范大学 数学科学学院 ，广州 ５ １． ２ ８ ３ ３ ３； ２． １ ０ ６ ３ １ 摘 要 ：介绍了美式垄断期权这一金融产品的数 学 模 型 ． 它的定价问题是一个退化的抛物型变分 不等式 ， 也是一个自由边界 （ 即最佳实施边界 ） 问题 ．该文主要运用微分方程方法分析讨论 ， 并与美 得 到 以 下 应 用 结 果： 美式垄断期权并不是美式标准看涨和 式标准期权及美式交叉期权进行对 比 ， 看跌期权的简单叠加 ． 其价格比敲定 价 格 相 同 的 美 式 交 叉 期 权 便 宜 ， 但比以低价为敲定价格的美 式看跌期权和以高价为敲定价格的美式看涨期权都要贵 ． 其自 由 边 界 介 于 美 式 标 准 期 权 与 美 式 交 叉期权的自由边界之间 ． 关键词 ：美式期权 ；垄断期权 ；期权定价 ；自由边界 中图分类号 ： Ｏ １ ７ ５． ２ ６ 文献标识码 ：Ａ
２ 永久美式垄断期权
永久美式垄断期权的合约没有终止期 ， 即它不 依赖于时间 ， 只与原生资 产 的 价 格 Ｓ 有 关 ， 它允许 该合约持有人在任何时间 实 施 这 张 合 约 ， 获利（ Ｋ１
＋ ＋ Ｓ － Ｋ２） ． －Ｓ） ＋（ 设 Ｖ０（ 则有 Ｓ）是永久美式垄断期权的价格 ． ＋ ＋ ｛ （ ］ ｝＝ ０， ｍ ｉ ｎ Ｌ Ｖ０ ， Ｖ０ － ［ Ｋ１ －Ｓ） Ｓ － Ｋ２） ＋（ １ ， （ ） Ｓ∈ （ ０， ３ ＋ ∞） ２ ２ ｄ σＳ ２ ｄ （ ｑ） 其中 ， Ｌ Ｓ ＋ｒ． １ ＝－ ２ － ｒ－ ２ ｄ ｄ Ｓ Ｓ （ ］ 由文献［ 知， 不支付红利的美 ３ Ⅰ ）当ｑ＝０时，
跌期权组合而成 ， 其中看 涨 期 权 的 敲 定 价 格 Ｋ２ 高 于看跌期权的敲定价格 Ｋ１ ． 显然当 Ｋ１ 与 Ｋ２ 越接 购 买 者 拥 有 的 权 力 就 越 大， 期 权 金 就 越 贵， 反 近， 之， 期权金就越便宜 ． 美式期权均具有提前实施的特点 ， 但在有效期 内只能实施一次 ， 故美式垄断期权并不是美式标准 看涨和看跌期权的简单叠加 ． 然而从它的收益函数 可以看出它拥有看涨期权和看跌期权的双重特点 ． 这张期权的价格比分别以 Ｋ１ 、 Ｋ２ 为敲定价 格 的 美 式交叉期权便宜 ， 但比以 Ｋ１ 为敲定价格的美式看跌 期权和以 Ｋ２ 为敲定价格的美式看涨期权都要贵 ． 期权作为一种金融衍生产品 ， 它的定价模型取 要对期权进行定价 ， 决于原生资产价格的演化模型 ． 首先必须建立描述原生资产价格变化趋势的模型 ． ）满足 ： 假设原生资产的价格变化过程 Ｓ（ ｔ ）＝ （ ） ） ） ｄ Ｓ（ ｔ ｒ－ｑ） Ｓ（ ｔ ｄ ｔ＋σ Ｓ（ ｔ ｄ Ｗｔ， （ １ 其中 ， ｒ ＞ ０ 是无风险利率 ， ｑ ≥ ０ 是原生资产的红
的解 ．
－ ］知 ， ／ （ ／ ）＜ 证明 由 文 献 ［ ３ Ｓ １ －１ α １ ｐ ＝ Ｋ ＋ ／ （ ／ ）＞ Ｋ２ ， 其中 Ｋ１ ， Ｓ １－１ α ｃ ＝Ｋ ２ ２ ２ ２ ２ ／ ／ ｒ ２） －ｒ＋ｑ＋σ／ α ω ＋２ σ， ω＝ （ σ． ± ＝ ω± 槡 ＋ 因 为Ｌ 且Ｖ０（ Ｖ０ ≥０， Ｓ） Ｋ１ －Ｓ） Ｓ－ ＋（ １ ≥（ ＋ ＋ ， ）的 所以 Ｖ０（ Ｋ２） Ｋ１ －Ｓ） Ｓ）是稳态问题 （ ５ ≥（ ， 上解 ， 即Ｖｐ （ 同理可得 Ｓ） Ｓ） Ｓ∈ （ ０， ． ＋ ∞） ≤Ｖ０（