美式期权定价
金融衍生工具课件：美式期权定价
金融衍生工具
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第二节 美式期权定价的分析近似类模型
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）近似 ➢ 其他分析近似类模型
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Barone-Adesi和Whaley（1987）近似
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）基于由MacMilan（1986）提出的二次
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已知红利支付率
➢ 唯一可能提前执行的时间点在第二阶段末除权日前的瞬间，我们接下来就分 析第二阶段末除权日前的瞬间各点的提前执行决策，即二叉树图中的B、C、 D各点。以B点为例，若不提前执行美式期权，则期权的价值为6.58。若在B 点提前执行美式买权，则期权的价值为35.90/0.95-30=7.79，大于6.58。故在B 点，投资者应该选择提前执行美式买权。同理，对于C点和D点，我们可以运 用相同的分析方法。在C点，若提前执行，则期权的价值为0；若不提前执行， 期权的价值为1.42。故投资者不会选择提前执行美式买权。在D点，期权处于 虚值状态，投资者不会提前执行，期权的价值为0。
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红利支付
➢ 对于支付红利的股票，美式买权可以视为一系列欧式买权的复合。在任意两 个除权日之间，美式买权都不会被提前执行（理由同上）。在除权日前的瞬 间，投资者将判断是否执行该期权。若执行美式买权，则该期权的存续期中 止；若不执行，则可能的执行时点将是下一个除权日前的瞬间；这样不断往 下，直到期权在最后到期日被执行（等同于欧式期权）。
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➢ 对以于给u 不出 d支一1 付种红可利行的的股参票数，估当计方案的：高t 阶小量可忽略时,使用限制条件
美式看跌期权定价的二叉树方法中的几个不等式
美式看跌期权定价的二叉树方法中的几
个不等式
美式期权定价的二叉树方法既考虑的期权的价值，也考虑了未来的期
权价格的变化。
其中，一般包含两个基本不等式，如此可以找到更优的期
权定价解答；这两个不等式就是“中值不等式”（Median Inequality）和“最大不等式”（Maximum Inequality）。
首先，中值不等式（Median Inequality）源自于当价格发生变动时考
虑期权价值不会低于前一个时间段的价值。
它可以表述为：V(T) ≤ V(T-1)，其中V(T)为时间T的期权价格，V(T-1)为时间T-1的期权价格。
这种
情况也适用于期权看跌，声明为：K-V(T) ≤ K-V(T-1)。
其次，最大不等式（Maximum Inequality）源自于期权价格不会高于
某个有限的上限。
它可以表述为：V(T) ≥ K，其中V(T)为时间T的期权价格，K为期权价格上限。
此外，期权看跌也可以用此不等式来表述，声明为：K-V(T) ≥ K。
这两个基本不等式在美式期权定价二叉树法中起到至关重要的作用，
它们可以帮助我们确定期权价格的有限范围，避免可能出现的价格夸大或
下跌的情况。
同时，它们可以帮助我们从期权的历史表现中推导出比较准确的期权定价解。
第九章 期权估价-美式期权估价
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第九章 期权估价知识点：美式期权估价● 详细描述：（1）美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有欧式期权的全部权力之外，还有提前执行的优势。
因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。
（2）对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克－斯科尔斯模型进行估价。
（3）对于派发股利的美式看跌期权,按道理不能用布莱克－斯科尔斯模型进行估价。
不过，通常情况下使用布莱克－斯科尔斯模型对美式看跌期权估价，误差并不大，仍然具有参考价值。
【总结】对于不派发股利的看涨期权，均可以使用BS模型估价。
例题：1.下列关于美式看涨期权的表述中，正确的是（）。
A.美式看涨期权只能在到期日执行B.无风险利率越高，美式看涨期权价值越低C.美式看涨期权的价值通常小于相应欧式看涨期权的价值D.对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克-斯科尔斯模型进行估价正确答案：D解析：美式期权可以在到期H或到期日之前的任何时间执行，选项A错误；无风险利率越高，看涨期权价值越高，看跌期权价值越低，选项B错误；美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。
选项C错误。
2.对于欧式期权，下列说法不正确的是（）。
A.股票价格上升，看涨期权的价值增加B.执行价格越大，看跌期权价值越大C.股价波动率增加，看涨期权的价值增加，看跌期权的价值减少D.期权有效期内预计发放的红利越多，看跌期权价值增加正确答案：C解析：无论是看涨期权还是看跌期权，股价波动率增加，都会使期权的价值增加。
3.下列关于企业筹资管理的表述中，正确的有()。
A.在其他条件相同的情况下，企业发行包含美式期权的可转债的资本成本要高于包含欧式期权的可转债的资本成本B.由于经营租赁的承租人不能将租赁资产列入资产负债表，因此资本结构决策不需要考虑经营性租赁的影响C.由于普通债券的特点是依约按时还本付息，因此评级机构下调债券的信用等级，并不会影响该债券的资本成本D.由于债券的信用评级是对企业发行债券的评级，因此信用等级高的企业也可能发行低信用等级的债券正确答案：A,D解析：由于美式期权的价值通常高于欧式期权的价值，投资人的收益高，所以发行包含美式期权的可转债的资本成本要高于包含欧式期权的可转债的资本成本，选项A正确；财务分析人员把长期租赁都视为负债，不管它是否列入资产负债表，选项B错误；信用等级下调说明该债券的风险大，投资人要求的额外风险补偿高，债务的资本成本会提高，选项C错误。
周五讨论班美式期权的定价方法
美式期权的定价方法殷玉芳 2011。
12.0921.1 介绍考虑一个实际问题，如何确定美式期权的价格。
通过变量代换2,/0.5x S Ee t T τσ==-引用参数22120/0.5,()/0.5k r k r D σσ==-,那么对于美式看跌、看涨和支付红利的两值期权问题如下：对于看跌:22u u xτ∂∂=∂∂ 2211(1)(1)22(,0)max(,0)k x k x u x ee-+=-22122111((1)4)(1)(1)422(,)max(,0)k k k x k x u x eeeττ-+-+≥- (21.1）lim (,)0x u x τ→∞=对于看涨: 22u u x τ∂∂=∂∂ 2211(1)(1)22(,0)max(,0)k x k x u x e e+-=-22122111((1)4)(1)(1)422(,)max(,0)k k k x k x u x eeeττ-++-≥- （21.2）lim (,)0x u x τ→-∞=对于收益为B 的两值期权（现金或无值看涨期权）,当S E >22u ux τ∂∂=∂∂ 1(1)220,0,0(,0){k x x be x u x -<≥= （21。
3）lim (,)0x u x τ→-∞= （21.4）其中/b B E =为无量纲两值收益。
2211((1)4)4(,)(,0)k k u x eu x ττ-+≥我们将上述期权定价问题转化为更为严谨的线性互补问题。
22()0,((,)(,))0u uu x g x xτττ∂∂-≥-≥∂∂ 22()((,)(,))0u uu x g x x τττ∂∂--=∂∂（21.5) 下面给出转化后的收益限制函数(,)g x τ. 看跌： 22122111((1)4)(1)(1)422(,)max(,0)k k k x k x g x e e e ττ-+-+=- 看涨： 22122111((1)4)(1)(1)422(,)max(,0)k k k x k x g x e eeττ-++-=-两值期权： 2211(1)221((1)4)0,04,0(,){k x k k x be x g x e ττ--+<≥=初始条件和边界条件变为(,0)(,0)u x g x =(,),(,),(,),(,)u gu x x g x x x xττττ∂∂∂∂ 连续 （21.6） lim (,)lim (,)x x u x g x ττ→±∞→±∞=这种方法可以推广到更为一般的收益函数。
美式期权定价的二次逼近方法
II.期权价值所满足的偏微分方程推导 II.期权价值所满足的偏微分方程推导
推导过程： 推导过程： 假定标的资产的价格S遵循以下过程： 遵循以下过程： 假定标的资产的价格 遵循以下过程 dS=Sdt+σSdz 其中，和σ分别为标的资产价格的瞬时预期增长率和波动率； 其中， 和 分别为标的资产价格的瞬时预期增长率和波动率 分别为标的资产价格的瞬时预期增长率和波动率； dz是维纳过程 是维纳过程 由于期权价值 是S和t的函数，它遵循 由于期权价值V是 和 的函数 它遵循Ito定理，即： 的函数， 定理， 定理 dV=(VSS+ Vt+1/2 VSSσ2S2)dt+ VSσSdz 建立一个资产组合，其构成那个如下： 建立一个资产组合，其构成那个如下： -1：基于某种资产的期权 ： + VS：某种标的资产 则该资产组合的价值∏=-V+ VSS 则该资产组合的价值 时间内标的资产价格的变化S为： 在t时间内标的资产价格的变化 时间内标的资产价格的变化 为 S=S t +σS z 期权价值的变化V为： 期权价值的变化 为 V=(VSS+ Vt+1/2 VSSσ2S2)t+ VSσSz
因为 因为C(S,T) ≥c(S,T)，所以 2>0 ，所以a 对于美式看跌期权，当资产价格S →∞的时候，如果 2≠0， 的时候， 对于美式看跌期权，当资产价格 的时候 如果a ， 则函数f→ ，这个结果显然难以接受， 则函数 →∞，这个结果显然难以接受，因为此时提早执行美 式看跌期权的价值变为0。于是必须有限制条件a 式看跌期权的价值变为 。于是必须有限制条件 2=0,而相 而相 对应的美式看跌期权的价值就可以写成： 对应的美式看跌期权的价值就可以写成： P(S,T)=p(S,T)+Ka1Sq1 因为 因为P(S,T) ≥p(S,T)，所以 1>0 ，所以a (10)
《2024年关于美式期权定价问题的研究》范文
《关于美式期权定价问题的研究》篇一一、引言美式期权（American Option）是一种允许持有者在任何时间点以预定价格购买或出售标的资产的金融衍生工具。
与之相对的欧式期权则只能允许在到期日执行交易。
因此，美式期权的价格更为复杂且富有动态性。
本篇研究论文将重点讨论美式期权的定价问题，涉及各种相关理论和实际解决方案的探索，包括主要的定价模型和方法等。
二、美式期权定价的主要挑战在理解和分析美式期权定价的问题之前，我们必须首先理解它的复杂性及其主要的挑战。
主要的挑战主要来源于以下几个方：1. 动态性：美式期权的价格随时间变化，并且受到标的资产价格变动的影响。
因此，定价模型需要能够捕捉到这种动态性。
2. 早期执行权：与欧式期权不同，美式期权的持有者可以在到期日之前的任何时间点执行期权。
这增加了定价的复杂性，因为需要考虑到各种可能的执行情景。
3. 缺乏封闭解：与某些简单的金融问题相比，美式期权的定价问题没有封闭解，通常需要使用数值方法进行求解。
三、主要定价模型为了解决美式期权的定价问题，学者们已经提出了许多定价模型。
其中最著名的有二叉树模型、蒙特卡洛模拟以及Black-Scholes模型等。
1. Black-Scholes模型：这是一种常用的期权定价模型，基于一些假设条件（如标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率为常数等），采用偏微分方程进行求解。
尽管它最初是为欧式期权设计的，但在一定的条件下，也可用于近似的估计美式期权的价值。
2. 二叉树模型：这个模型将期权的生存期分为若干个很短的时段（二叉树上的各个分支），假设标的资产在每个时段只有上涨或下跌两种可能的价格变化情况，以此计算出各个时间点上期权的价值。
尽管此模型在某些情况下并不准确，但它为我们提供了一个分析期权价值和其影响因子的基本框架。
3. 蒙特卡洛模拟：这种方法利用计算机随机抽样生成标的资产价格的路径，然后根据这些路径模拟出期权的收益和风险，从而得出期权的价值。
美式期权定价自由边界问题及数值方法
摘要期权定价理论是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题。
针对不存在定价公式的一类美式期权，本文研究其定价中的自由边界问题，并结合自由边界提出了更快速的精确度更高的数值方法。
本文绪论部分对金融衍生工具及其定价理论作了概括性的回顾。
第二部分详细地阐述了衍生证券价格所服从的Black—Scholes偏微分方程的建立过程，并利用傅立叶变换详细推导了欧式期权的Black—Scholes定价公式。
文章第三部分结合自由边界，改进了原有的为美式看跌期权定价的有限元方法：首先通过变量变换就原问题化简并转化为等价的变分不等式方程，然后建立半离散和全离散有限元逼近格式，且着重论证了有限元解的稳定性以及在L2和H1模意义下的误差估计。
最后用数值算例验证了该方法的有效性。
文章第四部分本文又针对满足Black-Scholes方程的美式期权定价问题，提出了一种快速的数值方法：在定义域的趋于无限那一端，找到一个准确的人工边界条件，将计算区域变小。
然后再将人工边界与确定自由边界位置数值方法相结合，并用有限差分方法求解所导出的问题。
对一些付红利的美式看涨期权给出了数值算例，证明新的处理办法非常有效，而且精度也比标准的有限差分方法高。
关键词：B-S模型，美式期权，自由边界，有限元法，人工边界，有限差分方法ABSTRACTThe option pricing and volatility estimate is financial project,financial mathematics problem of leading edge as well as a hot one at present.For a kind of American options which didn’t have pricing formula,the article studies the free boundary problem of its bining with the free boundary,the article gives faster and more exact numerical method for pricing of American options.The part of this text introduction has done the reviewing of generality to the financial derivative and pricing theory.At the second chapter,the article expatiates the instauration of the Black-Scholes Differential Equation in detail.Then the article deduces the Black-Scholes pricing formula of European options by Fourier transform.At the third chapter of the article,combining with the free boundary,finite element method used for American put options pricing is improved.First,the option pricing problem is transformed to variational inequality equations by variable substitution,then both semi discrete and fully discretized finite element approximation schemes are established.It is proved that the numerical methods are stable and convergent under and norms.Numerical example shows the convergence and efficiency of the algorithm.A fast numerical method for computing American option pricing problems governed by the Black–Scholes equation is presented in the fourth chapter.An accurate artificial boundary condition on the far boundary is found.It makes the computational domain smaller.Then this boundary condition is discretized and combined with a simple numerical method to determine the location of the free boundary.The finite difference method is used to solve the resulting putational results of some American call option problems show that the new treatment is very efficient and gives better accuracy than the normal finite difference method.Keyword：B-S model，American option，free boundary，the finite difference method, artificial boundary，the finite element method1绪论金融衍生品（derivative security，也称为衍生品、衍生证券、衍生工具）是一种新型的金融工具，近些年来在国际金融市场中发挥了越来越大的作用，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产的价格。
美式期权价格公式
美式期权价格公式美式期权是一种可以在到期日前任意时间行使的期权合约，与欧式期权相比，具有更高的灵活性。
因此，为了计算美式期权的价格，我们需要使用不同的公式。
美式期权的价格可以通过两种方法进行计算：理论定价方法和模拟方法。
下面我们将介绍具体的美式期权定价公式，包括Black-Scholes期权定价模型、树模型（二叉树和三叉树）和蒙特卡洛模拟方法。
1. Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是最常见的对欧式期权进行定价的模型。
然而，对于美式期权，Black-Scholes模型并不适用。
美式期权的特点是可以在到期日前任意时间行使，因此在到期前，股价可能会有剧烈波动。
这种情况下，使用Black-Scholes模型来计算美式期权的价格会导致低估。
2.树模型（二叉树和三叉树）树模型是一种常用的计算美式期权价格的方法。
树模型基于假设股价会按照指数过程增长，并根据风险中性概率构建一个期权价格的二叉或三叉树。
对于二叉树模型，可以根据不同的参数（股价、期权价格、无风险利率等）构建一棵二叉树，并通过回溯计算每个节点的期权价格。
通过比较每个节点的预期回报和早期执行的收益，可以决定何时行使期权。
类似地，三叉树模型也是一种计算美式期权价格的有效方法。
三叉树模型在二叉树模型的基础上增加了一个附加节点，使得股价有三种可能的变动。
这样可以更准确地估计股价的变动范围，提高美式期权价格的准确性。
3.蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的计算美式期权价格的方法。
该方法通过生成大量的随机路径，以确定期权价格的期望值。
在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要设定一个股价的路径模型，如几何布朗运动模型。
然后，通过生成多条随机路径，计算每条路径对应的期权价格，并取平均值作为期权价格的估计值。
蒙特卡洛模拟方法的优点在于可以处理复杂的期权合约和多种因素的影响，但由于需要生成大量路径进行模拟，计算速度可能较慢。
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美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。
由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。
但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。
提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。
事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。
对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。
看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。
提前执行可以获得执行价格的利息收入。
许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ），假设：1．市场无摩擦2．无违约风险3．竞争的市场4．无套利机会1．带息价格和除息价格每股股票在时间t 支付红利t d 元。
当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。
可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。
()()t e c d t S t S +=这里()t S c 表示股票在时间t 的带息价格，()t S e表示股票在时间t 的除息价格。
这个假设的证明是非常直接的。
如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +≠，则存在套利机会。
首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。
因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。
因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。
其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。
2．美式看涨期权在这一节，我们将证明，如果标的股票在美式期权到期日之前分红，则美式期权有可能提前执行，而且，如果美式看涨期权提前执行，则提前执行只发生在分红前瞬间。
研究美式看涨期权提前执行的关键是看涨期权的时间价值（time value ）的概念。
下面我们引入时间价值的概念并分析时间价值的性质。
符号：()0C ：美式期权在时间0的价格()0c ：欧式期权在时间0的价格()0S ：标的股票在时间0的价格T ： 美式期权的到期日K ：美式期权的执行价格()T B ,0：面值为1的债券在时间0的价格 []⋅0PV ：括号内现金流在时间0的现值考虑美式看涨期权这样的执行策略：在到期日，不管股票价格是否大于执行价格，我们都执行期权。
(如果股票价格在到期日是虚值时，这个策略显然不是最优的，但在这个策略下美式看涨期权的现值是容易计算的) 在这样一个执行策略下，美式期权等价于执行价格为K 的远期合约，所以为美式看涨期权的目前值为()[]K T S PV -0=()()T KB S ,00-下面引入时间价值的概念。
定义：以不支付红利的股票为标的物的美式看涨期权的时间价值为()()()()[]T KB S C TV ,0000--= （1）直观上来说，时间价值是由于等待以决定执行期权而给期权合约带来的价值增加值。
因为在到期日，期权是虚值时可以不执行，所以时间价值是非负的。
因为()()()(){}T KB S Max c C ,00,000-≥≥（2） 所以（1）时间价值大于美欧式期权价格之差；（2）时间价值是非负的。
下图说明了看涨期权的时间价值作为股票价格的函数的性质。
下面我们我们考虑红利的影响。
为简单起见，假设红利的大小和支付时间都是已知的。
我们先研究在期权的有效期之内，提前执行可能发生的时间。
性质：给定正的利率，在两次分红之间或者到期日之前执行美式看涨期权不是最优的。
证明：考虑下图0 tT Today Ex-Dividend Date Maturity of Option首先证明在时间t 之前不会执行。
考虑两种交易策略：策略1：马上执行期权。
这个策略价值为()K S -0策略2：等到分红前瞬间执行，即使期权是虚值的。
这个策略在时间t 的价值为()K t S c -，从而该策略在时间0的价值为()()t KB S ,00-策略2的价值大于策略1的价值，所以应该等待。
其次证明在分红后和到期日之前的任何时间也不会执行。
考虑两种交易策略：策略1：在分红后马上执行期权。
这个策略在时间t 的价值为()K t S e -，策略2：等到到期日执行，即使期权是虚值的。
这个策略在时间T 的价值为()K T S e -，从而该策略在时间t 的价值为()()T t KB t S e ,-策略2的价值大于策略1的价值，所以应该等待。
如果期权的执行不是发生在分红前的瞬间，则会损失利息但不会有任何收入。
提前执行的唯一收入是获取红利，所以美式期权除了在分红前的瞬间和到期日外，其余时间不会执行。
下面讨论在什么条件下会在分红前瞬间提前执行美式看涨期权。
我们通过比较分红前瞬间执行与不执行美式看涨期权所获得的收入来说明提前执行美式看涨期权的条件。
如果在分红前的瞬间提前执行，则期权的价值为()()K d t S K t S t e c -+=-如果不提前执行，则期权的价值为()t C 。
这个值是以股票的除息价为基础的。
()()())(,t TV T t KB t S t C e +-=这里()()T t KB t S e ,-是在到期日不管股票价格如何都执行的期权这样一个策略在时间t 的价值，)(t TV 是利用除息价()t S e 来确定的。
在分红前瞬间执行期权当且仅当执行的价值大于不执行的价值，即 ()K d t S t e -+>()())(,t TV T t KB t S e +-即 t d >()[])(,1t TV T t B K +- （3）条件（3）说明，在时间t 执行期权当且仅当红利大于执行价格的利息损失()[]T t B K ,1-与以除息价为基础的时间价值)(t TV 之和。
由条件（3）（1）如果股票不分红，则美式期权不会提前执行。
（2）美式期权提前执行是最优的当且仅当红利充分大，以足以抵消执行价格的利息损失和期权的时间价值。
如果红利很小，而离到期的时间很长，则不会提前执行。
3．美式看跌期权美式看跌期权的提前执行问题与美式看涨期权的提前执行有很大区别。
区别的原因在于，美式看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待带来的收益。
相反，美式看涨期权的支付没有上界。
即使标的股票不支付红利，美式看跌期权的有界支付使得提前执行变成最优的（当股票价格变的非常低时）。
提前执行美式看跌期权的收益是获得支付的利息，而成本是放弃任何可能的额外收益。
当这种额外收益非常小时，提前执行的收益超过放弃的成本。
我们先定义美式看跌期权的时间价值。
定义：以不支付红利的股票为标的物的美式看跌期权的时间价值为()()()()[]0,000S T KB P TV --=（4） 这里)0(P 是美式看跌期权在时间0的价值，()()[]0,0S T KB -不是在到期日不管股票价格为多少都执行期权这样策略在时间0的价值。
直观上来说，时间价值是由于等待以决定执行期权而给期权合约带来的价值增加值。
因为在到期日，期权是虚值时可以不执行，所以时间价值是非负的。
因为()()()(){}0,0,000S T KB Max p P -≥≥（5） 这里)0(p 是执行价格、到期日均与美式期权相同的欧式看跌期权的价值，所以（1）时间价值大于美欧式期权价格之差；（2）时间价值是非负的。
下图说明了看跌期权的时间价值作为股票价格的函数的性质。
下面我们讨论红利对看跌期权提前执行的影响。
和前面一样，我们假设在期权的有效期内，每股股票在时间t 支付已知红利t d 。
我们先拓展看跌期权时间价值的定义。
在期权到期日不管股票价格如何都执行期权这样一个策略在时间0的价值为[]()()()[]t B d S T KB T S K PV t ,00,0)(0--=-它表示执行价格的现值减去股票除息价格的现值。
和无红利股票期权比较起来，由于分红导致的股价下降使得该策略增值。
定义：以支付红利的股票为标的物的美式看跌期权的时间价值为()()()()()[]{}t B d S T KB P TV t ,00,000---=（6）（6）与（4）比较起来，差别在于红利现值导致的调整。
下面我们考虑美式看跌期权的提前执行问题。
和前面一样，我们通过比较执行与不执行美式看涨期权所获得的收入来说明提前执行美式看涨期权的条件。
如果美式看跌期权在时间0执行，它的值为()0S K -如果不提前执行，它的价值是)0(P 。
利用（6），我们可以写成()()()()[]{}()0,00,00TV t B d S T KB P t +--=因此，在时间0提前执行是最优的当且仅当()0S K -()()()[]{}()0,00,0TV t B d S T KB t +-->即 ()[]()()0,0,01TV t B d T B K t +>- （7）换句话说，提前执行是最优的当且仅当，在执行价格上获得的利息超过损失红利的现值与看跌期权时间价值的和。
从（7），我们得到性质：即使标的股票不分红，美式看跌期权也可能提前执行。
这个性质说明了美式看涨期权和美式看跌期权之间的主要差别。
给定标的股票不分红，美式看涨期权不提前执行，而美式看跌期权有可能提前执行。
性质：（1）红利将推迟美式看跌期权的提前执行。
（2）美式看跌期权不会在分红前瞬间提前执行。
证明：（1）当红利增加时，（7）左边超过右边的可能性减少。
（2） 考虑下面两个可能的执行策略：策略1：在分红前瞬间执行看跌期权，期权的价值为[]t e d t S K +-)(策略2：在分红后马上执行，期权的价值为)(t S K e -期权在策略2下价值更高。
（1）说明，红利趋向于推迟美式看跌期权的提前执行，因为将来的红利将导致股票价格在分红日下降，等待这个下降将增加美式看跌期权价值。
（2）说明进一步说明这个性质。
它说明应该在分红后而不是分红前提前执行。
4．定价前面讨论了美式期权提前执行的一般性质。
为了确定美式期权更明确的价格，我们应该给出标的股票价格运动分布的进一步假设。
本节我们在二项树模型中讨论美式期权的定价。
美式看涨期权标的股票不分红时，美式看涨期权的价格等于欧式看涨期权的价格。
标的股票分红时，我们看下面的例子。