高考数学压轴专题新备战高考《数列》难题汇编及答案

【高中数学】数学高考《数列》复习资料

一、选择题

1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10

6

S S 等于（ ） A ．-3 B ．5

C ．-31

D ．33

【答案】D 【解析】 【分析】

先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公

式，即可求解10

6

S S 的值，得到答案.

【详解】

由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，

可得313366316(1)1121(1)1118

1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以1011051055

16

(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q

---===+=---. 故选：D . 【点睛】

本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列

{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）

A ．(),3-∞-

B ．1,3??-∞- ???

C ．1,3??-+∞ ???

D ．()3,-+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1

21

n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】

∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=.

∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，

∴2

n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，

∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()2

2

110n n n

n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，

∴1

21

n λ<-

+对*n N ∈恒成立， ∴13

λ<-.

故选：B. 【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120?，210?，45?三种，其中45?是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45?为20的最佳分解.当p q ?（p q ≤且

*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列

(){}5n

f ()*

n N ∈的前2020项的和为（ ）

A ．1010

5

1+

B ．1010514-

C ．1010512

-

D ．101051-

【答案】D 【解析】 【分析】

首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】

解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550n

n

n f =-=； 当n 为奇数时，1112

2

2

(5)5

5

45

n n n n f +--=-=?，

所以01100920204(555)S =++?+，

101051451

-=-g ，

101051=-．

故选：D 【点睛】

本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

4．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足

2131

n n A n B n -=+，则3711

59

a a a

b b +++的值为（ ）

A ．

3944

B ．

58

C ．

1516

D ．

1322

【答案】C 【解析】 【分析】

利用等差中项的性质将371159

a a a

b b +++化简为7

732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】

1133711713113

5971313()

3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++?-==?=?=?=++?+,

故选:C. 【点睛】

本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为

n S ，则下列结论正确的是（ ）

A ．201920202S a =+

B ．201920212S a =+

C ．201920201S a =-

D ．201920211S a =-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为

1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，

所以201920211S a =-，选D. 【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.

6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数

列，则4

2

S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13

【答案】C 【解析】 【分析】

设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2

60,0q q q --=>，解得q ，

再利用求和公式即可得结果. 【详解】

设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，

Q 满足645,3,a a a -成等差数列，

()

2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，

则

()

()

4124221313131103131

a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

7．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21

C ．24

D ．36

【答案】B 【解析】 【分析】

根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】

因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，

所以73

173

a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()

212

a a S +=

= 故选：B 【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.

8．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差为（ ） A ．

23

B ．

32

C ．23

-

D ．32

-

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，列方程组求解即得. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d .

101010,70a S ==Q ，11910109

10702a d a d +=??

∴??+=??

解得2

3

d =

. 故选：A . 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.

9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】

因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得

111242a a q a q >+,化简后可得()

2

1210q a -<.

因为()

2

21

0q -≥

所以不等式的解集为10a < 若210n S -<

当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.

10．已知数列}{

n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ?=，且4a 与72a 的等差中项为5

4

，则5S =（ ）． A ．35 B ．33

C ．31

D ．29

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2

231112a a a q a q a =?=，所以42a =，

又3

474452224a a a a q +=+=?，解得11,162

q a ==，所以

55

151

16(1())

(1)2311112

a q S q --==

=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．

11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） A

B ．2

C

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得

(

)()6

3

11

11911a q a q q

q

--=?--，解可得2q =，又由(

)5

15

1

131621a q S

a

q

-=

==-，解可得

1a 的值，即可得答案．

【详解】

根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则

(

)()6

3

11

11911a q a q q

q

--=?--，解可得3

8q

=，则2q =，

又由562S =，则有(

)5

151

131621a q S a

q

-===-，解可得12a =；

故选B ． 【点睛】

本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．

12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则n S 取最大值时n 的值为（ ） A ．6 B ．7

C ．8

D ．13

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意推导出数列{}n a 为单调递减数列，且当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <，由此可得出结果. 【详解】

()115158151502a a S a +=

=>Q ，()

()116168916802

a a S a a +==+<，80a ∴>，

90a <，

所以，等差数列{}n a 的公差980d a a =-<，则数列{}n a 为单调递减数列. 当8n ≤时，0n a >，当9n ≥时，0n a <， 因此，当8n =时，n S 取最大值. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用等差数列前n 项和的最值求对应的n 的值，主要分析出数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

13．在数列{}n a 中，()111,1n

n n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）

A ．2017?1008

B ．2017?1009

C ．2018?1008

D ．2018?1009

【答案】B 【解析】 【分析】

根据已知条件()n

n 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】

()n

n 1n a a n 1+-=+-,

()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,

-=+--=+-=+--=+

???32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-

将以上式子相加得20181a a 20172016-=++???+2， 即2018a 20172016=++???+2+1=2017(12017)

201710092

+=?，

故选：B. 【点睛】

本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.

14．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】

由2416a a =得24455

16116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.

【点睛】

本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.

15．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8 B ．9

C ．10

D ．11

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值． 【详解】

等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <，

即()

()120201*********a a S a a +=

=+>，10110a a ∴+>，

()

1212111212102

a a S a +=

=<，所以，110a <，则100a >，

因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】

本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．

16．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120

C ．121

D ．192

【答案】B 【解析】 【分析】 根据

35

2

a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】

Q

35

2

27a q a ==, ∴ 3q =

∴ 4414(1)3(13)

120113

a q S q --===--.故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.

17．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）

A ．

2542

B ．

3764

C ．

1730

D ．

67

【答案】A 【解析】 【分析】

模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当

6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657

S =

++?????++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知， 第1次循环时1

13

S =?，2i =，否； 第2次循环111324S =

+??，3i =，否； 第3次循环时111132435

S =++???，4i =，否； 第4次循环时111113243546

S =

++????+，5i =，否；

第5次循环时111111324354657

S =+++?????+，6i =，是； 故输出

111111324354657

S =

++?????++111111111112324354657????????????-+-+-+-+- ? ? ? ? ???????????????= 111125

1226742

??=

+--=

??? 故选：A. 【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．

18．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912

129

,,,S S S a a a ?中最大的是（ ）

A ．1

1

S a

B ．88S a

C ．55S a

D ．99

S a

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意知5600a a ＞，＜ ．由此可知56912

1256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，所以在912

129...S S S a a a ，，，中最大的是55

S a ． 【详解】 由于191109510569()10()

9050222

a a a a S a S a a ++=

===+＞，（）＜ ， 所以可得5600a a ＞，＜． 这样

5691212569

00...0,0,...0S S S S S

a a a a a ，，，>>><<， 而125125S S S a a a ??＜＜＜，＞＞＞>0， ，

所以在912

129...S S S a a a ，，，中最大的是55

S a ． 故选C ． 【点睛】

本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.

19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12

n n n a S n

++=

（*n ∈N ），则n S =

（ ） A ．121n -+ B ．2n n ?

C ．31n -

D ．123n n -?

【答案】B 【解析】 【分析】

由题得12

2,1

n n a n a n ++=?+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+?，即得n S . 【详解】 由题得111(1)(1),,,2121

n n n n

n n n na n a na n a S S a n n n n ++---=

∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1

n n a n a n ++=?+（2n ≥） 由题得22166,32

a a a =∴

==，所以12

2,1n n a n a n ++=?

+（1n ≥）. 所以

32412313451

2,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n

-+=?=?=?=?L ， 所以11112,(1)22

n n n n a n a n a --+=?∴=+?. 所以(2)222

n n n n

S n n n =?+?=?+. 故选：B 【点睛】

本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则

122016

111a a a +++=L （ ） A ．

2015

2016 B ．

4032

2017

C ．

4034

2017

D ．

2016

2017

【答案】B 【解析】 【分析】

首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；

接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211n

a n n n n ??==- ?++??，由此就可

求得

122016

111a a a +++L 的值. 【详解】

因为111n n n a a a n a n +=++=++， 所以11n n a a n +-=+， 用累加法求数列{}n a 的通项得：

()()1211n n n a a a a a a -=+-+?+-

()

1122

n n n +=++?+=

， 所以

()1211211n a n n n n ??==- ?++??

， 于是

1232016111111111212222320162017a a a a ?????? +++?+=-+-+?+-? ? ???????

121201*********

??=

=- ???. 故选：B. 【点睛】

本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.