高三起点考试数学(理科)

武汉市第四十九中学——新高三起点考试

数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式n

x

x )2(2

+

展开式中常数项是（ ）

A ． 第7项

B ．第8项

C ．第9项

D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξ

E ，49

=ξD ，则n 与p 的值为

（ ）

A ．41,12==p n

B ．4

3,12=

=p n C ．4

1,24=

=p n

D ．4

3,24=

=p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）

4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）

A ．f （x ）＝??

?>-≤-.0,1,

0,1x x x B ．f （x ） ＝lnx

C ．f （x ）＝

x

x |

| D ．f （x ）＝??

??

?<=>-.0,1,0,0,0,1x x x

5．已知函数b

a b f a f x f x f x 1

1,4)()()(2)(111

+=+=---则满足的反函数的最小值为

（ ）

A ．1

B ．

31 C ．

2

1 D ．

4

1 6．ABC ?的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m += )sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 （ ）

A ．

6

π B ．

6

5π C ．

3

π D ．

3

2π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点，而被该双曲线的

右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）

A ．

5

B ．

2

5 C ．3 D ． 2

8．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的

直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条 9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1

－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2

＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ） A ．g （x ）?M B ．g （x ）∈M C ．g （x ）?M D ．不能确定 10．已知函数12

||4

)(-+=

x x f 的定义域是[]

b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有

（ ）

A ．2个

B ．5个

C ．6个

D ．无数个

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为

3

4

，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。 12．已知随机变量)4,3(~N ξ，若ξ=2η+3，则D η=____________.

13．已知,,R y x ∈且满足不等式组??

???≤≤≥+756y x y x ，则2

2y x +的最大值是 .

14．设10321221010++3+2+++++=+1a a a a ,x a x a x a a )x (n

n n 则= .

15． 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)

满足下列关系：n mx x y ++=200

2

(m ,n 是常数)，如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图. （I ）y 关于x 的函数表达式为：___________

（II ）如果要求刹车距离不超过25.2米，则行驶

的最大速度为：__________

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知函数.sin 3cos ]sin )3

sin(2[)(2x x x x x f -++

=π

（I ）若函数)(x f y =的图象关于直线)0(>=a a x 对称，求a 的最小值；

（II ）若存在02)(],12

5,

0[00=-∈x mf x 使π

成立，求实数m 的取值范围. 17．（本小题满分12分）

如图在直三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a ，AA 1 = 2a ，D 为

BC 的中点，E 为CC 1上的点，且CE =

4

1CC 1 （I ）求三棱锥B – AB 1D 的体积； （II ）求证：BE ⊥平面ADB 1；

（Ⅲ）求二面角B —AB 1—D 的大小.

18．（本小题满分12分）

口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每

次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球。求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望；

19．（本小题满分12分）

已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动

直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图. （I ）若△POM 的面积为

2

5

，求向量OM 与的夹角。 （II ）试证明直线PQ 恒过一个定点。

20．（本小题满分13分）

设函数.)2()(2

x

e k kx x x

f -+-= （I ）k 为何值时，f (x )在R 上是减函数；

（II ）试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0.

21．（本小题满分14分）

已知函数2

1)1()()(=-+∈x f x f R x x f 都有对任意 （1）求*))(1

(

)1()21(N n n

n f n

f f ∈-+和的值； （2）数列{a n }满足*)(),1()1

()2()1()0(N n f n

n f n f n f f a n ∈+-++++= 数列{a n }

是等差数列吗？请给予证明； （3）2

212221,1632,1

44n n n n n b b b b T n

S a b ++++=-

=-= ，试比较T n 与S n 的大小.

武汉市部分重点中学2008——2009学年度新高三起点考试

数学答案（理科）

一、选择题： CABAC BDCBB 二、填空题： 11．

189

256

12．1 13.74 14．5120 15．（I ）)0(100

2002≥+=

x x

x y （II ）70千米/时 三、解答题

16．解：（I ）).3

2sin(22cos 32sin )(π

+=+=x x x x f …………………………（4分）

由题设，).(12

2,2

3

2Z k k a k a ∈+=

+

=+

π

ππ

ππ

即 .12

,0,0min π

=

=>a k a 时则当 ………………………………………………（6分）

（II ）当].1,2

1[)32sin(],67,3[32,]125,

0[000-∈+∈+∈ππππx x x x 时

].2,1[)(0-∈∴x f …………………………………………………………………（9分）

由.12,22

1.2)(,02)(00≥-≤≤≤-∴=

=-m m m

m x f x mf 或即得

故m 的取值范围是).,1[]2,(+∞?--∞…………………………………………（12分）

17.解：（Ⅰ）∵AB=AC=a ，∠BAC=90°，D 为BC 中点

B 1B=

C 1C=A 1A=2a ，2

411a CC CE ==

∴24

1

)21(2121a AC AB S S ABC ABD =?==?? ………………2分

∵3216

1

241313111a a a BB S V V ABD ABD B D AB B =??=??==?-- …………4分

解法一：

（Ⅱ）由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC 从而AD ⊥平面B 1BCC 1

又BE ?平面B 1BCC 1，所在AD ⊥BE …………6分 由已知∠BAC=90°，AB=AC=a ，得a BC 2=

在Rt △BB 1D 中，4

2

21tan 111===∠BB BC

BB BD D BB 在Rt △CBE 中，42

22tan ===∠a

a BC CE CBE 于是∠BB 1D=∠CBE ，设EB ∩DB 1=G

∠BB 1D+∠B 1BG=∠CBE+∠B 1BG=90°，则DB 1⊥BE ，又AD ∩DB 1=D 故BE ⊥平面ADB 1 ……………………8分 （Ⅲ）过点G 作GF ⊥AB 1于F ，连接BF

由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG 是二面角B —AB 1—D 的平面角 …………10分 在Rt △ABB 1中，由BF ·AB 1=BB 1·AB ，得a BF 5

5

2= 在Rt △BDB 1中，由BB 1·BD=BG ·DB 1，得BG=

a 3

2 所以在Rt △BFG 中，3

5

sin ==

∠BF BG BFG 故二面角B —AB —D 的大小为arcsin

3

5

………………12分 解法二：

解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A －xyz …………2分

可知A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，a ，0），D （

0,2

,2a

a ）， B 1（a ，0，2a ），E （0，a ，

2

a

） …………4分 可得 ),0,2

,2(),2,,(a

a AD a a a BE =-=

)2,2

,2(1a a

a DB = ………………6分

于是得0,01=?=?DB BE AD BE ，可知BE ⊥AD ，BE ⊥DB 1

又AD ∩DB 1=D ，故BE ⊥平面ADB 1 …………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB 1的法向量)2

,,(a a a BE -=，平面ABB 1的法向量)0,,0(a AC =

于是 3

2

|

|||,cos =

?>=

3

2

………………12分 18．解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则 3

2

)()(,31844)()(===+=

=B P A P B P A P ，

且A 、B 相互独立.………………（2分）

据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中

.

271

)31()()3(.

272

32)31()()2(.

2710

)32(3231)()()1(.2714

)32(3132)()()0(3223==??===?=??===+?=??+?===+?=

??+?==A A A P P A A A P P A B A P A A P P A B A P B A P P ξξξξ………………（8分）

ξ 0 1 2 3 p

14/27

10/27

2/27

1/27

………………（10分）

)12(.27

17

271327222710127140分 ?=?+?+?+?

=∴ξE 19．解：（I ）设点P y y P y y M ),,4

(),,4(22

2

121、M 、A 三点共线，

,4,1

4,4

414

,212

12

112221212

11=∴+=+--=

+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM AM 即即

……（2分）

.54

4212

2

21=+?=?∴y y y y OP OM ……………………………………………（4分）

设∠POM =α，则.5cos ||||=??α

.5sin ||||,2

5=??∴=

?αS ROM 由此可得tan α=1.…………………（6分）

又.45,45),,0(??=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα……………………（7分）

（II ）设点M y y Q ),,4

(32

3

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴

)8(.04,4))(1(,1

41,4

41431312

33133123323

2

131233

分即即即

=+++-=++∴+=-+--=

+y y y y y y y y y y y y y y y y y y

,044

4,4,432

322121=+++?∴=

=y y y y y y y y 即

即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（9分）

)4(4,44

42

2322322

3

2232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ

-+=-∴+=--=的方程是直线 即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（10分）

由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y

由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.…………………………………………（12分）

20.解：（Ⅰ）∵x

e k kx x x

f -?+-=)2()(2

∴x x

e k kx x e k x x

f --?-?+-+-=')1()2()4()(2

x e x k

x -?-?-

-=)2()2

(2 ………………2分 当k=4时，0)2()(≤?--='-x

e x x f

∴当k=4时，R x f 在)(上是减函数………………5分

（Ⅱ）当k ≠4时，令2

,20)(21k

x x x f =

=='，得………………6分 当k<4时，即

2

有

令,02)2(2,0)2(2=+?-?=k k k k k f 得 ∴k=0 ………………9分

②当k>4时，即

k

>2有

0242 0)2(=+-?=k k f 得∴当k=0或k=8时，)(x f 有极小值0 ………………13分

21．（1）解：f (x )对任意2

1)1()(=-+∈x f x f R x 都有 41

)21(21)211()21(21=∴=-+=f f f x 时有………………2分

令21

)11()1(*)(1=-+∈=n f n f N n n x 时有

2

1)1()1(=-+∴n n f n f ……………………………………4分

（2）解：数列{a n }是等差数列

f (x )对任意x ∈R 都有,2

1

)1()(=

-+x f x f 则令2

1)()(=-+=n k n f n k f n k x 时有……………………………………6分

*)

(4

1

4141)1(*)

(4

1

*)

(21

2)]

0()1([)]1

()1([)]1()1([)]1()0([2)

0()1

()2()1()1()

1()1

()2()1()0(1N n n n a a N n n a N n n a f f n

f n n f n n f n f f f a f n

f n n f n n f f a f n n f n f n f f a n n n n n n n ∈=+-++=-∴∈+=∴∈+=∴+++-++-+++=∴+++-+-+=∴+-++++=+ ∴{a n }是等差数列. ………………10分

（3）解：由（2）有*)(4

1

44N n n

a b n n ∈=

-=

n

n

n S n

n n n n n n

n b b b b T =-=-=--++-+-+=-++?+?+≤++++=++++=++++=16

32)12(1611131212111(16))1(13212111(16)

1

312111(164342414222222222222221

22

21

∴T n ≤S n …………………………………………………………………………14分 该题也可用数学归纳法做。