重要极限

题目：两个重要极限

学生姓名：刘强麟

学生学号：201603180125

专业班级：市场营销A1班

一、两个重要极限的认识

两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。

《经济数学基础》课程在讲述关于两个重要极限时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。

二、极限存在的准则

为了得出两个重要极限公式，先给出两个判定极限存在的准则： 准则I ：如果函数 f （x ），g （x ），h （x ）在同一变化过程中满足 g （x ）≤f （x ）≤h （x ），

且()=x g lim ()A =x h lim ，那么()x f lim 存在且等于A. 准则II ：如果数列{n x }单调有界，那么n n X lim ∞

→一定存在.

三、两个重要极限的证明

两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法, 在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对“夹逼”定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。

1、重要极限一：1sin

lim 0

=→x x x 证： 因为()x -x -sin =x sinx --=x sinx ，既x 改变符号时，x

sinx 的值不变，所以只讨论x 有正值趋于零的情形。

作单位圆O ，如图：

设圆心角x =∠AOB ，延长OB 交过A 点的切线与D ，则

AOB ∆面积<扇形AOB 面积

三项都为正数，取它们的倒数，得

x x

x cos sin 1>> 即

1sin cos <

x x . 另一方面，1cos =x -22

2112sin 2x x ->，于是有

.1sin cos 2112<<<-x

x x x 因为1)2

11(lim 20=-→x x ，由准则I 可得

.1sin lim 0=→x x x

2、重要极限二：e x x

x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim

四、两个重要极限在微分学中的重要性

在函数的学习中，我们熟悉的基本初等函数有以下五类： ○1幂函数y x α=(R α∈), ○2指数函数(0,1)x y a a a =>≠， ○3对数函数log a y x =(0,1a a >≠)， ○4三角函数y=sin x, y=cos x ，y=tan x, y=cot x, ○5反三角函数y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx 。

由基本初等函数经过有限次四则混合运算与符合运算所得到的函数，统称为初等函数，微积分中我们经常需要计算初等函数的导数，微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f (x )在点x 处的导数()x f '，就是计算极限

()()x

x f x x f x ∆-∆+→∆0lim （1.2.1） 当这一极限存在时，其值就是 ()x f ' 。但这仅仅是停留在导数定义上的，如果求函数的导数都要计算极限1.2.1的话，显然是非常复杂和繁琐的，势必限制导数的广泛应用。事实上，在求函数的导数时，并不都需要计算极限1.2.1，而只需根据基本初等函数的求导公式及求导法则就可以很方便地求得任何一个初等函数的导数。因此，两个重要极限对于以上六类基本初等函数的求导起到了至关重要的作用。

五、总结

关于两个重要极限的公式本身十分简单，但由它们上面却引出许多的话题. 关于它的证明方法还有很多，本文选取了最能体现数学思想的证法，还谈及了它们的一些应用，这些话题都反映一个共同思想: 在研究函数在一点的无穷小领域内的变化性态时, 用某个与自变量增量成比例的量( 即微分) , 替代函数的增量, 常常是简化并解决问题的办法. 这就是微分学的基本思想, 对于微积分, 只有深入理解和掌握了这一思想, 才会深刻理解和学习。