导数复习导数大题练习含详解答案)
1、已知函数f(x)=(2x 2―kx ＋k)·e -x
(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）设2
()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范
围. 3、设函数
()1x f x x ae -=-。
（I ）求函数()f x 单调区间； （II ）若()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值范围； （III ）对任意n 的个正整数1212,,n
n a a a a a a A n
++??????=
记
（1）求证：
()11,2,i a i
A
a e i n A
-≤=???（2
）求证：A ≥ 4、已知函数
b x x a x a x f +++-=
2
32
13)(，其中,a b ∈R ． （Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、已知函数
2()(21)(R x f x ax x e a -=-+?∈，e 为自然对数的底数).
(I)当时，求函数()f x 的极值；
(Ⅱ)若函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值范围． 6、已知函数
2()(33)x f x x x e =-+?，设2t >-,(2),()f m f t n -==.
（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；
（Ⅱ）试判断,m n 的大小并说明理由；
（Ⅲ）求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0
'2
0()2(1)3
x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数. 7、已知函数2
()ln (2)f x x ax a x =-+-．
（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、已知函数2
2
1()()ln 2
f x ax x x ax x =--
+.()a ∈R . （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程（e 2.718...=）；
（II ）求函数()f x 的单调区间.
9、已知函数()(1)e (0)x
a f x x x
=->，其中e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5
e ，求a 的值. 10、已知函数36)2(2
3
)(23-++-
=x x a ax x f . （1）当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；
（2）试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
11、已知函数()x f x e =，()1g x ax =+（a 是不为零的常数且a R ∈）。 （1）讨论函数()()()F x f x g x =?的单调性；
（2）当1a =-时，方程()()f x g x t ?=在区间[]1,1-上有两个解，求实数t 的取值范围； （3）是否存在正整数
N
，使得当
n N +
∈且
n N
>时，不等式
()1111201123f f f f n n ??
????
-+-+
-++-<- ? ? ???????
恒成立，若存在，找出一个满足条件的N ，并证明；
若不存在，说明理由。
12、设函数()(1)ln(1)(1).f x ax a x a =-++>- （1）求()f x 的单调区间；
（2）当0a >时，设()f x 的最小值为(),()g a g a t <若恒成立，求实数t 的取值范围。 13、设函数f (x )=ax 3
-(a +b )x 2
+bx +c ，其中a ＞0，b ，c ∈R ．
(1)若1
()3
f '=0，求函数f (x )的单调增区间；
(2)求证：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．(注：max{a ，b }表示a ，b 中的最大值)
14、已知函数()11ln )(2
+-+=x p x p x f .
（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；
（Ⅱ）当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：n
n 1
31211)1ln(++++
<+ )(*N n ∈. 15、已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的R ∈x ，2
)1()(x x f x f ++='恒成立．
(Ⅰ)求)(x f 的解析表达式；
(Ⅱ)设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求
)(t S 的最小值．
16、设函数2()ln f x x a x =-与1
()g x x a
=
的图象分别交直线1x =于点A ，B ，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行。 （1）求函数(),()f x g x 的表达式；
（2）当1a >时，求函数()()()h x f x g x =-的最小值； （3）当12a =
时，不等式()()f x m g x ≥?在11
[,]42
x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围。 函数与导数解答题
1、解：（I ）x x
e k kx x e k x x
f ---+-+-=)1)(2()4()(2'
=x x
e x k
x e
k x k x -----=-++-)2)(2
(2]2)4(2[2
………………3分
)(,0)2()(42'x f e x x f k x ∴≤--==∴-时，在R 上单调递减，
所以，f(x)无极值…………………………6分 （II ）当4≠k 时，令0)2)(2(2)('
=---=-x e x k x x f ，得2,2
21==x k
x （1） k<4时，
22
，有 令0)2(=k f ，得02 )2(22=+?-?k k k k ，即k=0.……………………9分 （2）k>4时，22 >k ，有 令0)2(=f ，得k=8所以，由（1）（2）知，k=0或8时，)(x f 有极小值0 2、解：(Ⅰ)由已知1 ()2(0)f x x x '=+>，………………2分 (1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.………………4分 (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x +=+ =>.………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.………………6分 ②当0a <时，由'()0f x =，得1 x a =-. 在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1 (,)a -+∞上()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1 (,)a -+∞. ………………7分 （Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.………………8分 max ()2g x =………………9分 由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33 (e )e 32f a =+>，故不符合题意.)………………10分 当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1 (,)a -+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，1 1 ()1ln()1ln()f a a a -=-+=----，………11分 所以21ln()a >---， 解得3 1 e a <- .………………12分 3、解：（I ）1 ()1x f x ae -'=-………………1分 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上是增函数…………2分 当0a >时，令()0f x '=得1ln x a =-……………………3分 若1ln x a <-则()0f x '>，从而()f x 在区间(,1ln )a -∞-上是增函数 若1ln x a >-则()0f x '<，从而()f x 在区间(1ln ,)a -+∞上是减函数 综上可知：当0a ≤时，()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数。当0>a 时，在区间(,1ln )a -∞-上是增函数，()f x 在区间(1ln ,)a -+∞上是减函数…………4分 （II ）由（I ）可知：当0a ≤时，()0f x ≤不恒成立…………5分 又当0a >时，()f x 在点1ln x a =-处取最大值， 且ln (1ln )1ln ln a f a a ae a --=--=-………………6分 令ln 0a -≤得1a ≥ 故若()0f x ≤对x R ∈恒成立，则a 的取值范围是[)1,+∞……7分 （III ）证明：（1）由（II ）知：当1a =时恒有1 ()0x f x x e -=-≤成立 即1 x x e -≤ 1i a i A a e A -∴≤………………9分 （2）由（1）知：111a A a e A -≤； 2 12 a A a e A -≤；……；1n a n A a e A -≤ 把以上n 个式子相乘得12121n a a a n n A n a a a e A ++ +-≤=12 n n A a a a ∴≥ 故A ≥ 12 4、解：（Ⅰ）2 ()(1)1f x ax a x '=-++，------------1分 由导数的几何意义得(2)5f '=，于是3a =．-----------------3分 由切点(2,(2))P f 在直线54y x =-上可知26b +=，解得4b =．-----5分 所以函数()f x 的解析式为3 2 ()24f x x x x =-++．------------6分 （Ⅱ）2 1()(1)1()(1)f x ax a x a x x a '=-++=--，------------------7分 当01a <<时， 11a >，函数()f x 在区间(, 1)-∞及1 (, )a +∞上为增函数； 在区间1(1, )a 上为减函数；--------------------------------------------------------9分 当1a =时， 1 1a =，函数()f x 在区间(,)-∞+∞上为增函数；------------------10分 当1a >时，11a <，函数()f x 在区间1 (, )a -∞及(1, )+∞上为增函数； 在区间1 (, 1)a 上为减函数．--------------------------12分 命题意图：本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。 5、解：（I ）当1=a 时，x e x x x f -?+-=)12()(2 ， x x x e x x e x x e x x f ---?---=?+--?-=')3)(1()12()22()(2………………2分 当x 变化时，)(x f ，)(x f '的变化情况如下表： 所以，当1=a 时，函数)(x f 的极小值为0)1(=f ，极大值为3 4)3(-=e f .……………5分 （II ）]322[)12()22()(2 2+---=?+--?-='---x ax ax e e x ax e ax x f x x x 令3)1(2)(2 ++-=x a ax x g ①若0=a ，则32)(+-=x x g ，在)11 (，-内，0)(>x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………7分 ②若0>a ，则3)1(2)(2 ++-=x a ax x g ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11 >+= a a x ， 当且仅当0)1(≥g ，即10≤ (，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11 [，-上单调递减.………………9分 ③若0 ++-=x a ax x g ，其图象是开口向下的抛物线， 当且仅当?? ?≥≥-0 )1(0)1(g g ，即035 <≤-a 时，在)11 (，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11 [，-上单调递减.………………………11分 综上所述，函数)(x f 在区间]11 [，-上单调递减时，a 的取值范围是13 5 ≤≤-a ．…12分 6、解：（Ⅰ）因为2 ()(33)(23)(1)x x x f x x x e x e x x e '=-+?+-?=-?--------------1分 由()010f x x x '>?><或；由()001f x x ' 所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减--------------3分 要使)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤-------------4分 （Ⅱ）因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减， ∴()f x 在1x =处有极小值e -------------5分 又2 13 (2)f e e -= <， ∴()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f --------------7分 从而当2t >-时,(2)()f f t -<，即m n <-------------8分 （Ⅲ）证：∵0 '2 000()x f x x x e =-，又∵0'20()2(1)3x f x t e =-， ∴22 002(1)3x x t -=-, 令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程22 2()(1)3 g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的 个数-------------9分 ∵222 (2)6(1)(2)(4)33 g t t t -=- -=-+-, 221 ()(1)(1)(2)(1)33 g t t t t t t =---=+-,----------------10分 ① 当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -?<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解----------------11分 ②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于2 2(0)(1)03 g t =--<, 所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解-------------------12分 ③当1t =时,2 ()001g x x x x x =-=?==或,故()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； 当4t =时,2 ()6023g x x x x x =--=?=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只有一解-------------------13分 综上所述,对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0 '2 0()2(1)3 x f x t e =-, 且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意； 当14t <<时,有两个0x 适合题意.--------------14分 （说明:第（3）题也可以令2 ()x x x ?=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明 22 (1)3 t -在其值域内） 7、解：（Ⅰ）∵2 ()ln (2)f x x ax a x =-+-，∴函数的定义域为(0,)+∞．1分 ∴2112(2)(21)(1) ()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x -+---+'=-+-==．3分 ∵()f x 在1x =处取得极值， 即(1)(21)(1)0f a '=--+=，∴1a =-．5分 当1a =-时，在1(,1)2 内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>， ∴1x =是函数()y f x =的极小值点．∴1a =-．6分 （Ⅱ）∵2 a a <，∴01a <<．7分 ∵x ∈(0,)+∞，∴10ax +>，∴()f x 在1(0,)2上单调递增；在1(,)2 +∞上单调递减，9分 ①当102 a <≤ 时，()f x 在2 [,]a a 单调递增， ∴32 max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-；10分 ②当2121 2 a a ?>???? ，即12a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减， ∴max 1 2()()ln 21ln 22424 a a a f x f -==-- +=--；11分 ③当 21 2 a ≤ ，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减， ∴2532 max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．12分 综上所述，当102 a <≤ 时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是32 ln 2a a a a -+-； 当 12a <<()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24 a --； 当2 a ≥ 时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是532 2ln 2a a a a -+-．13分 8、解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-，………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-，………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞ 21 '()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x =-+--+=-，…………………6分 ①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减；……………………………………8分 ②当102a << 时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1 (1,)2a 上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1 (1,)2a 上递减；……………………10分 ③当1 2 a = 时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；……………………………12分 ④当12a > 时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1 (,1)2a 上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1 (,1)2a 上递减…………………14分 9、解：（Ⅰ）22 ()e x x ax a f x x -+'=，3分 当2a =时，2222()e x x x f x x -+'=，1 2 122(1)e e 1 f -+'=?=，(1)e f =-， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-，5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-，6分 所以，所求面积为 1 22e 2e 2 ??-=.7分 （Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点， 所以，方程2 0x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根，8分 则240,0. a a a ??=->?>?9分 所以4a >.10分 设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点， 则12x x a +=，12x x a =，11分 因为，5 12()()e f x f x =， 所以， 12 51212 e e e x x x a x a x x --?=，12分 即1225121212 ()e e x x x x a x x a x x +-++=， 22 5e e a a a a a -+=，5e e a =， 解得，5a =，此时()f x 有两个极值点， 所以5a =.14分 10、 （Ⅲ）方程2()f x x x a =++,12ln(1)0x a x -+-+=. 记()12ln(1)g x x a x =-+-+, ∵/21()111x g x x x -=-=++, 由/()0g x >,得x >1或x <-1（舍去）.由/()0g x <,得11x -<<. ∴g (x )在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.………………………………10分 为使方程2()f x x x a =++在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根， 只须g(x)=0在[0,1]和(1, 2]上各有一个实数根,于是有(0)0,(1)0, (2)0.g g g ≥?? ?≥? ∵22ln 232ln3-<-,………………………………11分 ∴实数a 的取值范围是22ln 232ln3a -<≤-.………………………12分 11、解：（1）因为()()1x F x ax e =+， 所以()()'1x x F x ae ax e =++11x ae x a ? ?=++ ??? ，……………………1分 当0a >时，()1 '01F x x a >?>--， 所以()F x 在区间1(,1)a -∞--上是减函数，在区间1 (1,)a --+∞上是增函数；……3分 当0a <时，()1 '01F x x a --， 所以()F x 在区间1(,1)a -∞--上是增函数，在区间1 (1,)a --+∞上是减函数；……5分 （2）当1a =-时，由（1）知道()F x 在区间(),0-∞上是增函数，在区间()0,+∞上是减函数，所以当0x =时 取得极大值()01F =，……………………7分 又()()2 1,10F F e -==，方程()()f x g x t ?=在区间[]1,1-上有两个解， 实数t 的取值范围是2 [,1)e ；……………………………………………………9分 （3）存在4022 2 N =.由（2）知道当1a =-时，11F n ?? - < ???即1111f n n ????-+< ??????? 即11111111n f n n n n ??- <==- ?++??+ ……………………11分 所以()111111 1123234 1f f f f n n n ???? ???? -+-+-++-<-+++ + ? ? ? ?+???? ???? …12分 当4022 2 n >时， 402140214022402240224022111111111111 11234123456782122 211111111 111 4022201124488882 222 n ??????++++ >+++++++++++ ? ? ? +++???? ?????? ??> ++++++++++ +=?= ? ? ????? ??所以： ()1111201123f f f f n n ?? ???? -+-+ -++-<- ? ? ????? ?? 。……………………14分 12、（Ⅰ）解：11 ()(1)11a ax f x a x x x +-'=- =>-++，┄┄┄┄┄┄1分 当0a =时，1 ()01 f x x '=-<+， 所以函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间； 当0a ≠时，1() ()1 a x a f x x -'= +， 若0a >，由()0f x '>得1x a >，由()0f x '<得1 1x a -<<， 所以函数()f x 的减区间为1(1,)a -，增区间为1 (,)a +∞； 若10a -<<，此时11a ≤-，所以1() ()01 a x a f x x -'=<+， 所以函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间； 综上，当10a -<≤时，函数()f x 的减区间为(1,)-+∞，无增区间， 当0a >时，函数()f x 的减区间为1 (1,)a -，增区间为1(,)a +∞．┄6分 (Ⅱ)解：由（Ⅰ）得，11()()1(1)ln(1)g a f a a a ==-++，┄┄┄┄┄┄7分 因为0a >，所以()111()0(1)ln(1)0g a t t g a t a a a a a a 令()(1)ln(1)(0)h x x x x tx x =-++->，则()0h x <恒成立， 由于()ln(1)h x x t '=-+-， 当0t ≥时，()0h x '<，故函数()h x 在(0,)+∞上是减函数， 所以()(0)0h x h <=成立；┄┄┄┄┄┄10分 当0t <时，若()0h x '>得01t x e -<<-， 故函数()h x 在(0,1)t e --上是增函数， 即对01t x e -<<-，()(0)0h x h >=，与题意不符； 综上，0t ≥为所求．┄┄┄┄┄┄12分 13、解：(1)由1 ()3 f '=0，得a =b ．…………………………………………………1分 故f (x )=ax 3 －2ax 2 +ax +c ． 由()f x '=a (3x 2 －4x +1)=0，得x 1=13 ，x 2=1．…………………………………2分 列表： 由表可得，函数f (x )的单调增区间是(-∞，1 3 )及(1，+∞)．……………………4分 (2)()f x '=3ax 2 -2(a +b )x +b =3222()33a b a b ab a x a a ++--- ． ①当1,033a b a b a a ++≥或≤时，则()f x '在[0,1]上是单调函数， 所以(1)f '≤()f x '≤(0)f '，或(0)f '≤()f x '≤(1)f '，且(0)f '+(1)f '=a >0． 所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．………………………………………………8分 ②当013a b a +＜＜，即-a ＜b ＜2a ，则223a b ab a +-- ≤()f x '≤max{(0),(1)}f f ''． (i)当-a ＜b ≤ 2a 时，则0＜a +b ≤32 a ． 所以(1)f '223a b ab a +--＝22223a b ab a --＝223()3a a b a -+≥21 4a ＞0． 所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．……………………………………………12分 (ii)当 2a ＜b ＜2a 时，则()(2)2 a b b a --＜0，即a 2+b 2 －52ab ＜0． 所以2 2 3a b ab b a +--=2 2 43ab a b a --＞22 5 23ab a b a --＞0，即(0)f '＞223a b ab a +-． 所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''． 综上所述：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．……………………16分 14、解：（Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞），()()()x p x p x p x p x f +-=-+=2' 1212…2分 当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增； 当0≤p 时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调递减；……………4分 当0＜p ＜1时，令'()f x =0，解得() 12-- =p p x . 则当()???? ??-- ∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()??? ? ??∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()???? ??--12,0p p 单调递增，在()??? ? ??∞+--,12p p 单调递减.…………6分 （Ⅱ）因为0>x ，所以当 1 =p 时，kx x f ≤)(恒成立x x k kx x ln 1ln 1+≥ ?≤+? 令x x x h ln 1)(+= ，则max )(x h k ≥,……………8分 因为2 ln )('x x x h -=，由0)('=x h 得1=x ， 且当)1,0(∈x 时，0)('>x h ；当),1(+∞∈x 时，0)(' 所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以1)1()(max ==h x h ，故1≥k ……10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知当1=k 时，有x x f ≤)(，当1>x 时，x x f <)(即1ln - 令n n x 1+=，则n n n 11ln <+，即n n n 1 ln )1ln(<-+…………12分 所以1112ln <，2123ln <，…，n n n 11ln <+， 相加得n n n 1 2111ln 23ln 12ln ++<+++ 而)1ln(12312ln 1ln 23ln 12ln +=?? ? ??+???=+++n n n n n 所以n n 1 31211)1ln(++++ <+ ，)(*N n ∈.……………………14分 15、解：(Ⅰ)设c bx ax x f ++=2 )(（0≠a ），则b ax x f +=2)('，……(2分) c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+)2()1()1()1(22． 由已知，得2 2(1)(2)ax b a x a b x a b c +=++++++， ∴?? ? ??=++=+=+b c b a a b a a 2201，解之，得1-=a ，0=b ，1=c ， ∴1)(2 +-=x x f ．………(4分) (Ⅱ)由（1）得，)1,(2 t t P -，切线l 的斜率t t f k 2)('-==， ∴切线l 的方程为)(2)1(2 t x t t y --=--，即122 ++-=t tx y ．……………(6分) 从而l 与x 轴的交点为)0,21 (2t t A +，l 与y 轴的交点为)1,0(2+t B ， ∴t t t S 4)1()(2 2+=（其中0>t ）．……………(8分) ∴2 24) 13)(13)(1()('t t t t t S -++=．………………(9分) 当33 0< 当3 3 >t 时，0)('>t S ，)(t S 是增函数．……………(11分) ∴93 433)]([min =??? ? ??=S t S ．…………(12分) 16、解：（1）由2 ()ln f x x a x =-，得22()x a f x x -'=，…………………………2分 由1 ()g x x a = '()g x = ．又由题意可得(1)(1)f g ''=， 即222a a a --= ，故2a =，或1 2 a =．………………………………4分 所以当2a =时，2()2ln f x x x =- ,1 ()2 g x x =； 当1 2 a =时，21()ln 2f x x x =- ，()2g x x =- 由于两函数的图象都过点(1,1)，因此两条切线重合，不合题意，故舍去 ∴所求的两函数为2()2ln f x x x =- ,1 ()2g x x = ……………………6分 （2）当1a > 时，21 ()()()2ln 2 h x f x g x x x x =-=-- 1)=?? ，………………………8分 由0x > 0>， 故当(0,1)x ∈时，()0h x '<,()h x 递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>,()h x 递增, 所以函数()h x 的最小值为13 (1)12ln1122 h =--+=．…………………10分 （3）1 2 a = ，21()ln 2f x x x =- ,()2g x x = 当11[,)42x ∈时,2 1()ln 2f x x x =-,2141'()2022x f x x x x -=-=<， ()f x 在1142?? ???? ，上为减函数，111()()ln 20242f x f =+>≥，…………12分 当11 [,)42 x ∈时 ，()2g x x = '()20g x == >， ()g x 在1142?? ???? ， 上为增函数，1()()12g x g =≤，且1()()04g x g =≥．14分 要使不等式()()f x m g x ?≥在11,42x ?? ∈???? 上恒成立，当14x =时，m 为任意实数； 当11 (,]42 x ∈时，() ()f x m g x ≤ ，而min 1 () ()(22ln(4e)1()4()2 f f x g x g ??==????. 所以m .………………………………………………16分 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )导数练习题 含答案
(完整word版)导数单元测试(含答案)