九年级数学下册第二十七章相似专题训练五相似三角形与二次函数反比例函数综合作业课件人教版.ppt
解：(1)∵四边形 OABC 是矩形，点 B 的坐标为(2，3)，∴点 C 的坐标为(0， 3)，∵D 为 BC 的中点，∴点 D 的坐标为(1，3)，∵双曲线 y＝kx 经过点 D(1，3)，∴k＝1×3＝3，∴y＝3x .∵点 E 在 AB 上，∴点 E 的横坐标为 2， 又∵双曲线 y＝x3 经过点 E，∴点 E 纵坐标为 y＝32 ，∴点 E 的坐标为(2， 3 2 ).
第二十七章 相似
专题训练(五) 相似三角形与二次函数、 反比例函数综合
一、相似三角形与二次函数的综合
1．如图，已知抛物线 y＝－14 x2＋x－1 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B，
AB⊥AC，交抛物线于 C 点，求点 C 的坐标． 解：易得 A(2，0)，B(0，－1)，∴AO＝2，OB＝1，设点 C 的横坐标为 x，
解：(1)∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(－1，0)，C(0，3)，∴
－1－b＋c＝0， c＝3，
b＝2， 解得c＝3，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3，
∴顶点 D 的坐标为(1，4).(2)∵当 y＝0 时，－x2＋2x＋3＝0，解得 x1＝
－1，x2＝3，∴B(3，0)，又∵A(－1，0)，D(1，4)，∴DC＝ 2 ，BC＝ 3 2 ，BD＝2 5 ，AO＝1，CO＝3，∴DC2＋BC2＝BD2，∴△BCD 是
的坐标为(72 ，54 ).
3．如图，直线 y＝－x＋3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y＝ax2＋bx
＋c 经过 A，B，C(1，0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 D 的坐标为(－1，0)，在直线 y＝－x＋3 上有一点 P，使得△ ABO 与
△ ADP 相似，求出点 P 的坐标．
b＝3， D(1，4)，∴M(2，2)，设直线 CE 的解析式为 y＝kx＋b，则2k＋b＝2，
解得k＝－12， b＝3，
∴直线 CE 的解析式为 y＝－12
x＋3，当 y＝0 时，－12
x＋3＝0，解得 x＝6，∴点 E 的坐标为(6，0).
二、相似三角形与反比例函数的综合 5．如图，在直角梯形 OABC 中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点 A，B 的坐 标分别为(5，0)，(2，6)，点 D 为 AB 上一点，且 BD＝2AD.反比例函数 y
则 C(x，－14 x2＋x－1)，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，图略．可证
△ AOB∽△CDA，∴AOOB ＝CDDA ，又－41 x2＋x－1＜0，∴21 ＝
－（－14x2＋x－1） x－2
，解得 x1＝10，x2＝2(舍去)，∴y＝－14
×102＋10－1＝
－16，∴点 C 的坐标为(10，－16).
6．如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为
(2，3)，双曲线 y＝kx (x＞0)的图象经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E， 连接 DE. (1)求 k 的值及点 E 的坐标； (2)若点 F 是 OC 边上一点，且△ FBC∽△DEB，求直线 FB 的解析式．
直角三角形，且∠BCD＝90°，∴∠AOC＝∠DCB，又∵AC
＝
2 2
，∴ADOC
＝CBCO
，∴△ACO∽△DBC.
(3)如图，设 CE 与 BD 交于点 M.∵△ACO∽△DBC，∴∠DBC＝∠ACO， 又∵∠BCE＝∠ACO，∴∠DBC＝∠BCE，∴MC＝MB，∵△BCD 是 直角三角形，∴∠BCM＋∠DCM＝90°＝∠CBM＋∠D，∴∠DCM＝ ∠D，∴MC＝MD，∴DM＝BM，即点 M 是 BD 的中点，∵B(3，0)，
2．如图，抛物线 y＝x2－4x＋3 与坐标轴交于 A，B，C 三点，点 P 为抛 物线上一点，PE⊥BC 于点 E，且 CE＝3PE，求点 P 的坐标.
解：过点 E 作 EM⊥CO 于点 M，过点 P 作 PN⊥ME 的延长线于点 N， 图略．易得△ CEM∽△EPN，△CME∽△COB，CO＝OB，∴CM＝EM， 设 EM＝3k，∵CE＝3PE，∴PN＝EN＝k，∴P(4k，3－2k)，∵点 P 在 抛物线上，∴3－2k＝16k2－16k＋3，解得 k1＝0(舍去)，k2＝87 ，∴点 P
解：(1)∵y＝－x＋3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点
B，∴A(3，0)，B(0，3)，把 A(3，0)，B(0，3)，
C(1，0)三点坐标分别代入 y＝ax2＋bx＋c，得
9c＝a＋3，3b＋c＝0， 解得ba＝＝1－，4， ∴抛物线的
a＋b＋c＝0，
c＝3，
解析式为 y＝x2－4x＋3.
(2)易得△ ABO 为等腰直角三角形．如图，若△ ABO∽△AP1D，则AAOD ＝
＝kx 的一支经过点 D，交 BC 于点 E. (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形 ODBE 的面积．
解：(1)如图，作 BM⊥x 轴于点 M，DN⊥x 轴于点 N， ∵点 A，B 的坐标分别为(5，0)，(2，6)，∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6， AM＝3，∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴BDMN ＝AAMN ＝AADB ，又∵BD ＝2AD，∴D6N ＝A3N ＝31 ，∴DN＝2，AN＝1，∴ON＝OA－AN＝4，∴ 点 D 坐标为(4，2)，把点 D(4，2)代入 y＝kx ，得 k＝2×4＝8，∴反比例函 数的解析式为 y＝x8 .(2)S 四边形 ODBE＝S 梯形 OABC－S△OCE－S△OAD＝12 ×(2＋5)×6 －21 ×8－12 ×5×2＝12.
OB DP1
，∴DP1＝AD＝4，∴P1(－1，4)；若△ ABO∽△ADP2，过点 P2 作
P2M⊥x 轴于点 M，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP2 是等腰直
角三角形，由三线合一，得 DM＝AM＝2＝P2M，即点 M 与点 C 重合，
∴P2(1，2).综上，点 P 的坐标为(－1，4)或(1，2).
4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴相交 于点 A(－1，0)和点 B，与 y 轴相交于点 C(0，3)，抛物线的顶点为点 D， 连接 AC，BC，DB，DC. (1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； (2)求证：△ ACO∽△DBC； (3)如果点 E 在 x 轴上，且在点 B 的右侧，∠BCE＝∠ACO，求点 E 的坐 标．
人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练(2)含答案.doc
第27章相似专项训练专训1证明三角形相似的方法名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性．．．”．利用平行线判定两三角形相似1．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求(第1题)利用边或角的关系判定两直角三角形相似2．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B．两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似3．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.(第3题)利用角判定两三角形相似4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．(第4题)利用边角判定两三角形相似5．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．(第5题)求证：△ABD∽△CAE.利用三边判定两三角形相似6．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF ∽△ABC.(第6题)专训2巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求(第1题)上一点，＝，(第2题)3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：＝(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形AC，在边AB上取一点的延长线交于点P.求证：(第4题)(第5题①) 作辅助线的方法二：(第5题②)作辅助线的方法三：(第5题③)作辅助线的方法四：(第5题④)专训3用线段成比例法解四边形问题名师点金：利用线段成比例不仅能解三角形问题，还能解四边形问题．在中考中涉及相似、线段成比例的四边形的题型有填空题、选择题、解答题，是中考热门命题点之一．一、选择题1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF ＝NM＝2，ME＝3，则AN＝()(第1题)A．3 B．4 C．5 D．62．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为()(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB ＝4，BC＝2，那么线段EF的长为________．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1________S2＋S3(填“>”“＝”或“<”)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．(第5题)6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C 重合，直线MN交AC于O.(1)求证：△COM∽△CBA；(2)求线段OM的长度．(第6题)7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(第7题)8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E为CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第8题)(第9题)10．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知＝，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．(第10题)(第1题)(第2题)2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为()A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.23．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为()5(第3题)(第4题)二、填空题4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y 的最大值是________．(第5题)三、解答题6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．(第6题)7．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.(第7题)(1)求证：DE为半圆O的切线；(2)求证：DB2＝AB·BE.8．如图，AB是圆O的直径，点C，D在圆O上，且AD平分∠CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F.(1)求证：EF与圆O相切；(第8题)9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB＝6，AD＝5，求AF的长．(第9题)10．如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC＝∠BED.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知AD＝3，CD＝2，求BC的长．(第10题)11．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，＝(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD＝3，求△ABC的面积．(第11题)答案又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ∴＝．C．证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6(第4题)是等边三角形，120°＝60°.ABD∽△CED.于点M，则AM＝CM ∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.＋MD2＝27.AD CD，即27ED＝2，∴＝＝∴＝(第1题)(第2题)AB交AE的延长线于点DF.DAF＝∠G，ADF＝∠CDG，＝CD，∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.∵＝，∴＝AB∥CG.∴△ABE∽△GCE.BE EC＝ABCG＝ABAF＝52CF交AD的延长线于点∴＝(第3题)(第4题)∥AB交DP于点EFC.AED.＝∠CEP.∴EC＝CF∥AB，交DEAM＝CM.MCF.AME≌△CMF.∴专训3一、1.B 2.C 3.D三、5.解：(1)＝(2)△BCF∽△DBC∽△CDE；选△BCF∽△CDE，证明：在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，且点C在边EF上，∴∠BCF＋∠DCE＝90°.在矩形BDEF中，∠F＝∠E＝90°，∴在Rt△BCF中，∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠CBF＝∠DCE，∴△BCF∽△CDE.(答案不唯一)6．(1)证明：由折叠可知，∠COM＝90°，∴∠B＝∠COM.又∠MCO＝∠ACB，∴△COM∽△CBA.∵＝，∴DG∥BE，∴△DPG3x专训4一、1.D 2.B 3.C二、4.4 5.2三、6.(1)证明：∵⊙O与DE相切于点B，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠BAD ＝∠E.(2)解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝8，(第6题)(第7题)∵AB为半圆O的直径，∴∠AB中点，∴OD∥BC.的切线．，∴∠CBD＝∠DBA.，即DB2＝AB·BE.，如图．因为OA＝OD，所以∠＝∠CAD，所以∠ODA垂直于EF，所以EF则CD＝BD.因为AD＝42，所因为∠OAD＝∠CAD，所以642＝2DE，所以(第8题)∵＝，∴作OH⊥AD于点H。
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版
九年级数学下册《第二十七章 相似三角形》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．如图，锐角ABC ，P 是AB 边上异于A 、B 的一点，过点P 作直线截ABC ，所截得的三角形与原ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP △相似的是（ ）A ．APB EPC ∠=∠ B ．90APE ∠= C ．P 是BC 的中点D ．:2:3BP BC =3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别在BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，下列比例式成立的是（ ）A ．AD DE DB BC = B ．AD DE AB BC = C ．AD AE DB AC = D ．AD AB AE EC= 4．下列说法正确的是（ ）A ．两个直角三角形相似B ．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C ．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D ．有一个角为100°的两个等腰三角形相似5．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论正确的是（ ）A ．DE 垂直平分ACB ．△ABE ∽△CBAC ．2BD BC BE =⋅ D ．CE AB BE CA ⋅=⋅6．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，30B ∠=︒且8AB =，点P 是边BC 上一动点，点D 在边AB 上，且14BD AB = 则PA PD +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．D二、解答题8．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AD ＝BD ．(1)求证：△ABC ∽△BDC ．(2)若∠C ＝90°，BC ＝2，求AB 的长．9．如图，在ABC 中，点D 、点E 分别在AC 、AB 上，点P 是BD 上的一点，联结EP 并延长交AC 于点F ，且A EPB ECB ∠=∠=∠．(1)求证：BE BA BP BD ⋅=⋅(2)若90ACB ∠=︒，求证：CP BD ⊥10．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：(1)【问题一】如图①，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，1OA 交AB于点E ，1OC 交BC 于点F ，则AE 与BF 的数量关系为_________；(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m 、n 经过正方形ABCD 的对称中心O ，直线m 分别与AD 、BC 交于点E 、F ，直线n 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，且m n ⊥，若正方形ABCD 边长为8，求四边形OEAG 的面积；(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，顶点E 在BC 的延长线上，且6BC =，2CE =在直线BE 上是否存在点P ，使APF 为直角三角形？若存在，求出BP 的长度；若不存在，说明理由．11．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点.(1)若E 为边OA 上的一个动点，求CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.12．图，点P ，M ，N 分别在等边△ABC 的各边上，且MP ⊥AB 于点P ，MN ⊥BC 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．(1)求证：△PMN是等边三角形；(2)若AB＝12cm，求CM的长．三、填空题13．如图所示，在四边形ABCD中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）14．如图，四边形ABCD内接于以BD为直径的⊙O，CA平分∠BCD，若四边形ABCD的面积是30cm2，则AC=______cm．参考答案与解析1．D【分析】本题可以分两种方法，第一种：利用平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，过点P分别做AC与BC的平行线.第二种：利用两边对应成相等比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，过P分别做PE交AC或交BC于点E，使使AE：AB=AP：AC或使BP：CB=BE：AB，夹角是公共角∠A或∠B.【详解】（1）如图1，作PE 平行于BC ，则△APE △ABC ,（2）如图2，作PE 平行于AC ，则△BPE △BAC ,（3）如图3，作PE ，使AE ：AB =AP ：AC ,此时∠A.是公共角，△APE △ACB ,（4）如图4，作PE ，使BP ：CB =BE ：AB ．此时∠B 是公共角，△PEB △ACB所以共有四种画法，即四条直线满足条件，故选D ．【点睛】本题综合考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理与两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，熟练掌握是解题关键.2．C【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】A ．APB EPC ∠=∠根据正方形性质得到∠B =∠C ，可以得到ABP ∆∽ECP △，不合题意；B.90APE ︒∠=根据正方形性质得到∠B =∠C ，根据同角的余角相等，得到APB PEC ∠=∠，从而有ABP ∆∽PCE ，不合题意；C ．P 是BC 的中点，无法判断ABP ∆与ECP △相似，符合题意；D ．:2:3BP BC = 根据正方形性质得到::3:2AB BP EC PC ==，又∵∠B =∠C ，则ABP ∆∽ECP △，不合题意．故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．3．B【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质可逐一判断．【详解】解：∵DE ∥BC∴AD AE DB EC =，故C 错误； ∴AD DB AE EC=，故D 错误； ∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC∴AD DE AB BC =，故B 正确，A 错误 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解题的关键．4．D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．【详解】解：A 、∵两个直角三角形只有一组角相等∴两个直角三角形不一定相似，故选项A 不合题意；B 、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似故选项B 不合题意；C 、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C 不合题意；D 、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似∴选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．D【分析】根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线AB AD =，根据SAS 证明ABE ADE ≌，可得EB ED = 90ADE ABE ∠=∠=︒根据面积法可得11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅，可得AB BE AC EC =即可判断D 选项正确，其他选项无法证明．【详解】解：根据作图可知AP 是BAC ∠的角平分线，AB AD =∴EAB EAD ∠=∠在ABE △与ADE 中AE AE EAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ADE ≌∴EB ED =90ABC ∠=︒∴90ADE ABE ∠=∠=︒∴,BE AB ED C ⊥⊥11221122ABE AEC AB BE AB BE SS AC DE AB EC ⋅⋅==⋅⋅ ∴AB BE AC EC= 即CE AB BE CA ⋅=⋅．A,B,C 选项无法证明．故选：D ．【点睛】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，证明两三角形相似，垂直平分线的性质，理解基本作图是解题的关键．6．D【分析】由题意知△ABC 是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB =AC =6，∠B =75°∴∠C =75°，∠A =30°A 、三角形各角的度数都是60°B 、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°C 、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°D 、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°∴只有D 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等故选：D ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握．7．C【分析】延长AC 到点A '，使得AC CA ='，连接A D '，A P '过D 作DE AC ⊥于点E ，则PA PD PA PD A D +='+'当点A '、P 、D 三点共线时PA PD A D +='为最小值，求得A D '的值便可．【详解】解：延长AC 到点A'，使得AC CA ='，再连接A D '，A P '过D 作DE AC ⊥于点E ，如图90ACB ∠=︒，30B ∠=︒且8AB =142A C AC AB ∴'===BC ∴==14=BD AB ∴34AD AB = DE AC ⊥ 90ACB ∠=︒DE BC ∴∥∴AED ACB ∽∴34AE DE AD AC BC AB === 334AE AC ∴== 34DE BC ==4435A E AA AE ∴'='-=+-=A D ∴'PA PD PA PD A D +='+'∴当点A '、P 、D 三点共线时，取等号∴PA PD A D +='=PA PD +的最小值．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握求PA PD +的最小值的方法．8．(1)见解析；(2)4．【分析】（1）先证明∠A ＝∠DBA ，进而得到∠A ＝∠CBD ，再根据∠C ＝∠C ，即可证明△ABC ∽△BDC ；（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．（1）证明：如图，∵AD＝BD∴∠A＝∠DBA∵BD平分∠ABC交AC于点D∴∠CBD＝∠DBA∴∠A＝∠CBD∵∠C＝∠C∴△ABC∽△BDC；（2）解：如图，∵∠C＝90°∴∠A＋∠ABC＝90°由（1）得∴∠A =∠ABD＝∠CBD∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°∴∠A＝30°∵BC＝2∴AB＝4．【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．9．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明PBE △和ABD △相似，即可证明．（2）先证明ABC ∽CBE △，再证明PBC ∽CBD △，得到90BPC BCD ∠=∠=︒，即可证明．（1）证明：A EPB ∠=∠ PBE ABD ∠=∠PBE ∴∽ABD △ ∴BE BP BD BA= BE BA BP BD ∴⋅=⋅．（2）证明：A ECB ∠=∠ ABC CBE ∠=∠ABC ∴∽CBE △BC BA BE BC∴= 2BE BA BC ∴⋅=又∵BE BA BP BD ⋅=⋅2BC BP BD ∴=⋅BC BP BD BC∴= PBC CBD ∠=∠PBC ∴△∽CBD △90ACB ∠=︒90BPC BCD ∴∠=∠=︒CP BD ∴⊥．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．10．(1)AE BF =(2)16(3)BP 的长度为2或3或6或7．【分析】（1）由正方形的性质可得,BAO OBC AO BO ∠=∠=，AOE BOF ∠=∠根据ASA 可证AOE BOF ∆≅∆ 由全等三角形的性质可得结论；（2） 过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ，交BC 于点N ，作.TR AD ∥交AB 于点T ，交CD 于点R ，证明△OME OTG ≅∆，进而证明16ATOM AEOG S S ==正方形四边形；（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠90BAD ABC ︒=∠=∵,AC BD 是对角线 ∴∠11,,22BAO BAD OBF ABC AC BD =∠∠=∠= ∴∠11,,9022BAO OBC AO BO AC BD AOB ︒=∠===∠= ∵四边形111A B C O 是正方形∴∠1190A OC ︒=∴∠1190AOB BOC ︒+∠= 又∠1190AOA A OB ︒+∠=∴AOE BOF ∠=∠∴AOE BOF ∆≅∆∴AE BF =故答案为: AE BF =（2）过点O 作,MN AB ∥交AD 于点M ，交BC 于点N ，作.TR AD ∥交AB 于点T ，交CD 于点R ，如图∵点O 是正方形ABCD 的中心∴11=,22AT TO OM MA AB AD ==== 又∠A =90°∴四边形ATOM 是正方形 ∴21116,44ATOM ABCD S S AB ===正方形正方形 同（1）可证△.OME OTG ≅∆∴16ATOM AEOG S S ==正方形四边形（3）解：在直线BE 上存在点P ，使△APF 为直角三角形①当∠AFP =90°时，如图④，延长EF ，AD 相交于点Q∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形∴EQ =AB =6，∠BAD =∠B =∠E =90°∴四边形ABEQ 是矩形∴AQ =BE =BC +CE =8，EQ =AB =6，∠Q =90°=∠E∴∠EFP +∠EPF =90∵∠AFP =90°∴∠EFP +∠AFQ =90°∴△EFP ∽△QAF∴EP EF QF AQ = ∵QF =EQ -EF =4∴248EP = ∴EP =1∴BP =BE -EP =7；②当∠APF =90°时，如图⑤同①的方法得，△ABP∽△PEF∴AB BP PE EF=∵PE=BE-BP=8-BP∴682BPBP=-∴BP=2或BP=6；③当∠PAF=90°时，如图⑥过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N 同①的方法得，四边形ABPM是矩形∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°同①的方法得，四边形ABEN是矩形∴AN=BE=8，EN=AB=6∴FN=EN-EF=4同①的方法得，△AMP∽△FNA∴PM AM AN FN=∴684AM =∴AM=3∴BP =3即BP 的长度为2或3或6或7．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．11．(2)2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，先求出直线CD '的关系式，得出点E 的坐标，求出AE =2，根据勾股定理求出CD =DE =CE =（2）将点D 向右平移1个单位得到1,2D '（），作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-（），连接CD ''交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，用待定系数法求出CD ''的关系式，然后求出与x 轴的交点坐标，即可得出答案．（1）解：如图，作点D 关于x 轴的对称点D ，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知CDE 的周长最小∵在矩形OACB 中，OA =3，OB =4，D 为OB 的中点∴D （0，2），C （3，4）和02D '-（，）设直线CD '为y =kx ＋b ，把C （3，4），02D '-（，）代入得34k b =＋，2b =-解得k =2和2b =-∴直线CD '为22y x =-令y =0，得x =1∴点E 的坐标为（1，0）.∴OE =1，AE =2利用勾股定理得CD =DE =CE =∴△CDE =（2）解：如图，将点D 向右平移1个单位得到1,2D '（），作D 关于x 轴的对称点1,2D ''-（），连接CD ''交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，连接D F ''，此时四边形CDEF 周长最小理由如下：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值∴DE ＋CF 最小时，四边形CDEF 周长最小∵DD EF '∥，且DD EF '=∴四边形DD FE '为平行四边形∴DE D F '=根据轴对称可知D F D F '''=∴DE CF D F CF FD CF CD '''''===＋＋＋设直线CD ''的解析式为y =kx ＋b ，把C （3，4），1,2D ''-（）代入得342k b k b =⎧⎨=-⎩＋＋，解得35k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD ''的解析式为35y x =-令y =0，得53x =∴点F 坐标为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭∴点E 坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．12．(1)见解析(2)4cm【分析】（1）根据等边三角形的性质得出A B C ∠=∠=∠进而得出===90MPB NMC PNA ∠∠∠︒再根据平角的意义即可得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠即可证得PMN △是等边三角形；（2）易证得PBM MCN NAP ≌≌，得出PA BM CN ==，PB MC AN ==从而求得12BM PB AB +==cm 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB BM =，即可求得PB 的长，进而得出CM 的长．（1）证明：∵ABC 是正三角形∴A B C ∠∠∠＝＝．∵MP AB ⊥，MN BC ⊥且PN AC ⊥∴90MPB NMC PNA∠∠∠︒＝＝＝ ∴PMB MNC APN ∠∠∠＝＝∴NPM PMN MNP ∠∠∠＝＝∴ABC 是等边三角形；（2）解：∵PMN △是等边三角形，ABC 是正三角形∴PM MN NP == ===60B C A ∠∠∠︒在PBM 和MCN △中===90=B C BPM CMN PM MN ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()PBM MCN AAS ≌在MCN △和NAP 中===90=C A CMN ANP MN NP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩∴()MCN NAP AAS ≌同理可得()PBM NAP AAS ≌∴()PBM MCN NAP AAS ≌≌∴PABM CN ＝＝ PB MC AN ＝＝ ∴12BM PB AB +＝＝cm∵△ABC 是正三角形∴60AB C ∠∠∠︒＝＝＝ ∴2PB BM ＝∴212PB PB +＝cm∴4PB ＝cm∴4MC ＝cm ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出NPM PMN MNP ∠=∠=∠是本题的关键．13．B DCA ∠=∠或BAC D ∠=∠或AD AC AC BC（答案不唯一） 【分析】先由AD ∥BC ，得到∠DAC =∠ACB ，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可．【详解】解：∵AD ∥BC∴∠DAC =∠ACB∴当∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC∴都可得相似．故答案为：∠B =∠DCA 或∠BAC =∠D 或AD AC AC BC （答案不唯一）． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．14．【分析】过A 点作AE ⊥AC ，交CD 的延长线与点E ，证明△ABC ≌△ADE ，从而得到四边形ABCD 的面积等于△ACE 的面积，然后证明出△ACE 是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出AC 的长度．【详解】如图，过A 点作AE ⊥AC ，交CD 的延长线与点E ．∵BD 为⊙O 的直径∴∠BAD ＝∠BCD ＝90°∵CA 平分∠BCD∴∠BCA ＝∠ACD ＝45°∴∠E ＝∠ACD ＝45°∴AC ＝AE∵AE ⊥AC∴∠CAE ＝90°∴∠CAD +∠DAE ＝90°又∵∠BAC +∠CAD ＝90°∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠BCA ＝∠E ＝45°在△ABC ≌△ADE 中BCA E AC AEBAC DAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△ADE （ASA ）∴＝ABC ADE SS ∴四边形＝＝30ADE ABCD SS ∴21302＝AC ∴＝AC故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键在于运用转化思想，将四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积．。
(完整版)人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练含答案,推荐文档
(第 3 题) 相似三角形与反比例函数 4．如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为
1 DE＝2BC.
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(第 3 题)
4．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为 AB 的中点，CE∥AB，CE 交 DM 的延 长线于 E.
求证：AC＝2CE.
(第 4 题)
证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5．如图，已知点 D 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 上一点，连接 CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接 CE，AE.求证：AE∥BC.
k (2，3)，双曲线 y＝x(x>0)经过 BC 的中点 D，且与 AB 交于点 E，连接 DE.
(1)求 k 的值及点 E 的坐标； (2)若点 F 是 OC 边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线 FB 对应的函数解析 式．
(第 4 题)
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
(第 1 题) 2．如图，一直线和△ABC 的边 AB，AC 分别交于点 D，E，和 BC 的延长线交 于点 F，且 AECE＝BFCF. 求证：AD＝DB.
(第 2 题) 类型2：证明两线段的倍分关系
我去人3也．如就图，有在人△AB！C 中为，BUD⊥R扼AC 于腕点入D，站CE⊥内AB 信于点不E，存∠A在＝6向0°，你求偶证：同意调剖沙
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人教版九年级数学第二十七章第2节《相似三角形》训练题(精选解析版) (5)
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠BAF+∠AED=90°，
∴∠AIE=90°=∠DAB，
∵∠ADE=∠IDA
∴△AEI∽△EDA，
∴
∵AF=DE=
∴
∴
∴△AEI的面积=
∴四边形BEIH的面积=
故选：C．
本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中求△AEI，△ABH的面积是解题的关键，难度较大，注意知识点的融会贯通．
∵ 是 的中点，
∴
∴△BFH∽△DAH，
∴相似比为
∴△BFH与△DAH相似比为1：2，
∴△BFH与△DAH对应高的比1：2，
∴△BFH的BF边上的高为 ，△DAH的AD边上的高为 ，
∴△ADH的面积为 ，△FBH的面积为 ；
∵ 是 的中点，
∴
∴
在△ABF和△DAE中∵来自∴△ABF≌△DAE，（SAS）
（3）在（2）的条件下，点M是 中点，点N、P、Q在直线 或者y轴上，是否存在点P，使四边形 是矩形？若存在，请利用备用图画出示意图并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD//AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
8．如图，AB是OO的直径，点D在AB的延长线上，C、E是OO上的两点，C为弧BE的中点，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是OO的切线：
（2）求证：CE＝CF：
（3）若BD＝1，CD＝ ，求弦AC的长．
9．已知：如图，在四边形 中， ， 、 相交于点 ，
精品解析：人教版数学九年级下册第二十七章相似全章测试(解析版).docx
第二十七章相似全章测试一、选择题1.如图，ciABCD 中，EF 〃AB, DE : EA=2 : 3, EF = 4,则 CD 的长为（）16A. —B. 8C. 10D. 163 【答案】CEF DE 2【解析】试题分析：由EF 〃AB 可得△ DEF^ADAB,根据相似三角形的性质可得一=——=-,再由EF=4AB AD 5 即可得AB=10,根据平行四边形的性质可得CD=AB=10.故答案选C. 考点：相似三角形的判泄及性质；平行四边形的性质.2.如图，ZACB=ZADC=90°, BC=a, AC=b, AB=c, S^A ABC^ACAD,只要 CD 等于（）ab C.— c【解析】解:假设厶ABC-A CAD, 即・・・要使△ ABC-ACAD,只要CD 等于故AC ABAB cc3.在菱形ABCD'P ，BFE 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F,若EC=2BE,则一的值是（）Fl ）c a【答案】A选A.1 1 1A•— B•— C. _2 3 41 D.-5【答案】B【解析】解：如图，VABCD 是菱形，月.4D=BC, •••△BEFSAD4F,BF BE 1・：EC=2BE, ：•吟BE,即 AZ>3BE, 故选 B.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质.关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性 质得出线段的长度关系.4.己知：如图，DE 〃BC, AD:DB=1:2,则下列结论不正确的是（）【答案】ADE AD AD I•••△ADESGBC ,・••芫荷莎面=亍・・•相似三角形周长比等于相似比,:・B, C 选项正确，：•四边形BCED 的面积=ZBC 的面积-AADE 的面积，•ID 选项正确. 故选A.5.如图，铁路道口的栏杆短臂长lm,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽A. 4mB. 6mC. 8mD. 12m竺=匹又FD ADAADE 的面积_1AABC 的面积9 AADE 的周长_ 1 AABC 的周长3 AADE 的面积 _ 1 四边形BCED 的面积8 面积比为相似比的平方, A' ^=2 B - 略不计）（ ）•【答案】C【解析】试题分析：设长臂端点升高X 米，则—/.解得：x 二&故选C. x 16 考点：相似三角形的应用. 止方形ABCD 与止方形BEFG 是以原点0为位似屮心的位似图形，且相似比【解析】试题解析：・・•正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为£ AD 1OA 1 OA 1 , z ,•••— , •: BG=J :.AD=BC=2, •: AD//BG, ：./XOAD^/XOBG, :.― 一，••- ------ ,解得：04=1, BG 3 OB 3 2 + OA 3 :・0B=3, ・・・C 点坐标为：（3, 2）,故选A.7. 平面直角坐标系中，有一条“鱼J 它有六个顶点，则（）A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B. 将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原來的鱼位似C. 将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似D. 将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以丄，得到的鱼与原来的鱼位似2 【答案】C【解析】解：平面直角樂标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同吋乘以同一个非0的实数匕得到的图形 与原图形关于原点成位似图形，位似比是冈・若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点 对称.故选C ・8. 对于平面图形上的任意两点P, Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P'，Q',保持PQ=P r Q\我为点A, B, E 在x 轴上, 若正方形BEFG 的边长为6,则C 点坐标为（C. (2, 2)D. (4, 2)6.如图，在平面直角坐标屮,y个■屮 ■ I* JI ■ !■丄们把这种变换称为“等距变换”，下列变换屮不一定是等距变换的是（） A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似【答案】D【解析】试题解析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与 原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换〃； 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换〃； 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换， 故选D.在格点上）为顶点的三角形与AABC 相似，则点E 的坐标不可能是（） A. (6, 0) B. (4, 2) C. (6, 5) D. (6, 3) 【答案】D【解析】解：•・•点人、B 、C 的坐标分别是(1, 7) , (1, 1) ,(4, 1),・・・AB=6, BC=3, ZABC=90°.AB BC 3 AED=4, CD=2, ZEDO90。
人教版数学九年级下册数学：第27章 相似 专题练习(附答案)
专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF .∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF . ∴DF ＝FA2FE＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD . 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB∥PD，∴OD⊥PD.∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，∴∠PAD＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，∴△PAD∽△DBC.5．证明：(1)∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC＝90°.∵PC是⊙O的切线，∴∠BCP＝∠CAN.∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN.由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA.∴CBAM ＝CPAN，即AM·CP＝AN·CB.6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC. 又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。
近年届九年级数学下册第二十七章相似练习新人教版(2021年整理)
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第二十七章相似27．1 图形的相似基础题知识点1 相似图形1．下列各组图形相似的是（B)2．下列各项中不是相似图形的是(C）A．放大镜里看到的三角板与原来的三角板B．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片C．哈哈镜里看到的人像与真人像D．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图知识点2 成比例线段3．下列各组线段成比例的是(D)A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cmB．1 cm,2 cm，3 cm,4 cmC．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmD．3 cm，6 cm，9 cm,18 cm4．已知线段a，b,c,d成比例，且错误!＝错误!,其中a＝8 cm,b＝4 cm，c＝12 cm,则d＝6cm. 5．在比例尺为1∶200 000的地图上,测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm,则A，B两地间的实际距离为9__000m.知识点3 相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!7．一个多边形的边长分别为2，3,4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24,则这个多边形的最短边长为(B）A．6 B．8C．12 D．108．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(D）A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形9．如图是两个相似四边形,已知数据如图所示，则x＝325，α＝80°．10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB,OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，A′B′＝12 AB。
人教版九年级数学下册 第27章 相似 综合训练(含答案)
人教版九年级数学第27章相似综合训练一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()A．(2,4) B．(－1，－2)C．(－2，－4) D．(－2，－1)2. (2019•雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是A．B．C．D．3. （2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:54. (2019•重庆)下列命题是真命题的是A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9 C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3 D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶95. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2) 6. (2019•贺州)如图，在ABC△中，D E，分别是AB AC，边上的点，DE BC∥，若23AD AB==，，4DE=，则BC等于A．5 B．6C．7 D．87. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则ABCDEFGHSS正方形正方形的值是（）A．12+B．22+C．52-D．154二、填空题9. (2019•郴州)若32x y x +=，则yx=__________．10. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．11. 在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O 的对称点为点C .(1)若点A 的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC .设AB 与y 轴的交点为D ，则S △ADOS △ABC＝__________； (2)若点A 的坐标为(a ，b )(ab ≠0)，则△ABC 的形状为____________．12. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______．13. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.14. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．三、解答题15. （2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？16. (2019•张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．HKFEBA17. 如图，AB是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB的延长线上，∠AED ＝∠ABC. (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．人教版 九年级数学 第27章 相似 综合训练-答案一、选择题1. 【答案】C 解析：根据以原点O 为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】B【解析】因为111A B C △中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选B ．3. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．4. 【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题， 故选B ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】B【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△，∴AD DE AB BC =，即243BC =，解得：6BC =，故选B ．7. 【答案】A 【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB 和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH ∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A ．8. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG 2=.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x 2+x ，∴BC2＝BG2+CG2()2222(21)422x x x =++=+， ∴()22422222ABCD EFGHx S S x +==+正方形正方形D ．二、填空题9. 【答案】12【解析】∵32x y x +=，∴223x y x +=， 故2y =x ，则12y x =，故答案为：12．10. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．11. 【答案】(1)△ABC如图 14 (2)直角三角形 解析：(1)因为点A 的坐标为(1,2)，所以点A 关于y 轴的对称点B 的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C 的坐标为(－1，－2)．连AB ，BC ，AC ，作△ABC .设AB 交y 轴于D 点，如图， D 点坐标为(0,2)， ∵OD ∥BC ， ∴△ADO ∽△ABC . ∴S △ADO S △ABC ＝AD 2AB 2＝14.(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，∴点A不在坐标轴上，∴AB∥x轴，BC⊥x轴．∴∠ABC＝90°.∴△ABC是直角三角形．12. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．13. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵2BCA CAO∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴DCAO=DEEO,即34=x4-2x,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.14. 【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P在矩形ABOC的内部，且APC△是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO 的交点即是E，如图1所示，∵PE BO⊥，CO BO⊥，∴PE CO∥，∴PBE△∽CBO△，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(86)-，，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC +=+=，∴2BP =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=，∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，．三、解答题15. 【答案】解：设这个正方形零件的边长为x mm ，则△AEF 的边EF 上的高AK ＝(80－x)mm ．∵四边形EFHG 是正方形，∴EF ∥GH ，即EF ∥BC ．∴△AEF ∽△ABC ． ∴EF AK BC AD =，即8012080x x-=．∴x ＝48．∴这个正方形零件的边长是48 mm ．16. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥，AD BC =， ∴EBF EAD △∽△， ∴BF BEAD EA=， ∵BE =AB ，AE =AB +BE ， ∴12BF AD =， ∴1122BF AD BC ==， ∴BF CF =．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥， ∴FGC DGA △∽△， ∴FG FC DG AD =，即142FG =， 解得，2FG =．17. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO ， ∴∠BOD ＝2∠BCD ＝∠A ，(2分)解图又∵∠DEA ＝∠CBA ，∴∠DEA ＋∠DOE ＝∠CAB ＋∠CBA ， 又∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠ACB ＝90°，(5分) ∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD ， 可得△FBD ∽△DBO ， ∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分) ∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.。
初三数学下册《27.2相似三角形同步练习》(附答案)【人教版教材适用】
∵ ∠HFG=∠Ｂ，∴ ∠GFD=∠BHF，∴△ BFH∽△ DGF，∴ BF DG
2
∴BH?G=DBF.
BH
，
DF
（ 2）证明：∵ AG∥CE，∴ ∠FAG∥∠Ｃ. ∵ ∠CFE=∠CEF，∴ ∠AGF=∠CFE，∴ AF=AG.
∵ ∠BAD=∠Ｃ，∴ ∠BAF=∠DAG， △ABF≌△ ADG，∴ FB=DG，∴ FD+DG=D，B
AE
1
，即
AE ，解得 AE= 2 2 .
AC
3 62
AD 若 △ADE∽△ ACB时，
AC
AE
1
，即
AE ，解得 AE=
2
.
AB
62 3
4
∴当 AE= 2 2 或 2 时，以点 A、D、E 为顶点的三角形与△ ABC相似． 4
2．解：（ 1）△ ADE∽△ ACB，△ CEF∽ △DBF，△EFB∽ △ CFD( 不唯一 ).
CN
GF
．
AB
12
x
设 正方形的边长为
x，则
5 12
x ，解得 x
5
60
．所以正方形的边长为
37
5
12 x
（ 2）同（ 1），有 5 12
2x ，解得 x
5
60
．
49
5
12 x （ 3）同（ 1），有 5
12
3 x ，解得 x
5
60
．
61
5
12 x
（ 4）同（ 1），有 5 12
nx ，解得 x
5
方法二：证明：如图，延长 AD交 BC于 H ，则 ∠ADO∠= AHC.
∵ ∠AHC=∠B +∠BAD，∴ ∠ADO= ∠Ｂ+ ∠BAD. ∵OA=O，D∴ ∠DAO∠= B +∠BAD.
【初三数学】哈尔滨市九年级数学下(人教版)第二十七章《相似》单元综合练习题(含答案解析)
九年级数学第27章《相似》同步提高测试（有答案）一、选择题：1、观察下列每组图形，相似图形是（）2、（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：273、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）4、（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：95、如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：46、已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．167、如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度()A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米8、（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．= B．= C．= D．=10、如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S211、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．1612、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1二、填空题：13、已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为14、（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．15、已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为16、（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．17、学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD 为18、如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝19、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为。