置信区间与统计估计

(169.56,174.44)
• 在95%的置信系数下，北京男性市 民的平均身高是在169.56与174.44 米之间，其最大抽样误差为 2.44 米
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• 例：假定在随机抽样100位某 市人大代表后，样本平均年 龄为45岁，样本标准差（s） 为9岁，某市人大代表平均年 龄的95% 与99%置信区间分 别为何？
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• 教育水平是不是会影响个人 的工资？
y 200 100x – y是个人月工资（“元”） – x是教育水平（ “年”） – 200是截距 – 100是回归系数
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工资（y）
y=200+100x
200
教育水平（x）
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• 回归系数的解释： –当自变量增加一个单位时， 依变量会增加 b个单位 –每多受一年的教育，个人 的工资就会增加100元 –回归系数 b 代表自变量对 依变量的影响力
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• 置信区间的意义是：如果连 续抽样100次，每次都建立一 个置信区间，所谓95%置信 区间是指这100个置信区间中， 会有95个区间会正确地包含 着母体平均数，约有五个不 包含着母体平均数
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重复抽样置信区间与母体平均数的 关系示意图
区间不包 含μ
μ
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–95% 和 99%就是 “置信系 数” – z 2 (s n ) 就是最大抽样误 差 –置信系数愈高，置信区间 也就愈宽 ，但太宽的置信 区间会使之失去实际的效 用
x 1s.d . 68.3% x 2 s.d . 95.4% x 3s.d . 99.7%
这68%，95%，以及99%就是所谓 的置信系数或置信度
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• 95%置信区间 s s , x z 2 x z 2
n n
30 30 172 1.96 , 172 1.96 1000 1000 ( 172 1.86, 172 1.86 )
9
• 置信系数为 1 的置信区 间：
x z 2

n
或 x z 2 , x z 2 n n
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–x z 2Fra bibliotek区间的下界 n
n
–
x z 2

区间的上界
– z 2 n

为最大抽样误差
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• 例：随机抽样1000位北京男 性市民后，样本平均身高为 172公分，样本标准差为30公 分，在95%与99%的置信系数 下，北京男性市民的平均身 高为何？
（α ）： –在检定虚无假设时： 拒绝虚无假设：即认为母体平 均值（ ）与假设值（0 ）间， 存在着统计上显著的差别 （statistically significant difference） 不拒绝虚无假设：即认为母体 平均值（ ）与假设值（ 0） 间，没有统计上显著的差别 （statistically insignificant）
的平均智商为122分 – H1 : 122 ：该校学生的 平均智商不是122分 ２）决定显著水平（ 0.05）
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• 临界值检定法：将样本值转 化为 z分数并取其绝对值 （ z ），然后与临界值 （ z 2 ）相比较 x 0 z s n
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• 双尾假设检定的“拒绝区”与“接受 区”: 临界值检定法
(170.14,173.86)
• 在95%的置信系数下，北京男性市 民的平均身高是在170.14与173.86 米之间，其最大抽样误差为 1.86 米
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• 99%置信区间 s s , x z 2 x z 2
n n
30 30 172 2.575 , 172 2.575 1000 1000 ( 172 2.44, 172 2.44 )
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• 假设检定的程序： –１）设立假设 –２）决定显著水平（α ） –３）设立决定规则 –４）计算检定数据 –５）结论
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双尾检定：置信区间检定法
１）设立假设： – 虚无假设 H 0 （null hypothesis）：表 示母体平均值（μ）与假设值（ ） 0 间没有差别，也就是
H 0 : 0
类别资料分析 Categorical Data Analysis
王德育 (T.Y. Wang) 伊利诺州立大学 (Illinois State University)
tywang@
1
统计估计与 假设检定
2
• 描述性统计与推论性统计 –描述统计：组织，描绘 与总结手边资料的统计方 法 –推论性统计：以手边资 料为样本以推论母体特质 的统计方法
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–通常 0.05 或 0.01 – 就是前述的显著水平 （significance level） ，而 1 就是置信系数 –所以当 为0.05时，置信系数为 95%； –当 为0.01时，置信系数为 99%
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３）设立决定规则：
如果假设值（ 0 ）在置信区间 内，表示母体平均数（ ）与 假设值（ 0）间没有统计上显 著的差别，无法拒绝虚无假设 如果假设值（ 0）在置信区间 外，表示母体平均数（ ）与 假设值（0 ）间确实有统计上 显著的差别，拒绝虚无假设
Z 2 1.96
99%置信区间的临界值：
Z 2 2.575
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• 例：某校领导宣称该校学生 的平均智商为122分。随机抽 样256位学生，样本平均数为 120分，样本标准差为10分。 这个差别是因为抽样误差所 造成的吗？或者两者间真有 差别？
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二、假设检定 • 假设检定的三种方法： –置信区间检定法 –临界值检定法 –p 值检定法
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一、置信区间与统计估计
• 统计估计可分为 –点估计（point estimate） –区间估计（interval estimate ）
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母体平均数的区间估计 –区间估计的逻辑是以概率 抽样方法自母体抽取一个 样本，计算其平均数 x ， 依照所要的置信系数（或 显著水平） ，加减 K 个 s N 而得到上下区间
z 2
拒绝区 接受区
z 2
z
拒绝区
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设立决定规则（p 值检定法 ）： –如果 p ，无法拒绝虚无 假设 p –如果 ，拒绝虚无假设
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– 因为 p 0.0014小於 0.05 ， 当显著水平为0.05时，该校学 生的平均智商在统计上与122分 有显著地不同，拒绝虚无假设 – 结论是校领导的宣称是错的， 该校学生的平均智商不是122分 – 这个结论和置信区间检定法或 临界值检定法所得的结论相同
/2
/2
z 2
拒绝区 接受区
z 2
拒绝区
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３）设立决定规则： –如果 z z 2 ，我们就无法 拒绝虚无假设 –如果 z z 2 ，我们就拒绝 虚无假设
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４）计算检定数据
x 0 120 122 z 3.2 s n 10 256
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５）结论 –因为 z 大於 z 2 ，表示在显 著水平为0.05之下，该校学生 的平均智商在统计上与122分 有显著地不同。拒绝虚无假设 –结论是校领导的宣称是错的， 该校学生的平均智商不是122 分。这个结论和置信区间检定 法所得的结论相同
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中央极限定理（central limit theorem）
– 自某一母体中抽样，假定所有样本为 n 的样本都被抽出来（也就是有 K 套样本 ）并计算其平均数（ x ），在样本数够 大的情况下，这 K 个样本平均数会形成 正态分布，而且这些样本平均数的平均 x）会等於母体平均数（ ），这些 数（ 样本平均数的标准差（标准误 sx）会等 於 N
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• 值：代表“不包含”母体 特性的概率，也就是结论是错 误的概率。又称为显著水平 （significance level） –在95%的置信系数下， = 1 – 0.95 = 0.05 –在99%的置信系数下， = 1 – 0.99 = 0.01

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• “临界值”（critical value）: 与 值相对应的 z 值 95%置信区间的临界值：
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中央极限定理 （central limit theorem）
• 样本平均数的抽样分布（sampling distribution of sample means） • 样本平均数的平均数(The Mean of the Sampling Distribution of Means, x ) • 标准误（ sx , standard error)：样 本平均数抽样分布的标准差
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• 双尾检定： p 值检定法 –以学生平均智商为例，我 们已知 z 3.2 – 此处的 p 值指的是 z 3.2 的 概率，也就是 z 3.2与 z 3.2 的概率合 – p 值为是0.0014（ 0.0007 2）
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• 双尾假设检定的“拒绝区”与“接 受区”: p 值检定法
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• 因不知母体标准差（）。如果样本 数够大，我们可以样本标准差（s） 来作为母体标准差（ ）的估计值 ,
x z 2 s n
所以置信系数为 1 的置信区间
或是
s s , x z 2 x z 2 n n
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正态曲线面积分布
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正态曲线下的概率分布
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• 置信区间检定法的逻辑是：如果母 体的平均数等於 0 ，则所观测到
的样本平均数 x 应非常接近。 • 因此，我们可以 x 来建构置信区 间，在一定的置信系数下（如 95%），如果假设值在置信区 间内，表示母体平均数（ ）
与假设值（ 0 ）间没有统计上 显著的差别
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• 例：某厂商要测试所生产的盒 装果汁容量是否是16 oz 。随 机抽样1024盒，样本平均数为 16.1 oz ，样本标准差为1.6 oz, 厂商的结论为何？