衍射光栅 PPT课件

5d sin m m 1,2, ,4,6, ,9,11,
I/I
A4
A3
A5
A2
A1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 k 结论 (1) 对五缝干涉，相邻两主极大间有4个极小，3个次极大。 (2)主极大光强是相应位置处单缝引起光强的 52 倍。
P •x
o
f
结论：
屏上的强度为单缝衍射和缝间干 涉的共同结果。
2 1
0
1
2k
只考虑单缝衍射强度分布
1 I I0
6
3
0
3
6k
只考虑双缝干涉强度分布
1 I I0
1
0
1
k
双缝光栅强度分布
二. 多缝干涉
1. 五缝干涉例子
L
P
主极大角位置条件
o
d sin k
ab
k 0,1,2,
f
k 称为主极大级数
sin
0.2，
11.540 第四级为第一次出现的缺级。求：
(1)a+b (2). 缝宽 a (3). 实际呈现的级数
解：(1)、(a b)sin k
明纹条件：(a b)sin k k (a b)sin
能看到最多级 sin 1 900
k
ab
1.54 10 6 43 10 8
3.6
k取整数，k 3
又 缺级
k a b k 2k' a
故2,4,6……缺级
所以实际看到 0,1,3
例题3.
已知
6000
0
A
光垂直入射光栅，k=2的明纹出现在
1 51.190
sinwk.baidu.com2
37 1.54
10 7 10 6
1.36
1
900
对于k=3红光级不存在。那么，对于白光k=3能看到的光谱的
波长为：
sin 1
900
ab
1.54 10 6
5.133 107 m
5133
0
A
在绿光附近
k
3
(2).对于 4300 A0 光入射,能看到衍射条纹的级数
3.相控阵雷达的优点
(1)无机械惯性，可高速扫描，一次全程扫描仅需几s。
(2)由计算机控制可形成多种波束，同时搜索、跟踪多个目 标。
(3)不转动、天线孔径可做得很大，从而有效地提高辐射功 率、作用距离、分辨率。
4.应用 我国和世界上许多大国都拥有相控阵雷达， · 军用(如“爱国号”导弹的雷达)
·设在美国鳕角(Cape cod)的相控阵雷达照片(阵列宽31m，有 1792个辐射单元，覆盖240o视野。能探测到5500公里范围内 的10m2大小的物体。用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星。)
零级主极大的衍射角 也连续变化，从而实现扫描。
·频率控制扫描
也可以固定相位差而连续改变来改变，实现扫描。
2.回波接收 靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收。改变相位差 就能接收来自不同方位的波束。然后用计算机处理，提供靶目 标的多种信息—大小，速度，方位 实际的相控阵雷达是由多 个辐射单元组成的平面阵列，以扩展扫描范围和提高雷达束强 度。
求 (1) 光栅狭缝可能的宽度； (2) 第二级主极大的半角宽度。
解 (1) 光栅常数 a b 1 1102 mm
100
第四级主极大缺级，故有 4 k a b
1 k 4
a
k 1 时 a a b 1102 2.5103 mm
4
4
k 2 时，第二级主极大也发生缺级，不符题意，舍去。
第四节 衍射光栅
一. 衍射光栅
1. 光栅 — 大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件
透射光栅
反射光栅
2 . 光栅常数d
d ab
光栅宽度为 l ，每毫米缝数
为 m ，则总缝数
N ml
a 透光宽度 b 不透光宽度
3. 光栅衍射的基本特点
1 I I0
以二缝光栅为例 x
s2
d s1 a
d 3a
故2,4,6……缺级
所以实际看到 0,1, 3
(2). 入射光以i入射
i
(a b)sin i (a b)sin
(a b)(sini sin) k
i 300
看到最多 sin 1 900
sin 1
k
(a
b)(1 sin 300 )
2106 3 2
59 108
5.08
sin 1
m 1 m 0 m 1
N 5缝干涉强度分布
I
81I0
m 1 m 0 m 1
N 9缝干涉强度分布
三. 光栅的夫琅禾费衍射
1. 单缝衍射和缝间干涉的共同结果
N 1
N 5
N 2
N 6
N 3
N 20
几种缝的光栅衍射
2. 光栅方程 缝间干涉主极大就是光栅衍射主极大，其位置满足
d sin k
0
(2). 对于 4300 A光入射,能看到衍射条纹的级数？
解：
(1). 白光波长范围
0
0
4000A ~ 7000A
1 6500 ab
a b 1 cm 1.54106 m 6500
k 3
sin 3
ab
0
紫光 4000 A
sin 1
3 410 1.54 10
7 6
0.7792
0
红光 7000 A
d sin
相邻两缝在 P点引起的光振动相位差为
δ 2π d sin 2kπ
A
主极大强度
I A2 52 I
5A A
A 为主极条件下单缝在 P 点引起光振动矢量的振幅
暗纹条件
各缝光振幅矢量: A1, A2, A3..., A5 相邻矢量相位差: δ 2π d sin
暗纹条件 5δ 2mπ
缺级
单缝衍射
光栅光谱
单缝衍射 缝间干涉
暗 明纹 明 加强
暗 暗纹
暗 减弱
4. 暗纹条件 光栅衍射中，两主极大条纹之间分布着一些暗纹，这是缝
间干涉相消而成。
设光栅总缝数为 N，各缝在观察屏上某点 P 引起的光振动
矢量为
rr
r
r
E1 , E2 , L , Ei , L , EN
当这些振动矢量组成的多边形封闭时，合矢量为零，对应点 为暗纹，则
k 3 时， a a b 3 1102 3 7.5103 mm
4
4
符合题意的缝宽有两个，分别是2.5×10-3 mm 和2.5×10-3 mm
(2) 光栅总的狭缝数
N
D ab
10 102
103
设第二级主极大的衍射角为 2N ，与该主极大相邻的暗纹 ( 第2N +1 级或第2N - 1 级 ) 衍射角为 2N -1 ，由光栅方程
2. N 缝干涉
对N 缝干涉两主极大间 有N - 1个极小， N - 2 个次极大。
衍射屏上总能量 E N 主极大的强度 I N 2
由能量守恒，主极大的
宽度 1 N
随着N 的增大，主极 大变得更为尖锐，且 主极大间为暗背景
I 4I0
m 1 m 0 m 1
N 2缝干涉强度分布
I 25I0
设在澳大利亚Sydney大学的一维射电望远镜阵列 (N=32，
=21cm，a = 2m，d = 21m，阵列长213m)
民用，如地形测绘、气象控测、导航、测速(反射波的多普 勒频移)、
设在澳大利亚Sydney大学的一维射电望远镜 阵列 (N=32，=21cm， a = 2m，d = 21m， 阵列长213m)
暗纹条件
N δ 2mπ
其中
δ 2π d sin
为相邻光振动矢量夹角
Nd sin m m 1,2, , N 2, N 1, N 1, N 2
例 设光栅常数为 d ，总缝数为 N 的光栅,当入射光波长为
时，分析其夫琅禾费衍射主极大条纹角宽度与 N 的关系。
解 暗纹位置满足条件
N (a b)sin m
k 0,1,2,3, — 光栅方程
3. 缺级条件分析 多缝干涉主极大光强受单缝衍射光强调制，使得主极大光
强大小不同，在单缝衍射光强极小处的主极大缺级。
缺级条件
d sin k
asin k
sin k a k d
k kd a
k 1,2,3,
d a 2 k 2,4,6 缺级 如 d a 3 k 3,6,9 缺级
k (a b)(1 sin 300 )
2106 ( 1)
2 59 108
1.69
取k=5 取k=-1
考虑缺级,实际看到 -1,0,1,3,5
由斜入射的光栅方程知：
d (sin sin ) k
k确定时，调节 i，则 相应改变。
p
例如，令k = 0
N
则 dsin = dsin B
相邻入射光的相位差
m 1,2, , N 1, N 1,
第 k 级主极大相邻的两暗纹有
m kN 1
Nd sin kN1 (kN 1)
m kN 1
Nd sin kN1 (kN 1)
Nd (sin kN1 sin kN1) 2 NdcoskN1(kN1 kN1) 2
第 k 级主极大角宽度
k kN1 kN 1
(2). 光以入射角射至光栅，最多有几级明纹？
解：(1) 1 5000
ab
a b 1 cm 2106 m 5000
明纹条件：(a b)sin k k (a b)sin
能看到最多级 sin 1 900
k
ab
2 10 6 59 10 8
3.4
k取整数k 3
又 缺级
k a b k 2k' a
2 Ndcos明k
N 越大，主极大角宽 度越小，条纹越细。
四. 光栅光谱及分辨本领
1. 光栅光谱
-3级
白光的光栅光谱
3级
-2级 -1级 0级 1级
2级
2. 光栅的色分辨本领 ( 将波长相差很小的两个波长 和+ 分开的能力 )
色谱仪的色分辨率 R
光栅的色分辨率
设两波长1 和2 = 1+ 在第k 级刚好能被光栅分辨，则有
解 (1) d sin k
d
1 600 103
1 105 6
m
kmax d
6
105 4.8 107
3
(2) d (sin sin30o ) k
当 = 90o 时 kmax 5 当 = -90o 时 kmax 1
说明 (1) 斜入射级次分布不对称
(2) 斜入射时，可得到更高级次的光谱，提高分辨率。 (3) 垂直入射和斜入射相比，完整级次数不变。
上题中垂直入射级数 k 3,2,1, 0,1, 2, 3 斜入射级数 k 1, 0,1, 2, 3, 4, 5
(4) 垂直入射和斜入射相比，缺级级次相同。
d (sin sin ) k a(sin sin ) k'
k k d k 1,2,3, a
例 每毫米均匀刻有100条线的光栅，宽度为D =10 mm，当波 长为500 nm的平行光垂直入射时，第四级主极大谱线刚好 消失，第二级主极大的光强不为 0 。
d sin 1,k k1 d sin 2,k k2
d cos1,k1,2,k k (1) 其中 1,2,k 2,k 1,k
根据瑞利判据：当 1,2,k 1,k 时刚能分辨
1,k 为波长1第k 级主极大半角宽度，且
1,k
Nd cos1,k
(2)
由(1) 、(2) 得
R kN ( 光栅的色分辨本领 )
a sin θ
asin
2π dsin 2π dsin
sin
2πd
上式表明：改变相位差即可改变零级衍射光的方向(此结论 就是“相控阵雷达”的基本原理)。
* 相控阵雷达
d
移
相
微波源
器
辐射单元 一维阵列的相控阵雷达
图示为一维阵列的相控阵雷达。
靶目标
n
1.扫描方式 ·相位控制扫描 用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的位相差，则
讨论
增大主极大级次 k 和总缝数 N ，可提高光栅的分辨率。
五. 斜入射的光栅方程
主极大条件
A
p
d (sin sin ) k
N
k = 0, 1, 2, 3…
缺级条件
a(sin sin ) k' d (sin sin ) k
B
a sin θ
asin
最多明条纹数 (π π )
2
2
及暗纹公式有
N (a b)sin 2N 2N
N (a b)sin 2N1 (2N 1) 代入数据后，得 2N 5.739 2N1 5.742
第二级主极大的半角宽度
2N1 2N 0.003
例题1.
已知光栅5000条/cm，
0
5900A
，缝宽 a 1106 m。求：
(1). 光垂直入射光栅，最多有几级明纹？
kmax
d
(sin
π 2
sin
)
kmax
d
(sin
-
π 2
sin
)
N kmax kmax 1
例 一束波长为 480 nm 的单色平行光，照射在每毫米内有600 条刻痕的平面透射光栅上。
求 (1) 光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱？ (2) 光线以 30o入射角入射时，最多能看到第几级光谱？
设在美国鳕角(Cape cod)的相控阵雷达照片( 阵 列 宽 31m ， 有 1792 个 辐 射 单 元 ， 覆 盖 240o 视野。能探测到5500公里范围内的10m2大小
的物体。用于搜索洲际导弹和跟踪人造卫星 。)
例题2. 已知光栅6500条/cm，白光垂直入射，缝宽 a 7.7107 m 求：(1). 第三级谱线的衍射角？