高等数学公式 极限与导数

两个重要极限

第一个重要极限：1sin lim 0=→x

x

x

推论：0tan lim 1x x x →=，0arcsin lim 1x x x →=，0arctan lim 1x x x

→=

第二个重要极限：1

lim(1)x x e x

→∞

+=

其他形式：()10

1lim(1),lim 1x

x n n e x e n

→∞→+=+=

推论：00log (1)1lim

ln ln(1)

lim 1x a x x a x x

x →→++⇒==

0011lim ln lim 1x x x x a a e x

x →→--⇒==

等价无穷小

当1x →时，ln 1x x - （这个等价无穷小很有用。） 证明：ln ln[1(1)]1x x x =+-- （10x -→ ）

导 数

高阶导数

函数f (x )在点x 0注 如果函数f (x )在点x 0处的二阶可导，则函数f (x )在点x 0的某个邻域内必须有连续的导数

()f x '。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

()

()

()()

k k n n

k k n n v u C uv -=∑=0

或

()

()()

(1)...(1)()

!n

n n k k k n n n k uv u v k -=--+=∑

求导法则和方法

导数的四则运算法则

和差的导数：()u v u v '''±=±

乘积的导数：()uv u v uv '''=+ 特例：()Cu Cu ''=

商的导数：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 特例：2

1v v v '

'⎛⎫=- ⎪⎝⎭

复合函数的求导法则（链式法则） 设()y f u =和()u x ϕ=可导，则

dy dy du dx du dx =⋅ 或 ()()dy

f u x dx

ϕ''=⋅ 或 {[()]}[()]()f x f x x ϕϕϕ'''=⋅

复合函数的二阶导数

设()y f u =和()u x ϕ=二阶可导，则复合函数(())y f x ϕ=也二阶可导，且

2222222

()d y d y du dy d u dx du dx dx dx =⋅+⋅ 或 2

(())()(())()y f x x f x x ϕϕϕϕ''''''''=+

反函数的求导法则 设()y f x =是单调的可导函数，则其反函数1

()x f

y -=也可导，且

1dx dy dy dx

= 或 1

1()()()

f y f x -'='（其中()y f x =）

参数方程求导公式 参数方程()()x x t y y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

确定的函数()y y x =的导数：()()y t dy dx x t '='

二阶导数： 2

23(

)()()()()()()

t

dy d y y t x t y t x t dx dx x t x t '

''''''-=='' 三阶导数：2323()()

t

d y d y

dx dx x t '

='

隐函数求导公式 方程(,)0F x y =确定的隐函数()y y x =的导数：

x y

F dy

dx F =- 二阶导数：22223

2xx y xy x y yy x y F F F F F F F d y

dx F -+=-

xuxz 2010-7-14