2018高中数学人教b版选修2-3教学案：2.1.3 超几何分布 含解析

2．1.3 超几何分布

[对应学生用书P24]

从含有5件次品的100件产品中任取3件．问题1：这100件产品可分几类？

提示：两类：次品和非次品

问题2：取到的次品数X的取值有哪些？

提示：0、1、2、3.

问题3：求次品数X＝2的概率．

提示：P(X＝2)＝C25C195 C3100

.

超几何分布

设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时

的概率为P(X＝m)＝C m M C n－m

N－M

C n N

(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)称离散型随机

变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．

1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆公式，应在理解的

前提下记忆．

2．超几何分布概率公式有一个显著的特点：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下标，分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标．3．凡类似“在含有次品的产品中取部分产品，求所取出的产品中次品件数的概率”的问题，都属于超几何分布的模型．

[对应学生用书P24]

[例1] 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？

[思路点拨] 先找出计算公式中的N，M，n再代入计算．

[精解详析] 50箱的一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中的不合格品的箱数”，则X服从超几何分布，其中参数N＝50，M＝2，n＝5.

这批产品被接收的条件是x＝0或1，所以被接收的概率为

P(X≤1)＝C02C548

C550

＋

C12C448

C550

＝

243

245

.

即该批产品被接收的概率是243 245

.

[一点通]

求超几何分布的分布列的步骤如下：

(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N ，M ，n 的值；

(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

(3)用表格的形式列出分布列．

1．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )

A.27

B.38

C.37

D.928

解析：C 23·C 15＋C 33C 05C 38

＝27. 答案：A 2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，

至多有1本语文课本的概率是57

，则语文课本共有( ) A ．2本

B ．3本

C ．4本

D ．5本

解析：设语文书n 本，则数学书有7－n 本(n ≥2)．

则2本都是语文书的概率为C 2n C 07－n C 27

＝27， 由组合数公式得n 2－n －12＝0，解得n ＝4.

答案：C