第九章方差分析报告与实验设计
3. 四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相 等的证据也就越充分
4. 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就 越充分
如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4 四个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为、差为2的
同一正态总体
f(X)
X
1 2 3 4
若备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全 相等
至少有一个总体的均值是不同的 四个样本分别来自均值不同的四个正态总体
f(X)
X
3 1 2 4
四、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1、 2、 、 k 表示
第1步：选择【工具】下拉菜单，并选择【数据分析】选项，
第2步：在分析工具中选择【单因素方差分析】，然后单击 【确定】 ，
第3步：当对话框出现时， 在【输入区域】方框内输入数据单元格区域A3：D9。 在【a】方框内输入0.05（可根据需要确定。 在【输出选项】中选择优输出区域。
结果如图9-6
图9-6 用XExcel 进行方差分析的步骤
i1
组 内 平
旅游业：
6
(x2i x2)2 924
i1
SSE=700+924 +434+650
=2708
方
和
5
航空公司： (x3i x3)2 434
i1
家电制造业： 5 (x4i x4)2 650
i1
于是： ST=SSE+SSA
（4）计算统计量
SST的自由度为n-1； SSA的自由度为k-1； SSE的自由度为n-k。
2、构造检验的统计量
（1）计算各样本均值
ni
xij
xi
i1
ni
(i 1,2,
,k)
对表9-1中数据计算各行业均值
（2）、计算全部观测值的总均值
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1 i1
n
n
（3） 计算各误差平方和
总平方和：
k ni
SST
(xij x)2
表9-6 Excel输出的方差分析结果
三、关系强度的测量
当组间方差不为0时就意味着变量之间有关系，特别的当 SSA大于SSe时，而且达到一定程度，就意味着两个变量 之间的关系显著，大得越多他们之间的关系就越强。
关系强度（判定系数）： R 2 SSA
SST 前例中的数据：
R 2 S S A 1 4 5 6 .6 0 8 6 9 6 0 .3 4 9 7 5 9 3 4 .9 7 5 9 % S S T4 1 4 6 .6 0 8 6 9 6
FM SA485.5362323.406603 M SE142.526316
3、统计决策
拒绝域
F
F F 拒绝原假设，表明确有显著性差异；F F
接受原假设，表明差异不显著。
4、方差分析表
表9-4 方差分析表的一般形式
表9-5 四个行业被投诉次数的方差分析表
5、用Excel进行方差分析
【例】：
为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零 售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同 的企业作为样本，每个行业中抽取的这些企业，假定他 们在服务对象、服务内容、企业规模等方面基本上是相 同的。然后统计处最近一年消费者对总共23家企业投诉 的次数，结果如表10-1
表9-1
消费者对四个行业的投诉次数
3
4
7. H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
§9.2 单因素方差分析 (one-way analysis of variance)
一、数据结构
表9-2 单因素方差分析的数据结构
二、分析步骤
1、提出假设
H 0 :1 2 k自变量对因变量没有显著性影响
H 1 :1 ,2 , ,k不全相等，自变量对因变量有显著影响
2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如 下假设：
3. H0: 1
2… k
4. H1: 1 , 2 , ， k 不全相等
5. 设 1为零售业被投诉次数的均值， 2为旅游业被 投诉次数的均值， 3为航空公司被投诉次数的均值， 4为家电制造业被投诉次数的均值，提出实验设计
§9.1 方差分析引论 §9.2 单因素方差分析 §9.3 双因素方差分析 §9.4 实验设计初步
§9.1 方差分析引论
一、方差分析及其有关术语
方差分析（analysis of variance ,ANOVA) ; 通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自 变量对数值型因变量是否有显著影响。
各平方和自由度的比值称为均方（mean square):
M S A S S A 1 4 5 6 .6 0 8 6 9 6 4 8 5 .5 3 6 2 3 2 k 1 4 1
M S SS S E2 7 0 8 1 4 2 .5 2 63 1 6 n k 2 3 4
FM SA~F(k1,nk) M SE
i1 j1
(5747.869565)2 (5847.869565)2
4164.608696
组 间
k
SSA ni(xi x)2 i1
间
7(4947.869565)2 5(5947.869565)2
平
方
1456.608696
和
7
零售业： (x1i x1)2 700
问题：四个行业之间服务质量是否有显著性差异
因素(或因子factor):检验对象
水平（或处理treatment）：因素的不同表现。
单因素方差分析：一个因素即一个分类型变量， 一个数值型因变量 。
二、方差分析的基本思想和原理 1、图形描述
被投诉次数
80 70 60 50 40 30 20 10 0
0
1
2 行业 3
4
5
图10-1 不同行业投诉次数的散点图
2、误差分解
总误差 （SST）
组内误差 （SSE）
3、误差分析
组间误差 （SSA）
三、方差分析中的基本假定 1、每个总体都服从正态分布； 2、各个总体的方差必须相同；
3、观测值是独立的。
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的 四个正态总体的均值是否相等
第9章 方差分析
第九章 方差分析教学目的：理解方差分析的一般原理；掌握完全随机设计和随机区组设计方差分析的步骤；熟悉事后检验方法。
教学重点：完全随机化设计和随机区组设计类型的方差分析，事后检验。
教学时数：8学时Z 、t 检验用于两组样本平均差异的显著性检验，是通过检验两组样本平均值间的差异来推论各自代表的两总体均值的差异。
但在实际工作中，我们有时需要同时对多于两个的总体平均数有无显著性差异作出检验，如下例：例：某研究者设计了三种不同的教学方法，为比较三种方法有无优劣之分，他随机抽取了三组被试，每组6人，各组分别接受一种教法的教学，学习同一种材料，学完之后进行统一测试，测得结果如下，问这样的结果是否支持三种教学方法有无优劣之分。
对于这样一种多个总体平均数差异的显著性检验问题，似乎可用Z 、t 检验分别两两成对比较，但是我们不能忘记统计决策是有犯错误的风险的，在对两个总体平均数作检验时，犯弃真错误(Ho 为真，拒绝)的概率为α，结论正确的概率为1-α，比较次数会随着总体的增多而迅速增大，如此例，323==C n ，那第连续三次都正确的概率为3)1(α-，结论出错的概率为3)1(1α--，这个值>α，不符合我们希望在一次检验中犯弃真错误的概率为α的要求了。
因此，在对多个总体平均数作显著性检验时，采用Z 、t 检验两两逐对比较并不是一种理想的方法，另外，从检验工作量来说，平均数个数增多，两两比较次数迅速增多，工作量增大。
本章所介绍的方差分析，又称作变异数分析（Analysis of Variance ，缩写为ANOV A ）,就是一种用于多个总体平均数差异显著性检验，既不增加犯错误的概率，又不加大工作量的一次性通盘检验方法。
因对平均数的检验是通过对方差的分析比较进行的，故称方差分析。
方差分析是统计学中一种独特的假设检验方法，多个总体平均数差异显著性检验是其基本功能，但其功能不仅仅如此，还可以用于两种以上实验处理的数据分析（包括同时在多个不同方向上分别进行各向内多个平均数之间的比较，还可侦查不同方向因素之间有无交互作用）。
第九章方差分析
四、方差分析中的符号
K=处理条件或组数 n或nj =每一个组的被试数 N=总被试数
方差分析的符号
X或X ij 各组的每一个原始得分 X 或 X j 各组的平均分 X T 总平均分
X 或 X 各组数据求和
i 1
n
X或 X 所有组数据求和
j 1 i 1
k
n
五、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设 （二）方差的可分解性
六、方差分析的基本过程与步骤
平方和
自由度 均方 F值 查F值表进行F检验并做出决断 方差分析表
七、方差分析的基本假定
八、方差分析中的方差齐性检验 九、与方差分析有关的实验设计问题
在B2水平上，A1与A2均值差异的F检（A的主效应）
方差分析与两样本平均数t、Z检验有何异同？
t、Z-test 方差分析 相同点 平均数差异显著性检验、总体呈正态或近似正态分布、 各组方差齐性、等距或等比数据 不同点 一个或两个平均数差异检验 多个平均数差异检验 利用平均数的差 利用平均数的方差与误 差方差 利用统计量F 利用统计量t、 Z
第二节 单因素完全随机设计的方差分析
一、各实验处理组样本容量相同
二、各实验处理组样本容量不同
三、利用样本统计量进行方差分析
第三节 单因素随机区组设计的方差分析 一、单因素随机区组设计的基本模式
二、单因素随机区组设计的方差分析过程
三、单因素重复测量实验设计的方差 分析
第四节 多因素完全随机设计的方差分析
三、方差分析中的几个概念 因素：实验的自变量。
单因素、二因素、多因素
水平：某一因素的不同情况。 处理：由因素与水平构成的各种组合情况。
第9章 方差分析
第九章方差分析➢学习目标◆了解方差分析的一般原理◆掌握方差分析的步骤◆掌握事后检验方法➢学习内容◆方差分析的一般原理◆完全随机设计方差分析◆多因素方差分析◆随机区组方差分析◆事后检验➢方差分析的基本原理及步骤方差分析又称变异分析，其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总变异贡献的大小，从而确定实验中自变量是否对因变量有重要影响。
◆方差分析的基本原理:综合的F检验（1）综合虚无假设和部分虚无假设主要处理两个以上的平均数之间的差异检验问题。
研究为多组实验设计，需要检验的虚无假设是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。
设定虚无假设为，样本归属的所有总体平均数都相等，一般把这一假设称为“综合的虚无假设”（方差分析）。
组间的虚无假设相应的就称为“部分虚无假设”（事后检验）。
◆方差分析的基本原理:综合的F检验（2）方差的可分解性方差分析依据的基本原理就是方差（或变异）的可加性原则。
确切的说应该是方差的可分别性。
方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。
不同强度噪音下解数学题犯错误频数由于被试分组是随机分派，个体差异及实验误差带有随机性质，因而组内变异与组间变异相互独立，可以分解。
方差分析中组间均方和组内均方分别表示为：平方和的大小与项目数有关（即k 或n ）。
方差分析中组间变异与组内变异的比较不能直接比较各自的平方和，必须将项目数的影响去掉求均方。
比较组间均方与组内均方要用F检验。
方差分析关心的是组间均方是否显著大于组内均方。
如果组间均方小于组内均方，无须检验其是否小到显著性水平，因而总是将组间均方放在分子位置，进行单侧检验。
即F> 1 且落入F分布的临界区域说明数据的总变异基本上由不同的实验处理所造成，或者说不同的实验处理之间存在着显著差异。
◆方差分析的过程（1）求平方和为了简便，一般直接从原始数据计算平方和：◆方差分析的过程（2）计算自由度（3）计算均方◆方差分析的过程（4）计算F值（5）查F值表进行F检验并作出决策（6）陈列方差分析表◆方差分析的基本假定进行方差分析时，数据必须满足几个假定条件，否则得出的结论可能产生错误。
统计学第九章双因素和多因素方差分析
F0.95(4,27)≈F0.95(4,30)=2.690, F0.99(4,27)≈F0.99(4,30)=4.018,
∴FA,FB均达极显著，标上“* *”，FAB只达显著，标上 “*”。因此酒精产量不仅与原料和温度的关系极显著，与它 们的交互作用也有显著关系。即对不同原料应选用不同的发酵 温度。
发酵实验方差分析表
变差来源 平方和
原料A 温度B
AB 误差
总和
1554.18 3150.50 808.82 1656.50
7170.00
自由度
2 2 4 27
35
均方
777.09 1575.25 202.21 61.35
F
12.67** 25.68** 3.30*
F测验
查 F 分 布 表 ， 得 ： F0.95(2,27)≈F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)≈F0.99(2,30)=5.390,
┆
…
┆
Aa 和
ya11 ya12 ┆ ya1n
y.1.
ya21 ya22 ┆ ya2n
y.2.
… …
yab1 yab2 ┆ yabn
y.b.
和 y1..
y2.. ┆ ya.. y…
（二）观测值的描述
对于上表中的每一个观测值可用线性统计模型描述
第9章 心理统计方差分析
2684842 . 3072727 .
2
( X ) 2 N
df B 3 1 2 dfT 22 1 21 dfW 21 2 19 F SS B df B 1939 43 . 1.37 SSw df w 1413 08 .
三、利用样本统计量进行方差分析
例9-2 有人研究自尊与对个人表现的反馈类型之间的
关系。让15名被试参加一项知识测验，每组各5名被 试。在积极反馈组，不管被试在测验中的实际表现如 何，都告诉他们水平很高。对消极反馈组的被试，告 诉他们表现很差。对控制组的被试，不管测验分数如 何，都不提供任何反馈信息。最后，让所有的被试都 参加一个自尊测验，测验总分为10分，得到的分数越 高，表示自尊心越强。实验结果如下表所示，试检验 不同反馈类型与自尊之间的关系如何？
（三）计算均方
SS B 258.67 MS B 129.34 df B 2 MSW SSW 24 2.67 dfW 9
（四）计算F值
MS B 129 .34 F 48 .44 MS W 2.67
（五）查F值表进行F检验并做出决断
单侧检验 查 F0.05(2，9）＝4.26; F0.01(2，9）＝8.02;F> F0.01 P <0.01拒绝H0；可认为三组处理之间 总体均数的差别有统计学意义
平方和除以自由度所得的样本方差可作为ห้องสมุดไป่ตู้其总体方差的无偏估计
则，组间方差和组内方差为：
MS组间B MS组内W
SSB dfB SSW dfW
公式9-6
公式9-7
自由度
组间自由度
dfB=k-1 组内自由度 dfW=k(n-1) 总自由度 dfT=nk-1
统计学第九章 双因素和多因素方差分析
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：df =abn-1
T
A因素处理间自由度：df =a-1
A
B因素处理间自由度：df =b-1
B
交互作用自由度：df =(a-1)(b-1)
AB
处理内自由度：dfe=ab(n-1) df =df +df +df +dfe
a b i=1 j =1
n
2
SSe= ∑∑∑yijk
i=1 j =1 k =1
a
b
2
1 a b 2 − ∑∑yij• = SST − SSA − SSB − SSAB n i=1 j=1
（五）各项均方的计算
MS
T
SS T SS T = = df T abn − 1
MS
A
SS A SS A = = a -1 df A
x9
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 33.5** 30.5** 29.75** 22** 19** 11.5 2.75 2.5
x8
31** 28** 27.25** 19.5** 16.5** 9 0.25
x7
30.75** 27.75** 27** 19.25** 16.25** 8.75
A因素误差平方和
SSA = bn∑(yi•• − y••• )
i=1
a
2
B因素误差平方和 SSB = an∑(y• j• − y••• )
b j=1
2
AB交互作用误差平方和
SSAB = n∑∑(yij• − yi•• − y• j• + y••• )
第九章 两因素方差分析
3.93 4.11
15.41 16.11
3 1 2 33.5** 22.0**
2 11.5*
第三节 随机模型
1、线性统计模型
xijk i j ij ijk
2 2 2 var(xijk ) 2
H 01 : 0
A
能量消耗实验方差分析表
变异来源 相对速度A 不同时间B AB 误 总 差 和 平方和 3.9948 0.4541 8.4123 1.7902 14.6514 自由度 3 3 9 16 31 均方 1.3316 0.1514 0.9347 0.1119 F 1.42 1.35 8.35
受试时间
一
2.70 3.30 1.38 1.35 2.35 1.95 2.26 2.13
二
1.70 2.14 1.74 1.56 1.67 1.50 3.41 2.56
三
1.90 2.00 3.14 2.29 1.63 1.05 3.17 3.18
四
2.72 1.85 3.51 3.15 1.39 1.72 2.22 2.19
SSB
b 1
MS B
2 2 2 n an
SS AB
a 1b 1
abn 1
abn 1
MS AB
2 2 n
SSe
SST
MSe
2
例9.4
为了研究用不同数量的农家肥及不同农工的田间管理对
对作物产量的影响，设计了一个田间试验，结果列于下表。
SSe
SST
MSe
例9.5
下表所列出的数据是受试者在一天内
的4中时间，以4中速度工作，即正常速度的 60%，80%，100%，120%所得到的能量消耗值。 试验共有16个处理，每一处理重复2次，共 做32次实验。
第九章 方差分析506312261
第九章 方差分析第一节 方差分析的基本原理及步骤一、方差分析的基本原理假设从一个实验中抽取了9名被试的学习成绩，如表9-1所示。
随后又抽取了9名被试的学习成绩，如表9-2所示。
你能从这些数据发现什么问题吗？首先，从数据可知，不仅组与组之间存在不同，而且同一组内部也存在着不同。
前者称组间变异，后者称组内变异。
其次，从组间变异看，表9-1组间变异大于表9-2。
表9-1 第1次抽取结果表9-2 第2次抽取结果 方法 学生实验成绩 Xt X方法 学生实验成绩 Xt XA 6 5 7 6A 1 7 4 4B 11 9 10 10 7B 6 2 8 6 5C5465C3655再次，从看组内变异看，表9-1比 9-2差异小。
综上所述，表10-1组间变异较大而组内变异较小，表10-2组间变异较小而组内变异较大，组间变异大小与组内变异大小并非正比关系。
这表明，若组间变异与组内变异的比率越大，各组平均数的差异越大。
因此，通过组间变异和组内变异比率大小来推论几个相应平均数差异显著性的思想就是方差分析的逻辑依据或基本原理。
所以说，方差分析是将实验中的总变异分解为组间变异和组内变异，并通过组间变异和组内变异比率的比较来确定影响实验结果因素的数学方法，其实质是以方差来表示变异的程度。
总变异组间变异实验条件随机误差组内变异个体差异随机误差实验误差图10-1 总变异的分解图二、方差分析的基本过程（一）综合虚无假设与部分虚无假设方差分析主要处理多于两个的平均数之间的差异检验问题，需要检验的虚无假设就是“任何一对平均数”之间是否有显著性差异。
综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数都相等 备择假设：至少有两个总体的平均数不相等（二）方差的可分解性总变异 = 组间变异 + 组内变异变异（V ariance ，用V 表示）即方差（S 2），又称均方差或均方（M ean S quare ，MS ），其公式为()df SS n X X MS V S =--=∑1),(22或或其中，分子为离均差平方和，简称平方和，记为SS ；分母为自由度，记为df ，所以总变异及各变异源记为w b t MS MS MS +=总变异的数学意义是每一原始分数（X ）与总平均数（t X ）的离差，记为()tX X -组间变异的数学意义是每一组的平均数（i X ）与总平均数的离差，记为()t iX X-组内变异的数学意义是每一组内部的原始分数与其组平均数（i X ）的离差，记为()iX X -（二）总变异的分解及各部分的计算 1．平方和的分解与计算 1）平方和的定义式根据变异的可加性，任何一个原始分数都有()()()i t itX X X XX X -+-=-对容量为n 的某一小组而言，则有()()()[]∑∑-+-=-i t it X X X XX X为了使平方和不为0，须做代数的处理，即有()()()[]22∑∑-+-=-i t itX X X XX X对k 组页言，则有()()()[]∑∑∑∑-+-=-22ititX X X X X X()()()()∑∑∑∑∑∑-+--+-=222iititiX X X X X X X X ∵ ()()0=--∑∑i t iX X X X∴ ()∑∑-2tX X ()()∑∑∑∑-+-=22itiX X X X即 总平方和 = 组间平方和 + 组内平方和 或 w b t SS SS SS += 2）平方和的计算式()()nX XX X 222∑∑∑-=-总平方和：()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=nX X X X SS t t 222组间平方和：()()()∑∑∑∑∑∑∑-=-=n X n X X X SS tib222组内平方和：()∑∑-=2i wX X SS ()∑∑-=2i w X X SS b tSS SS-=例9-1：要探讨噪音对解决数学问题的影响。
第九章----方差分析
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组 间变异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起 作用。根据计算出的检验统计量F值, 查界值表 得到相应的P值, 按所取检验水准α作出统计推断 结论。
检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
1、各样本是相互独立的随机样本, 且来自 正态分布的总体;
2、相互比较的各样本的总体方差相等, 即 具有方差齐性。 独立性、随机性、正态性、方差齐性
五、方差分析的用途
1、用于进行两个或多个样本均数的比较; 2、分析两因素或多因素间的交互作用; 3、用于回归方程的线性假设检验。
六、方差分析的优点
1、不受比较组数的限制,可比较多组均数; 2、可同时分析多个因素的作用; 3、可分析因素间的交互作用.
一、多个样本均数间的比较能否用 t 检 验或 u 检验？为什么？
原因:
五个样本均数进行比较, 每次两个均数作一次 t 检验, 共需作10（C52=10）次 t 检验。若每次比 较的检验水准α＝0.05, 则每次比较不犯Ⅰ型错误 的概率为（1-α）＝0.95。当这些检验独立进行 时, 则10次比较均不犯Ⅰ型错误的概率为0.9510＝ 0.5987, 此时犯Ⅰ型错误的概率, 即总的检验水准 α变为1-0.5987＝0.4013比0.05大的多。犯Ⅰ型错 误的概率增大, 可能将原本无差别的两个总体推 断为有差别, 误判为有统计意义。因此多重比较 不宜用的 t 检验或 u检验作两两比较。
已知各组均数、标准差和样本含量时F值 的简便计算方法。
当原始数据未知, 只知各组均数、标准差和 样本含量时, 可进行如下计算, 分两种情况: 1、各组样本含量ni相等; 2、各组样本含量ni不等。
现代心理与教育统计学第九章：方差分析
（五）查F分布临界值做出判断 当dfB=2, dfW=9，设定p=0.01， 查表F0.01（2,9）=8.02，检验值是F=48.44>8.02，p<0.01。
F0.01（2,9）=8.02
（六）陈列方差分析表
变异来变源异来平源方和平方自和由度自由度均方 均方 F F p 组间 组间258.67258.672 2 129.34129.3448.4448.44*0*.01 组内 组内 24 24 9 9 2.67 2.67
组内变异区组变异msr误差变异mse由此总变异的构成由原来的两个部分演变为三个部分总变异组间或处理变异区组变异误差变异组间设计下自变量各水平下被试随机区分而在单因素组内把每个水平下被试进行了等级划分形成了组内效应区组效应
第九章 方差分析
第一节 方差分析基本原理及步骤 第二节 完全随机设计的方差分析
目 录
第三节 随机区组设计的方差分析
第四节 事后检验
第一节 方差分析基本原理及步骤
➢ 补充： 自变量（前因变量）；自变量水平 因变量（后果变量） 组间（被试间）实验设计(自：男，女。因：红色反应时) 组内（被试内）实验设计(自：红，绿。因：男红绿反应时) 混合实验设计(自：男，女；红，绿。因：男女红绿反应时) 实验组、对照组
SB S n X2 nX k2(2470 444 0 6 4 0)4 (5 3 2 2 4 0 8)2
79 6240 20 5 .68 7 12
SW S X 2 n X 2 8 1 76 9 22 4
（二）自由度的分解 总自由度为总容量减去1。本例有12个数据，所以：
思考： 1.如果想要分析A总体和B总体平均数的差异，可以用什么方法