新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时集合的交集与并集学案新人教B版

新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时集合的交集与并集学案新人教B版必修第一

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(教师独具内容)

课程标准：1.理解两个集合交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.2.能使用维恩图直观地表达两个集合的交集与并集．

教学重点：1.交集与并集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的交集与并集．

教学难点：1.交集中“且”、并集中“或”的正确理解.2.准确地找出交集、并集中的元素，并能恰当地加以表示.

【情境导学】(教师独具内容)

为了丰富学生的体育生活，发挥学生的特长，学校组建了三个体育社团：足球社团、篮球社团、排球社团．已知参加这三个社团的人数分别是200,500,400，那么，我校参加体育社团的总人数是200＋500＋400＝1100吗？如果不是，还需要一些什么条件，才能把总人数计算出来？

【知识导学】

知识点一交集

交集的运算性质：A∩B＝□02B∩□03A，A∩A＝□04A，A∩?＝□05?，A∩B＝A?□06A?□07B.

知识点二并集

并集的运算性质：A∪B＝□02B∪□03A，A∪A＝□04A，A∪?＝□05A，A∪B＝B?□06A?□07B.

从维恩图可以直观地看出，对于两个有限集，必有：

Card(A∪B)＝Card(A)＋Card(B)－Card(A∩B)．

【新知拓展】

集合的交、并运算中的注意事项

(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．

(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若A∩B＝?，则A，B至少有一个是?.( )

(2)若A∪B＝?，则A，B都是?.( )

(3)对任意集合A，B，下列式子总成立A∩B?A?A∪B.( )

(4)对于任意集合A，B，下列式子总成立A∪B＝B?A?B?A∩B＝A.( )

(5)对于两个非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．( )

答案(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×

2．做一做

(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )

A．5 B．4

C．3 D．2

(2)已知集合A＝{x|－1

A．(－1,3) B．(－1,0)

C．(0,2) D．(2,3)

(3)已知集合A＝{1,2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________. 答案(1)D (2)A (3)0

题型一求两个集合的交集与并集

例1 已知集合A＝{x|－1

[解]把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示．

由上图可得，A∩B＝{x|－1

金版点睛

集合A与B的“交”“并”运算，实质上就是对集合A与B中元素的“求同”“合并”：

(1)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.

(2)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．

[跟踪训练1]已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|－2≤x<0}，求A∩B，A∪B.

解A∩B＝{x|－1≤x<0}，A∪B＝{x|x≥－2}.

题型二简单的含参问题

例2 已知集合A＝{0,1}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}．求A∩B，A∪B.

[解]集合B是方程(x－1)(x－a)＝0的解集，它可能只有一个元素1(a＝1)，也可能有两个元素1，a(a≠1)．

①当a＝1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1}；

②当a＝0时，A∩B＝{0,1}，A∪B＝{0,1}；

③当a≠0且a≠1时，A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1，a}．

金版点睛

由于参数a的变化，集合B中的元素也在变化，即集合B是变化的集合，因此需要分类讨论；特别注意，不能把集合B写成{1，a}(因为当a＝1时，不满足元素的互异性)；可以看两集合的“交”“并”运算，应当首先弄清两集合中的元素是什么，之后再依据法则求解．

[跟踪训练2]已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，求p＋q＋r的值．

解∵A∩B＝{－2}，

∴－2∈A且－2∈B.

将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，

∴A＝{1，－2}．

∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，

∴B＝{－2,5}．

解得q＝－3，r＝－10，

∴p＋q＋r＝－14.

题型三类似于“交”“并”运算的一些新定义型问题

例3 设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M，且x?P}，根据这一规定，M－(M －P)等于( )

A．M B．P

C．M∪P D．M∩P

[解析]当M∩P≠?时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝?时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x?M}＝?＝M∩P，故选D.

[答案] D

金版点睛

题目给出了两个集合的一种运算“M－P”，其运算法则是：M－P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合，弄清法则便可以进行运算，特别是借助维恩图，使问题简捷明了.

[跟踪训练3]设A，B是两个非空集合，规定A*B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}．若A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，求A*B.

解A∪B＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{1,2}，

∴A*B＝{0,3,4}．

1．已知集合A＝{x|x是不大于8的正奇数}，B＝{x|x是9的正因数}，则A∩B＝________，

A ∪

B ＝________.

答案 {1,3} {1,3,5,7,9}

解析 由题意，知A ＝{1,3,5,7}，B ＝{1,3,9}，所以A ∩B ＝{1,3}，A ∪B ＝{1,3,5,7,9}． 2．已知集合A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是矩形}，则A ∩B ＝________. 答案 {x |x 是正方形}

解析 菱形的四边相等，矩形的四个角均为90°，四边相等并且四个角均为90°的四边形为正方形，所以A ∩B ＝{x |x 既是菱形，又是矩形}＝{x |x 是正方形}．

3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则A ∩B ＝________. 答案 {(3,1)} 解析

由题意，知

A ∩

B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4且x －y ＝2}＝

?

?????

???

?x ，y ???

???

?? x ＋y ＝4，x －y ＝2， 解???

?

?

x ＋y ＝4，x －y ＝2，

得???

?

?

x ＝3，y ＝1，

故A ∩B ＝{(3,1)}．

4．已知A ＝(－4,2]，B ＝[－2,3]，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.(用区间表示) 答案 [－2,2] (－4,3]

解析 把集合A 与B 在数轴上表示出来，如图所示．

由上图可知，A ∩B ＝[－2,2]，A ∪B ＝(－4,3]．

5．已知A ＝(a ，＋∞)，B ＝[－1,1]，若A ∪B ＝A ，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)

解析 A ∪B ＝A ?B ?A ，则a <－1，故a 的取值范围是(－∞，－1)．