高中数学必修二第四章同步练习(含答案)
4.1.1 圆的标准方程1、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（ ）A 、x 2+y 2=4B 、 x 2+y 2=16C 、x 2+y 2=2D 、()224(4)16x y -+-=2、已知圆的方程是()222(3)4x y -+-=，则点P （1，2）满足( )A 、是圆心B 、在圆上C 、在圆内D 、在圆外3、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y 轴相切，则该圆的方程是（ ）A 、()222(3)4x y -++=B 、()222(3)4x y ++-=C 、()222(3)9x y -++=D 、()222(3)9x y ++-=4、方程()22()0x a y b -++=表示的图形是（ ）A 、以(a,b)为圆心的圆B 、点(a,b)C 、(－a,－b)为圆心的圆D 、点(－a,－b5、圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )A 、(1,－1)B 、(12,－1) C 、(－1,2) D 、(－12,－1)、6、方程y=( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆7、（x-3）2 +（y+2）2 =13的周长是（ ）A B 、 C 、 2π D 、8、过点C （-1，1）和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）A 、22(2)10x y +-=B 、22(2)10x y ++=C 、22(2)10x y ++=D 、22(2)10x y -+=9、直线y=3x 绕原点按逆时针方向旋转300后所得直线与圆(x-2)2+y 2=3的位置关系是（ ） A 、直线过圆心B 、直线与圆相交但不过圆心C 、直线与圆相切D 、直线与圆没有公共点二、填空题10、如果一个圆的圆心在（2，4）点，并且经过点（0，3），那么这个圆的方程是----------------------------------------------。
11、222()()x a y b r -+-=过原点的条件是 。
12、圆()222()x a y b m -++=的圆心是_____，半径是______13、点P （x,y ）在圆x 2+y 2=4 上，则44y x --的最大值是 练习二1、过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程。
A 、()223(1)4x y -++=、B 、()223(1)4x y ++-=C 、()221(1)4x y -+-=D 、()221(1)4x y +++=2、圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（ ）A x 2+y 2=25B 、x 2+y 2=5C 、(x-3)2+(y-4)2=25D 、(x+3)2+(y+4)2=253、设M 是圆(x －5)2+(y －3)2=9上的点，则M 到直线3x+4y-2=0的小距离是（）A 、9B 、8C 、5D 、24、若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为（）A 0或2B 、2CD 、无解5、过点P （2，3）且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程是（）A 、2x+3y=4B 、x=2C 、5x-12y+26=0D 、5x-12y+26=0x=26、已知一圆的圆心为(2,－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A 、()222(3)13x y -++=B 、 ()222(3)13x y ++-=C 、()222(3)52x y -++=D 、()222(3)52x y ++-=7、平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，在圆x 2+y 2=16内所有整点中，到原点距离最远的整点可以在( )A 、直线y －1=0上B 、直线y=x 上C 、直线x+1=0上D 、直线y+3=0上80y +-=截圆x 2+y 2=4得劣弧所对的圆心角为（ ）A 、300B 、450C 、600D 、900二、填空题9、圆心为（2，-3），一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程为 、10、已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），则以P 1P 2为直径的圆的方程是11、在x 轴下方，与x 轴相切于（8，0）点，半径等于1、5的圆的方程是12、若实数x,y 满足x 2+y 2=1，则21y x --的最小值为 。
1、x 2+y 2-4x+6y=0和x 2+y 2-6x=0的连心线方程是（ ）A 、x+y+3=0B 、2x-y-5=0C 、3x-y-9=0D 、4x-3y+7=02、已知圆的方程是x 2+y 2－2x+6y+8=0，那么经过圆心的一条直线方程为( )A .2x －y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x －y －1=0 D.2x+y －1=3、以（1,1）和（2,-2）为一条直径的两个端点的圆的方程为（ ）A ｘ2＋ｙ2＋3ｘ－ｙ＝0B 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ＝0C 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ＋ｙ－25＝0 D 、ｘ2＋ｙ2－3ｘ－ｙ－25＝0 4、方程ｘ2＋ｙ2＋ａｘ＋2ａｙ＋2ａ2＋ａ－1＝0表示圆，则ａ的取值范围是（ ）A ａ＜－2或ａ＞32 B 、－32＜ａ＜2C 、－2＜ａ＜0 D 、－2＜ａ＜32 5、圆x 2+y 2+4x+26y+b 2=0与某坐标相切，那么b 可以取得值是( )A 、±2或±13B 、1和2C 、-1和-2D 、-1和16、如果方程22220(40)x y Dx Ey f D E F ++++=+->所表示的曲线关于y=x 对称，则必有（ ）A 、D=EB 、D=FC 、E=FD 、D=E=F7、如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限， 那么l 的斜率的取值范围是（ ）A 、[0，2]B 、[0，1]C 、1[0]2，D 、1[0]3，二、填空题8、已知方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0，当k ∈ 时，它表示圆；当k 时，它表示点；当k ∈ 时，它的轨迹不存在。
9、圆x 2+y 2－4x+2y －5=0，与直线x+2y －5=0相交于P 1,P 2两点，则12PP =____。
10、若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____11、圆的方程为22680x y x y +--=，过坐标原点作长度为6的弦，则弦所在的直线方程为 。
练习二1、若方程x 2+y 2+4kx －2y+5k=0表示圆，则k 的取值范围是( ) A,14<k<1 B .k<14或k>1 C. k=14或k=1 D.k 任意实数 2.已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是（ ）A 、(0,－1)B 、(1,－1)C 、(－1,0)D 、(－1,1)3、如果方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）所表示的曲线关于直线y=x 对称，那么必有（ ）A 、D=EB 、D=FC 、E=F D=E=F4、已知x 2+y 2+4x －2y-4=0，则x 2+y 2的最大值为( )A 、9B 、14C 、14-、14+5、圆x 2+y 2+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的点共有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6、曲线x 2+y 2关于( )对称。
( )A 、直线B 、直线y=-xC 、点(-2)D 、点0)7、圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )A.(1,－1)B.(12,－1)C.(－1,2)D.(－12,－1). 二、填空题8、圆x 2+y 2－2x －6y+9=0关于直线x －y －1=0对称的圆的方程是9、已知圆的方程x 2+y 2-8x-2y+12=0，P(1,1)，则圆上距离P 点最远的点的坐标是 。
10、三角形ABC 的三个顶点A(1,4)，B(-2，3)，C(4，-5)，则△ABC 的外接圆方程是 。
11、若两圆x 2+y 2－10x-10y=0与x 2+y 2－6x+2y-40=0相交于两点，则它们的公共弦所在直线的方程是 。
4.2.1 直线与圆的位置关系1、直线3x+4y-5=0与圆2x 2+2y 2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A 、相离B 、相切C 、相交且直线不过圆心D 、相交且过圆心2、圆x 2+y 2+2x+4-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有( )个A1、 B 、2 C 、3 D 、4 3、圆x 2+y 2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为( )A 、223B 、4-223C 、4+223 D 、0 4、若直线3x ＋4y ＋k=0与圆x 2＋y 2－6x ＋5=0相切,则k 的值等于( )A 、1或-19B 、10或-1C 、-1或-19D 、-1或195、若直线ax ＋by －1=0与圆x 2＋y 2=1相交,则点P(a,b)的位置是( )A 、在圆上B 、在圆外C 、在圆内D 、以上皆有可能6、过点P(3,0)能做多少条直线与圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10=0相切( )A 、0条B 、1条C 、2条D 、1条或2条7、若直线3x ＋4y －12=0与x 轴交 于A 点, 与y 轴于交B 点,那么OAB 的内切圆方程是( )A 、x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1=0B 、x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1=0C 、x 2＋y 2－2x －2y ＋1=0D 、x 2＋y 2－2x －2y －1=0 8、1、221y y x -=-表示的曲线为( )A 、两个半圆B 、一个圆C 、半个圆D 、两个圆二、填空题9、自圆x 2+y 2=r 2外一点P(00,y x )作圆的两条切线,切点分别为21,P P ,则直线21P P 的方程为 10、 已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l :x-y+3=0,当直线l 被C 截得弦长为32时,则a= 11、过点(1,-1)的圆x 2＋y 2=2的切线方程为________、过点(1,1)的圆(x －1) 2＋ (y －2) 2=1的切线方程为________、12、由点P(1,-2)向圆x 2+y 2-6x-2y+6=0引切线方程是13、直线L 过点(-5,-10)，且在圆x 2＋y 2=25上截得的弦长为52,则直线L 的方程为________4.2.1 直线与圆的位置关系练习二1、直线x ＋y=m 与圆x 2＋y 2=m(m>0)相切,则m=( )A 、21 B 、22 C 、2 D 、2 2、圆心为(1,－2)，半径为25的圆在x 轴上截得的弦长为( )A 、8 B 、6 C 、26 D 、343、直线x ＋y －1=0被圆x 2＋y 2－2x －2y －6=0所截得的线段的中点坐标是( )A 、 ( 21,21)B 、 (0,0)C 、 (43,41)D 、 (41,43) 4、y=x 的图形和圆x 2＋y 2=4所围成的较小面积是( ) A 、4π B 、 C 、23π D 、43π 5、曲线x 2＋y 2＋22x －22y=0关于( ) A 、直线x=2轴对称 B 、直线y=－x 轴对称C 、点(－2, 2)中心对称 D 、点(－2,0)中心对称6、在圆x 2＋y 2=4上与直线4x ＋3y －12=0距离最短的点的坐标是( ) A(56,58) B 、 (58,56) C 、 (-58,56) D 、 (-56,-58) 7、过点P(2,3)做圆C ：(x －1) 2＋ (y －1) 2=0的切线,设T 为切点,则切线长PT =( )A 、5B 、5C 、1D 、2二、填空题8、圆心在直线y=x 上且与x 轴相切与点(1,0)的圆的方程是________________.9、设圆x 2＋y 2－4x －5=0的弦的中点是P(3,1),则直线AB 的方程是___________.10、圆心在x 轴上,且过点A(3,5)和B(-3,7)的圆方程为11、在满足(x-3)2+(y-3)2=6的所有实数对(x,y)中,xy 的最大值是 4.2.2 圆与圆的位置关系1、两圆x 2+y 2-6x=0和x 2+y 2+8y+12=0的位置关系是( )A 、相离 B 、外切C 、相交 D 、内切2、两圆x 2+y 2=r 2,(x-3)2+(y+1)2=r 2外切、则正实数r 的值是( )A 、10 B 、210 C 、5 D 、5 3、半径为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是( )A 、(x-4)2+(y-6)2=6B 、(x4)2+(y-6)2=6C 、(x-4)2+(y-6)2=36D 、 (x4)2+(y-6)2=364、和x 轴相切，并和圆x 2+y 2=1外切的动圆的圆心的轨迹是（ ）A 、x 2=2y ＋1B 、x 2=－2y ＋1C 、x 2=2y ＋1D 、 x 2=2y －15、以相交两圆C 1: x 2+y 2+4x ＋1=0及C 2: x 2+y 2+2x ＋2y ＋1=0的公共弦为直径的圆的方程( )A (x －1)2+(y －1)2=1B (x ＋1)2+(y ＋1)2=1C (x ＋35)2+(y ＋65)2=45 D(x －35)2+(y －65)2=456、圆x 2+y 2+2ax ＋2ay ＋1=0与x 2+y 2+4bx ＋2b 2－2=0的公切弦的最大值是（ ） A 12 B 1 C 32D 2 7、若圆x 2+y 2=4和圆x 2+y 2+4x －4y ＋4=0关于直线l 对称，则l 的方程为( )A 、x ＋y=0B 、x ＋y-2=0C 、x-y-2=0D 、x-y+2=08、和x 轴相切，并和圆221x y +=外切的动圆的圆心轨迹方程是（ ）A 、221x y =+B 、221x y =-+C 、22||1x y =+D 、221x y =- 二、填空题9、圆C 1:x 2+y 2－6x ＋8y=0与x 2+y 2+b=0没有公共点，则b 的取值范围是______10、已知两圆C 1: x 2+y 2+4x －2ny ＋n 2－5=0，则C 2: x 2+y 2+2nx ＋2y ＋n 2－3=0, C 1与C 2外离时n 的范围是_____，与内含时n 的范围是______11、若圆x 2+y 2-2ax+a 2=2和x 2+y 2-2by+b 2=1外离,则a,b 满足的条件是12、已知两圆22222306-10x y x x y +--=++=和，则它们的公共弦所在的直线方程为______________.13、圆222212:680:0C x y x y C x y b +-+=++=与没有公共点，则b 的取值范围为______.4.3.1 空间直角坐标系1、有下列叙述：① 在空间直角坐标系中，在ox 轴上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；②在空间直角坐标系中，在yoz 平面上的点的坐标一定是（0，b ，c ）；③在空间直角坐标系中，在oz 轴上的点的坐标可记作（0，0，c ）；④在空间直角坐标系中，在xoz 平面上的点的坐标是（a ，0，c ）。
高中数学选择性必修二 第四章 数列单元检测A尖子生同步培优题典(含答案)
2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。
其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题1，2，，4，…，则是这个数列的（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成n，即可判断.【详解】，2，3，4，... ，由此可归纳该数列的通项公式为nna=，又9=，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.2．记等差数列{}n a的前n项和为n S，若52a=，25468a a a a-=，则20S=（）A．180B．180-C．162D．162-【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前n项和公式即可求出20S. 【详解】52a =，24628a a a-=，11114226840a da d a d a d+=⎧∴⎨+--=+⎩,解得11114226840a d a d a d a d +=⎧⎨+--=+⎩，2d ∴=-，110a =，201019228a ，()12020201802a a S +⋅∴==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，352620,64a a a a +==，则5S =（ ） A ．B ．C ．42D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据2664a a =，利用等比数列的性质得到3564a a =,结合3520a a +=，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到35,a a 的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求. 【详解】由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0,1n a q >>，所以35a a <， 故解得：354,16a a ==，从而公比3122,1,a q a q ==== 那么55213121S -==-，故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题. 5．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165 D ．5110【答案】A 【解析】 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题． 6．等比数列{}n a 中（ ） A ．若12a a <，则45a a < B ．若12a a <，则34a a < C ．若32S S >，则12a a < D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.7．函数()2cos 2f x x x =--{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可.【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题. 8．已知函数()cos lnxf x x x ππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】 根据()()2ln f x fx ππ+-=，采用倒序相加的方法可得2018ln S π=，从而得到2a b +=，根据基本不等式求得最小值. 【详解】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项：A 【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得a 与b 的和，从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题. 11．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式是246n a n =-，那么n S 达到最小值时n 为________. 【答案】22或23. 【解析】 【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n 即可. 【详解】246n a n =-，∴数列{}n a 是递增数列.令()1246021460n n a n a n +=-≤⎧⎨=+-≥⎩，解得：2223n ≤≤，∴22n =或23n =，则可知n S 达到最小值时n 为22或23. 故答案为：22或23. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【解析】 【详解】 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________. 【答案】31n + 【解析】 【分析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭， 设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13n n a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】32n a n =-【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j j OA B i i OA B j jSOA a S OA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得32n a n =-故答案为: 32n a n =-【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可； 若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【详解】解：选① 因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选② 因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】(1) 当1n =时，1102a =，利用1n n n a S S -=-得到通项公式，验证1a 得到答案.(2)根据{}n a 的正负将和分为两种情况，50n ≤和51n ≥，分别计算得到答案.【详解】(1)当1n =时，11=10013=102a s =-+，当2n ≥时，()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时，n n b a =，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-， 当51n ≥时，n n b a =-，123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查了利用1n n n a S S -=-求通项公式，数列的绝对值和，忽略1n =时的情况是容易犯的错误.19．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设2n n na b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+，可得证明. （2）由（1）知：2n n n ab n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明. 【详解】 （1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+ 又12a =，故112a = ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）知：2n n n a b n == ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+ ∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题. 20．设{}n a 是公比大于1的等比数列，12314++=a a a ，且21a +是1a ，3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log 2n n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）()1122n n T n +=-⋅-.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）得到2nn b n =-⋅，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >.依题意，有()21321a a a +=+，将()13221a a a +=+代入12314++=a a a 得()222114a a ++=，得24a =.联立1232144a a a a ++=⎧⎨=⎩得21111144a a q a q a q ⎧++=⎨=⎩ 两式两边相除消去1a 得22520q q -+=， 解得2q 或12q =（舍去）， 所以1422a ==， 所以，111222n n n n a a q --==⨯=，（2）因为21log 22n n n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭所以，231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①23412122232(1)22n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②，得23122222n n n T n +=++++-⨯()111212222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--.所以，数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-.【点睛】 本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =.【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩， 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n nb -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c-=∑和21n k k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n nb -=. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c-==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nn n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.。
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第四章圆与方程4.3.1 Word版含答案
空间直角坐标系
学习目标.了解空间直角坐标系的建系方式.掌握空间中任意一点的表示方法.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．
知识点空间直角坐标系
思考在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？
答案三个．
思考空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？
答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．
梳理()空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，
且有相同单位长度的数轴：轴、轴、轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系.
②相关概念：点叫做坐标原点，轴、轴、轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面．
()右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴
的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
()空间一点的坐标
空间一点的坐标可以用有序实数组(，，)来表示，有序实数组(，，)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作(，，)，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
类型一确定空间中点的坐标
例
已知正四棱锥－的底面边长为，侧棱长为，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
解因为＝＝＝，
所以各顶点的坐标分别为()，
，，
，.
引申探究
．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．
解各顶点的坐标分别为()，()，()，(－)，(，－)．。
【红对勾】高中数学(人教A版)必修二练习：第4章单元检测试题(含答案解析)
第四章检测试题时间：90分钟 分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．以点A(1，－2)，B(3,4)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝10 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝10 解析：圆心为⎝⎛⎭⎫1＋32，－2＋42，即(2,1)，r ＝12|AB|＝10，故方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.答案：D2．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A(0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B(3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB|＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．答案：C3．点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．5D ．－2解析：因为空间一点到平面xOz 的距离等于|y|，所以点P(1，－2,5)到坐标平面xOz 的距离为2.故选B.答案：B4．要使圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有( ) A ．D 2＋E 2－4F>0，且F<0 B ．D<0，F>0C ．D≠0，F≠0D ．F<0解析：令y ＝0，则x 2＋Dx ＋F ＝0.设两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝F<0，且x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时D 2＋E 2－4F>0.答案：A5．圆x 2＋y 2－4x －2y －20＝0的斜率为－43的切线方程是( )A ．4x ＋3y －36＝0B ．4x ＋3y ＋14＝0C ．4x ＋3y －36＝0或4x ＋3y ＋14＝0D ．不能确定解析：由直线与圆的位置关系可知，一定有两条斜率都为－43的平行直线与圆相切．答案：C6．如图，等腰梯形ABCD 的底边长分别为2和14，腰长为10，则这个等腰梯形的外接圆E 的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝53B ．x 2＋(y －2)2＝64C ．x 2＋(y －1)2＝50D ．x 2＋(y －1)2＝64解析：由题图易知，等腰梯形的高为102－62＝8，显然，外接圆的圆心E 一定在y 轴上，设圆心E 到下底边的距离为a ，则72＋a 2＝12＋(8－a)2，解得a ＝1.故外接圆E 的圆心为(0,1)，半径为72＋12＝52，故所求外接圆E 的方程为x 2＋(y －1)2＝50.答案：C7．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a 等于( )A ．±12B ．±22C.12或－22D ．－12或22解析：将(y ，x)代入曲线方程，得 y 2＋x 2＋a 2y ＋(1－a 2)x －4＝0. 于是1－a 2＝a 2，解得a ＝±22.答案：B8．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设圆C 2的圆心为(a ，b)．因为圆C 1的圆心坐标为(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.又因为圆C 2的半径与圆C 1的半径长相等， 所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B9．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|＝23，则k 的值是( )A ．－34B ．0C ．0或－34D.34解析：圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1，则|MN|＝24－＋2k 2＋1＝23，解得k ＝0或k ＝－34.答案：C10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13)D ．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d<r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m|5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．答案：C11．设点M(x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C ．[－2，2]D.⎣⎡⎦⎤－22，22解析：点M(x 0,1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切．据题意可设点N(0,1)，如图，则只需∠OMN≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON||MN|≥tan45°，得0<|MN|≤|ON|＝1，即0<|x 0|≤1.当M 位于点(0,1)时，显然在圆上存在点N 满足要求．综上可知，－1≤x 0≤1.答案：A12．已知线段AB 的端点B 的坐标为(m ，n)，端点A 在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，且线段AB 的中点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1，则m ＋n 等于( ) A ．－1 B ．7 C ．1D ．－7解析：设点M ，A 的坐标分别为(x ，y)，(x 0，y 0)，因为点M 是线段AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －m ，y 0＝2y －n ，又点A 在圆C 上，所以(2x －m ＋1)2＋(2y －n)2＝4，即⎝⎛⎭⎫x ＋1－m 22＋⎝⎛⎭⎫y －n 22＝1，即为中点M 的轨迹方程，又中点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1，比较得⎩⎨⎧1－m 2＝－32，－n 2＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3.所以m ＋n ＝7.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．点M(4，－3,5)到x 轴的距离为m ，到xOy 坐标平面的距离为n ，则m 2＋n ＝________. 解析：由题意，得m 2＝(－3)2＋52＝34，n ＝5，所以m 2＋n ＝39. 答案：3914．若P(2,1)是圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：由圆的方程得圆心坐标为O(1,0)，所以k PO ＝12－1＝1.则直线AB 的斜率为k ＝－1，由点斜式方程得x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝015．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：将圆的方程化为标准形式为(x －3)2＋(y －4)2＝25，过点(3,5)的最长弦为直径，所以AC ＝10，最短弦为与AC 垂直的弦，所以BD ＝46，所以四边形ABCD 的面积为12AC·BD＝20 6.答案：20 616．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T(1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B(B 在A 的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：(1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，则|CM|＝|OT|＝1，|AM|＝12|AB|＝1，所以圆的半径r ＝|AC|＝|CM|2＋|AM|2＝2，从而圆心C(1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0得，y ＝2±1，则B(0，2＋1)， 所以直线BC 的斜率为k ＝2＋－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1，令y ＝0得x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.答案：(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)17．(10分)已知一圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心C 在直线l ：x －2y －3＝0上，(1)求此圆的标准方程；(2)判断点M 1(0,1)，M 2(2，－5)与该圆的位置关系．解：(1)如图，因为点A(2，－3)，B(－2，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为(0，－4)．又k AB ＝－5－－－2－2＝12，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝－2x －4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝0，y ＝－2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心坐标为C(－1，－2)，半径 r ＝|CA|＝＋2＋－3＋2＝10.所以此圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.(2)将点M 1(0,1)，M 2(2，－5)分别代入(x ＋1)2＋(y ＋2)2中，得值分别为10,18， 故点M 1(0,1)在圆上，点M 2(2，－5)在圆外．18．(10分)自点A(－3,3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线L 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝1， 它关于x 轴对称的圆的方程是(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 设光线L 所在直线方程是y －3＝k(x ＋3)．由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，即d ＝|5k ＋5|1＋k 2＝1. 整理得12k 2＋25k ＋12＝0， 解得k ＝－34或k ＝－43.故所求的直线方程是y －3＝－34(x ＋3)或y －3＝－43(x ＋3)，即3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y＋3＝0.19．(10分)已知点P(2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线l 的斜率为k(k 存在)，则方程为y －0＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0. 又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3， 由|3k ＋2－2k|k 2＋1＝1，解得k ＝－34. 所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件．(2)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0，解得a<0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)． 设符合条件的实数a 存在．由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2.而k AB ＝a ＝－1k PC ，所以a ＝12. 由于12(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P(2,0)的直线l 2垂直平分弦AB.20．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A(4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，所以圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝4－2322＝1，由点到直线的距离公式得|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝ －724.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P 的坐标为(m ，n)，直线l 1，l 2的方程分别为y －n ＝k 1(x －m)，y －n ＝－1k 1(x －m)，即k 1x －y ＋n －k 1m ＝0，－1k 1x －y ＋n ＋1k 1m ＝0.因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等，由垂径定理，得：圆心C 1(－3,1)到直线l 1的距离与圆心C 2(4,5)到直线l 2的距离相等，故|－3k 1－1＋n －k 1m|k 21＋1＝|－4k 1－5＋n ＋1k 1m|1k 21＋1，化简得(2－m －n)k 1＝m －n －3或(m －n ＋8)k 1＝m ＋n －5，关于k 1的方程有无穷多解，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m －n ＝0m －n －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＋8＝0m ＋n －5＝0，解得⎩⎨⎧m ＝52n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝－32n ＝132，故点P 的坐标为(52，－12)或(－32，132)．。
人教版高中数学必修2第四章单元测试(一)- Word版含答案
2019-2020学年必修二第四章训练卷圆与方程（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．2-或12B ．2或12-C ．2或12D ．2-或12-2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是（ ） A ．(－3,4，－10) B ．(－3,2，－4) C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12D ．(6，－5,11)3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为（ ） A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ） A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是（ ）6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是（ ） A ．a 2－2a －2b －3＝0 B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0 C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0 D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为（ ） A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是（ ） A ．5－5B ．5－ 5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是（ ） A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为（ ） A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝0此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．A．|b|＝ 2 B．－1<b<1或b＝－ 2C．－1<b≤1D．－1<b≤1或b＝－ 2二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．15．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分)已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x －3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程．22．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．2019-2020学年必修二第四章训练卷圆与方程（一）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵圆的标准方程为22111x y -+-=（）（），∴圆心坐标为1,1（），半径为1， ∵直线340x y b +-=与圆()()22111x y -+-=相切， ∴圆心1,1（）到直线340x y b +-=的距离等于圆的半径，715b -==，解得：2b =或12b =．故选C ．2．【答案】A【解析】设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z2＝－3，∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10．∴A ′(－3,4，－10)．故选A ． 3．【答案】A【解析】根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43．∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)．即4x －3y ＋20＝0．又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0． 故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．故选A ．4．【答案】A【解析】设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4， x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4． ∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．故选A ． 5．【答案】B【解析】由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，故选B ． 6．【答案】B【解析】圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，故选B ． 7．【答案】B【解析】由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ． 8．【答案】A【解析】由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2， ∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．故选A ． 9．【答案】C【解析】配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为 30－105．故选C ． 10．【答案】C【解析】由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．故选C ． 11．【答案】D【解析】l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．故选D ． 12．【答案】D【解析】如图，由数形结合知，故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】(－1，－2，3) 14．【答案】－2【解析】两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2． 15．【答案】x ＋y －3＝0，x －y －3＝0【解析】点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长． 16．【答案】(x ＋2)2＋y 2＝2【解析】设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2， 故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】如图，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 【解析】l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝3=＝3．所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．【答案】E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 【解析】如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2,z )， ∴|EC |故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．【答案】x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，⎝⎛⎭⎫－72，152，12130． 【解析】∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)， C (－3,1)，∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得()2222221440222200330D E F D E F E F ⎧++++=⎪⎪-+-++=⎨⎪+++=⎪⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．【答案】（1）见解析；（2）m 为－52时，最小值为27．【解析】（1）证明：直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52．最小值为＝27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27．21．【答案】（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8．【解析】（1）∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为 y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)， ∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， ∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM|22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．【答案】（1）y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；（2）⎝⎛⎭⎫－310，35． 【解析】（1）将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6．∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0． （2）∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 第4章 列 章末测试(基础)(含答案)
第4章 数 列 章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。
每题5分，8题共40分) 1．(2021·河南高二月考)设数列{}n a 满足11n n a a n++=，12a =，则3a =( ) A ．1- B ．12C ．2D ．32【答案】D【解析】因为121a a +=，12a =，2312a a +=，所以332a =.故选：D ． 2．(2021·河南高二月考)设等比数列{}n a 的前n 项和为147258,9,18,n S a a a a a a ++=++=则9S =( ) A ．27 B ．36 C ．63 D ．72【答案】C【解析由题意，设等比数列{}n a 的公比为q 258147()a a a a a a q ∴++=++ 2q ∴=，又369258()36a a a a a a q ++=++=91472583699183663S a a a a a a a a a ∴=++++++++=++=故选：C3．(2021·河南高二月考)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若235,,S S S 成等差数列，且110a =，则{}n a 的公差d =( ) A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】D 【解析235,,S S S 成等差数列，3252S S S ∴=+，即()1112332510a d a d a d +=+++，110a =，可解得2d =-.故选：D.4．(2021·河南高二月考)猜想数列282680,,,,3579--⋅⋅⋅的一个通项公式为n a =( )A ．()31121nn n --+ B ．()12121n nn +-+ C ．()121121n n n +--+ D ．()31121n nn --+【答案】D【解析根据数列可得，分母3，5，7，9，…满足21n ， 分子2，8，26，80，…满足31n -，又数列的奇数项为负，偶数项为正，所以可得()31121n nn a n -=-+. 故选：D.5．(2021·江苏省阜宁中学高二月考)在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．107 B ．9658C ．9178D ．108【答案】D【解析22298172293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，因为n ∈+N ，且78108,107a a ==， 所以此数列最大项为7108a =. 故选：D.6．(2021·全国高二课时练习)数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，*n ∈N ，都有2123····n a a a a n ⋯=，则35a a +等于( ) A ．259B ．2516 C ．6116D ．3115【答案】C【解析当2n =时，2122a a =；当3n =时，21233a a a =；当4n =时，212344a a a a =；当5n =时，2123455a a a a a =；则212331229=243a a a a a a ==，21231245524325=4165a a a a a a a a a a ==； 所以356116a a +=. 故选：C.7．(2021·全国高二课时练习)一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米【答案】A【解析由题意，可得小球10次着地共经过的路程为： 828111110010050100()100100[1()()]2222++++⨯=+++++ 9911()12100100300200()3001212-=+⨯=-⨯≈-米 故选：A.8．(2021·上海市大同中学高二月考)有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2021个数字为( ) A ．5979 B ．5980 C ．5981 D ．以上都不对【答案】C【解析由题可得A 第n *()n N ∈次报数的个数为32n -， 则A 第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而A 第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当A 第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==， 即A 报出的第2035个数字为5995， 故A 报出的第2021个数字为5981. 故选：C二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则q 的值可能为( ) A ．12 B ．1C ．12-D ．－2【答案】BC【解析由题意，可知3122a a a =+，即21112a q a a q =+．又10a ≠，∴221q q =+，∴1q =或12-．故选：BC ．10．(2021·全国高二课时练习)(多选)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是( ) A ．此人第二天走了96里路B ．此人第三天走的路程占全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D ．此人第五天和第六天共走了30里路 【答案】AC【解析设此人第n 天走了n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比q 为12的等比数列，其前n 项和为S n ，因6378S =，即1661(1)2378112a S -==-，解得1192a =，11192(),N ,62n na n n -*=⋅∈≤，由于21192962a =⋅=，即此人第二天走了96里路，A 正确；由于31192484a =⋅=，4813788>，B 错误； 后五天走的路程为378192186-=(里)，1921866-=(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C 正确；由于5611192192181632a a +=⋅+⋅=，D 错误. 故选：AC11．(2021·全国高二课时练习)(多选)已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则下列是该数列中的项的是( ) A ．18 B ．12 C ．25 D ．30【答案】BD【解析】因为2n a n n =+，所以n 越大，n a 越大．当3n =时，233312a =+=；当4n =时，244420a =+=；当5n =时，255530a =+=；当6n =时，266642a =+=．故选：BD ．12．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足()1302n n n a S S n -+=≥，113a =，则下列命题中正确的是( )A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．13n S n=C ．()131n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列【答案】ABD【解析】因为()12n n n a S S n -=-≥，()1302n n n a S S n -+=≥， 所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为3的等差数列，A 正确；因为11113S a ==， 所以()13313n n n S =+-=，13n S n =，B 正确；2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得()131n a n n =--，但113a =不满足此式，因此C 错误；由13n S n =得1311333n n n S +==⨯，所以{}3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·河南高二月考 )设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4683315a a a -+=，则11S =______． 【答案】33 【解析】{}n a 是等差数列，由4683315a a a -+=可得()486315a a a +-=，即66615a a -=，可得63a =，则()1111161111332a a S a +===. 故答案为：33.14．(2021·全国高二课时练习)已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有最小值_____ 【答案】200【解析】因为lg x ，2，lg y 成等差数列，所以lg lg 22x y +=⨯，即410xy =所以200x y +≥，当且仅当100x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为200， 故答案为：200.15．(2021·全国高二课时练习)已知ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC 最长边的边长等于________． 【答案】14 【解析】ABC 三边长构成公差为4的等差数列，∴设处于中间长度的一条边长为x ，则最大的边长为4x +，最小的边长为4x -，ABC 的一个内角为120︒，即为最大角，则它对应的边的长度最长，即为4x +，则()()()222441cos120242x x x x x +--+︒==--， 化简得：164x x -=-，解得10x =， 所以三角形的三边分别为：6，10，14，最长边为14， 故答案为：14．16．(2021·全国高二课时练习)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n 个图中有________个点．【答案】n 2－n ＋1【解析】图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点； 图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点； 图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；…猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点， 故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1． 故答案为：n 2－n ＋1四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·河南高二月考 )在等差数列{}n a 中，36787,3a a a a =-++=. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求{}n a 的前n 项和n S 及n S 的最小值.【答案】(1)213n a n =-；(2)212n n S n =-，-36.【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，根据题意得31678127,3183?a a d a a a a d =+=-⎧⎨++=+=⎩ 解得11,2a d =-⎧⎨=⎩，所以()1121213n a n n =-+-=-.(2)根据等差数列的前n 项和公式得()21112122n n n S n n -=-+⨯=- 则当6n =时，n S 取得最小值36-.18．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝23n +a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．【答案】(1)a 2＝3，a 3＝6 ；(2)a n =(1)2n n +. 【解析】(1)由S 2＝43a 2，得(a 1＋a 2)＝43a 2，又a 1＝1，∴a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，∴a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23n +a n －13n +a n －1， ∴a n ＝11n n +-a n －1，即1n n a a -＝11n n +-.∴a n ＝1n n a a -·12n n a a --·…·32a a ·21a a ·a 1＝11n n +-·2nn -·…·42·31·1 ＝(1)2n n +. 又a 1＝1满足上式， ∴a n ＝(1)2n n +. 19．(2021·全国高二课时练习)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在()1123f x x =+的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝2()3n a -n ，T n 为c n 的前n 项和，n ∴N *，求T n .【答案】(1)2132n n a =+；(2)222n n n T +=-. 【解析】(1)∴点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在()1123f x x =+的图象上，∴()111223n n n S S a +=++， ∴11123n n a a +=+.∴1212323n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12132a -=为首项，以12为公比的等比数列，∴121113222n n na -⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭，即2132nn a =+, (2)∴232n n n n c a n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,∴23111232222n n nT =+⨯+⨯++，∴∴234111112322222n n nT +=+⨯+⨯++，∴ ∴－∴得23111111222222n n n n T +=++++-， ∴222n nnT +=-. 20．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=.(1)证明数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式；(2)设31log (1)n n b S +=-，求满足方程122311112551n n b b b b b b ++++=的n 的值. 【答案】(1)证明见解析；23n na =；(2)100. 【解析】(1)证明：由112n n S a +=得，11112S a +=，又因为11a S =，所以123a =，因为112n n S a =- ∴，所以当2n ≥时，11112n n S a --=- ∴，由∴-∴得，111122n n n n n a S S a a --=-=-+即113n n a a -=， 故{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，从而1212()333n n n a -=⨯=.(2)由(1)中可知，11111223n n n n n S a S a =-⇒-==所以31311log (1)log 13n n n b S n ++=-==--， 从而11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 故1223111111111111252334122251n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-=+++， 解得，100n =.21．(2021·全国高二专题练习)已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，令c n ＝(－1)n S n (n ∴N *)，{c n }的前20项和T 20＝330.数列{b n }满足212(2)2n n n b a d --=-+，a ∴R . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∴N *，求a 的取值范围． 【答案】(1)a n ＝3n ；(2)54a ≤. 【解析】(1)设等差数列的公差为d ，因为(1)nn n c S =-，所以20123420330T S S S S S =-+-++⋯+=， 则24620330a a a a +++⋯+=， 则10910(3)23302d d ⨯++⨯=， 解得3d =，所以33(1)3n a n n =+-=；(2)由(1)知212(2)32n n n b a --=-+，则12112(2)32[2(2)32]n n n n n n b b a a ---+-=-+--+2122124(2)3243[(2)()]23n n n n a a ----=-+=-+由1n n b b +≤⇔221212(2)()02()2323n n a a ---+≤⇔≤- 因为2122()23n --随着n 的增大而增大， 所以1n =时，2122()23n --最小值为54，所以54a ≤. 22．(2021·全国高二专题练习)某学校实验室有浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液各300 ml 分别装入两个容积都为500 ml 的锥形瓶A ，B 中，先从瓶A 中取出100 ml 溶液放入B 瓶中，充分混合后，再从B 瓶中取出100 ml 溶液放入A 瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n 次操作后，A 瓶中溶液浓度为a n g/ml ，B 瓶中溶液浓度为b n g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(1)请计算a 1，b 1，并判定数列{a n －b n }是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由； (2)若要使得A ，B 两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml ，则至少要经过几次？ 【答案】(1)是，a n －b n ＝0.9·(12)n -1；(2)8次. 【【解析】 (1)由题意，得b 1＝0.23002100300100⨯+⨯+＝0.65 g /ml ，a 1＝0.651002200200100⨯+⨯+＝1.55 g /ml .当n ≥2时，b n ＝1400(300b n －1＋100a n －1)＝14(3b n －1＋a n －1)，a n ＝1300(200a n －1＋100b n )＝14(3a n －1＋b n －1)，∴a n －b n ＝12(a n －1－b n －1)， ∴等比数列{a n －b n }的公比为12， 其首项a 1－b 1＝1.55－0.65＝0.9， ∴a n －b n ＝0.9·(12)n -1.(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9·(12)n -1<10－2，∴n>1＋12lg3lg2≈7.49，∴至少要操作8次才能达到要求.。
高中数学人教A版必修2练习第四章 单元检测 Word版含解析
第四章单元检测班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．过点()，且与两坐标轴相切的圆的方程是( )．(－)＋(－)＝或(－)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(－)＋(－)＝答案：解析：由图形易知满足此条件的圆有两个．．在空间直角坐标系中，()，()，则等于( )．．．答案：解析：＝＝.．若圆＋＋－＋＝关于直线－＋＝对称，则＋等于( )．．－．－答案：解析：∵圆心(－)，∴－－＋＝，∴＋＝.．两圆＋－－＋＝和＋－－＋＝的位置关系是( )．相离．相交．内切．外切答案：．圆心为(，－)且与直线－＋＝相切的圆的方程为( )．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝答案：解析：圆半径＝＝，故圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.．两圆＋＋－＝，＋＋－＝相交于、两点，则直线的方程为( )．－＋＝．＋＝．＋－＝．－＋＝答案：解析：会求过两圆交点的直线方程，注意运用简便方法．两圆方程相减即为公共弦的方程．．如图，正方体—中，棱长为，是上的点，且＝，则点的坐标为( )．()答案：解析：易知()，()，∴的竖坐标＝×＝，∴的坐标为.．已知圆：＋－－＋＝，直线：－＋＝，圆上存在两点到直线的距离为，则的取值范围是( )．(－，－)．()．(－，－)∪()．[－，－]∪[]答案：解析：当圆心到直线的距离满足－<<＋时，圆上存在两个点到直线的距离为，即满足<<.解得－<<－或<<.．若直线过点()，且被圆＋＝截得的弦长等于，则此直线的斜率等于( )．±．±．±．±答案：解析：当斜率不存在时，过点()的直线通过圆＋＝的圆心，不合题意．当斜率存在时，直线方程为－＝，即－＋＝.由已知，可得圆心到直线的距离为，＝，即＋＝，＝±.．圆：＋－－＋＝关于直线－－＝对称的曲线方程为( )．＋＋＋＋＝．＋－－＋＝．＋－＋＝．＋－－＝答案：解析：圆(－)＋(－)＝的圆心为()，＝，设圆心关于直线－－＝的对称点为(，)，则(\\((＋)－(＋)＝,(－－)＝－))，解得(\\(＝＝))，∴对称点()即为对称圆的圆心．又∵圆半径始终不变，∴圆关于直线－－＝的对称曲线为(－)＋＝，即＋－＋＝.．圆＋－＋－＝与直线－－－＝(∈)的位置关系为( )．相离．相切．相交．以上都有可能答案：解析：∵圆的方程可化为(－)＋(＋)＝，∴圆心为(，－)，半径＝，又圆心在直线－－－＝上，∴圆与直线相交，故选.．直线＝－＋与曲线＝有且只有两个公共点，则的取值范围是( )．≤＜．≤＜．－＜＜．－＜≤－答案：解析：由图可知，≤＜.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．设()，()，()，若线段是△外接圆的直径，则点的坐标为．答案：(，－)解析：线段的垂直平分线＋－＝与线段的垂直平分线＋－＝的交点为圆心(，－)，直径为，易得为(，－)．．如果实数，满足等式(－)＋＝，那么的最大值是．答案：解析：设＝，＝，(－)＋＝，(＋)－＋＝，Δ＝－(＋)≥，－≤≤.另可考虑斜率的几何意义来做．．已知圆的圆心是直线－＋＝与轴的交点，且圆与直线＋＋＝相切，则圆的方程为．答案：(＋)＋＝解析：∵圆心(－)，半径为圆心(－)到直线＋＋＝的距离，即圆的半径＝＝，∴圆的方程为：(＋)＋＝.。
人教版高中数学必修2第四章单元测试(一)-Word版含答案
16．已知圆心在 x 轴上，半径为 则圆 O 的方程是 ________．
2的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x＋ y＝ 0 相切，
三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤） 17． (10 分 )已知三条直线 l1： x－ 2y＝ 0， l 2： y＋1＝ 0， l 3： 2x＋ y－1＝ 0 两两相交， 先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用
2B 铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）
）
A． (m－2) 2＋ n2＝4
B． (m＋ 2)2＋ n2＝ 4
C． (m－2) 2＋ n2＝8
D． (m＋2) 2＋ n2＝8
11．若圆 x2＋y2＝ 4 和圆 x2＋ y2＋ 4x－ 4y＋ 4＝0 关于直线 l 对称， 则直线 l 的方程为
（）
A． x＋ y＝ 0
B． x＋ y－ 2＝0
C． x－ y－ 2＝0
程是（
）
A． (x－ 1)2＋ y2＝ 4
B． ( x－ 1)2 ＋y2＝ 2
C． y2＝ 2x
D． y2＝－ 2x
8．设直线 2x－ y－ 3＝ 0 与 y 轴的交点为 P，点 P 把圆 (x＋ 1)2＋ y2＝ 25 的直径分为
高中数学选择性必修二 第四章 数列单元测试(基础卷)(含答案)
第四章 数列 单元过关检测 基础A 卷解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟一、单选题1．已知数列{a n }的前4项为：l ，−12，13，−14，则数列{a n }的通项公式可能为（ ） A ．a n =1n B ．a n =−1nC ．a n =(−1)n nD ．a n =(−1)n−1n【答案】D 【解析】 【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式 【详解】正负相间用(−1)n−1表示，∴a n =(−1)n−1n．故选D ． 【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =，621S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】A【分析】利用等差数列{a n }的前n 项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的公差． 【详解】∴S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3∴3∴S 6∴21∴∴316123656212a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩∴ 解得a 1∴1∴d ∴1∴ ∴数列{a n }的公差为1． 故选A ∴ 【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知数列{}n a ，满足111n n a a +=-，若112a =，则2019a =（ ） A ．2 B ．12C ．1-D ．12-【答案】C 【分析】利用递推公式计算出数列{}n a 的前几项，找出数列{}n a 的周期，然后利用周期性求出2019a 的值. 【详解】111n n a a +=-，且112a =，211121112a a ∴===--，32111112a a ===---， 111a ===，所以，()a a n N *=∈，则数列{}n a 是以3为周期的周期数列，20193672331a a a ⨯+===-∴. 故选C. 【点睛】本题考查利用数列递推公式求数列中的项，推导出数列的周期是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．在等比数列{}n a 中，6124146,5a a a a ⋅=+=，则255a a =( ) A ．94或49B ．32C ．32或23 D ．32或94【答案】A 【分析】根据等比数列的性质得6124146a a a a ⋅=⋅=，又由4145a a +=，联立方程组，解得414,a a 的值，分类讨论求解，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得6124146a a a a ⋅=⋅=，又由4145a a +=，联立方程组，解得41423a a =⎧⎨=⎩或41432a a =⎧⎨=⎩，当41423a a =⎧⎨=⎩时，则1014432a q a ==，此时201022559()4a q q a ===；当41432a a =⎧⎨=⎩时，则1014423a q a ==，此时201022554()9a q q a ===，故选A. 【点睛】值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5．等比数列{}n a 中（ ） A ．若12a a <，则45a a <B ．若12a a <，则34a a <C ．若32S S >，则12a a <D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.6．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165D ．5110【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+， 所以22071514924a ab b +=+．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．7．函数()2cos 2f x x x =-的正数零点从小到大构成数列{}n a ，则3a =（ ）A ．1312π B ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.8．已知函数3()13xxf x =+（x ∈R ），正项等比数列{}n a 满足501a =，则 1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=A ．99B ．101C ．992D ．1012【答案】C 【详解】因为函数31()()()11331x x xf x f x f x ---==∴+-=++（x ∈R ）， 正项等比数列{}n a 满足2501995011a a a a =∴==，9921ln ln ln ln ...0a a a a +=+=则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++=992，选C二、多选题A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题． 10．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=【答案】BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n nn n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的 等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确； 因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.11．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【答案】AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.12．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，1a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）1112131.n a a a a ⋯⋯ 2122232.n a a a a ⋯⋯ 3132333.n a a a a ⋯⋯……123.n n n nn a a a a ⋯⋯A ．3m =B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯ D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列和等比数列通项公式，结合13611a a =+可求得m ，同时确定67a 、ij a 的值、得到,,A B C 的正误；首先利用等比数列求和公式求得第i 行n 个数的和，再结合等差求和公式得到D 的正误. 【详解】对于A ，2213112a a m m =⋅=，6111525a a m m =+=+，2235m m ∴=+，又0m >，3m ∴=，A 正确；对于B ，612517a m =+=，666761173a a m ∴=⋅=⨯，B 错误；对于C ，()111131i a a i m i =+-=-，()111313j j ij i a a mi --∴=⋅=-⋅，C 正确；对于D ，第i 行n 个数的和()()()()()1131133131122n n n i a m i i S m-----'===--，()()()()()()3111131258313131312224n n nn n S n n n +∴=-⨯+++⋅⋅⋅+-=-⨯=+-⎡⎤⎣⎦，D 正确. 故选：ACD .本题考查数列中的新定义问题，解题关键是能够灵活应用等差和等比数列的通项公式和求和公式，将新定义的数阵转化为等差和等比数列的问题来进行求解.三、填空题13．已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________. 【答案】20 【分析】先由条件求出1,a d ，算出n S ，然后利用二次函数的知识求出即可 【详解】设{}n a 的公差为d ，由题意得135********d a a a a d a a ++++==++即1235a d +=，①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=即1333a d +=，②由①②联立得139,2a d ==-所以()()22139(2)40204002n S n n n n n n -=+⨯-=-+=--+故当20n =时，n S 取得最大值400 故答案为：20等差数列的n S 是关于n 的二次函数，但要注意n 只能取正整数.14．《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的12.问大、小老鼠几天后相遇？各自打洞几尺？”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n =_____尺.【答案】2n +1﹣21﹣n【分析】写出两只老鼠打洞的通项公式，利用分组求和即可得解. 【详解】根据题意大老鼠第n 天打洞12n na 尺，小老鼠第n 天打洞112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭尺，所以11111242122n n n S --⎛⎫=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111221112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--112122n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1212n n -=+-故答案为：1212n n -+- 【点睛】此题考查等比数列的辨析，写出通项公式，根据求和公式求和，关键在于熟练掌握相关公式，涉及分组求和.15．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】n a =【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式. 【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j jOA B i i OA B j jS OA a SOA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得n a =故答案为: n a 【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且462S =-，675S =-，求： （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前14项和.【答案】（1）323n a n =-；（2）147. 【分析】（1）由已知条件列出关于1,a d 的方程组，求出1,a d 可得到n a ；（2）由通项公式n a 先判断数列{}n a 中项的正负，然后再化简数列{}n a 中的项，即可求出结果. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得11434622656752a d a d ⨯⎧+=-⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，解得120,3a d =-=，∴()2013323n a n n =-+-⨯=-； （2）∵323n a n =-，∴由0n a <得8n <，22(20323)3433432222n n n n n S n n -+--===-∴123141278141472a a a a a a a a a S S ++++=----+++=-223433431414772222⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭()()7424372143147=---=.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题. 18．数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+ （1）设1n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等差数列（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）证明过程见详解；（2）21n nS n =+. 【分析】（1）先化简得到()()2112n n n n a a a a +++---=即12n n b b ，再求得1211b a a =-=，最后判断数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列.（2）先求出数列{}n b 的通项公式21n b n =-，再运用“裂项相消法”求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS 即可. 【详解】解：（1）因为2122n n n a a a ++=-+，所以()()2112n n n n a a a a +++---= 因为1n n n b a a +=-，所以12nn b b ，且1211b a a =-=所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列. （2）由（1）的()11221n b n n =+-⨯=-，所以()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以12233411111n n n S b b b b b b b b +=++++11111111111121323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111.22121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查利用定义求等差数列的通项公式、根据递推关系判断数列是等差数列、根据“裂项相消法”求和，还考查了转化的数学思维方式，是基础题.19．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n nS ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ），因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-，则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =；（2）()12326n n T n +=-⨯+【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，11a S =，可得{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式n a ；（2）利用错位相减法求和即可求n T ． 【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =，当1n >时，由22n n S a =-可得1122n n S a --=-，1n >两式相减可得122n n n a a a -=-，即12nn a a -=， 所以{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⋅=（2）由（1）(21)2nn b n =-⋅，23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，则23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减得2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯()112118(12)2(21)226(21)2232612n n n n n n n n -++++-=+--⨯=---⨯=--⋅--，所以()12326n n T n +=-⨯+．【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T . 【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出； （2）根据数列特点采用分组求和法求解. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦，将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-. （2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩， 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题. 22．在①535S =，②13310a a +=，③113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1n n n b a =-，求1ni i b =∑.【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数 【分析】（1）利用1a ，412a ，9a 成等比数列∴可得221132690a a d d +-=， 若选①：由535S =得：127a d +=，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式； 若选②：由13310a a +=可得152d a =-，即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式； 若选③：由113n a n a +=+，可表示出419a a =+，9124a a =+，结合1a ，412a ，9a 成等比数列∴即可解出1a 和d 的值，即可求出{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得()()132n n b n =--，分n 为奇数和偶数，利用并项求和即可求解.【详解】 {}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列. 所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+， 整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=， 由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得：2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍） 所以11a =，所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选②：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得：2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得：113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意； 若选③：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+， 代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得：113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩， 32n a n =-，（2）()()132n n b n =--， ()()()()()12311231111111n n n i n n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑ ()()()()114710135132n n n n -=-+-++--+-- 当n 为偶数时，13322n i i n n b ==⨯=∑， 当n 为奇数时，()11131322n i i n n b =--=-+-⨯=∑， 所以13,213,2n i i n n b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数. 【点睛】关键点点睛：本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1n n n b a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论.。
高中数学必修二第四章圆与方程解答题专项练习附答案 教师版
﹣4），
∴r=
t
t =2
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8；
（2）解：当 CP⊥AB，即 P 为 AB 中点时，弦长 AB 最小
CP=
t
t
．
弦长 AB 的最小值为 2
．
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【解析】【分析】（1）首先利用切点坐标和切线方程，求出过该切点的半径所在直线的方程，然后将所
求方程与圆心所在直线方程联立，求出圆心坐标，再利用两点间距离公式求出半径，进而求出圆的标准方
垂直的弦长最短，∵圆心 C 点坐标为（3，4），∴
， ∴所求直线的斜率 k=1，代入点斜
式方程，得 y﹣5=x﹣2，即 x﹣y+3=0．∴P 点的弦中，弦长最短的弦所在的直线方程为 x﹣y+3=0．（Ⅱ） 当直线垂直 x 轴时，即 x=5，圆心 C 到直线的距离为 2，此时直线 x=5 与圆 C 相切，当直线不垂直 x 轴时，
C 到直线的距离等于半径，能求出切线方程．
6.已知圆 C 的圆心在直线 4x+y=0 上，且与直线 x+y﹣1=0 相切于点 P（3，﹣2）．
（1）求圆 C 的方程；
（2）过圆内一点 P（2，﹣3）的直线 l 与圆交于 A、B 两点，求弦长 AB 的最小值．
【答案】 （1）解：过切点且与 l：x+y﹣1=0 垂直的直线为 y=x﹣5，与 y=﹣4x 联立可求得圆心为 C（1，
【答案】 （1）解：由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5
（2）解：圆心(1,2)，半径
线，
因为圆和直线相切，所以有
t
线 ，所以 线
【解析】【分析】（1） 由圆的方程判定方法求出实数 线 的取值范围。
人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则习题
4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．34．lg 2516－2lg59＋lg3281等于( )A．lg 2 B．lg 3C．lg 4 D．lg 55．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－16．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a27．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－49．已知3a＝2,3b＝15，则2a －b ＝________.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.知识点三 换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －bC ．abD ．a b 12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13B．3C．－13D．－313．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．515．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.17．计算：(1)log89×log2732；(2)log927；(3)log21125×log3132×log513.18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．62．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 253. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 34．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－25．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10 6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．188．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab1011．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y 12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.14．方程log2x＋1log x＋12＝1的解是x＝________.15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.16．设f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．四、解答题17．求值：(1)lg5＋lg20；(2)log89×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57；(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．18．已知log a(x2＋4)＋log a(y2＋1)＝log a5＋log a(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8yx的值．19．设0<a<1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，若当y＝24时，log a y取得最小值，求a的值．20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证：1z－1x＝12y.4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a答案 C解析由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga m M n＝＝nm log a M，＝nm log a M，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．答案③解析lg (3＋22)－lg (3－22)＝lg 3＋223－22＝lg (3＋22)2>0，故①错误．∵lg (10＋99)≠0，lg (10－99)≠0.∴lg (10＋99)×lg (10－99)≠0，故②错误．∵＝＝－1，∴③正确．∵lg alg b≠lg (a－b)，故④错误．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.4．lg2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4 D ．lg 5答案 A解析 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.5．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 6．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．a D ．a2答案 A解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lgx －lg y )＝3a .7．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 答案 D解析 原式＝12lg x －2(lg y －lg 10)＝12m －2n ＋2.8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4答案 C解析 原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5.9．已知3a ＝2,3b ＝15，则2a －b ＝________.答案 log 320解析 ∵3a＝2,3b＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b＝2log 32＋log 35＝log 320.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.解 (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫500×85－lg 6412＋50(lg 10)2＝lg 8008＋50＝lg 100＋50＝2＋50＝52.(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(4)原式＝lg 32－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝1－lg 3×32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝－32.知识点三 换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A．a＋b B．a－bC．ab D．a b答案 C解析log27＝log23×log37＝ab.12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y等于( )A.13B．3C．－13D．－3答案 A解析由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝3lg 2.5，y＝log0.251000＝3lg 0.25，∴1x－1y＝lg 2.53－lg 0.253＝13.13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a答案 C解析log512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a＋b1－a，故选C. 14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．5答案 A解析∵log a x＝1log x a＝2，∴log x a＝12.同理log x b＝13，log x c＝16.∴log abc x ＝1log xabc＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.15．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________． 答案 4解析 由换底公式，得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)， 即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5. ∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1. 又⎩⎨⎧x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.16．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.17．计算： (1)log 89×log 2732； (2)log 927； (3)log 21125×log 3132×log 513. 解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15. 18．已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值． 解 解法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log3645＝log1845log1836＝log189×5log1818×2＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log189×5log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a＋b2－a.易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错分析错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件⎩⎨⎧x>0，y>0，x－2y>0.从而误认为xy＝4或xy＝1，得出log4xy＝1或0的错误答案．答案 1正解由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，得xy＝4或xy＝1，又x>0，y>0，x－2y>0，∴xy≠1，∴log4xy＝1.易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4易错分析本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．答案 D正解log29×log34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．6 答案 A解析log225×log522＝lg 25lg 2×＝2lg 5lg 2×32lg 2lg 5＝3.2．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 25答案 D解析由换底公式，得原式＝－lg 3lg 5×lg 6lg 3×lg xlg 6＝2，∴lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝1 25 .3. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 3答案 C解析原式＝＝log310＝1lg 3.选C.4．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2 答案 B解析∵log232－4log23＋4＝log23－22＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10答案 C解析∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－－42＝2＝lg ab，∴ab＝100.故选C.6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq答案 C解析∵log83＝lg 3lg 8＝lg 33lg 2＝p，∴lg 3＝3p lg 2.∵log35＝lg 5lg 3＝q，∴lg5＝q lg 3＝3pq lg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．18答案 D解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝log k2，1b＝log k3，∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.8．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 答案 A解析∵2x＝3，∴x＝log23.又log483＝y，∴x＋2y＝log23＋2log483＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2⎝⎛⎭⎪⎫32log22－12log23＝log23＋3－log23＝3.故选A.二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)答案BD解析对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg nm＝1nlg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab10答案CD解析当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln yC．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y答案CD解析因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx答案BD解析根据对数的运算性质log a M n＝n log a M(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D 正确．三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.答案 4 2解析∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋log927y＝2－1·＋3y 2＝2＝2.14．方程log 2x ＋1logx ＋12＝1的解是x ＝________.答案 1解析 原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1， 即log 2[x (x ＋1)]＝1，∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎨⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即x >0，∴x ＝1.15．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.答案135解析 方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根． 由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg 135， ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg 135， 即αβ＝135. 16．设f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，现把满足乘积f (1)f (2)…f (n )为整数的n 称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．答案 9解析 f (n )＝log n ＋1(n ＋2)＝lg n ＋2lgn ＋1，∴f (1)f (2)…f (n )＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lgn ＋2lgn ＋1＝lg n ＋2lg 2＝log 2(n∵n ∈(1,2020)，∴n ＋2∈(3,2022)， ∵210＝1024,211＝2048，∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.四、解答题17．求值：(1)lg 5＋lg 20；(2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝12＋14＋13＋16＝54. 18．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8yx的值．解 原等式可化为log a [(x 2＋4)(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]， ∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)． 整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0， 配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0， ∴⎩⎨⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12. ∴log 8y x ＝log 812＝－13.19．设0<a <1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若当y ＝24时，log a y 取得最小值，求a 的值．解 由已知条件，得log a x ＋3log x a －log x y ＝log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log ax －322＋34. 当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.此时y ＝24，所以有log a 24＝34， 故所以a ＝14.20．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y.解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34， ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.。