直线与圆锥曲线专题
线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)
−
，两式相减得
+ −
+
−
+
=
+
−
=
− ，故
=
−
=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线
, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12
寒假专题复习直线与圆锥曲线
寒假专题复习——直线与圆锥曲线回扣教材：复习课本选修2——1：课本第67页至第71页要求掌握的内容：①直线与圆锥曲线的位置关系 ②圆锥曲线的弦长 （一）知识梳理：1、直线与圆锥曲线的位置关系是 .， .， .。
相交时有 .个交点，相切时有 .个交点，相离时有 .个交点。
2、判断直线l 和圆锥曲线C 的位置关系，通常是将直线l 的方程0Ax By C ++=带入圆锥曲线C 的方程(,)0F x y =，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x （或y ）的一元方程，即{0(,)0Ax By C F x y ++==，消去y 得ax 2+bx+c=0（此方程称为消元方程）。
当a ≠0时，若有∆>0，直线l 和圆锥曲线C ；∆<0，直线l 和圆锥曲线C当a=0时，得到的是一个一元一次方程则直线l 和圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 是双曲线，则直线l 与双曲线的 平行；若C 是抛物线，则直线l 与抛物线的 平行。
3、连接圆锥曲线两个点的线段成为圆锥曲线的弦设直线l 的方程f (,)0x y =，圆锥曲线C 的方程(,)0F x y =，直线l 与圆锥曲线C 的两个不同交点为1,12,2(,)0()(),(,)0f x y A x y x y F x y =⎧⎨=⎩、B 联立，消去y 得ax 2+bx+c=0，则1,2x x 是它两个不等实根.（1）由根与系数的关系有1212x x x x +==（ ），（ ）（2）设直线l 的斜率为k,A,B 两点之间的距离若消去x,则 A,B 两点之间的距离|AB|=4、在给定的圆锥曲线f (,)0x y =中，求中点（m,n ）的弦AB 所在的直两种处理方法：（1）由根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。
（2）点差法：若直线l 与圆锥曲线C 的两个不同的交点A ，B ，首先设出交点坐标1,12,2()(),A x y x y 、B 代入曲线C的方程，通过作差，构造出12121212,,,x x y y x x y y ++--，从而建立中点坐标与斜率的关系。
高考数学微专题4直线与圆锥曲线4.2直线与双曲线的位置关系 课件
12345
内容索引
x1x2＝k2－1 3，所以 AB 的中点 P 的坐标 xP＝x1＋2 x2＝k22－k 3，yP＝kxP－2＝
k2－6 3，则 Pk22－k 3，k2－6 3.由圆的性质可知，圆心与弦中点连线的斜率垂
直于弦所在的直线，所以 kPG＝kk22－2－6k33－－0t ＝－1k，整理可得 t＝k28－k 3(*)，则
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【解析】 (1) 因为点 A(2,1)在双曲线 C：ax22－a2y－2 1＝1(a>1)上， 所以a42－a2－1 1＝1，解得 a2＝2， 所以双曲线 C：x22－y2＝1. 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m， 联立x22－y2＝1， 消去 y 并整理，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，
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由 Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)>0，得 m2＋1－2k2>0， 所以 x1＋x2＝－2k42m－k1，x1x2＝22mk22－＋12， 所以由 kAP＋kAQ＝0，得yx22－－12＋yx11－－12＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即 2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以 2k×22mk22－＋12＋(m－1－2k)－2k42m－k1－4(m－1)＝0，
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同理可得 xQ＝10＋34
2，yQ＝－4
2－5 3.
所以直线 PQ：x＋y－53＝0，PQ＝136，
点 A 到直线 PQ 的距离 d＝|2＋12－35|＝232，
故△PAQ
的面积为12×136×2 3 2＝169
高考圆锥曲线专题-直线和圆锥曲线常考题型
内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
（2019年全国一卷理科）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． （2019年全国二卷理科）21．（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.21．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x x t x x x x t =+-=+⨯+-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则212221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()()22121||312S AB d d t t =+=++. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =. 因此，四边形ADBE 的面积为3或42.（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。
圆锥曲线的定点、定值问题(解析版)
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
联系了中点和直线的斜率，借用中点P公A式R即T 可1求得斜率． 2．根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
01
添加标题
遇到弦中点,两式减一减; 若要求弦长,韦达来帮忙.
线 段 的 中 点 ， 求 直 线 L 的 方 程 .
探究三 圆锥曲线中弦的中点问题
变 式 ： 求 直 线 L:x+2y-8=0被 椭 圆 x2y21所 截 得 的 36 9
线 段 的 中 点 P的 坐 标 .
处理中点弦问题常用的求解方法
1．点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相
y＝kx＋2， 联立方程组x92＋y2＝1， 解得 x2＋9(kx＋2)2＝9， 即(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0.
∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点，
∴Δ＝(36k)2－4×27(1＋9k2)＞0，即
9k2－3＞0，∴k＞
33或
k＜－
3 3 .(*)
设 A、B 两点的坐标是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－1＋369k2，x1·x2＝1＋279k2. 由于以 AB 为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0， 即 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
y(12=)若2p直x线: 与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交,
由
y=kx+ my2=2p
得:
故①△>0 相交 ②△=0 x 相切 A③x△2+<B0x+C相=离0
yy
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(直线与圆锥曲线)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（直线与圆锥曲线）练习一. 基础小题练透篇1.已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3)2．过双曲线x 2－y 2b 2 ＝1(b >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于B ，C ，且2AB → ＝BC →，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．103C ．5D ．53．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－944．[2023ꞏ安徽合肥调研]设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 且交C 于点A ，B ，AF → ＝2FB →，则k ＝( )A ．22B ．23C ．±22D ．±235．[2023ꞏ陕西省西安市高三模拟]已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的左、右焦点， 过F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P 、Q 两点， 且PQ ⊥PF 1. 若|PQ |＝||PF 1 ， 则双曲线C 的离心率为( )A ．6 －3B ．5－22C ．5＋22D ．1＋226．[2023ꞏ四川省月考]如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25 ，0)为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A ．x 225 ＋y 25 ＝1B ．x 245 ＋y225 ＝1C ．x 230 ＋y 210 ＝1 D ．x 236 ＋y 216 ＝17．已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2，0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3 b ，则椭圆的标准方程为________．8．过椭圆x 236 ＋y 227 ＝1上一动点P 分别向圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2＋2|PN |2的最小值为________．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ安徽黄山模拟]已知双曲线x 216 －y 29 ＝1的左焦点为F 1，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则l 的斜率的范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫－43，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，－34 ∪⎝⎛⎭⎫34，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－34，34 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43 ∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 2．[2023ꞏ湖南衡阳模拟]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与C 交于A 、B两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A ．22B ．2C ．2D ．43．[2023ꞏ福建莆田模拟]已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，过F 作直线l 与C 交于A ，B 两点．若|AB |＝10，则△OAB 的重心的横坐标为( )A ．43B ．2C ．83 D ．34．[2023ꞏ湖南郴州一模]已知椭圆x 24 ＋y 2b 2 ＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1作斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为－14 ，则b 的值是( )A ．2B ．3C ．32 D ．25．[2023ꞏ重庆市高三月考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，直线AF 与y 轴交于点B ，且AF → ＝FB →，则直线AB 的斜率为__________．6．[2023ꞏ安徽芜湖月考]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为－1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，直线l 与抛物线相切且l ∥MN ，P 为l 上的动点，则PM → ꞏPN →的最小值是________.三. 高考小题重现篇1.[全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36 的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．142．[2020ꞏ天津卷]设双曲线C 的方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24 －y 24 ＝1B ．x 2－y 24 ＝1 C ．x 24 －y 2＝1 D ．x 2－y 2＝13．[全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM → ꞏFN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 4．[2020ꞏ山东卷]斜率为3 的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________．5．[2021ꞏ浙江卷]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，若过F 1的直线和圆⎝⎛⎭⎫x －12c 2＋y 2＝c 2相切，与椭圆的第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．四. 经典大题强化篇1.[2023ꞏ广东省梅州月考]在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 交双曲线C 于M ，N 两点．(1)若M (2，3)，四边形MF 1NF 2的面积为12，求双曲线C 的方程；(2)若33 ≤k ≤3 ，且四边形MF 1NF 2是矩形，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．2．[2023ꞏ四川省成都市高三月考]已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的长轴长是短轴长的两倍，且过点⎝⎛⎭⎫－3，12 . (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的下顶点为点A ，若不过点A 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．若M ，N 的横坐标之积是2，证明：直线l 过定点．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：A答案解析：直线y ＝kx －k －1恒过定点（1，－1）.因为直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m （m >0）恒有公共点，则曲线C 表示椭圆，点（1，－1）在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×（－1）2≤m ，所以m ≥3，选A.2．答案：C答案解析：由题意可知，左顶点A （－1，0）.又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，若直线l 与双曲线的渐近线有交点，则b ≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y ＝－bx ，y ＝bx ，所以可得x B ＝－1b ＋1 ，x C ＝1b －1.由2AB → ＝BC →，可得2（x B －x A ）＝x C －x B ，故2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1＋1 ＝1b －1 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1 ，得b ＝2，故e ＝12＋221 ＝5 . 3．答案：A 答案解析：设以P 为中点的弦所在直线与椭圆交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），斜率为k ，则4x 21 ＋9y 21 ＝144，4x 22 ＋9y 22 ＝144，两式相减得4（x 1＋x 2）（x 1－x 2）＋9（y 1＋y 2）（y 1－y 2）＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2 ＝k ，代入解得k ＝－23.4．答案：C答案解析：由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2 ，代入抛物线方程，得y 2－2p ky －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2.不妨设A （x 1，y 1）（x 1>0，y 1>0），B （x 2，y 2），因为AF → ＝2FB → ，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22 p ，x 2＝p 4 ，所以k ＝－22p －0p 4－p2＝22 .根据对称性可得直线AB 的斜率为±22 .5．答案：B答案解析：因为PQ ⊥PF 1，|PQ |＝||PF 1 ，由双曲线的定义可得：|PF 1|－|PF 2|＝|PQ |－|PF 2|＝|QF 2|＝2a ， |QF 1|－|QF 2|＝2a ，则|QF 1|＝4a ，易得∠F 1QF 2＝45°，|F 1F 2|＝2c ，在△QF 1F 2中，由余弦定理可得16a 2＋4a 2－2×4a ×2a ×22＝4c 2， 化简得（5－22）a 2＝c 2，所以双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝5－22 . 故选B. 6．答案：D答案解析：如图，设椭圆的右焦点为F ′，则F ′（25 ，0），连接PF ′， 因为|OP |＝|OF |＝||OF ′ ，所以PF ⊥PF ′，所以||PF ′ ＝||FF ′2－|PF |2 ＝ （45）2－42＝8， 由椭圆的定义可得2a ＝|PF |＋||PF ′ ＝12，则a ＝6，又因为c ＝|OF |＝25 ，所以b 2＝a 2－c 2＝62－（25 ）2＝16， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.故选D.7．答案：x 28 ＋y 24＝1答案解析：由左焦点为F 1（－2，0），可得a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33 （x ＋2），圆心（0，0）到直线的距离d ＝2331＋（33）2＝1.由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3 b ，可得2b 2－1 ＝3 b ，解得b ＝2，a ＝22 ，则椭圆方程为x 28＋y 24＝1.8．答案：90答案解析：∵a ＝6，b ＝33 ，c ＝a 2－b 2＝3，易知C 1（－3，0）、C 2（3，0）为椭圆的两个焦点，|PM |2＋2|PN |2＝|PC 1|2－4＋2（|PC 2|2－1）＝|PC 1|2＋2|PC 2|2－6， 根据椭圆定义|PC 1|＋|PC 2|＝2a ＝12，设|PC 2|＝t ，则a －c ≤t ≤a ＋c ，即3≤t ≤9，则|PM |2＋2|PN |2＝（12－t ）2＋2t 2－6＝3t 2－24t ＋138＝3（t 2－8t ＋46）＝3（t －4）2＋90，当t ＝4时，|PM |2＋2|PN |2取到最小值90.二 能力小题提升篇1．答案：B答案解析：由题意得双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，所以l 的斜率满足|k |>34 ，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－34 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ . 2．答案：A答案解析：方法一 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x消去x 得y 2－4ty －4＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1·y 2＝－4. 由y M ＝y 1＋y 22 ＝2t ＝2，得t ＝1，∴S △AOB ＝12 |OF ||y 1－y 2|＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝22 . 方法二 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由⎩⎨⎧y 21 ＝4x 1，y 22 ＝4x 2得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝4y 1＋y 2＝1， 从而直线AB 的方程为y ＝x －1，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋y 2＋4＝8，而点O 到直线AB 的距离d ＝12＝22 ，从而S △AOB ＝12|AB |d ＝22 .3．答案：B答案解析：由题意知抛物线的焦点F 的坐标为（2，0）， 设过焦点F （2，0）的直线为y ＝k （x －2）（k ≠0）， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.将y ＝k （x －2）代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－4（k 2＋2）x ＋4k 2＝0.∵k 2≠0，∴x 1＋x 2＝4（k 2＋2）k 2 ＝4＋8k2 ，x 1x 2＝4.∵|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋8k 22－16 ＝10，∴k 2＝4，∴x 1＋x 2＝6， ∴△OAB 的重心的横坐标为x 1＋x 2＋03＝2.4．答案：D答案解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （m ，n ），则x 21 4 ＋y 21b2 ＝1，x 22 4 ＋y 22 b 2 ＝1，作差可得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）4＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2 ＝0，把x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝2n ，y 1－y 2x 1－x 2 ＝2代入，可得n m ＝－b 28 ＝－14，解得b ＝2 .5．答案：22答案解析：由题意可设A （x 1，y 1），F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ，B ()0，y 2 ，∵ AF → ＝FB → ，AF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，0－y 1 ，FB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－p 2，y 2－0∴ p 2 －x 1＝0－p2 ，∴x 1＝p ， ∴y 21 ＝2px 1＝2p 2.∵A 为抛物线上第一象限内一点， ∴y 1＝2 p,∴直线AF 的斜率为k ＝y 1－0x 1－p 2 ＝2pp －p 2＝22 ， ∴直线AB 的斜率为22 .6．答案：－14答案解析：设l 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y 2＝4x ，得x 2－（2b ＋4）x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0，即[－（2b ＋4）]2－4b 2＝0， 解得b ＝－1，∴l ：y ＝－x －1.由题意知MN 所在直线方程为y ＝－x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.设P （m ，－m －1）， 则PM → ＝（x 1－m ，y 1＋m ＋1），PN →＝（x 2－m ，y 2＋m ＋1）. ∴PM → ·PN →＝（x 1－m ）（x 2－m ）＋（y 1＋m ＋1）（y 2＋m ＋1） ＝x 1x 2－m （x 1＋x 2）＋m 2＋y 1y 2＋（m ＋1）（y 1＋y 2）＋（m ＋1）2. ∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴（y 1y 2）2＝16x 1x 2＝16，则y 1y 2＝－4，y 21 －y 22 ＝4（x 1－x 2），∴y 1＋y 2＝4（x 1－x 2）y 1－y 2＝－4，∴PM → ·PN → ＝1－6m ＋m 2－4－4（m ＋1）＋（m ＋1）2＝2（m 2－4m －3）＝2[（m －2）2－7]≥－14.当且仅当m ＝2时，即点P 的坐标为（2，－3）时，PM → ·PN →取最小值，为－14.三 高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图，由题知直线AP 的方程为y ＝36（x ＋a ），直线F 2P 的方程为y ＝3 （x －c ），过点P 作PB ⊥x 轴，交x 轴于点B .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝36（x ＋a ），y ＝3（x －c ）， 解得x P ＝6c ＋a 5 ，∴|F 2B |＝6c ＋a 5 －c ＝a ＋c 5.∵∠PF 2B ＝180°－120°＝60°，∴|F 2P |＝2（a ＋c ）5. 又∵△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，∴|F 2P |＝|F 1F 2|，即2c ＝2（a ＋c ）5，∴e ＝c a ＝14. 2．答案：D答案解析：方法一 由题知y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），则过焦点和点（0，b ）的直线方程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2 －y 2b2 ＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －yb ＝0，由l 与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1.方法二 由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），l 过点（1，0），（0，b ），所以b －00－1＝－1，b ＝1.3．答案：D答案解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23（x ＋2），联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为（1，2），N 为（4，4）.又∵抛物线焦点为F （1，0），∴FM → ＝（0，2），FN →＝（3，4）. ∴FM → ·FN →＝0×3＋2×4＝8.4．答案：163答案解析：由题意得直线方程为y ＝3 （x －1），联立方程，得⎩⎨⎧y ＝3（x －1），y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，∴x A ＋x B ＝103 ，故|AB |＝1＋x A ＋1＋x B ＝2＋103 ＝163.5．答案：255 55答案解析：如图，设圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12c 2＋y 2＝c 2的圆心为A ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，0 ，所以|F 1A |＝12 c＋c ＝32 c .设过点F 1且斜率为正的直线与圆A 切于点B ，连接AB ，则|AB |＝c ，所以在Rt△F 1AB中，|F 1B |＝|F 1A |2－|AB |2＝52c .所以直线F 1B 的斜率k ＝tan ∠BF 1A ＝|AB ||F 1B | ＝c 52c ＝255 .方法一 设P （c ，y 1）（y 1>0）.由点P 在椭圆上，得c 2a 2 ＋y 21 b2 ＝1，所以y 1＝b 2a（负值已舍去），所以|PF 2|＝b 2a .易得△F 1AB ∽△F 1PF 2，所以|AB ||PF 2| ＝|F 1B ||F 1F 2| ，即cb2a＝52c 2c ，所以4ac ＝5 b 2，即4ac ＝5 （a 2－c 2），所以5 e 2＋4e －5 ＝0，解得e ＝55（负值已舍去）. 方法二 设P （c ，y 1）（y 1>0）.由点P 在椭圆上，得c 2a 2 ＋y 21 b2 ＝1，所以y 1＝b 2a （负值已舍去），所以|PF 2|＝b 2a .所以tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||F 1F 2| ＝b 2a 2c ＝255，则4ac ＝5 b 2，即4ac＝5 （a 2－c 2），所以5 e 2＋4e －5 ＝0，解得e ＝55（负值已舍去）. 方法三 设P （c ，y 1）（y 1>0）.由点P 在椭圆上，得c 2a2 ＋y 21 b2 ＝1，所以y 1＝b 2a（负值已舍去），所以|PF 2|＝b 2a .由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝2a －b2a ，所以sin ∠PF 1F 2＝|AB ||F 1A |＝|PF 2||PF 1| ，即c 3c 2 ＝b 2a 2a －b 2a，可得b 2＝45 a 2.所以c ＝a 2－b 2 ＝55 a ，则e ＝c a ＝55. 四 经典大题强化篇1．答案解析：（1） 因为直线y ＝kx 交双曲线C 于M ，N 两点，所以M ，N 两点关于原点对称， 从而四边形MF 1NF 2是平行四边形． 设双曲线C 的焦距为2c ，则四边形MF 1NF 2的面积S ＝2×12×2c ×3＝12，解得c ＝2，从而F 1（－2，0），F 2（2，0），所以|MF 2|＝3，|MF 1|＝5于是2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝2，解得a ＝1，b ＝3所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.（2）设M （x 1，y 1），则N （－x 1，－y 1），由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1y ＝kx，得x 2a 2 －k 2b 2 x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－k 2b 2 x 2＝1， 因为MF 1·NF 1＝（－x 1－c ，－kx 1）（x 1－c ，kx 1）＝c 2－（k 2＋1）x 21 ＝0 所以c 2－（k 2＋1）11a 2－k2b2＝0，化简得k 2＝b 4a 2（b 2＋c 2） . 因为13≤k 2≤3，所以13 ≤b 4a 2（b 2＋c 2） ≤3. 由b 2a 2（b 2＋c 2）≤3，得e 4－8e 2＋4≤0， 解得1<e ≤3 ＋1 由13≤b 4a 2（b 2＋c 2） 得3e 4－8e 2＋4≥0， 解得e ≥2 .因此，e 的取值范围为[2 ，3 ＋1].2．答案解析：（1）依题意，a ＝2b ，椭圆E 的方程为：x 24b 2 ＋y 2b 2 ＝1，又椭圆E 过⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12 ，于是有34b2 ＋14b 2 ＝1，解得b 2＝1，a 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.（2）由（1）知A （0，－1），依题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m （k ≠0，m ≠－1），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线AP 的方程为y ＝y 1＋1x 1 x －1，令y ＝0，得点M 的横坐标为x M ＝x 1y 1＋1 ，同理得点N的横坐标为x N ＝x 2y 2＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋4y 2＝4消去y 并整理得，（4k 2＋1）x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝64k 2m 2－4（4k 2＋1）（4m 2－4）>0，即m 2<4k 2＋1，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1 ，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， 因此，x M x N ＝x 1x 2（y 1＋1）（y 2＋1） ＝x 1x 2（kx 1＋m ＋1）（kx 2＋m ＋1）＝x 1x 2k 2x 1x 2＋k （m ＋1）（x 1＋x 2）＋（m ＋1）2＝4m 2－44k 2＋1k 2·4m 2－44k 2＋1＋k （m ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋（m ＋1）2 ＝2，即4（m －1）m ＋1 ＝2，解得m ＝3， 直线l 的方程为y ＝kx ＋3，l 过定点（0，3）， 所以直线l 过定点（0，3）.。
专题二：直线与圆锥曲线的综合问题
专题二 直线与圆锥曲线的综合问题第一课时一.知识体系小结()()()222222222222222222cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y xy a b a bx y y x x a b y a b a b a b y px p y px p ϕϕϕ=⎧+=>>⇔⎨=⎩+=>>-=>>-=>>=>=->圆锥曲线的标准方程椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时．双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，．抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p =>=->，开口向上时，开口向下时．()()()()2222222222222222222222222211111(0)123142x y x y a b a b x y x ya b a b x y x ya b a bmx ny λλλλλλ+=+=---=-=---=-=≠+=常用曲线方程设法技巧共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m =≠=≠点在轴上，； 焦点在轴上，．3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式；(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．1212|||| |.AB AB x x y y ==-==-(5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 2220002220222000222020001()1()2(0)().b x x y P x y k a b a y b x x yP x y k a b a y py px p P x y k y +==--===>=圆锥曲线中点弦斜率公式在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．()()()()(1)(1234)05.()n k m n k mOA OB AB OA OB AB PM PN P MN AP AQ BP BQ A B PQ λ==+++=+=+解析几何与向量综合的有关结论给出直线的方向向量，或，，等价于已知直线的斜率或给出与相交，等价于已知过的中点．给出，等价于已知是的中点．给出，．等价于已知，与的中点三点共线．u u()()106//50AB AC AB AC OC OA OB A B C MA MB MA MB AMB MA MB m AMB MA MB m λλαβαβαβ=+==+⋅=⊥∠⋅=<∠⋅=>给出以下情形之一：①；②存在实数，使；③若存在实数，，且，使，等价于已知，，三点共线．给出，等价于已知，即是直角；给出，等价于已知是钝角或反向共线；给出()70()AMB MA MBMP MP AMB MA MBλ∠+=∠，等价于已知是锐角或同向共线．给出，等价于已知是的角平分线．二.例题剖析1.概念性质22121221259||12||______1____.x y F F F A B F A F B AB +=+==已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则【例】 解析:由椭圆的定义可知：|F 1A |+|F 2A |=2a =10，|F 1B |+|F 2B |=2a =10，所以|AB |=20-|F 2A |-|F 2B |=8.小结: 1．对椭圆、双曲线，已知曲线上的点与一个焦点的距离时，常作辅助线：连结它与另一个焦点，考虑使用定义解题．2．要熟悉焦点三角形的性质及研究方法()22121121123A 7B 5C 4D 3x y F F P PF y PF PF +=椭圆的焦点为，，在椭圆上，如果线段的中点在轴上，则是的．倍 【变式训练1】．倍．倍 ．倍2221122227b PF x PF PF a PF PF ⊥=====解析：由题意，轴，则可计算出，因此是的倍．答案为A2.椭圆方程()()()221122122211(0)1,01.12()..2y x C a b A C a bC P C y x h h R C P C M N AP MN h +==+∈已知椭圆：＞＞的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为求椭圆的方程；设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点、当线段的中点与的中点的横坐标相等时，】求【的最小值例()22212 . .114112b a x b b ay +=⎧=⎧⎪⎨⎨=⋅⎪==⎩⎩由题意解析：椭圆方程为，得，从而因此，所求的()211222212222222214221()()()|22.4(2)40.4(1)4()()40.16[2(2)4]0.2x t M x y N x y P t t h C P y t MN y tx t h C x tx t h t x t t h x t h MN C t h t h =+'==-++-+-=+--+--=∆=-++-+设，，，，，，则抛物线在点处的切线斜率为，直线的方程为：将上式代入椭圆的方程中，得即①因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以①式中的＞②设212332().22(1)x x t t h MN x x t +-==+线段的中点的横坐标是，则244342221.(1)10.2(1)401 3.320,401.1111.1t PA x x x x t h t h h h h h h h t h t h h +==+++=∆=+-≥≥≤-≤-+-≥==-==-设线段的中点的横坐标是，则由题意，得，即③由③式中的，得，或当时，＜＜，则不等式②不成立，所以当时，代入方程③得，将，代入不等式②的，检验成最小立以，值为．所()()()221222112210,0,02()0x y a b e F c a bF c Q x FQ a P x y QF T F Q PT TF T +=>>-==已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，是椭圆外且不在轴上的动点，满足，点，是线段与椭圆的交点，点是【变式训练2线段上的点，且满足，求点】的轨迹．()()()1122121112222222121211()(),022,2.24x y 24y 44.T x y Q x y F c PT TF FQ a T F Q x c x y y FQ a x c y x a a a c c ==+==++=-++==+不妨设，，，，如图所示，．且，得为的中点．因此有，则可得，因此有，化简因为又因为得解析：【例3】如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2的值及直线AB 的斜率．()()()22121212211222.1,2221 2.22(1)(1)111.()()4 1.2PA PB PA PB PA PB y px P p p y y PA k PB k k x k x x x PA PB k k A x y B x y y x x ==⨯=--=≠=≠--==-=-由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上，所以，解得故所求设直线的斜率为，直线的抛物线的方程是，其准线方程是斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以由，，，均解析：在抛物线22112244y x y x ==上，得， ① ， ②12121122122121221222241(2) 4.111()144AB y y y y k x x x x y y y y y y y AB y --=-+=-++=--===-≠-+---所以，所以，所以由①②得，直线的斜率为．2y x O A B OA OB AOB =⊥抛物线上异于坐标原点的两个相异的动点，满足，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，【变式训练3】请说明理由．()12112212121222222222211221122121212121212()()111.124(x y )(x y )(y )(y )[y y ]2241y y A x y B x y OA OB x x y y x x AOB S S OA OB S y y y y y y y y y y S y y ⊥=-=-====++=++=+++=++≥+=≥=解析：设，，，．因为，则有，所以，不妨设的面积为，则因此有，因此，当且仅当()()min 11,11,11.A B S =-=时取到最小值．即此时，，小结：抛物线焦点弦的性质：直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则有： (1)通径的长为2p ； (2)焦点弦公式：|AB |=x 1+x 2+p ；(3)x 1x 2=p 2/4，y 1y 2=-p 2. (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．第二课时一．知识体系小结 ()()()()()()122212222211221212121(0)||[]||[]||||[].123456tan ()21F PFx y F F a b P B a bO OP b a PF a c a c PF PF b a F PF F BF S b F PF θθ+=>>∈∈-+⋅∈∠≤∠==∠椭圆中的最值，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，为短轴的一个端点，为坐标原点，则有：，． ，． ，．． 焦点弦以通．径为最短．()()()12221222211221(00)12||.||.()ta 23nF PF x y F F a b P a bb O OP a PFc a S F PF θθ∆-=>>≥≥-==∠．双曲线中的最值，为双曲线，的左、右焦点，为双曲线上的任一点，为坐标原点，则有：．()()()()()22(0)||.234||2.()12|2|31pP y px p F PF AB AB p A m n PA PF b aa b=>≥≥+抛物线中的最值点为抛物线上的任一点，为焦点，则有：焦点弦以通径为最值，即，为一定点，则有最小值．双曲线的渐近线求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得．用法：①可得或的值；②利用渐近线方程设所求双曲线．．的方程．()()()3512直线与圆锥曲线的位置关系相离；相切；相交．特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点．②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有．一个公共点．【注】：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线：f (x ，y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0消元(x 或y )，若消去y 得a 1x 2＋b 1x＋c 1＝0.（1）若a 1＝0，此时圆锥曲线不是椭圆．当圆锥曲线为双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． （2）若a 1≠0，Δ＝b －4a 1c 1，则 ①Δ＞0时，直线与圆锥曲线，有 交点； ②Δ＝0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点； ③Δ＜0时，直线与圆锥曲线，没有．二．例题剖析1.定值问题()()22 1421()12x y M M A B M AB AMB +=已知椭圆方程为，点，，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于、两点异于．求证直线的斜率为定值；求面积的【例】最大值．解析：定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它涉及到直线，圆锥曲线的定义、方程及位置关系，同时又与三角、函数、不等式、方程、平面向量、导数等代数知识紧密联系．解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和识图能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整．()22 (0)((14111.2A B A B AB A BA B MA MA MB MA k k MA y k x x MB y k x y y y x x k x x AB >-=-=-+=-====-=证明：由题可知直线的斜率存在，且与的斜率互为相反数，不妨设直线的斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为，代入可分别求得，即直线的斜率为定值.2()2222221(0)124222000 2.22 2.||2A B A BxAB y x m m yx mx m m x x m x x m AB=+≠+=++-=∆><<+=-=-==设直线的方程为，代入得，，由，得而，所以222422max1||20241 1.AMBM AB d S AB d m m mm S==⋅=-+<< =±=点到直线的距离为则，又，当时，2.定点问题()()()1517(0).44122322F P F xP P C C y MC A B AMBA B AMB AB yππ∠=∠=已知点，，上半平面内的点到点和轴的距离之和为求动点的轨迹方程；设动点的轨迹方程为，曲线交轴于点，在曲线上是否存在两点，，使？若，是曲线上满足的两点，求【例证：直线与轴】交于一定点．()()()217()0.44(04)0,421(041)P x y y yP x y yp y>==--<≤=<≤解析：设点坐标为，，其中，化简得动点的轨迹方程为．这是一个以为顶点，，开口向下的抛物线的一部分其中．()()()() 2444(04)1,31,32.2MA y x MB y x x y y A BAMBπ-=-=-=--<≤-∠=考虑到抛物线的对称性，不妨设直线：，直线：，分别与联立，可得两个点的坐标为，，此时()()()()()2222214 4.4,444111(4)314()030,3 AM y kx BM y xky kx x kA k kx y y kB AB k ABk k ky k k x k x y AB yk=+=-+=+=-⎧⎧--⎨⎨=-(-)=-⎩⎩----=-+==设直线的方程为，直线的方程为由方程组，解得，即点坐标为．同理可得点坐标为，，则直线的斜率为，所以直线的方程为.令，得，从而直线与轴交于定点．()()221169411822A(0)B(0)C C.4,0D(0)1055x yA FAF B B BC C AC-=设为双曲线右支上一动点，为该双曲线的右焦点，连接交双曲线于，过作直线垂直于双曲线的右准线，垂足为，则直线必过定点．，【变式训练1，】．．，:41(01.)0A AB x 解析此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即与轴垂直时，便可得出一个定点，故选，3.最值问题()()()2210,14111()()22212||3y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求【例：动点的轨迹方程；的最大值】与最小值．()()222112221221212221220,1 1.1()()(4)230142144.()()()8222444:1l M k l y kx y kx A x y B x y k x kx y x k x x x x y y k k OP OA OB k k y y k =+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪++-⎪+=+==⎨++⎪+=⎪+⎩直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以，，解析则． ()()222222222()40.0,040.111112.||()()1644221713().||6126611||.44P x y k x y y AB P x y y P x x NP x y x x NP x NP +-=+-=≤-≤≤=-+-=-++=-=设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以点的轨迹方程为由点的轨迹方程知，即所以故当时，当时，取得最小值为 ()()()()20,2(02)2,0||0()120|2|M N Q P m PQ MP NP m R P m MP NP --⋅=∈=+已知定点、，、，动点满足． 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形【变式训练2状；当时，】求的取值范围．()()22222222222()(2)(2)(2)||(2)()4[(2)]4(1)(1)4440.1222,01(1P x y MP x y NP x y PQ x y PQ x y MP NP x y m x y x y m x m y mx m m x y m x =-=+=--=-+-⋅=+--+=+--+--++===≠-设，，则，，，，，，，所以，整理得，当时，方程为，表示过点平行于轴的直线；当时，方程化为解析：2222)()1122(0)11m y m m m m m +=----，表示以，为圆心，以为半径的圆．()[]2222042(3,32)|2|94|2|4022|2|824,m x y MP NP x y MP NP x x y MP NP y MP NP =+=+=-+=+=+=≤+-≤当时，方程化为，，所以，所以而的取值范围是所以．第三课时一．知识体系小结()1求轨迹方程的常用方法：轨迹法：①建系设动点．②列几何等式．③坐标代入得方程．④化简方程．⑤除去不合题意的1．点作答．(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数．(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法，代入法的步骤：①设出两动点坐标(x ，y )，(x 0，y 0)．②结合已知找出x ，y 与x 0，y 0的关系，并用x ，y 表示x 0，y 0. ③将x 0，y 0代入它满足的曲线方程，得到x ，y 的关系式即为所求．(4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程． 3．有关弦的中点问题 (1)通法． (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：①将两交点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程； ②作差消去常数项得到关于x 1+x 2，x 1-x 2，y 1+y 2，y 1-y 2的关系式． ③求出AB 的斜率 4．取值范围问题(1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a +c ，最小值为a -c ； (2)双曲线上的点到左焦点的最小距离为c -a ； (3)抛物线上的点到焦点的距离的最小值为p /2 .二．例题剖析1.参数范围问题()()()(01)0,1||()12||1G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，． 求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于【例】不同的两点、，且满足，试求的取值范围．()22222222()()()33(0)||3()(01)()1(0)33131(0)3x yC x y G ABC G GM AB R xGM AB M x C y x x M MA MC x x xx y y x λλ∆=∈=++=-++=+=≠≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点的轨迹方程为点在轴上，则，．由，得，整理．析得以解：所 ()()()22222222220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**2k l C P Q x AP AQ k l y kx m y k x kmx m l km k m k m ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即， 211221212221200000222263(1)()()13133()21313113||13-13AN km m P x y Q x y x x x x k k x x km mPQ N x y x y kx m k k mk AP AQ AN PQ k k k km k -+=-=+++==-=+=++++=⊥⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**11,00,121,1k m k k k +=<∈--得，代入得，所以．综合①②得，的取值范围是．222Rt 103ABC BC BC BC P Q l AP AQ PQ λ=++在中，斜边为，以的中点为圆心，作半径为的圆，分别交于、两点，设，试问是否是定值？如果是定值，请【变式训练1】求出这个值．()()222222222222336241002100366836104.O PQ O PAQ APDQ AP AQPQAD AD AO AP AQAP AQ PQ =+=+==+=+++=+=如图所示，建立直角坐标系．因为圆的半径为，因此，利用圆心，可构造得平行四边形，根据解析平行四边形的边长关系得，，而，因此，所以：2.存在性问题()()(01)220 3.132(0)(0)2||2x B x y k k Q l l M N BM BN l --+=≠=已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，，且其右焦点到直线的距离为求椭圆的方程；是否存在斜率为【例】，且过定点，的直线，使与椭圆交于不同的两个点、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．()()22222222222221122122121(0)1(,0)22323.23151(13)902349(133)()1x y a b b c a b c c a b c x l y kx y k x kx kM x y N x x y y x x MN P k +=>>=+===+==++=+++++=-==+设椭圆方程为，由已知得，设右焦点为，由题意得，解析：得，所以，得设直线的方程为，代入，得，设，，，，则，设的中椭圆方程点为为，22222293()||26263112526093122625663..312332BP k P BM BN B MN k k k k k k k k kk l l y x -=++++=-==∆>>-+>=±=±+则点的坐标为，，因为，所以点在线段的中垂线上，所以，化简得，又由得，，因为，所以故存在直线满足题意，的方程为()()()()()2201()212,00l y px p A B l x OAB O l P a a x x C ABC a =>>设直线与抛物线交于、两点，已知当直线经过抛物线焦点且与轴垂直时，的面积为为坐标【原点．求抛物线的方程；当直线经过点且与轴不垂直时，若在轴上存在点，使得为正三角形，变求的取式训练2】值范围．()()()22112200212022********1112.222()()(),0(0)22022OAB p pAB p O AB S p p p y x A x y B x y AB M x y C t l x my a y y x my a m y my a y m y x x m a ABC MC ==⨯⨯=====+⎧+=+≠--===⎨=⎩=+解析：由条件可得，又点到的距离为，，所以，因此抛物线的方程为设，，，，的中点为，，又设，直线：，由，所以，所以，所以，因为为正三角形，所以003211AB MC AB y MC AB x t m⊥=⊥=--，，由，得，()()222220012122222222222331.22314212113120006261(0)6t m a MC AB x t y x x y y m a t m m m a m m m m a a m m a a =++=(-)+=(-)+(-)(+-)+=(+)⋅(+)+=++=-≠><<所以又，得，化简得，因此可得，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围为，．3.综合问题()()()2221211213 41.1(2011)2()C x y C x y M M C P C P C C A B M P AB l =+-=已知抛物线：，圆：的圆心为求点到抛物线的准线的距离；已知点是抛物线上一点异于原点，过点作圆的两条切线，交抛物线于，两点，若过，两点的直线 l 垂直于，求直线浙江卷【例】的方程．()()10,421414.41174M p y M ==-+=解析：因为，且，所以准线方程为，因此点到准线的距离为()()()()()()()2222112212122222222222244()()()41() 1.20,411142412AB PMPM AB m P m mA x xB x x k x x k m m mPM AB k k x x m mP C k P y m k x m k k m m km m k m m -=+==-⊥⨯=-+-=--=-=+=+-+--+设，，，，，，，，因为，则，所以设过点且与圆相切的直线的斜率为，则过的圆的切线方程为，由圆心到切线的距离为，得所以，()()2224140m k m --+-=，()()()()()()222212112222112222121212221222(4)01042()1444232()12(1)()115PM m m k k y m k x m x k x m m m m x k y m k x m x k x m m m x k x x k k m x x m mm k k m m m m m m m m m m k --+=-=----=-+=-=----=+=+=+-+-=--+--=---=-=-==所以，设切线，则，所以，设切线，则，所以，所以，代入，得，所以，所以，234 4.115y x m -==±+()()22122211222212121(0)(,0)(,0)||2.0||0.12x y a b F c F c a bQ FQ a P FQ T F Q PT TF TF T C T C M F MF S b F MF +=>>-=⋅=≠∆=∠已知椭圆的左、右焦点分别是、．是椭圆外的动点，满足点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，求点的轨迹的方程；试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的【变式训练3】面积？若存在，求的正切值；若不存在，说明理由．()222111222121()0||0||2||2||1||||21T x y PT TF TF PT TF FQ PF PQ a PF PF a PQ PF T QF OT OT F F Q OT QF a T ⋅=≠⊥=+=+==∆==设，，因为，，所以，又，而由椭圆定义，所以，则为线段的中点，连结，为的中位线，则，即点的解析：轨迹方程222.x y a +=为 ()2222000002022022100200()||.122|2|()()x y a b M M x y y c S c y bb y a a M S b cb b a M a MFc x y MF c x y c c ⎧+=⎪=⎨=⨯⨯=⎪⎩≤≥=<≥=---=--假设存在点满足题意，设，，则，得而，当时，存在点，使；当时，不存在点．当时，，，，，222222212001212212121212||||cos 1||||sin .tan 2.22.MF MF x c y a c b MF MF F MF b S MF MF F MF b F MF M F MF ⋅=-+=-=∠==∠=∠=∠，即，又所以即存在点满足题意，且的正切值为 第四课时 直线与圆锥曲线的位置关系训练题A 组（基本训练题）一选择题：（每题5分，合计40分）1．抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （C ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．102. 过点（2，4）作直线与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，这样的直线有（ B ） Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条3. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP 的最小值为 （ A ）Ａ．23Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 4. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在5双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）AB ．CD ．36直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（ A ） Ａ．[)()+∞,55,1 Ｂ．（０，５） Ｃ．[)+∞,1 Ｄ．（１，５）7.过点（1，0）且与双曲线x 2－y 2=1只有一个公共点的直线有 （ C ）A ．1 条B ．2条C ．3 条D ．4条8．已知动点P （x ,y ）满足 5（x-1）2+(y-2)2=|3x+4y-11|，则P 点的轨迹是 （ A ） A 、直线 B 、抛物线 C 、双曲线 D 、椭圆二．填空题：（每题5分，合计30分）9. 一动点到y 轴的距离比到点(2，0)的距离小2，这个动点的轨迹方程是_______. （答案：y 2=8x 或y=0（x<0））10. 经过双曲线1322=-y x 的右焦点F 2作倾斜角为︒30的弦AB ，则AB F 1∆的周长为 .( 答案： 333+ )11. 过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A B ，两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为 ．（答案：53）12. 直线y=x －3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积是 ．4813. 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条314. 设P 是抛物线y 2=2x 上的点，Q 是圆（x －5）2+y 2=1上的点，则|PQ|的最小值为 2 三．解答题：（每题15分，合计30分） 15. 已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足23DQ DP =. （1）求动点Q 的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2OE OM ON =+ (O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-=，又 23DQ DP =∴ 000002332x x x x y y y y -==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩即 ， ∵ P 在⊙O 上，故22009x y +=∴ 22194x y += ， ∴ 点Q 的轨迹方程为22194x y +=（2）假设椭圆22194x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足1()2OE OM ON =+，则(1,1)E 是线段MN 的中点，且有12121212122212x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即，又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22194x y +=上∴ 22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得 ()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=， ∴ 121249MN y y k x x -==--， ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=. ∴ 椭圆上存在点M 、N 满足1()2OE OM ON =+，此时直线MN 的方程为 49130x y +-=16. 设1F 、2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点.（1）设椭圆C 上点3(3,)2到两点1F 、2F 距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ，试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，不必证明你的结论。
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(2)若直线l：y＝kx＋ 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且 · >2，求k的取值范围．
解析：(1)设双曲线C2的方程为 － ＝1(a>0，b>0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为 －y2＝1.
(2(－2 ，2 )时取等号，所以(S△PAB)max＝ .
∴ >2，即 >0，
解得 <k2<3.②
由①②得 <k2<1，
故k的取值范围为 ∪ .
[能力挑战]
6．(2018·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝ x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1, )为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
(k2＋4)x2＋ kx－ ＝0，∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
∴p·q＝(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，
∴ ＋ ＋ ＋ ＝0，
即k2－2＝0，k＝± .
5．已知椭圆C1的方程为 ＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
得(1－3k2)x2－6 kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2<1且k2≠ .①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋ )(kx2＋ )
＝(k2＋1)x1x2＋ k(x1＋x2)＋2
＝ .
又∵ · >2，即x1x2＋y1y2>2，
所以b＝ .
2．已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为 .直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为 时，求k的值．
解析：(1)由题意得
解得b＝ ，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
(2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
所以|MN|＝
＝
＝ .
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝ ，
所以△AMN的面积为S＝ |MN|·d
＝ ，
由 ＝ ，解得k＝±1.
3．过椭圆 ＋ ＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程．
解析：(1)由题可知，双曲线的离心率为 ，则椭圆的离心率e＝ ＝ ，
由2a＝4， ＝ ，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝ ，b＝ ，
故椭圆M的方程为 ＋ ＝1.
(2)联立方程 ，得4x2＋2 mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2 m)2－16(m2－4)>0，得－2 <m<2 .
且 所以|AB|＝ |x1－x2|＝ · ＝ · ＝ · .又P到直线AB的距离为d＝ ，所以S△PAB＝ |AB|·d＝ · · ＝ ＝ ≤ · ＝ .
(1)求曲线C的方程；
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p＝( x1， y1)，q＝( x2， y2)，且p·q＝0，若直线MN过点 ，求直线MN的斜率．
解析：(1)由题可得： ，解得m＝4，n＝1.
∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1.
(2)设直线MN的方程为y＝kx＋ ，代入椭圆方程y2＋4x2＝1得：
直线与圆锥曲线专题
1．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋ ＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解析：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝ .
解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
由于A、B两点均在椭圆上，
故 ＋ ＝1， ＋ ＝1，
两式相减得
＋ ＝0.
又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝ ＝－ .
∴直线AB的方程为y－1＝－ (x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
4．(2018·郑州市第二次质量检测)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线过A ，B 两点，O为坐标原点．
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝ .
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝ |x2－x1|，
即 ＝ |x2－x1|.
则 ＝(x1＋x2)2－4x1x2＝ － ＝ ，因为0<b<1.