直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题适用学科高中数学适用年级高二适用区域陕西西安课时时长（分钟）60分钟知识点范围问题对称问题定点、定值、最值等问题教学目标进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择.教学重点能利用解析法研究圆锥曲线中的范围问题、对称问题和最值问题．教学难点定点、定值、最值等问题的探究过程．教学过程一、复习预习圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.二、知识讲解考点1范围问题求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．考点2对称问题要抓住对称包含的三个条件：(1)中点在对称轴上(2)两个对称点的连线与轴垂直(3)两点连线与曲线有两个交点(0>∆),通过该不等式求范围考点/易错点3定点、定值、最值等问题定点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．三、例题精析【例题1】【题干】已知椭圆1:22221=+by a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当椭圆的离心率e 满足2223≤≤e ，且0=⋅OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】[]6,5【解析】由⎩⎨⎧=-+=+01222222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a由()0122222>-+=∆b a b a ，得122>+b a此时222212b a a x x +=+，()2222211ba b a x x +-=由0=⋅OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x即022222=-+b a b a ，故12222-=a a b由222222ab a ac e -==，得2222e a a b -= ∴221112ea -+= 由2223≤≤e 得23452≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为[]6,5【例题2】【题干】已知椭圆132:22=+y x C ，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4:，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称. 【答案】522522<<-m 【解析】解法一：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则AB 所在直线为b x y +-=41.与椭圆联立得：06282522=-+-b bx x ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯-=+==+=25242544122542210210b b b y y y b x x x∵C 在m x y +=4上, ∴m b b +⨯=42542524， 825m b =.又∵ ()062825422>-⨯-=∆b b ，故8252<b ，即8258252<⎪⎭⎫ ⎝⎛m ，解得：522522<<-m . 由上可知: 当 522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称. 解法二：设存在两点()11,y x A 、()22,y x B 关于l 对称，中点为()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+62362322222121y x y x ， 得 ()()4123230021212121-=-=++-=--y x y y x x x x y y ， ∴ 006x y =联立m x y +=004，解的20mx =，m y 30=, ∵M 在椭圆内部，∴()1332222<+⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 即522522<<-m 由上可知: 当522522<<-m 时,椭圆C 上有不同两点关于直线m x y +=4对称.【例题3】【题干】已知P 、Q 是椭圆124:22=+y x C 上的两个动点，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1M 是椭圆上一定点，F 是其左焦点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；【解析】证明：设()11,y x P 、()22,y x Q ，由椭圆的标准方程为12422=+y x 知 ()()1212121212222222x x x y x PF +=-++=++=同理2222x OF +=，222+=MF ． ∵QF PF MF +=2，∴()212242222x x ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴221=+x x ①当21x x ≠时，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+424222222121y x y x ，得()()0222212221=-+-y y x x ，从而有2121212121y y x x x x y y ++-=-- 设线段PQ 的中点为()n N ,1，由nx x y y k PQ 212121-=--=，得线段PQ 的中垂线方程为()12-=-x n n y ∴()012=--y n x ，该直线恒过一定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．②当21x x =时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1Q ，或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26,1Q ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,1P 线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，∴线段PQ 的中垂线恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ．四、课堂运用【基础】1.已知A 、B 、C 三点在曲线x y =上，其横坐标依次为1，m ,4(41<<m )，当ABC∆的面积最大时，m 等于( )A.3B.49 C.25 D.23 【答案】B【解析】由题意知()1,1A ，()m m B ,,()2,4C .直线AC 所在方程为023=+-y x ,点B 到该直线的距离为10|23|+-=m m d .|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵()4,1∈m ,∴当23=m 时，ABC S ∆有最大值，此时49=m . 2.设R v u ∈,，且2≤u ,0>v ,则()22292⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-v u v u 的最小值为( )A.4B.2C.8D.22【答案】C【解析】考虑式子的几何意义，转化为求圆222=+y x 上的点与双曲线9=xy 上的点的距离的最小值.3.A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使2π=∠OPA ,则椭圆离心率的范围是_________. 【答案】122<<e【解析】设椭圆方程为12222=+b y a x (0>>b a ),以OA 为直径的圆：022=+-y ax x ,两式联立消y 得022222=+--b ax x ab a .即0222=+-b ax x e ,该方程有一解2x ,一解为a ,由韦达定理x 2=a eax -=22,a x <<20，即12202<<⇒<-<e a a e a . 4.一辆卡车高3米，宽6.1米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是_________. 【答案】13【解析】由题意可设抛物线方程为ay x -=2,当2a x =时，4ay -=；当8.0=x 时，a y 64.0-=.由题意知364.04≥-aa ,即056.2122≥--a a .解得a 的最小整数为13.【巩固】1.已知抛物线12-=x y 上一定点()0,1-B 和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，PQ BP ⊥，则Q 点的横坐标的取值范围是_________.【答案】(][)+∞-∞-,13,【解析】设()1,2-t t P ，()1,2-s s Q∵PQ BP ⊥,∴1)1()1(11222-=----⋅+-ts t s t t , 即()0112=+--+s t s t∵R t ∈,∴必须有()()01412≥-+-=∆s s .即0322≥-+s s ,解得3-≤s 或1≥s .2.已知直线1-=kx y 与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 经过点()0,2-P 及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.【答案】22+>b 或2-<b【解析】设()11,y x A ,()22,y x B .由⎩⎨⎧=--=1122y x kx y ,得()022122=-+-kx x k , 又∵直线AB 与双曲线左支交于A 、B 两点，故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-0120120)1(8)2(01221221222k x x k k x x k k k解得12-<<-k ，设()00,y x Q ，则221012k k x x x +-=+=，111200-=-=k kx y ． l 的斜率为22121112022200-+=+--=+-k k k k k x y ． ∴l 的方程为()22212+-+=x k k y ． 令0=x ，则2222-+=k k b ，又()1,2--∈k ， ∴()22,1222--∈-+k k ，即22+>b 或2-<b3.已知抛物线x y C 4:2=.(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合，试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程；(2)若()0,m M 是x 轴上的一定点，Q 是(1)所求轨迹上任一点，试问MQ 有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.【答案】⑴12-=x y （1>x ）;⑵45m in-=m MQ【解析】由抛物线x y 42=,得焦点()0,1F ,准线1:-=x l .(1)设()y x P ,，则()y x B 2,12-,椭圆中心O ',则e BF O F =':,又设点B 到l 的距离为d ,则e d BF =:,∴d BF BF O F ::=',即()()()22222222-=+-x x y x ,化简得P 点轨迹方程为12-=x y （1>x ）.(2)设()y x Q ,,则()45211)(2222-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-=+-=m m x x m x y m x MQ （1>x ）(ⅰ)当121≤-m ,即23≤m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在()+∞,1上递增，故t 无最小值，亦即MQ 无最小值.(ⅱ)当121>-m ,即23>m 时，函数45212-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m m x t 在21-=m x 处有最小值45-m ,∴45m in -=m MQ .【拔高】1.如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且AB OD ⊥，Q 为线段OD 的中点，已知4=AB ，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持PB PA +的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设λ=DNDM，求λ的取值范围. 【答案】(1)1522=+y x ；(2)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ． 【解析】(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系， ∵45212222=>=+=+=+AB QB QA PB PA . ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则522=a ,∴5=a ,2=c ,1=b .∴曲线C 的方程为1522=+y x . (2)设直线l 的方程为2+=kx y ,代入1522=+y x ,得()015205122=+++kx x k . ()()0511542022>+⨯-=∆k k ,得532>k .由图可知λ==21x x DN DM由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将21x x λ=代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ ∵532>k ，35102<<k ，∴5205152<+<k ，即3165138042<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<k ∴()31614<+<λλ，∵0>=DN DMλ,∴解得331<<λ ①∵DNDMx x ==21λ，M 在D 、N 中间，∴1<λ②又∵当k 不存在时，显然31==DN DM λ (此时直线l 与y 轴重合). 综上⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,31λ课程小结解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.课后作业【基础】1.已知抛物线px y 22=上有一内接正AOB ∆，O 为坐标原点.求证：点A 、B 关于x 轴对称；xyOAB【解析】设()11,y x A ，()22,y x B ，∵OB OA =，∴22222121y x y x +=+，∴22212122px x px x +=+，即()()022121=++-p x x x x ，∵01>x ，02>x ，0>p ，∴21x x =，21y y -=，故点A 、B 关于x 轴对称2.若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M 交椭圆149:22=+y x C 于A 、B 两点，若A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【答案】02598=+-y x【解析】()1,2-M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，则421-=+x x ，221=+y y又1492121=+y x ，1492222=+y x ，两式相减得：04922212221=-+-y y x x ， 化简得()()()()09421212121=-++-+y y y y x x x x ， 把421-=+x x ，221=+y y 代入得981212=--=x x y y k AB故所求的直线方程为()2211--=-x y ，即042=-+y x 所以直线l 的方程为 ：02598=+-y x .3.在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称，求k 的取值范围. 【答案】()0,1-【解析】 （1）当0=k 时，曲线上不存在关于直线对称的两点．（2）当0≠k 时，设抛物线x y 42=上关于直线对称的两点()11,y x A ，()22,y x B ，AB 的中点为()00,y x M ，则直线AB 的斜率为k 1- ，可设直线b x ky AB +-=1: 代入x y 42=得0442=-+kb ky y016162>+=∆kb k （*） k y y 421-=+，kb y y 421-=⋅k y 20-=，()kb k kb y y k x x 24222121+=++-=+，kb k x +=202∵M 在直线3+=kx y 上，∴()3222++=-kb k k k ∴kk bk 3222---=， 代入（*）得即()()01312<⋅+-+kk k k 又032>+-k k 恒成立，所以01<<-m ． 综合（1）（2），k 的取值范围是()0,1-【巩固】1.已知P 是椭圆124:22=+y x C 的动点，点⎪⎭⎫⎝⎛0,21A 关于原点O 的对称点是B ，若PB 的最小值为23，求点P 的横坐标的取值范围． 【答案】2-=x 或20≤≤x 【解析】由⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21A ，得⎪⎭⎫⎝⎛-0,21B ，设()y x P ,()47121222121222222++=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x y x PB ，∵23≥PB ，()49471212≥++x ，解得0≥x 或2-≤x 又22≤≤-x ∴2-=x 或20≤≤x2. 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45 【解析】 设()11,y x A ，()22,y x B ，()00,y x M ， 因AB 与x 轴不平行，故可设AB 的方程为a my x +=， 将它代入x y =2得02=--a my y ， ∴m y y =+21，a y y -=21由92=AB 得()()912212=-+y y m 即()()[]941212212=-++y y y y m∴()()94122=++a m m ，∴()414922m m a -+= （*） ()221210my y y =+=，()()a m a y y m x x x +=++=+=22221221210， 将（*）代入得()()4541234141149414922220=-≥-+++=++=m m m m x 当且仅当()4114922+=+m m 即22=m 时取等号，此时，41=a ，220±=y ，450=x 所以，点M 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,45或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,45时，到y 轴的最短距离最小，最小值为45．3．已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F 1、2F 为顶点的三角形的周长为()124+．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121=⋅k k .【答案】(1)14422=-y x ；(2)见解析． 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：22=a c ， ()12422+=+c a ，所以a ＝22，c ＝2， 又222c b a +=，因此2=b .故椭圆的标准方程为14822=+y x . 由题意设等轴双曲线的标准方程为12222=-my m x （0>m ），因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以2=m ，因此双曲线的标准方程为14422=-y x . (2)证明：()00,y x P ， 则2001+=x y k ，2002-=x y k . 因为点P 在双曲线422=-y x 上，所以42020=-y x .因此14222020000021=-=-⋅+=x yx y x y k k ， 即121=k k .【拔高】1．已知椭圆C 过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M ，两个焦点为()0,1-A ，()0,1B ，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点()0,1-A ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求BPQ ∆的面积的最大值．【答案】(1)13422=+y x ；(2)3． 【解析】(1)由题意，1=c ，可设椭圆方程为112222=++by b x . 因为M 在椭圆上，所以1491122=++bb ， 解得32=b ，432-=b (舍去)． 所以椭圆方程为13422=+y x . (2)设直线l 方程为1-=ky x ，()11,y x P ，()22,y x Q ，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+⇒=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=4394360963413412212212222k y y k k y y ky y k yx ky x 所以4311221222121++=-⋅=∆k k y y F F S BPQ. 令t k =+12，则1≥t ，所以tt S BPQ 1312+=∆，而tt 13+在[)+∞,1上单调递增， 所以31312≤+=∆tt S BPQ ，当1=t 时取等号，即当0=k 时，BPQ ∆的面积最大值为3.。
直线和圆锥曲线的综合问题
第九节直线和圆锥曲线的综合问题[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或1＋1k2|y 1－y 2|.典题导入[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]例2．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，求△ABC 面积的最大值。
例3．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．。
直线与圆锥曲线综合问题的求解策略
＇ ２
。 ＋ ） ， Ｙ ２ ＜ ０ ” 是解答 本题 的关键． 本 题是求 参数 范围 问
变量之 间的等式关 系 （ 一般 可化为 函数关系 ） ， 通 过求解
题， 这类 问题 的解题思路一般有 ２ 种： 其一是寻 找参 数与某
于点 Ｅ时 ， 为Ａ 中点 ， 此时 ｔ ＝１ ； 当点 Ｆ位 于点 Ｃ时 ， Ｋ
Ｓ Ａ Ａ Ｏ Ｃ ￣ － 丁 １ ・ ・ ÷ 。 ＝ 字 。 ２ ，
从 而
故选 Ｄ ．
为 Ａ Ｂ 上 距 离 Ａ 点 ÷ 的 点 处 ， 此 时 ｔ ＝ 丁 １ ． 因 此 ｔ ∈ （ ＿ 芝 １ ＿ ， １ ） ．
２
，
（ ２ ０ １ ０年浙江省数学 高考理科试题 ）
分析 （ １ ） 不难 求得直线 ｆ 的方程为
ｘ 一
分析 （ １ ） 不难求 得椭 圆 Ｃ的方程为 ＋ ｙ ２ ＝１ ．
二
矗 一１＝ ０ ． Ｑ （ ， Ｙ ２ ） ， Ｎ（一２ ， Ｙ ｏ ） ， Ｚ 的方程为
（ ２ ） 设 Ａ（ ｌ ， ｙ 。 ） ， 曰 （ ２ ， Ｙ ２ ） ， 则
“
直线 与圆锥 曲线综 合问题 的求解 策 略主 要有 ２种 ： 线
参数法与 点参数法． １ ． １ 线参数 法 。
所谓 “ 线参数法 ” ， 是 将条件 或结 论 用坐 标 （ 直 线 与圆 锥 曲线 的交点坐标 ） 表示 为 １ ± ２ ， Ｘ １ ２ （ 或Ｙ ± Ｙ ２ ， Ｙ ｌ Ｙ ２ ） ， 通过 直线 方程与圆锥 曲线方程 联立 ， 用 韦达 定理 或求 交点 坐标等来 求解的方法． 其 中将 条件 或结 论用 坐标表 示 是线 参数法 的关键．
直线与圆锥曲线的综合应用
直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换 （7）x,y ，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等1：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。
解：（Ⅰ）Q 离心率21=e ，2213144b a ∴=-=，即2243b a =（1）；又椭圆过点)23,1(，则221914a b +=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为22143x y +=。
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：222(34)84120k x mkx m +++-=， Q 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，2222644(34)(412)0m k k m ∴∆=-+->，即2243m k <+ (1)由韦达定理得：21212228412,3434mk m x x x x k k -+=-=++， 则2000222443,343434mk mk mx y kx m m k k k =-=+=-+=+++，直线AG 的斜率为：22232434413234348AGmm k K mk mk k k +==-----+， 由直线AG 和直线MN 垂直可得：22413234m k mk k=----g ，即2348k m k +=-，代入（1）式，可得22234()438k k k +<+，即2120k >，则1010k k ><-。
第40讲 圆锥曲线综合问题【理科】
第四十讲 圆锥曲线综合问题复习目标：1、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2、掌握弦长与距离的求法。
一、基础知识回顾：1、直线与圆锥曲线的位置的判定由直线与圆锥曲线（含圆）的方程联立后，消去一个未知数（如y ），得到一个关于另一个未知数（如）的一元二次方程，则可根据判别式∆来讨论交点的个数：思考：（1）平行于抛物线轴的直线与抛物线交点的个数为多少？ （2）平行于双曲线渐近线的直线与双曲线交点的个数为多少？2、斜率为k 的直线与圆锥曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则弦长||AB =__________________。
3、如果在设直线方程时设计斜率，要注意分_________________、_______________两种情况进行讨论；为了避免讨论，过焦点(,0)F c 的直线，可设为________________。
4、圆锥曲线过焦点的弦成为焦点弦，求焦点弦的长度时，除用弦长公式外，还可用___________________________求弦长。
二、基础知识自测1、直线与抛物线有一公共点是直线与抛物线相切的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件2、已知双曲线2213y x -=，过点(2,1)P 作一直线交双曲线与,A B 两点，并使P 为AB 中点，则直线AB 的斜率为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的远的方程为（ ）A 、221090x y x +-+=B 、221090x y x +--=C 、221090x y x +++=D 、221090x y x +++= 4、已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度为（ ）A 、B 、C D5、直线:(l y k x =与曲线221(0)x y x -=>相交于,A B 两点，则直线l 的倾斜角范围是（ ）A 、[0,)πB 、3(,)(,)4224ππππC 、[0,)(,)22πππD 、3(,)44ππ6、直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y t+=恒有公共点，则t 的取值范围是________________。
第八章第十节圆锥曲线的综合问题理 (1)
第八章 第十节 圆锥曲线的综合问题（理）题组一 直线和圆锥曲线的位置关系问题1.若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 解析：由直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点得4m 2＋n 2>2，m 2＋n 2<4，点(m ，n )表示的区域在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为2个．答案：B2．抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆共有 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个解析：由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．答案：C3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my －m ， 消去x 得y 2－2mpy ＋2pm ＝0，∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4p 2m 2－8pm .又焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0在x －my ＋m ＝0上，∴p ＝－2m ，∴|y 1－y 2|＝4m 4＋m 2，∴S △OAB ＝12×p 2|y 1－y 2|＝22， －m m 4＋m 2＝2，平方得m 6＋m 4＝2.答案：2题组二 直线与圆锥曲线相交中的弦长问题4.(2009·全国卷2A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝ ( ) A.13 B.23 C.23 D.223解析：过A 、B 作拋物线准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由拋物线定义可知，|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，∵2|BF |＝|AF |，∴|AA 1|＝2|BB 1|，即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ⇒消去x 得： y 2－8k y ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3y B ＝8k ，2y 2B ＝16⇒消去y B 得k ＝223. 答案：D5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2 解析：设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b ⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M (－12，－12＋b )， 又M (－12，－12＋b )在直线x ＋y ＝0上可求出b ＝1， ∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12(－1)2－4×(－2)＝3 2.答案：C6．(2008·全国卷Ⅱ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．解析：F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x －1.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ⇒x 2－6x ＋1＝0⇒x ＝3±2 2. ∵|F A |>|FB |，由抛物线定义知A 点的横坐标为3＋22，B 点的横坐标为3－2 2. |F A ||FB |＝x A ＋1x B ＋1＝4＋224－22＝2＋22－2＝6＋422＝3＋2 2. 答案：3＋2 2 题组三 最值与取值范围问题 7.(2009·银川模拟)已知对∀k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 5＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1,5) 解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点，只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴1m≤1， 又m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率e 的最大值为________．解析：设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎨⎧ |PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，∴cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2. ∵cos θ∈[－1,1)，∴1＜e ≤53. 答案：53题组四 综 合 问 题9.(1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点(0,2)，并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足OP ·OQ ＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M 为动圆圆心，F (2，0)，过点M 作直线x ＝－2的垂线，垂足为N ，由题意知：|MF |＝|MN |，即动点M 到定点F 与到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线，所以动圆圆心轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题可设直线l 的方程为x ＝k (y －2)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k (y －2)y 2＝8x ，得y 2－8ky ＋16k ＝0， Δ＝(－8k )2－4×16k >0，解得k <0或k >1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝16k ，由OP ·OQ ＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即k 2(y 1－2)(y 2－2)＋y 1y 2＝0，整理得：(k 2＋1)y 1y 2－2k 2(y 1＋y 2)＋4k 2＝0，代入得16k (k 2＋1)－2k 2·8k ＋4k 2＝0，即16k ＋4k 2＝0，解得k ＝－4或k ＝0(舍去)，所以直线l 存在，其方程为x ＋4y －8＝0.10．已知双曲线C ：x 21－λ－y 2λ＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON ＝0，其中点O 为坐标原点． 解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由已知易求B (1,0)，当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x ＝1，设M (1，y 0)，N (1，－y 0)(y 0＞0)，由OM ―→·ON ―→＝0，得y 0＝1，∴M (1,1)，N (1，－1)．又M (1,1)， N (1，－1)在双曲线上，∴11－λ－1λ＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝－1±52， ∵0＜λ＜1，∴λ＝5－12.当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 21－λ－y 2λ＝1，y ＝k (x －1)，得：[λ－(1－λ)k 2]x 2＋2(1－λ)k 2x －(1－λ)(k 2＋λ)＝0，由题意知：λ－(1－λ)k 2≠0，∴x 1＋x 2＝－2k 2(1－λ)λ－(1－λ)k 2，x 1x 2＝－(1－λ)(k 2＋λ)λ－(1－λ)k 2， ∴y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2λ2λ－(1－λ)k 2， ∵OM ·ON ＝0，且M 、N 在双曲线右支上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＋y 1y 2＝0x 1＋x 2＞0x 1x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝λ(1－λ)λ2＋λ－1k 2＞λ1－λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ(1－λ)λ2＋λ－1＞λ1－λλ2＋λ－1＞0⇒5－12＜λ＜23. 综上，知5－12≤λ＜23. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)． 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1. ∴|AB |2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0) ≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立． 当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述，|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值：S max ＝12×|AB |max ×32＝32.。
高考数学二轮复习考点十六《直线与圆锥曲线综合问题》课件
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近 线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析 由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC
解析 对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正 确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射 影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正 确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜 率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此 时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.
高三数学专题复习 直线与圆锥曲线的综合问题教案高三全册数学教案_1
课堂同步练习：3．(2021·高考)直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．假设该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，那么a的取值范围为________．解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由解得a≥1.答案[1，＋∞)4．(2021·高考改编)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公一一共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公一一共点．假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是________．解析|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，那么(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，∴离心率e＝＝＝.答案考点探究打破典型例题讲解，先让学生自己考虑，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答过程，要求学生自己做题时要标准。
同时给出做这种题的思路指导，并且加以总结，指出要记住的，要注意的，易错点等。
3x2－4x＝0，即A(0，)，B，所以可得|AB|＝；将y＝x＋m代入＋＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，那么|CD|＝＝，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0时，|CD|获得最大值4，∴四边形ABCD面积的最大值为|AB|·|CD|＝.。
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第３2练 直线与圆锥曲线得综合问题［题型分析·高考展望］ 本部分重点考查直线与圆锥曲线得综合性问题,从近几年得高考试题来瞧,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线得联立外,在填空题中出现得圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分得主要特点就是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍得效果。
预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆得位置关系进行命题,有时会与向量得共线、模与数量积等联系起来;对于方程得求解,不要忽视轨迹得求解形式,后面得设问将就是对最值、定值、定点、参数范围得考查,探索类与存在性问题考查得概率也很高.常考题型精析题型一 直线与圆锥曲线位置关系得判断及应用例1 (１)(2０15·福建改编)已知椭圆E :x 2a 2＋y ２b 2＝１(a ＞b ＞０)得右焦点为F ,短轴得一个端点为M ,直线l :3ｘ—4y =0交椭圆Ｅ于A ,Ｂ两点。
若ＡF ＋BF =4,点M 到直线l 得距离不小于＼f(4,5),则椭圆E 得离心率得取值范围就是_＿__＿_＿____＿__＿_。
(２)设焦点在x 轴上得椭圆M 得方程为错误!＋错误!＝１ (b >0),其离心率为错误!. ①求椭圆Ｍ得方程;②若直线l 过点Ｐ(0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交?点评 对于求过定点得直线与圆锥曲线得位置关系问题,一就是利用方程得根得判别式来确定,但一定要注意,利用判别式得前提就是二次项系数不为零;二就是利用图形来处理与理解;三就是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线得位置关系也不同. 变式训练1 已知椭圆C :ｘ2ａ2+y 2b 2＝1(ａ＞b >0)得焦距为4,且过点P (２,＼r(3))。
(１)求椭圆Ｃ得方程;(2)设Q (x ０,ｙ0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴得垂线,垂足为E 、取点A (0,2＼r(２)),连结AE ,过点A 作AE 得垂线交x 轴于点D 。
点G 就是点D 关于ｙ轴得对称点,作直线Q Ｇ,问这样作出得直线ＱＧ就是否与椭圆Ｃ一定有唯一得公共点?并说明理由、 题型二 直线与圆锥曲线得弦得问题例２ 设椭圆C :x ２a 2+错误!＝1 (ａ>ｂ>0)得左,右焦点分别为Ｆ1,F 2,且焦距为6,点Ｐ就是椭圆短轴得一个端点,△PF 1F 2得周长为16。
(1)求椭圆Ｃ得方程;(2)求过点(3,0)且斜率为４5得直线ｌ被椭圆C 所截得得线段中点得坐标。
点评 直线与圆锥曲线弦得问题包括求弦得方程,弦长,弦得位置确定,弦中点坐标轨迹等问题,解决这些问题得总体思路就是设相关量,找等量关系,利用几何性质列方程(组),不等式(组)或利用一元二次方程根与系数得关系,使问题解决、变式训练2 在平面直角坐标系x Ｏy 中,已知椭圆Ｃ得中心在原点Ｏ,焦点在ｘ轴上,短轴长为2,离心率为22。
(1)求椭圆C 得方程;(2)Ａ,B 为椭圆C 上满足△A ＯＢ得面积为６4得任意两点,Ｅ为线段AB 得中点,射线OE 交椭圆C 于点P .设错误!＝t 错误!,求实数t 得值、高考题型精练1、(2０15·北京)已知椭圆C :x ２+３y 2=3,过点Ｄ(１,０)且不过点Ｅ(2,1)得直线与椭圆C 交于Ａ,B 两点,直线AE 与直线x =3交于点M 。
(1)求椭圆C 得离心率;(2)若A Ｂ垂直于x 轴,求直线BM 得斜率;(３)试判断直线ＢM 与直线DE 得位置关系,并说明理由。
２。
如图,已知抛物线Ｃ得顶点为O (0,０),焦点为F (０,1)、(1)求抛物线C 得方程;(2)过点F 作直线交抛物线Ｃ于Ａ,B 两点、若直线AO 、BO 分别交直线l :y ＝ｘ-２于Ｍ、Ｎ两点,求M Ｎ得最小值。
3、(201５·南京模拟)已知抛物线C 得顶点为原点,其焦点F (0,ｃ)(c >0)到直线l :x —y —2=0得距离为错误!.设Ｐ为直线l 上得点,过点P 作抛物线C 得两条切线P A ,ＰＢ,其中A ,B 为切点. (１)求抛物线C 得方程;(２)当点P (x 0,ｙ0)为直线ｌ上得定点时,求直线ＡB 得方程;(3)当点P 在直线l 上移动时,求A Ｆ·ＢF 得最小值。
4.已知点A ,B 就是抛物线C :y 2＝２p ｘ (p >0)上不同得两点,点D 在抛物线C 得准线l 上,且焦点F 到直线ｘ—ｙ＋2=０得距离为3＼ｒ(2)2. (1)求抛物线C 得方程;(2)现给出以下三个论断:①直线ＡB 过焦点F ;②直线AD 过原点O ;③直线BD 平行于ｘ轴、 请您以其中得两个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出一个正确得命题,并加以证明。
答案精析第32练 直线与圆锥曲线得综合问题常考题型典例剖析例１ (１)错误!解析 设左焦点为F 0,连结Ｆ0A ,F 0B ,则四边形ＡＦBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF =4,∴AF ＋ＡF ０＝４,∴a =2、设M (０,ｂ),则错误!＝错误!≥错误!,∴1≤b 〈2。
离心率e =＼f(c,a )=c ２a 2＝a 2—b 2a 2＝ 错误!∈错误!、 (2)解 ①因为椭圆M 得离心率为2２, 所以4－ｂ24=错误!2,得ｂ2＝2. 所以椭圆M 得方程为＼f(x 2,4)＋y 22＝1. ②(ⅰ)过点P (０,4)得直线l 垂直于x 轴时,直线l 与椭圆M 相交。
(ⅱ)过点P (０,4)得直线ｌ与ｘ轴不垂直时,可设直线l 得方程为y ＝kx ＋４。
由错误! 消去y ,得(1＋2k 2)ｘ2＋１6kx ＋28=0.因为直线l 与椭圆M 相交,所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k ２)×２８=16(2ｋ2－7)>0,解得ｋ<－＼f(14,2)或k >1４2。
综上,当直线l 垂直于x 轴或直线l 得斜率得取值范围为错误!∪错误!时,直线l 与椭圆M 相交. 变式训练1 解 (1)由已知条件得椭圆C 得焦点为F 1(－2,0),Ｆ２(2,0),ＰF １＝错误!=错误!=2错误!＋1,PF 2＝错误!＝错误!＝2错误!－1,2ａ＝PF 1+PF 2=４＼ｒ(２),则ａ=２错误!、b 2=a 2－c ２＝4,因此椭圆C 得方程为x ２8+y 24＝1。
(2)设D (ｘ1,0),错误!=(-x 1,2错误!),错误!＝(－x 0,2错误!);由错误!⊥错误!,得错误!·错误!＝0,则G (－x 1,０)x 1x 0+８=0,则ｘ1＝-８x 0, ｋQG =ｙ0x 0+ｘ1＝错误!=错误!, 直线QG 得方程为y =错误!错误!=错误!(x 0ｘ－8),又错误!+错误!=1,y 错误!＝4错误!＝错误!(8—x 错误!),可得y =±错误!(x ０ｘ－8),①将①代入x 28＋＼f(ｙ2,４)=1整理得8x 2－16x ０x ＋8x ＼o ＼al(2,０)=０, Δ=(-１6ｘ0)２-４×64x 错误!=0,∴直线QG 与椭圆C 一定有唯一得公共点。
例2 解 (1)设椭圆得半焦距为c ,则由题意,可得错误! 解得错误!所以b 2＝a 2－c 2＝5２－3２＝16.故所求椭圆Ｃ得方程为x 225+y ２1６＝1、 (2)方法一 过点(3,0)且斜率为＼f(4,5)得直线l 得方程为ｙ＝45(x -3),将之代入C 得方程,得x ２２5+＼f((x －３)２,2５)＝1,即x 2—３x －8＝０.因为点(3,0)在椭圆内,设直线ｌ与椭圆C 得交点为A (x １,y 1),B (x 2,y ２),因为x １＋x 2＝3,所以线段AB 中点得横坐标为x 1+x 2２＝32,纵坐标为＼f(4,5)×(32－3)=-６5. 故所求线段得中点坐标为错误!、方法二 过点(3,0)且斜率为＼f(4,５)得直线ｌ得方程为y ＝45(x —3),因为(3,0)在椭圆内,所以直线ｌ与椭圆有两个交点,设两交点得坐标分别为(x １,y 1),(x 2,y 2),中点M 得坐标为(x 0,y ０), 则有错误!由①－②,得＼f((x 1-x ２)(x 1+ｘ2),25)＝—(y 1－y 2)(y 1＋y 2)16, 即16x ０25y 0＝－4５。
又y 0＝＼f(4,5)(x ０－3), 所以错误!故所求线段得中点坐标为错误!.变式训练2 解 (1)设椭圆Ｃ得方程为＼f(x 2,a 2)＋＼f(y ２,b 2)＝1(a ＞b >0),则错误!解得a ＝错误!,b =１,故椭圆C 得方程为＼f(ｘ2,2)＋y 2=1、(2)①当A ,B 两点关于x 轴对称时,设直线AB 得方程为x ＝ｍ,由题意得－2〈m ＜０或0〈ｍ＜2、将x =m 代入椭圆方程得|y |＝ 2－m 22, 所以Ｓ△ＡOB =｜m ｜ 2-m 22=错误!。
解得ｍ2=32或m ２＝12。
(ⅰ) 又错误!＝t 错误!＝错误!t (错误!＋错误!)=错误!t (２m,0)＝(mt,0),又点P 在椭圆上,所以(mt )2２＝1.(ⅱ) 由(ⅰ)(ⅱ)得t 2=4或t 2＝４3。
又因为ｔ＞0,所以t ＝2或t ＝2＼r(3)3。
②当A ,B 两点关于ｘ轴不对称时,设直线ＡＢ得方程为y =ｋx +ｎ,由错误!得(1+2ｋ２)x ２+4knx ＋2n 2－2＝0.设A (ｘ1,y 1),B (x 2,y ２),由Δ=16ｋ2n 2－4(１＋２k 2)(2n 2—2)〉0得1+2k 2>n ２、此时x 1＋x ２＝—4kn 1+2k 2,x １x 2=2n 2－21＋2ｋ2, y １+ｙ2＝k (x 1＋x 2)+2n ＝＼f(2n,1＋2k 2).所以A Ｂ＝＼r(1+ｋ2)(x 1＋x ２)2-4x 1x ２ =2 2 1＋k 2 1+2k ２—n 2(1+２k 2)2。
又点Ｏ到直线AB 得距离d ＝|n ｜＼ｒ(1＋k ２)。
所以Ｓ△ＡＯB =＼f(1,2)d ·A Ｂ=12×２＼r(2) 错误! 错误!错误!、 =＼ｒ(２)·1＋2k 2-ｎ2(１+2k 2)2·|n |＝64. 令r ＝1+２k 2代入上式得:3ｒ２—1６ｎ2ｒ＋16n ４=0、解得r ＝４n 2或r ＝错误!ｎ2,即1＋2k 2=４ｎ2或1＋2k 2＝错误!n 2。
又错误!=t 错误!=错误!t (错误!+错误!)＝错误!t (ｘ1＋x ２,y 1+y ２)＝错误!。
又点P 为椭圆Ｃ上一点,所以t 2错误!＝1,即n 2１＋2k 2t 2=1。
由错误!得ｔ2=４或t 2＝错误!、又t ＞０,故t =2或t =错误!。