[高二数学期末试题]河南省洛阳市2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
洛阳市2013—2014学年第一学期期中高二数学(理科)试题(含答案)
2
4．在△ABC 中， a 3 ， b 7 ， c 2 ，那么 A C 等于
A． 30
B． 45
C． 60
D．120
1 5．已知等差数列{an }的公差 d 2 ， a2 a4 a100 80 ，那么此数列前 100 项的和
S100
A．80
B．120
面积为 ai (i 1,2,, n) ，则 a1 a2 an
A1
A． 2[1 ( 1 )n ] 2
C． 3 [1 (1)n ] 23
(3 3)[1 ( 3 )n ]
B．
3
C2
2 D． 4 [1 (1 )n ]
C3 B3
A2
34
B1
二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
洛阳市 2013—2014 学年第一学期期中考试
高二数学试卷（理科）
一．选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．若 a b ，则不等式成立的是
A． b a 0
B． a c b c
2．在△ABC 中，一定成立的等式是
（1）求数列{an }的通项公式 an ；
44
（2）若 bn 1
2
2 ，数列{bn } 的前 n 项和 Tn ，整数 M T2013 ，求 M 的
an an1
最大值．
海里∕小时．
三．解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在△ABC 中，已知 c cos A a cos C 2b cos B ，且 b 3 ．
2023-2024学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省平顶山市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．直线50x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线50x +=可化为33y x =--，则斜率tan 3k α==-，又倾斜角α，满足0180α≤<︒，所以倾斜角为150︒.故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（）A ．数列1，0，1-，2-与数列2-，1-，0，1是相同的数列B ．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C ．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为2n a n =D ，…的一个通项公式为n a =【正确答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A ，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A 错误；对于选项B ，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B 错误；对于选项C ，当1n =时，120a =≠，故C 错误；对于选项D ，因为123a a ===4a =…，所以数列的一个通项公式为n a =D 正确.故选：D3．已知直线l 过点()3,4-且方向向量为()1,2-，则l 在x 轴上的截距为（）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【正确答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率2k =-，然后利用点斜式可求得直线方程，再令0y =，即可得到本题答案.【详解】因为直线l 的方向向量为()1,2-，所以直线斜率2k =-，又直线l 过点()3,4-，所以直线方程为42(3)y x -=-+，即220x y ++=，令0y =，得=1x -，所以l 在x 轴上的截距为-1.故选：A4．已知m ∈R ，“直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行”是“3m =±”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线1:0l mx y +=与22:910l x my m +--=平行则210=91m m m ≠--，所以29m =，解得3m =±，经检验，3m =±均符合题意，故选：C.5．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【正确答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.6．已知圆221:230C x y x ++-=关于y 轴对称的圆2C 与直线x m =相切，则m 的值为（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【正确答案】C【分析】先求出关于y 轴对称的圆2C 的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆221:230C x y x ++-=，可得标准方程22(1)4x y ++=，圆心为(1,0)-，半径2r =，故关于y 轴对称的圆2C 的圆心为(1,0)，半径2r =，则其标准方程为22(1)4x y -+=，又因为圆2C 与直线x m =相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即12m -=，解得1m =-或3m =.故选：C7．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，则数列{}2n a n +的前5项和为（）A ．151-B ．91-C ．91D ．151【正确答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列{}n a 为等比数列，再使用分组求和法求解即可.【详解】∵数列{}n a 满足13n n a a +=，且11a =-，∴数列{}n a 是首项为1-，公比为3的等比数列，∴11133n n n a --=-⨯=-，∴数列{}2n a n +的前5项和为，()()()()()01234532343638310S =-++-++-++-++-+()()0123433333246810=-----+++++()()51132105132-⨯-+⨯=+-12130=-+91=-.故选：B.8．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点()3,2-且与双曲线22132x y -=有相同焦点，则椭圆的离心率为（）A ．6B C D 【正确答案】C【分析】由题可得225a b -=，22941a b+=，联立方程可求得22,a b ，然后代入公式e =，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线22132x y -=有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为12(F F ，则2225c a b =-=①，又椭圆过点()3,2P -，所以22941a b +=②，结合①，②得，2215,10a b ==，所以3e =，故选：C9．已知圆221:2220C x y x y +-+-=与圆222:20(0)C x y mx m +-=>的公共弦长为2，则m 的值为（）A ．62B ．32C D ．3【正确答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立222220x y x y +-+-=和2220x y mx +-=,得(1)10m x y -+-=，由题得两圆公共弦长2l =，圆221:2220C x y x y +-+-=的圆心为(1,1)-，半径r 2，圆心(1,1)-到直线(1)10m x y -+-===，平方后整理得,2230m -=，所以2=m 或m =（舍去）；故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，设其前n 项和为n S ，若2021S m =，则2023a =（）A ．1m -B ．mC ．1m +D ．2m【正确答案】C【分析】由斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，归纳可得21m m a S +=+，令2021m =，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列{}n a 满足12121,1,n n n a a a a a --===+，所以321a a a =+，432211a a a a a =+=++，5433211a a a a a a =+=+++，……21122111m m m m m m m a a a a a a a a S ++--=+=++++++=+ ，则2023202111a S m =+=+.故选：C11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A ．304B 2305C ．302D ．3305【正确答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标，根据两点距离公式表示MP ，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.【详解】以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，所以(1,2,3)M ，∵点P 在xOy 平面上，∴设点P 的坐标为()[],,0,0,1x y y ∈，∵P 在DN 上运动，∴2AD x y AN==，∴2x y =，∴点P 的坐标为(2,,0)y y ，∴()()()22222454122305814555MP y y y y y ⎛⎫=-+-+-=-+=-+ ⎪⎝⎭∵[]0,1y ∈，∴当45y =时，MP 3305故选：D12．已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（）A ．1-B ．1C D ．2【正确答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l 的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为2221(0)y x b b-=>，所以它的一个焦点为(,0)c ，一条渐近线方程为0bx y -=，所以焦点到渐近线的距离d =，化简得2222(1)b c b =+，解得22b =，所以双曲线的标准方程为2212y x -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以221112y x -=①，222212y x -=②，①-②得，222212121())02x x y y ---=，化简得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=③，因为线段AB 的中点为()1,2N ，所以12122,4x x y y +=+=，代入③，整理得1212x x y y -=-，显然1212,x x y y ≠≠，所以直线l 的斜率12121y y k x x -==-.故选：B 二、填空题13．已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则xy=___________.【正确答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量AB 与AC 共线，即ABk AC = ，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =．空间三点共线．14．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线2x =与抛物线交于点M ，且2MF =，则p =_______.【正确答案】2【分析】先求点M 的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得p 的值.【详解】把2x =代入抛物线标准方程22(0)x py p =>，得2(2,)M p，根据抛物线的定义有，222p MF MH p==+=，化简得，244p p +=，解得2p =.故215．已知点(1,1)--P ，点M 为圆22:1C x y +=上的任意一点，点N 在直线OP 上，其中O 为坐标原点，若|||MP MN =恒成立，则点N 的坐标为______.【正确答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设N 和M的坐标，由|||MP MN =，列等式，利用点M 在圆上，点N 在直线OP 上，化简得恒成立的条件，求得点N 的坐标.【详解】易知直线OP 的方程为0x y -=，由题意可设00(,)N x x ，设(,)M x y ''，则可得221x y ''+=，由||||MP MN =，可得22222200||(1)(1)||()()MP x y MN x x y x ''+++==''-+-2002()322()12x y x x y x ''++=''-+++，则2002()322()12x y x x y x ''''⎡⎤++=-+++⎣⎦，化简得200(24)()41x x y x ''++=-，即[]00(12)2()(12)0x x y x ''+++-=，若|||MP MN =恒成立，则0120x +=，解得012x =-，故11,22N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与抛物线28y x =的焦点重合，点P 在双曲线C 的右支上，若122PF PF -=，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为_______.【正确答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出12PF PF ⋅的值，然后代入三角形的面积公式1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅∠ ，即可得到本题答案.【详解】由双曲线右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合，可得2(2,0)F ，所以124F F =，设1122,PF r PF r ==，则122r r -=，因为22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，所以22121212162r r r r +-⨯=，则21212()16r r r r -+=，解得1212r r =，所以，12121sin 602F PF S r r =︒=.故三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，且点111,n n a a +⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)121n a n =-(2)21n n +【分析】（1）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）中数列{}n a 的通项公式，可写出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消的方法即可求得前n 项和n T .【详解】（1）由题意得1112n na a +=+，即1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为2的等差数列，故1112(1)21n n n a a =+-=-，即121n a n =-.（2）由（1）知11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- -+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-++- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+.18．已知ABC 的顶点坐标分别是()3,0A ，()1,2B ，()1,0C -.(1)求ABC 外接圆的方程；(2)若直线l ：3480x y +-=与ABC 的外接圆相交于M ，N 两点，求MCN ∠.【正确答案】(1)22(1)4x y -+=(2)60MCN ∠=︒【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点,,A B C ，求出方程组的解，即可得到本题答案；（2）先求出圆心到直线MN 的距离，即可得到30PMN ∠=︒，然后求出MPN ∠，即可得到本题答案.【详解】（1）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，代入点(3,0),(1,2),(1,0)A B C -得，9+30142010D F DEF D F +=⎧⎪++++=⎨⎪-+=⎩，解得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆的一般方程为：22230x y x +--=，标准方程为.22(1)4x y -+=（2）圆心(1,0)P 到直线:3480l x y +-=的距离1d ==，又因为2PM =，在等腰PMN 中，30PMN ∠=︒，所以圆心角260120MPN ∠=⨯︒=︒，则60MCN ∠=︒.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)1010【分析】（1）先证AC CD ⊥，PA CD ⊥，由此即可证得CD ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系，求出(0,2,1)PD =- ,平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- ，然后利用公式sin cos ,n PD n PD n PDθ⋅==⋅ ，即可求得本题答案.【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形.所以1CF AF DF ===，222CD CF DF =+又222AC AB BC =+=因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD = ，(0,2,1)PD =- ，111(,,)222AE = .设平面AED 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =- .设PD 与平面AED 所成角为θ，则110sin cos ,1025n PD n PD n PDθ⋅-===⨯⋅ .20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过C 上一点P 向抛物线的准线作垂线，垂足为Q ，PQF △是面积为43.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()1,0M -作直线l 交C 于A ，B 两点，记直线FA ，FB 的斜率分别为1k ，2k ，证明.120k k +=【正确答案】(1)24y x=(2)证明见解析【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边QF 的长，再求出Rt FQN 中FN 的长，即可求出p 的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设过M 的直线方程，与抛物线方程联立，借助A ，B 坐标表示12k k +，化简证明即可.【详解】（1）如图所示，PQF △的面积21sin 602PQF S PQ PF =︒== ∴4PF PQ QF ===，设准线与x 轴交于点N ，则在Rt FQN 中，906030FQN ∠=︒-︒=︒，∴122p FN QF ===，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意知，过点()1,0M -的直线l 的斜率存在且不为0，∴设直线l 的方程为l ：()1y k x =+（0k ≠），直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，得2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得，()2222240k x k x k +-+=，当()2242440k k ∆=-->，即()()1,00,1k ∈-⋃时，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k=-+-，121=x x ，由第（1）问知，()1,0F ，∴直线FA 的斜率1111y k x =-，直线FB 的斜率2221y k x =-，∴()()()()()()()()()12112121212121221121011111111x x k x x y y k x k x x k k x x x x x -++--+=+===------+.∴原命题得证.21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=，且12314++=a a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2n n b n a =⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的n *∈N ，不等式()2224844n n T n n λ++-≥-恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)2nn a =(2)3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，公比2q =，代入到12314++=a a a ，算出1a ，即可得到本题答案；（2）根据错位相减的方法求得n T ，然后将不等式()2224844n n T n n λ++-≥-，逐步等价转化为2112n n λ-≥，再利用单调性求出2112n nn c -=的最大值，即可得到本题答案.【详解】（1）因为12n n a a +=，所以{}n a 是公比为2的等比数列，所以1231112414a a a a a a ++=++=，故12a =，故2n n a =.（2）1222n n n b n n +=⋅=⋅，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以()345121222321222n n n n n T ++⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯= ，两式相减得，()()2234122221222222212412n n n n n n T n n n ++++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，因此2(1)24n n T n +=-⋅+.由()2224844n n T n n λ++-≥-，可得222844n n n n λ+⋅≥-，所以2112nn λ-≥，该式对任意的n *∈N 恒成立，则max2112n n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令2112n n n c -=，则()1112111211132222n n n n n n n n c c ++++----=-=，当6n ≤时，10n n c c +->，即数列{}n c 递增，当7n ≥时，10n n c c +-<，即数列{}n c 递减，所以当7n =时，()max 3128n c =，所以实数λ的取值范围是3,128⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点()1,1Q -的两条直线分别与椭圆M 交于点A ，C 和B ，D ，且,AB CD 共线，求直线AB 的斜率.【正确答案】(1)22193x y +=(2)13【分析】（1）由短轴长可求出23b =可求出29a =，由此即可求得本题答案；（2）设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为,AB CD 共线，可设,AQ QC BQ QD λλ== ，可得13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，24241(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案.【详解】（1）因为短轴长为b =23b =，因为离心率e 2222213c b a a =-=，所以2213b a =，可得29a =，所以椭圆M 的方程为22193x y +=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .设AQ QC λ= ，则13131(1)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨--=+⎩，即13131(1)x x y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨-+-⎪=⎪⎩，代入椭圆方程，得()()22112211193x y λλλλ+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+=，即()()221141211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭①同理可得()()222241211993x y λλλ+⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭②由②-①，得11229393x y x y -=-，所以()12123y y x x -=-，所以直线AB 的斜率121213y y k x x -==-.思路点睛：把,AB CD 共线这个条件，转化为,AQ QC BQ QD λλ== ，是解决此题的关键.。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末复习数学试题(三)含解析
成都高2025届高二期末考试数学复习试题（三）（答案在最后）一、单选题（共8个小题，每个小题5分，共40分）1.设直线l sin 20y θ++=，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î，，，则由直线可得tan a q =Î，所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕，故选：D2.能够使得圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两个点到直线2x ＋y ＋c ＝0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=，可得圆心为()1,2-，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1，由()1,3d =可得(c ∈-⋃，经验证，3c =∈，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.3.若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的）A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =，由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -，结合222a b c =+可得.【详解】由题意，当椭圆焦点在x 轴上，设椭圆方程为：22221x ya b+=，由题意b =，a c -=所以2a c ===，c =a =，3b =，所以椭圆方程为：221129x y +=，当椭圆焦点在y 轴上时，同理可得：221912x y+=，故选：B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效，为深入了解该区的发展情况，现对该区两企业进行连续11个月的调研，得到两企业这11个月利润增长指数折线图（如下图所示），下列说法正确的是（）A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月，则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ，对于B 项把月利润增长指数从小到大排列，计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上，故利润增长均数大于82%，A 不正确；乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份，即7月份是第70百分位，从折线图可知，7月份利润增长均数大于82%，故B 错误；观察折现图发现甲企业的数据更集中，所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定，故C 正确；P （2个月乙企业月利润增长指数都小于82%）26211C 3C 11==，故D 错误.故选：C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -，则下列结论不正确的是（）A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =，则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ，根据数量积的坐标运算判断B ，根据共面向量基本定理判断C ，根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==，||7AC ==，故A 正确；因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=，所以AB AC ⊥，故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--，(4,1,9)AP →=-，所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-，所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内，故B 正确；因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ，显然不成立，故D 错误.故选：D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误得数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断．【详解】因为80706090+=+，因此平均数不变，即70X =，设其他48个数据依次为1248,,,a a a ，因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ，()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ，()250751004001004000s -=--=-<，∴275s <，故选：D ．7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（）A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =，然后以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，解得2PA =.如图所示，以点C 为坐标原点，CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ，则()3,0,0CB = ，()0,4,2CP = ，()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =，则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩，即020x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得2z =-，所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ，则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ （其中AB 为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB 与平面α所成的角）.8.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（）A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ∈(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ，∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,===b a c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上，∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>，∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠，∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选：B.二、多选题（共4个小题，每个小题5分，共20分）9.已知甲罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙罐中有四个相同的小球，标号为1，4，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ，求出A B ⋃的概率判断C ，由公式()()()P AB P A P B =判断D ．【详解】甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，事件A 含有的基本事件有：16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56，共12个，事件B 含有的基本事件有：11,14,15,21,31,41,51，共7个，两者不可能同时发生，它们互斥，A 正确；基本事件15发生时，事件,A B 均不发生，不对立，B 正确；事件A B ⋃中含有19个基本事件，由以上分析知共有基本事件20个，因此19()20P A B =，C 正确；123()205P A ==，7()20P B =，()0P AB =()()P A P B ≠，,A B 不相互独立，D 错．故选：ABC ．10.在如图所示试验装置中，两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等，1AB =，2BC BE ==，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列说法正确的是（）A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ；利用空间两点间距离公式即可判断选项B ；根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ；根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知：,,BA BC BE 两两互相垂直，以点B 为坐标原点，,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系，建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥，故选项A 正确；又MN===∴当2a=时，min||MN=，故选项B正确；当MN最小时，,,2a M N=分别是,AC BF的中点，取MN中点K，连接AK和BK，,AM AN BM BN==，,AK MN BK MN∴⊥⊥，AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中，,2BM BN MN===，可得2BK==，同理可得2AK=，由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==，故选项C 正确；2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭，故选项D错误.故选：ABC.11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C上的点()11,A x y反射后，再经C上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB =，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左，右焦点分别为1F ，2F ，圆22:(2)1M x y +-=，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）A.若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =，则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =，则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =，则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知，数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，进而求离心率范围；B 令(,)P x y ，求得||MP =，结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断；C 由题设123,1PF PF ==，令(,)P x y，进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩，结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围；D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =，圆M 中圆心(0,2)M ，半径为1，如下图示，A ：由于02b <<，由图知：当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点，此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭，对；B ：当1b =时，令(,)P x y，则||MP =，而224(1)x y =-，所以||MP =，又11y -≤≤，故max ||MP =所以||PQ1+，错；C ：由1224PF PF a +==，若213PF PF =，则123,1PF PF ==，由12(F F ，令(,)P x y ，且2221)(4x y b =-，则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩，所以(0,2]x =，则23b ≤，且02b <<，故0b <≤D ：令(,)Q x y，若12QF =，所以2222(3[(]x y x y +=-+，则222(4)0x b y -+-+=，所以222(3(4)x y b -+=-，Q轨迹是圆心为的圆，而(0,2)M与的距离为，要使点Q 存在，则1|1-≤≤，可得22(1)0b -≤，且02b <<，即1b =，对；故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C ，根据已知得到123,1PF PF ==，设(,)P x y ，利用两点距离公式得到方程组，求出公共解(0,2]x =为关键；对于D ，问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题（共4个小题，每个小题5分，共20分）13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，则这两条平行线之间的距离是__．【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-，再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行，∴2(1)4111m m +-=≠-，解得2m =-，故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=，2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了直线平行性质的应用，考查了平行线间距离公式的应用，属于基础题.14.曲线1y =+与直线l ：y ＝k （x －2）＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【答案】53124，纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线l 是过定点()24，的直线，利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A （2，4），又曲线1y =+0，1）为圆心，2为半径的半圆，如图，当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r，2=，解得512k =.当直线l 过点B （－2，1）时，直线l 的斜率为()413224-=--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为53124，纟çúçú棼.故答案为：53124，纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学的部分统计结果如下：甲同学：中位数为3，方差为2.8；乙同学：平均数为3.4，方差为1.04；丙同学：中位数为3，众数为3；丁同学：平均数为3，中位数为2.根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点，利用特例法，结合平均数和方差的计算公式，即可求解.【详解】对于甲同学，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：()11233635x =++++＝，方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝＝，可以出现点数6；对于乙同学，若平均数为3.4，且出现点数6，则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>，所以当平均数为3.4，方差为1.04时，一定不会出现点数6；对于丙同学，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，众数为3，可以出现点数6；对于丁同学，当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6.综上，根据统计结果，数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为：乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P 使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求得22b a的范围，从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-，当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式，此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤，从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题（共7个题，17题10分，18题—22题每题12分，共70分）17.在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.【答案】（1）228870x y x y +--+=，D 在圆M 内；（2）43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可；（2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；【小问2详解】由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径=5r ，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3=，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60）80.16第2组[60，70）a ▓第3组[70，80）200.40第4组[80，90）▓0.08第5组[90，100]2b 合计▓▓（1）求出a ，b ，x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004（2）35（3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96【解析】【分析】（1）利用频率＝100%⨯频数样本容量，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；（2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出．（3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差．【小问1详解】由题意可知，样本容量n ＝8500.16=，∴b ＝250＝0.04，第四组的频数＝50×0.08＝4，∴508202416a ＝----＝.y ＝0.0410＝0.004，x ＝1650×110＝0.032．∴a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004．【小问2详解】由题意可知，第4组共有4人，记为A ，B ，C ，D ，第5组共有2人，记为X ，Y ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY ，共15种情况．设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有AX ，AY ，BX ，BY ，CX ，CY ，DX ，DY ，XY 共9种情况．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P （E ）＝93155=．∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35．【小问3详解】∵[50，70）的频率为：0.160.320.48+＝，[70，80）的频率为0.4，∴中位数为：0.50.48701070.50.4-+⨯=，平均数为：550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝．方差为：()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣＝．19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【答案】（1）M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =；（2）直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线：2px =-，于是得0522p p MF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线相交，直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB DC ，PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明：//BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析；()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，利用三角形中位线性质得出12EG CD =，因为底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ，得出四边形ABEG 为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出//BE 平面PAD ；()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标，进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解：()1证明：在PD 上找中点G ，连接AG ,EG ，图象如下：G 和E 分别为PD 和PC 的中点，∴EG //CD ，且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形，2CD AB =∴AB //CD ，且12AB CD =，∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ，∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ,()0,2,0D ，()002P ,,，()1,1,1E ，()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ，()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点，设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥，得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ，由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩，令1c =，则3a =-，则()3,0,1n =- ，取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ，则二面角F AD C --的平面角α满足：cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定，空间二面角的平面角，建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，属于难题.21.已知O 为坐标原点，()120F -，，()220F ，，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线.E （1）求曲线E 的方程；（2）过点()220F ，的直线l 与曲线E 交于A B ，两点，求+ OA OB 的取值范围．【答案】（1）()2211.3y x x -=≥（2）[)4∞+，【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点P 的轨迹是双曲线的右支，求出,a b 的值，即得；（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数m 的范围，将所求式等价转化为关于m 的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -，，()220F ，，且动点P 满足12122PF PF F F -=<，由双曲线的定义知：曲线E 是以12F F ，为焦点的双曲线的右支，且2c =，1a =，则2223b c a =-=，故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，直线l 与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l 方程为：2x my =+，设()11A x y ，，()22B x y ，，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩，2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---，2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意：()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩，解得：210.3m ≤<OA OB +=====，令2131t m =-，因210,3m ≤<故1t ≤-，而OA OB +== ，在(],1t ∞∈--为减函数，故4OA OB +≥ ，即OA OB + 的取值范围为[)4∞+，.22.如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±，过椭圆1C 上一点P （2，－1）作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ，B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补，直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，N .（1）求直线AB 的斜率；（2）若直线AB 与双曲线2C 的左，右两支分别交于Q ，R ，求NQ NR 的取值范围.【答案】（1）12-（2）11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解A ，B 坐标，直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程，利用求根公式表示出Q ，R 的坐标，化简NQ NR 的表达式，整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，顶点(±，可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上，即24118b +=，得22b =，所以椭圆方程为22182x y +=，设等轴双曲线2C ：222x y m -=，0m >，由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±，可得2=8m ，所以双曲线2C 的方程为：228x y -=，因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，且A ，B 是不同的点，所以直线PA 、PB 都必须有斜率，设直线PA 方程为(2)1y k x =--，联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=，A 和P 点横坐标即为方程两个根，可得221681+4A P k k x x k ++=，因为=2P x ，所以22882=14A k k x k +-+，代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+，即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++，又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补，将k 换成k -，可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++，两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程：12y x n =-+，又因为直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，则0n >，联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得2224480x nx n -+-=，22Δ168(48)0n n =-->，解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得22344320x nx n +--=，利用求根公式可得23n x -±=，所以1Q R x NQ NR x ====，又因为204n <<，所以2632n >，则11>，即29<，所以1121019NQNR+<<，所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛：（1）解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去一个未知数建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。
河南省洛阳市2013-2014学年高二下学期期中考试试题 数学(文) Word版含答案
洛阳市2013--2014学年第二学期期中考试高二数学试卷（文A ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位．z 为复数，下面叙述正确的是？A. z z -为纯虚数 B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i+1的共轭复数为i-l D. 2+3i 的虚部为32．复平面内与复数 512i i-对应的点所在的象限是 A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4，12)，则回归直线的方程是A. 24y x =+B. 522y x =+ C ． 220y x =- D ． 126y x =+ 4．若用独立性检验的方法，我们得到能有99%的把握认为变量X 与Y 有关系，则 A. 2 2.706K ≥ B. 26.635K ≥ C. 2 2.706K < D. 2 6.635K <5.复数a 十bi(a ，b ∈R)的平方为实数的充要条件是A. 220a b += B ．ab=0 C ．a=0，且b ≠0 D.a ≠0，且b=06．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是大前提：若直线a ⊥直线 l ，且直线b ⊥直线 l ，则a ∥b ．小前提：正方体 1111ABCD A BC D -中， 111A B AA ⊥．且1AD AA ⊥结论： 11//A B ADA. 推理正确 B ．大前提出错导致推理错误C ．小前提出错导致推理错误D ．仅结论错误7. 232014i i i i +++⋅⋅⋅+=A. 1+iB. -1-iC. 1-iD. - l+i8．执行如图程序框图，若输出的 1112T =，则判断框内应填人 的条件是A ．i>9?B ．i>10?C ．i>ll?D ．i>12?9.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，下面说法：①至多有一个角大于60； ②至少有两个角大于或等于60 ;③至少有一个角小于60 ；④至多有两个角小于60 .其中正确的个数是A ．3B ．2C ．1 D.010.锐角△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，设m= sin A+sinB+sinC,n=cosA+cosB+cosC 则m 与n 的大小关系是A. m>n B ．m<n C. m-n D.以上都有可能11.已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足 (,2)n n n a b c n N n +=∈>．则△ABC 为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定12.对两个变量x 与y 进行回归分析，得到一组样本数据：(1，1)，(2，1.5)，(4，3)， (5．4．5)，若甲同学根据这组数据得到的回归模型 1:1y x =-，乙同学根据这组数据得到的回归模型 112:22y x =+，则 A ．型1的拟合精度高 B ．模型2的拟合精度高C ．模型1和模型2的拟合精度一样 D.无法判断哪个模型的拟合精度高第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1 3．用解释变量对预报变量的贡献率来刻蜮回归效果，若回归模型A 与回归模型B 的解释变量对预报变量的贡献率分别为 220.32,0.91A B R R ==，则这两个回归模型相比较，拟合效果较好的为模型__________．14．若等差数列 {}n a 的公差为d ，前n 项和为 n S 。
2023-2024学年河南省部分校高二数学上学期期末联考试卷附答案解析
2023-2024学年河南省部分校高二数学上学期期末联考试卷2024.1试卷满分150分.考试用时120分钟一、单选题1．抛物线24y x =的准线方程为（）A ．2x =-B ．=1x -C ．1y =-D ．=2y -2．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若1325a a +=，则5a=（）A ．100B ．80C ．50D ．403．已知直线1:350l ax y +-=与()2:3240l a x ay -++=垂直，则=a （）A ．0B ．0或13-C ．13-D ．0或234．一个做直线运动的质点的位移()m s 与时间()s t 的关系式为21005s t t =-，则该质点的瞬时速度为0m /s时，t =（）A ．50sB ．20sC ．10sD ．5s 5．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n a a ++=，且20252027S =，则1a =（）A ．6B ．5C ．3D ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2π2,3AB DAB ∠==，M 为棱PC 的中点，且4AM AB ⋅= ，则AP AB ⋅=（）A ．6B ．8C ．9D ．107．曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线()y f x =，其在点()()00,x f x 处的曲率()()()()03221f x K f x '''=+，其中()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数.已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（）A ．2B ．1C ．34D ．128．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与E 交于点A ，B ，过点A 作E 的切线l ，点B 关于l 的对称点为M ，若85a AB =，1123BF MF =，则1212MF F AF F S S = （）注：S 表示面积.A ．2B ．52C ．3D ．72二、多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和23n S n =+，则（）A ．23a =B ．21n a n =-C ．{}2n a 是等差数列D ．{}n a 是递增数列10．已知曲线22:126x y C m m +=--，则（）A ．当2m <时，曲线C 是椭圆B ．当3m =时，曲线C是以直线y =为渐近线的双曲线C ．存在实数m ，使得C 过点()1,1D ．当()2,6m ∈时，直线y x =总与曲线C 相交11．已知圆221:20x y x O +-=和圆222:2410O x y x y ++-+=，则（）A ．圆2O 与x 轴相切B ．两圆公共弦所在直线的方程为10x y -+=C ．有且仅有一个点P ，使得过点P 能作两条与两圆都相切的直线D12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是棱11A D 和CD 的中点，G 是棱1BB 上的一点，P 是正方形11ABB A 内一动点，且点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则（）A ．EG AF^B ．点1D到直线AF的距离为C ．存在点G ，使得GE //平面1ACD D ．动点P 在一条抛物线上运动三、填空题13．曲线()e ln xf x x =⋅在点()1,0处的切线方程为.14．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()()1,1,,1,3,0a m b =-=，分别为异面直线12,l l 的方向向量，若12,l l 所成角的余弦值为1010，则m =.15．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点，P 为C 上一点，且2π3POF ∠=（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则C 的离心率为.16．已知数列{}n a 的通项公式为1132n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其前n 项和为nS ，不等式22n nS p qS ≤-≤对任意的*n ∈N恒成立，则q p -的最小值为.四、解答题17．已知公比不为1的等比数列{}n a 满足11a =，且231,,a a a 是等差数列{}n b 的前三项.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}4n b 的前n 项和n S .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //,,CD AB AD O ⊥为棱AD 的中点，PO ⊥平面,22ABCD PA AD AB CD ====.(1)求证：AC PB ⊥；(2)求直线PC 与平面POB 所成角的正弦值.19．已知圆222:()(1)(0)C x a y a a -+=->，过点(P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且π3APB ∠=.(1)求a 的值；(2)过点()1,0D 作两条互相垂直的直线，分别与圆C 交于不同于点D 的两点,M N ，若MD ND ，求直线MN 的方程.20．已知数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，且221n n n S a a =+.(1)证明：{}2nS 是等差数列；(2)求数列{}22nnS ⋅的前n 项和nT .21．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，π,,23AB BC CAB AC ∠⊥==，且三棱锥1C ABC -的体积为14.(1)求三棱柱111ABC A B C -的高；(2)若平面ABC ⊥平面1111,1,ACC A AA A AC∠=为锐角，求二面角1C AB C--的余弦值.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，右顶点为B ，且直线AB 的斜率为12-.(1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 交于,P Q 两点（异于点B ），且满足0PB QB ⋅=，求PQB △面积的最大值.参考答案：1．B【解析】根据抛物线的标准方程求解.【详解】由抛物线24y x =得：焦点在x 轴上，开口向右，p=2，所以其准线方程为=1x -，故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.2．B【分析】由题意()213112,1525q a a a q a =+=+==，解得1a ，然后由451a a q =即可得解.【详解】设{}n a 的公比为q ，则()213112,1525q a a a q a =+=+==，所以15a =，所以45151680a a q ==⨯=.故选：B.3．B【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式()3230a a a -+=，即可求出结果.【详解】因为12l l ⊥，则有()3230a a a -+=，解得0a =或13a =-，故选：B.4．C【分析】对21005s t t =-求导，令导数为0计算即可.【详解】由题意知21005s t t =-，则10010s t =-'，令0s '=，则10t =，即该质点瞬时速度为0m /s 时，时间10s t =.故选:C.5．C【分析】根据数列递推关系，利用并项求和法得解.【详解】因为12n n a a ++=，所以()()()202512345202420251210122027S a a a a a a a a =+++++++=+⨯= ，所以13a =.故选：C 6．A【分析】利用空间向量的基本运算及数量积公式表示出4AM AB ⋅=，计算即可.【详解】 底面ABCD 为菱形，2π2,3AB DAB ∠==，c 223os πAD AB AD AB ∴=⋅⋅=- ,M 为棱PC 的中点,()11111112222222AM AP AC AP AB AD AP AB AD=+=++=+∴+，111111222222AM AB AP AB AB AP AB AB AB AD AB ⎛⎫⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅⎝⎭∴ ⎪()1424,2AP AB ⎡⎤=⋅++-=⎣⎦ 解得6AP AB ⋅=uu u r uu u r .故选:A.7．D【分析】首先得抛物线方程，由导数的运算求得曲率表达式，进而得解.【详解】由题可知抛物线方程为24x y =，即214y x =，则11,22y x y =''='，则该抛物线在各点处的曲率3221214K x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当0x =时，K 取最大值12.故选：D.8．C【分析】结合椭圆性质以及光学性质得11124,55a a MF AF ==，再结合121211MF F AF F S MF S AF = 即可得解.【详解】如图，由椭圆的光学性质可得1,,M A F 三点共线.设2BF x=，则1111222,2BF a x MF AF MA AF AF BF a x =-=+=++=+.故112223BF a x MF a x -==+，解得25ax =.又85a AB =，所以2164,55a a AF AF ==，所以121211125345MF F AF F aS MF a S AF ===.故选：C.【点睛】关键点睛：关键是充分结合光学性质以及椭圆定义，将线段长度都用a 来表示，由此即可顺利得解.9．AC【分析】由221a S S =-即可判断A ；由,n n a S 的关系即可判断B ；{}n a 从第2项开始为等差数列，由此即可判断C ；由1243a a =>=可判断D.【详解】2213a S S =-=，故A 正确；当2n ≥时，()22131321n n n a S S n n n -=-=+---=-，当1n =时，114a S ==，不适合上式，故B 错误；{}n a 从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C 正确；因为1243a a =>=，故D 错误.故选：AC.10．ABC【分析】A ：根据2,6m m --的正负以及大小关系判断；B ：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C ：代入()1,1于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D ：考虑4m =时的情况.【详解】当2m <时，206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，所以方程22126x y m m +=--表示的曲线是椭圆，故A 正确；当3m =时，方程为2213y x -=，所以1a b ==，其渐近线方程为a y xb =±，即y =，故B 正确；令11126m m +=--，整理得(26402m m m -+=≠且)6m ≠，此方程有解，故C 正确；当4m =时，曲线C 为双曲线22122y x -=，直线y x =为C 的一条渐近线，此时无交点，故D 错误.故选：ABC.11．ACD【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可.【详解】圆2121)1:(x O y -+=的圆心为()11,0O ，半径11r =，圆222:(1)(2)4O x y ++-=的圆心为2O (1,2)-，半径22r =.对于A ，显然圆2O 与x 轴相切，故A 正确；对于B ，易知两圆相交，将方程2220x y x +-=与222410x y x y ++-+=相减，得公共弦所在直线的方程为4410x y -+=，故B 错误；对于C ，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P ，即过点P 可以作出两条与两圆都相切的直线，故C 正确；对于D，因为12211O O r r =-=，故D 正确.故选：ACD 12．AD【分析】建立空间直角坐标系，选项A ，利用向量法来证明线线垂直，通过计算得到0AF EG ⋅= ，即可判断出选项A 的正误；选项B ，先计算出1AD uuu r 在AF方向上的投影向量的模为，再利用点到线的距离的向量法即可得出结果，从而判断出选项的正误；选项C ，先求出平面1ACD 的一个法向量为()1,1,1n =--和1(1,,1)2EG m =-- ，再判断是否存在m 使0EG n ⋅= ，即可判断出选项的正误；选项D ，根据条件得出点P 到直线BC 的距离即点P 到点B 的距离，再利用抛物线的定义即可求出结果.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.对于选项A ，易知()110,0,0,,1,0,0,,122A F E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()[]()1,0,0,1G m m ∈，所以111,,1,,1,022EG m AF ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，又011022AF EG =-⋅=+ ，得到AF EG ⊥，所以EG AF ^，故选项A 正确；对于选项B ，因为1(0,1,1)D ，所以()10,1,1AD =，又1(,1,0)2AF = ，则1AD uuu r 在AF方向上的投影向量的模为1AD AFAF⋅=，又1AD =所以点1D 到直线AF的距离为5d ==，故选项B 错误；对于选项C ，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由选项A 知，1(1,1,0),(0,1,1)AC AD == ，1(1,,1)2EG m =-- ，由100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到00x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1,1,1x y z =-==-，所以平面1ACD 的一个法向量为()1,1,1n =--，由102EG n m ⋅=--= ，得到[]10,12m =-∉，所以不存在点G ，使得GE //平面1ACD ，故选项C 错误；对于选项D ，因为BC ⊥平面11,ABB A PB ⊂平面11ABB A ，所以PB BC ⊥，所以点P 到直线BC 的距离即点P 到点B 的距离，又点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，即点P 到点B 的距离等于点P 到直线11A B 的距离，又,P B ∈面11ABB A ，11A B ⊂面11ABB A ，由抛物线定义知，点P 的轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项D 正确，故选：AD.【点睛】关键点晴：本题的关键在于建立空间直角坐标系，利用向量法来解决线线垂直、点线距离和线面平行，对于选项D ，将点线距离转化点到点的距离，再利用抛物线的定义来解决.13．()e 1y x =-【分析】对函数()f x 求导，可求出()1f '，又点()1,0在曲线()f x 上，结合导数的几何意义，可求出切线方程.【详解】由题意，1(1)e ln10f =⋅=，因为()e e ln x x f x x x '=+⋅，所以()11e 1e ln1e 1f '=+⋅=，故曲线()e ln xf x x =⋅在点()1,0处的切线方程为()e 1y x =-.故答案为：()e 1y x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14．【分析】由向量夹角的余弦公式即可运算求解.【详解】设12,l l 所成的角为θ.由题意知cos θ===，解得m =.故答案为：151+/1+【分析】根据条件得出PO c=，在2 POF 中，根据条件22π,3POF OF c ∠==，得到2PF c =，再根据双曲线的定义得出12PF a c=+，即可建立等式222(2)4a c c c ++=，从而求出结果.【详解】设双曲线的半焦距为(0)c c >，则222c a b =+，因为12PF PF ⊥，所以1212F P F c O ==，在2 POF 中，22π,3POF PO OF ∠==，所以2 POF 为等边三角形，所以2PF c =，根据双曲线定义可得12PF a c=+，在12Rt PFF △中，由勾股定理可得222(2)4a c c c ++=，整理得22220c ac a --=，所以2()220c c a a --=，解得1ca =，所以C 1.1.16．1712【分析】先求出n S ，n 分奇偶求出n S 的范围，结合函数单调性求出22n n S S -的范围，进而求出,p q 的范围，得出答案.【详解】由题意可得131********n n n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-⋅- ⎪⎝⎭+，当n 为奇数时，1222nn S ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，随着n 值的增大而减小，所以(]1222,32nn S ⎛⎫=+⋅∈ ⎪⎝⎭，当n 为偶数时，1222nn S ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，随着n 值的增大而增大，所以1322,222nn S ⎛⎫⎡⎫=-⋅∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以(]3,22,32n S ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭，又因为函数22x y x =-在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当3,2(22x ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭，3]时，275,00,2126x y x ⎡⎫⎛⎤=-∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，所以57,612q p ≥≤-，所以q p -的最小值为1712.故答案为：171217．(1)112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)23722n S n n =-【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合等差中项列式求得12q =-，即可得结果；（2）由（1）可知：等差数列{}n b 的首项为12-，公差为113424⎛⎫--=⎪⎝⎭，结合等差数列得通项公式和求和公式运算求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为()1q q ≠，因为231,,a a a 成等差数列，则3212a a a =+，即221q q =+，解得12q =-或1（舍去），所以112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知{}n b 的前三项为11,,124-，则等差数列{}n b 的首项为12-，公差为113424⎛⎫--=⎪⎝⎭，所以()133512444n b n n =-+-=-，即435n b n =-.所以()223537222n n n S n n-+-==-.18．(1)证明见解析(2)35【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，证明0AC PB ⋅= 即可.（2）由题意先证明AC ⊥平面POB ，即()2,1,0AC =-是平面POB 的一个法向量.结合线面角的正弦公式即可得解.【详解】（1）因为PO ⊥平面ABCD ，,AD AB ⊂平面ABCD ，所以,AD AB PO PO ⊥⊥，又AB AD ⊥，由题可知,,OP AD AB 两两互相垂直，所以以OA 所在直线为x 轴，过O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图的空间直角坐标系.又22PA AD AB CD ====，O 为棱AD 的中点，易知()()()(1,0,0,1,2,0,1,1,0,A B C P -.所以()(2,1,0,1,2,AC PB =-=，所以0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥.（2）因为PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PO AC ⊥.由（1）知AC PB ⊥，又PB PO P = ，,PB PO ⊂平面POB ，所以AC ⊥平面POB ，即()2,1,0AC =-是平面POB 的一个法向量.又因为(1,1,PC =-，所以3cos ,5||||AC PC AC PC AC PC ⋅===⋅，所以直线PC 与平面POB 所成角的正弦值为35.19．(1)2a =(2)20x y --=或20x y +-=【分析】（1）作出图形后利用勾股定理求解即可.（2）利用等面积法求解即可.【详解】（1）由题意可知圆C 的圆心为(),0C a ，半径1r a =-.因为π,3APB AP AC ∠=⊥，所以π6APC ∠=，从而22PC AC r ==，21a -，两边平方整理得220a a -=，又因为0a >，所以2a =.（2）由（1）知圆22:(2)1C x y -+=，点()1,0D 在圆C 上，又因为MD ND ⊥，所以线段MN 为圆C 的直径，即直线MN 过圆心()2,0，显然直线MN 的斜率不为0，设其方程为2x ty -=，点()1,0D 到直线MN的距离为d =根据三角形的面积公式可得||||||2MD ND d MN ==.2=，解得1t =±，所以直线MN 的方程为20x y --=或20x y +-=.20．(1)证明见解析(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据和与项的关系可得()()21121n n n n n S S S S S ---=-+，化简为()22112n n S S n --=≥，从而可证明；（2）先求得()2111n S n n=+-⨯=，再根据错位相减法即可求解.【详解】（1）在221n n n S a a =+中，令1n =，得11S =，当2n ≥时，由221n n n S a a =+，得()()21121n n n n n S S S S S ---=-+，整理得()22112n n S S n --=≥，所以数列{}2nS 是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知()2111n S n n=+-⨯=.所以231222322nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ①，234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①-②，得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅-- ，所以()1122n n T n +=-⋅+.21．(1)32(2)【分析】（1）根据题意，结合锥体的体积公式，列出方程，即可求解；（2）过点1A 作1A O AC⊥于点O ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ABC 和平面ABC的法向量()1,m =和()0,0,1n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，因为π,,23AB BC CAB AC ∠⊥==，所以1,ABC AB BC S = ，又因为三棱锥1C ABC -的体积为14，可得11134C ABCV h -==，解得h =，即三棱柱111ABC A B C -的高为2.（2）解：过点1A 作1A O AC ⊥于点O ，连接BO ，因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC=，且1A O ⊂平面11ACC A ，所以1A O ⊥平面ABC ，由（1）知1A O ，又因为111,AA A AC ∠=为锐角，所以12AO =，在ABO 中，1π1,,23AB AO OAB ∠===，所以BO AC ⊥.以O 为坐标原点，分别以1,,OB OC OA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则110,,0,,0,0,0,2A B C ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得11,0,,2AB BC ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1ABC 的法向量为(),,m x y z =，则110222022m AB x y m BC y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩ ，取y =1,5x z ==，所以()1,m =，因为1OA ⊥平面ABC ，可得平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，所以cos ,29m n m n m n⋅==，所以二面角1C AB C --的余弦值为52929.22．(1)221 4x y+=(2)16 25【分析】（1）代入点的坐标求椭圆方程即可.（2）利用直线和椭圆的位置关系求面积即可.【详解】（1）依题意可得(),0,1 B a b=，由10102a-=--，得2a=，所以C的方程为221 4x y+=.（2）易知l不与x轴平行，设其方程为()2 my x t t=-≠，由2244,,x yx my t⎧+=⎨=+⎩得()2224240m y mty t+++-=，由()()222222Δ44441616640m t m t m t=-+-=-+>，得224t m<+.设()()1122,,,P x y Q x y，则212122224,44mt ty y y ym m--+==++①，()()1212220PB QB x x y y ⋅=--+=，即()()1212220my t my t y y +-+-+=，所以()()()22121212(2)0m y y m t y y t ++-++-=，将①代入，整理得2516120t t -+=，即()()5620t t --=，解得65t =或2t =（舍去），所以直线l 的方程为65my x =-，即直线l 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.12121622255PQB S y y y y ⎛⎫=⨯-⨯-=-=⎪⎝⎭===令24n m =+，则114,0,4n n ⎛⎤≥∈⎥⎝⎦，160,25PQB S ⎛⎤== ⎥⎝⎦ ，当114n =，即4n =时，PQB S△最大，且最大值为1625.。
2013-2014学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(含完整答案和解析)
2013-2014学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|y=lg[x（x-2）]}，B={x|1x＜1}，则A∩B等于（）A.（-∞，0）∪（2，+∞）B.（2，+∞）C.（1，2）D.（-∞，0）∪（1，2）2.已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2-6n+3，则a7+a8+a9+a10等于（）A.7B.13C.33D.403.已知{a n}为等比数列，若log2a3+log2a10=5，则a6•a7等于（）A.5B.10C.25D.324.已知a＜b＜c＜d＜0，且d=bca，则a+d与b+c的大小关系是（）A.a+d＜b+cB.a+d＞b+cC.a+d=b+cD.以上三种情况都有可能5.在△ABC中，边a，b，c，的对角分别为A，B，C，若a2＞b2+c2，且sin A=12，则A 的大小为（）A.30°B.30°或150°C.60°或120°D.150°6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a8＞0，S16＜0，则前16项中正项的个数为（）A.8B.9C.15D.167.双曲线C与椭圆x29+y24=1有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0，则双曲线C的标准方程为（）A.x24-y2=1 B.x24-y2=1或y2-x24=1 C.x2-y24=1或y2-x24=1 D.y2-x24=18.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E，F 分别是线段AB，BC的中点，则PE与FD所成角的余弦值为（）A.-25B.-12C.25D.129.已知圆C1：（x+4）2+y2=4，圆C2：（x-4）2+y2=1，若圆C与圆C1外切且与圆C2内切，则圆心C的轨迹是（）A.椭圆B.椭圆在y轴上及其右侧部分C.双曲线D.双曲线右支10.下列条件中，是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件的个数为（）①asin A=bsin B ②acos A=bcos B ③acos B=bcos A ④asin B=bsin A．A.1B.2C.3D.411.直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在其两支上，则双曲线的离心率的取值范围为（）A.[2，+∞）B.（2，+∞）C.[3，+∞）D.（3，+∞）12.已知直线l 与抛物线C ：y 2=8x 交于A ，B 两点，F 是抛物线C 的焦点，若BF =3FA，则线段AB 的中点到抛物线C 准线的距离为（ ）A.52B.4C.163D.8二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若41S 3是S 6与S 9的等差中项，则数列{a n }的公比q = ______ ．14.如图，在60°的两面角α-l -β中，A ∈α，B ∈β，AC ⊥l与C ，BD ⊥l 于D ，AC=2，BD=3，AB=5，则CD= ______ ．15.已知3 3是9m 与3n 的等比中项，且m ，n 均为正数，则1m +1n 的最小值为 ______ ．16.已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（1，-1），点N （x ，y ）的坐标x ，y 满足 x +2y −3≤0x +3y −3≥0y ≤1，则OM •ON ＜0的概率为 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知命题p ：“1≤x ≤5是x 2-（a +1）x +a ≤0的充分不必要条件”，命题q ：“满足AC=6，BC=a ，∠CAB=30°的△ABC 有两个”．若￢p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．18.已知等差数列{a n }单调递增，a 1=1，且a 2，a 3+4，2a 7+1构成等比数列．（1）求数列{a n }的公差d ；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n ＜2（n ∈N ，且n ＞1）．19.已知动点P 到点F （2，0）的距离与到直线l ：x =12的距离之比为2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 的方程为x +y -2=0，l 与曲线C 交于A ，B 两点．求线段AB 的长．20.设△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且acos C+12c =b ．（1）求A 的大小；（2）若a=1，求△ABC面积S的取值范围．21.已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，点B1在平面ABC内的射影恰好落在AC边的中点O处．（1）求点A到平面BCC1B1的距离；（2）棱BB1上是否存在点P，使得二面角P-AC-B的大小为60°？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．22.已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF=λFB(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明FM.AB为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．。
19-20学年河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 不等式的解集是(13,12)，则a +b 的值是( ) A. −2 B. 2 C. 12 D. 222. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 11=12，则S 13=( )A. 60B. 78C. 156D. 不确定3. 设a 、b ∈R ，若a −|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A. b −a >0B. a 3+b 3<0C. a 2−b 2<0D. b +a >04. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =( ) m ．A. 100√3B. 100√6C. 100D. 100√25. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为( )A. √33B. √36C. 13D. 16 7. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 3 8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线被圆x 2+y 2−6x +5=0截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. 32C. √6D. 29. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若AB =√2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. F 1，F 2是椭圆x 29+y 25=1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=60°，则△AF 1F 2的面积为( ) A. 7√32 B. 5√32 C. 72D. 7√52 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=4且S n =12a n+1+2，则S 10=( )A. 2×(310−1)B. 2×(310+1)C. 2×(39+1)D. 2×(39−1)12. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知点A(1,0，3)，C(3,2，−1)，则这个正方体的棱长为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知命题“∃x ∈R ，使2x 2+(a −1)x +12≤0”是假命题，则实数a 的范围是______．14. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2+bc,，则角A =______．15. 太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组{x 2+y 2≤4x ≤0x 2+(y +1)2≥1或x 2+(y −1)2≤1来表示，设(x,y)是阴影中任意一点，则z =x +y 的最大值为______．16. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为______；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|x ⩽−2或x ⩾3}，集合B ={x|(x −2a)(x +a)>0}(其中a <0).(1)求集合B ；(2)设p:x ∈A ，q:x ∈B ，且q 是p 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18.设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的公比；(Ⅱ)证明：对任意k∈N∗，S k+2，S k，S k+1成等差数列．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=2cosAsinB．(1)求tan B；(2)若b=2√5，AB边上的中线CD=√17，求△ABC的面积．20.已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，(1)若|AF|=4，求点A的坐标；(2)若直线l的倾斜角为45°，求线段AB的长．21.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC=90∘．(Ⅰ)证明：PC⊥BC；(Ⅱ)若直线PC与平面PAD所成角为30∘，求二面角B−PC−D的余弦值．22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，过点B(0,−2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2．(1)求椭圆的方程；(文科)(2)求弦长CD．(理科)(2)求△CDF2的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a 、b 的值，再求a +b ． 解：不等式ax 2+bx +2<0的解集是(13,12)，∴方程ax 2+bx +2=0的实数根为13和12，由根与系数的关系知{2a =13×12−b a =13+12, 解得a =12，b =−10，∴a +b =2．故选B ．2.答案：B解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，则S 13=13(a 1+a 13)2=13×122=78．故选：B ．利用等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：D解析：本题考查不等关系的应用及判断，不等式的性质，属于基础题．由题意结合不等式性质可得a >0及−a <b <a ，从而判断b +a >0．解：当a =1，b =0时，A ，B ，C 都不正确；∵a−|b|>0，∴|b|<a，∴a>0，∴−a<b<a，∴b+a>0，D正确，故选D．4.答案：B解析：解：设此山高ℎ(m)，则BC=√3ℎ，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB= 600．根据正弦定理得√3ℎsin30°=600sin45∘，解得ℎ=100√6(m)故选：B．设此山高ℎ(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．5.答案：B解析：解：非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗则“a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗”不一定推出“b⃗ =c⃗”，也可能是“b⃗ =−c⃗”，反之，一定成立，所以非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗则“a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗”是“b⃗ =c⃗”的必要而不充分条件．故选：B．若p⇒q，则p是q的充分条件；若p⇐q，则p是q的必要条件．由此可判断充要条件．本题考查了向量数量积、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．由已知条件推导出PF2⊥x轴，|PF2|=12|PF1|，|PF2|=23a，从而得到ac=√3，由此能求出椭圆的离心率．解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1(−c,0)，∴−c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴|PF2|=12|PF1|，∵|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=23a，tan∠PF1F2=|PF2||F1F2|=2a32c=√33，∴ac=√3，∴e=ca =√33．故选A．7.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x ， 圆x 2+y 2−6x +5=0即为(x −3)2+y 2=4，圆心为(3,0)，半径为2，圆心到渐近线的距离为d =|3b|√a 2+b 2，由弦长公式可得2=2√4−9b 2a 2+b 2， 化简可得a 2=2b 2，即有c 2=a 2+b 2=32a 2，则e =c a =√62． 故选：A ．求出圆的标准方程，求得圆的圆心和半径，求得双曲线的方程的渐近线方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a 2=2b 2，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值． 本题考查双曲线离心率的计算，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键．利用向量加法的三角形法则，可将AB 1与C 1B 的方向向量分别用三棱柱的棱对应的向量表示，进而设BB 1=1，AB =√2，分析出两向量数量积为0，进而得到两直线互相垂直．解：∵AB =√2BB 1，设BB 1=1，AB =√2，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， =0+√2×√2×cos 2π3+1+0=0．∴直线AB 1与BC 1所成角为π2．10.答案：B解析：求出F1F2的长度，由椭圆的定义可得AF2=6−AF1，由余弦定理求得AF1，从而求得三角形AF1F2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF1的值，是解题的关键．由题意可得a=3，b=√5，c=2，故F 1F2=2×2=4，AF1+AF2=6，AF2=6−AF1，∵AF22=AF12+F1F22−2AF1⋅F1F2cos60°=AF12−4AF1+16，∴(6−AF1)2=AF12−4AF1+16，∴AF1=52，故三角形AF1F2的面积S=12×52×4×√32=5√32．故选B．11.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，可得a1=S1=12a2+2，即a2=4，n≥2时，a n=S n−S n−1，S n=12a n+1+2，S n−1=12a n+2，两式相减可得a n=12a n+1−12a n，即为a n+1=3a n，可得a n=a2q n−2=4⋅3n−2，n≥2，则S10=12a11+2=2×39+2=2×(39+1)，故选：C．由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等比数列的通项公式，可得a n，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用：求通项，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：本题考查空间直角坐标系及空间两点间的距离公式，属于基础题．由AC距离即可求棱长．解：易知AC=√(1−3)2+(0−2)2+(3+1)2=2√6，设正方体的棱长为a，√a2+a2=2√6，得a=2√3，故选C．13.答案：(−1,3)解析：由命题的否定与原命题真假相反，可得到∀x∈R，使2x2+(a−1)x+12>0成立，然后根据一元二次不等式恒成立问题的解决办法即可解出结果，属于基础题．解：由已知得：∀x∈R，使2x2+(a−1)x+12>0，∴△=(a−1)2−4×2×12<0，解得：−1<a<3．故答案为(−1,3)．14.答案：2π3解析：本题考查余弦定理的应用，属于基础题．直接利用余弦定理求出A的余弦值，推出A的值即可．解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2=b2+c2+bc,由余弦定理可知cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为A是三角形内角，所以A=2π3．故答案为2π3．15.答案：1+√2解析：解：依题意，z=x+y，所以y=−x+z，z表示直线y=−x+z在y轴上的截距，所以当直线y=−x+z与圆x2+(y−1)2=1切于如图的点A时，z最大(z>1)，因为直线y=−x+z与圆相切，所以点(0,1)到直线x+y−z=0的距离为1，即1=|1−z|√2，因为z>1，所以z−1√2=1，解得z=1+√2．故答案为：1+√2．平移直线z=x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．16.答案：±√3解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及向量等式列式求解．解：抛物线y2=2px的焦点为F(p2,0)，由题意可知直线AB的斜率存在，设直线方程为y=k(x−p2)．联立{y2=2pxy=k(x−p2)，得ky2−2py−kp2=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2).则y1+y2=2pk，y1y2=−p2．由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1y 2=−3． ∴(y 1+y 2)2y 1y 2=y 1y 2+y 2y 1+2 =−3−13+2=4p 2k 2−p 2=−4k 2， 解得：k =±√3．故答案为：±√3．17.答案：解：(1)关于x 的不等式(x −2a )(x +a )>0的解集为B(其中a <0).解得x <2a 或x >−a ．∴集合，a <0．(2)设p:x ∈A ，q:x ∈B ，且q 是p 的充分不必要条件，∴{2a ⩽−23⩽−a a <0，等号不能同时成立．解得a ⩽−3．∴a 的取值范围是．解析：本题考查集合关系中的参数取值问题，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)关于x 的不等式(x −2a)(x +a)>0的解集为B(其中a <0)，利用一元二次不等式的解法即可得出．(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，根据B ⫋A 可以得出结论．18.答案：(Ⅰ)解：设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3=a 5+a 4，即2a 1q 2=a 1q 4+a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2+q −2=0，解得q =−2或1(舍去)，所以q =−2．(Ⅱ)证明：对任意k ∈N ∗，S k+2+S k+1−2S k =(S k+2−S k )+(S k+1−S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(−2)=0，所以，对任意k ∈N ∗，S k+2，S k ，S k+1成等差数列．解析：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质，属于基础题．(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，进而求得答案；(Ⅱ)证明：对任意k ∈N ∗，S k+2+S k+1−2S k =(S k+2−S k )+(S k+1−S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(−2)=0，进而求得答案．19.答案：解：(1)由cosC +cosAcosB =2cosAsinB ，得cos[π−(A +B)]+cosAcosB =2cosAsinB ，即−cosAcosB +sinAsinB +cosAcosB =2cosAsinB ，∴sinAsinB =2cosAsinB ，∵sinA ≠0，∴sinA =2cosA ，则tanA =2．(2)由(1)得，cosA =√55，sinA =2√55， 在△ACD 中，CD 2=b 2+(c 2)2−2⋅b ⋅c 2⋅cosA ，代入条件得c 2−8c +12=0，解得c =2或6，当c =2时，S △ABC =12bcsinA =4；当c =6时，S △ABC =12bcsinA =12．解析：本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题．(1)将C =π−(A +B)代入化简求值即可；(2)在△ACD 中，由余弦定理解得c =2或6，利用面积公式求解即可．20.答案：解：由x 2=4y ，得p =2，其准线方程为y =−1，焦点F(0,1)．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).(1)由抛物线的定义可知，|AF|=y 1+p 2，从而y 1=3．代入x 2=4y ，解得．∴点A 的坐标为(2√3,3)或(−2√3,3)．(2)直线l 的方程为y −1=x ，与抛物线方程联立，得{y =x +1x 2=4y， 消x ，整理得y 2−6y +1=0，其两根为y 1，y 2，且y 1+y 2=4．由抛物线的定义可知，|AB|=y 1+y 2=4+p =6+2=8，所以，线段AB 的长是8．解析：(1)由x2=4y，得p=2，其准线方程为y=−1，焦点F(0,1).设A(x1,y1)，B(x2,y2).由抛物线的定义可知，|AF|=4，从而y1=3.由此能得到点A的坐标．(2)直线l的方程为y−1=x.与抛物线方程联立可得y2−6y+1=0，其两根为y1，y2，且y1+y2=4..由抛物线的定义可知线段AB的长．本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．21.答案：解：(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连接PO,CO，∵ΔPAD为等边三角形，∴PO⊥AD，底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO⊥AD，∵PO∩CO=O，∴AD⊥平面POC ，∵PC⊂平面POC ，∴AD⊥PC，又AD//BC，所以PC⊥BC；(Ⅱ)由平面PAD⊥平面ABCD ，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD ，OP,OD,OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30∘，即∠CPO=30∘，由AD=2,知PO=√3,得CO=1，分别以OC→,OD→,OP→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz，则P(0,0,√3),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,−1,0)，BC →=(0,1,0)，PC →=(1,0,−√3)，CD →=(−1,1,0) ，设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，∴{y =0x −√3z =0，则n →=(√3,0,1)， 设平面PDC 的法向量为m →=(x,y,z)，∴{−x +y =0x −√3z =0，则n →=(√3,√3,1)， ∴cos⟨m →,n →⟩=m →·n →|m →||n →|=2√7=2√77， ∴由图可知二面角B −PC −D 的余弦值−2√77.解析：本题直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，说明PO ⊥AD.证明CO ⊥AD ，然后证明AD ⊥平面POC ，推出PC ⊥BC ．(Ⅱ)证明PO ⊥平面ABCD ，分别以OC →，OD →，OP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面PBC 的法向量，平面PDC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −PC −D 的余弦值．22.答案：解：(1)由题意可得：b =1，c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解得b =1，a =√2，c =1． 可得椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)∵F 1(−1,0)，∴直线BF 1的方程为y =−2x −2，由{y =−2x −2x22+y2=1得9x 2+16x +6=0． ∵△=162−4×9×6=40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，(文科)设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，x 1+x 2=−169，x 1⋅x 2=23．∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√25681−4×23=109√2，(理科)设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，x 1+x 2=−169，x 1⋅x 2=23．∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√25681−4×23=109√2，又点F 2到直线BF 1的距离d =4√55， 故S △CDF 2=12|CD|⋅d =49√10．解析：(1)由题意可得：b =1，c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (2)F 1(−1,0)，可得直线BF 1的方程为y =−2x −2，与椭圆方程联立可得：9x 2+16x +6=0.设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，利用根与系数的关系可得：|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|.=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.求出点F 2到直线BF 1的距离d ，可得S △CDF 2=12|CD|⋅d ．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长与面积问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
河南省洛阳市09-10学年高二上学期期中考试(数学理)
洛阳市2009-2010学年第一学期期中考试高二数 学 试 卷(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在等差数列 中，前11项和和为121，则 的值是 A 、6 B 、11 C 、12 D 、102. 关于x 的一元二次不等式20x ax b ++<的解集是 ，则不等式210bx ax ++>的解集是A 、B 、C 、D 、3. 若 是钝角三角形的三边长，则实数x 的取值范围是A 、 03x <<B 、13x <<C 、34x <<D 、46x <<4. 在 中， 为内角 所对的边，则 的值是A 、2sin AB 、2cos AC 、aD 、不能确定5. 设点 满足 ，O 是坐标原点，则||OP 是最小值为 A 、1 B 、13 C 、31010 D 、226. 在ABC ∆中，2,30a A ==°，45C =°，那么ABC ∆的面积是A 、2B 、31+C 、312+ D 、227．已知 ，下列命题：① ② ；③ ；④ 中，一定正确的命题个数为A 、1B 、2C 、3D 、4{}n a 6a {}|23x x <<{}|23x x x <>或{}|61x x x <->或11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或,1,2x x x ++,,a b c ,,A B C cos cos b C c B +ABC ∆(),P x y 1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩110a b <<;a b ab +<a b <1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2b a a b +>8. 已知数列 是公差不为零的等差数列，且431a a a ，，成等比数列，则 的值为A 、1B 、-1C 、D 、9. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则的值为 A 、15 B 、-15 C 、3 D 、-310. 设 当 时，总有 ，则实数k 的取值范围是 A 、223k ≥+ B 、6k ≥C 、D 、11. 设函数 ，若 ，则实数a 的取值范围是 A 、B 、C 、D 、12. 已知两个等差数列 ， 的前n 项和分别为 ，且 ，则使 为整数的n 个数是A 、5B 、4C 、3D 、2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】河南省洛阳市2013-2014学年高二下学期期中考试(理)
洛阳市2013—2014学年第二学期期中考试高二数学试卷(理A)本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，a,b ∈R,i(a+i)=b+2i ，则a+b 等于( ).A.-1B.1C.-3D.32.已知f'(x)是f(x)的导函数，则0f (3)f(3t)lim→--t =( ). A.f'(3) B.f'(t) C.-f'(3) D.-f'(t) 3.已知i 是虚数单位，若iz=1+2i ，则z =( ).A.2+iB.2-iC.21i 55+ D.21i 55-4.已知f(x)=ln(3x-1),则f'(2)=( ).A.35B.15C.ln5D.3ln55.已知定义在(0,π)的函数f(x)=sinx-12x ，则f(x)的单调递减区间为( ).A.(0,π)B.(0，π)C.(π，π)D.(π，π)6.看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高.小前提：如图直三棱柱ABC-DEF ，H 是棱AB 的中点，ABED 为底面，CH 丄平面ABED,即CH 为高.结论：直三棱柱ABC-DEF 的体积为S ABED ·CH.这个推理过程( ).A.正确B.错误，大前提出错C.错误，小前提出错D.错误,结论出错7.用数学归纳法证明5111n 1n 23n 6+++≥++时，从n=k 到n=k+l,不等式左边需添加的项是( ).A.1113k 13k 23k 3+++++B.11113k 13k 23k 3k 1++-++++C.13k 1+ D. 13k 3+8.⎰1=( ).A.π C.π+2π59.经过点(1，1)作曲线y=x 3的切线的方程为( ).A.3x-y-2=0B.x-y=0C.3x-y-2=0或3x-4y+l=0D.3x-y-2=0或x-y=010.将正奇数按照如下规律排列，则2015所在的列数为( ).第1列 第2列 第3列 第4列 ……第1行： 1第2行： 3 5第3行： 7 9 11第4行： 13 15 17 19 ……A.15B.16C.17D.18 11.若13+23+33+…+n 3=n 2(an 2+bn+c)，n ∈N *，则abc=( ).A.1B.1C.1D.112.已知函数 f(x)=ax 3+f'(2)x 2+3，若f'(1)=-5,则f'(2)=( ).A.-1B.-2C.-3D.-4第Ⅱ卷(非选择题，90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ，则数列{nnS }为等差数列，公差为d 2.类似地，若正项等比数列{b n }的公比为q,前n 项积为T n ，则数列}为等比数列，公比为_____________.14.x sin dx 220π⎰=___________.15.已知i 为虚数单位，则满足不等式|log 3x-i|≤x 的取值范围是______________.16.已知函数f(x)=x 2-4x+alnx 在区间[1, 4]上是单调函数，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z|=1，且z+z =l,求z;(2)已知复数m z (i)m (i)i25153212=-+-+-为纯虚数,求实数m 的值.18.(本小题满分12分)设x,y,z 都是正实数，a x 2=+，b y z 2=+，c z x 2=+.求证：a ，b ，c 三数中至少有一个不小于19.(本小题满分12分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，三条边分别为a ，b ，c.求证：311+=.20.(本小题满分12分)某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x 元；③电力与机器保养等费用为x 2-30x+600元(其中x 为产品件数).(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；(2)如果该产品是供不应求的商品，根据市场调查，每件产品的销售价为Q(x)=1240-1x2，试问当产量处于什么范围时，工厂处于生产潜力提升状态(生产潜力提升状态是指如果产量再增加，则获得的总利润也将随之增大)?21.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=n2a n(n∈N*),(1)求S1，S2，S3，S4；(2)猜想{a n}的前n项和S n的公式，并用数学归纳法证明. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x+ax2+bx.(1)若a=0且f(x)在-1处取得极值，求实数b的值；(2)设曲线y=f(x)在点P(m，f(m))(0＜m＜1)处的切线为l,直线l与y轴相交于点Q.若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围.洛阳市2013—2014学年第二学期期中考试高二数学试卷参考答案(理A)一、选择题 BAAAC CBCCD CD二、填空题24π- 15.[127，27] 16.(-∞,-16]∪[2,+∞)三、解答题17.解:(1)设z=a+bi,(a,b ∈R) …1分, 由题意得{a b a 22121+==,解得a=12，b= ……3分∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b= ∴z 12= ……5分(2)m z (i)m (i)i25153212=-+-+-=(m 2-m-6)+(2m 2-5m-3)i ……6分依题意得m 2-m-6=0，解得m=3或-2. ……8分∵2m 2-5m-3≠0 ∴m ≠3 ……9分 ∴m=-2. ……10分18.证明：假设a ，b ，c 三数都小于a b c x y z 222++=+++++<①4分而x ，y ，z 都是正实数，则a b c x y z (x )(y )(z )y z x x y z222222++=+++++=+++++≥=……11分这与①矛盾.所以假设错误.故a ，b ，c 三数中至少有一个不小于……12分 19.证明：要证311+=，只需证a b c a b c 3+++++=，只需证c a 1+=，只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，只需证c 2+a 2-b 2=ac ， 只需证c a b ac 222122+-=，即证cosB=12……8分而由已知B=A+C ，B=60°，cosB=12成立，∴311a bb c a b c+=++++成立.…12分 20．解:(1)x x x P(x)x x x x27500203060081005040+-+=++=++(x ∈N *)…2分P(x)40220≥=，当且仅当x 8100=，即x=90时等号成立，∴每件产品的最低成本费为220元. ……6分(2)设总利润y=f(x),则*f (x)x[Q(x)P(x)]x x x (x )32112008100N 30=-=--+-∈*f (x)x x (x )2121200N 10'=--+∈ ……8分令f (x)x x 2121200010'=--+>，得l ≤x ＜100且x ∈N *，故当产量x ∈{x|x ∈N *，且l ≤x ＜100}时，工厂处于生产潜力提升状态.……12分21．解:(1)S 1=a 1=1， S 2=22a 2 ⇒ S 2=4(S 2-S 1) ⇒ S 2=4(S 2-1) ⇒ S 2=43S 3=32a 3 ⇒ S 3=9(S 3-S 2) ⇒ S 3=9(S 3-43) ⇒ S 3=32，同理可得S 4=85……4分(2)由(1)知，S 1=1=21⨯，S 2=422=⨯，S 3=3632⨯==，S 4=842⨯=，猜想{a n }的前n 项和公式为n n S 2= ……6分下面用数学归纳法证明：①当n=1时，S 1=1=21⨯，公式成立；②假设当n=k(k ∈N *)时公式成立，即k k S 2=，那么，当n=k+1时，k k k k Sk S S a 11122+++=+=+, k k []S (k )k 1212111+-=++,∴k (k )(k )(k )k S 212121212++++=⋅==, ∴当n==k+l 时，公式也成立. 由①②可知，当n ∈N *时，有n n S n 21=+，即{a n }的前n 项和公式为n n S 2=. ……12分22.解:(l)x f (x)e ax b 2'=++， a=0时，x f (x)e b '=+，依题意x=-1是f (x)0'=即e x+b=0的根，∴b=e1- ……3分(2)∵x f (x)e ax b 2'=++，所以点P(m ，f(m))处的切线斜率为m f (m)e am b 2'=++， ∴切线l 的方程为y-(e m+am 2+bm)=(e m+2am+b)(x-m).……4分令x=0，得y=-m(e m +2am+b)+(e m +am 2+bm)，即y=(1-m)e m -am 2(0＜m ＜1)，当0＜m ＜1时，要使得点Q 的纵坐标小于1，只需(1-m)e m -am 2＜1，即(m-1)e m +am 2+1＞0(0＜m ＜1)，……5分令g(m)=(m-1)e m +am 2+1(0＜m ＜1)，则g'(m)=m(e m+2a)∵0＜m ＜1 ∴1＜e m＜e ， ①若2a ≥-1，即a ≥-12时，e m+2a ＞0∴当m ∈(0，1)时，g'(m)＞0，即g(m)在(0，1)上单调递增.g(m)＞g(0)=0恒成立，∴a ≥-12满足题意.……7分②若-e ＜2a ＜-1，即e 2-＜a ＜-12时，0＜ln(-2a)＜1，则可列表如下：∴g(ln(-2a))＜g(0)=0，e-＜a＜-1不满足题意.……10 分③若2a＜-e，即a≤e2-时，e m+2a＜0,∴当m∈(0，1)时，g'(m)＜0，即g(m)在(0，1)上单调递减.g(m)＜g(0)=0，∴a≤e-不满足题意.综上，当a≥-12时，满足题意，即实数a的取值范围是[-12，+∞).…12分。