概率论讲义

所以X1(t)是平稳过程。
E[ X 2 (t )] E[t Y ] t mY RX 2 (t , t ) E[ X 2 (t ) X 2 (t )] E[tY (t )Y ]
2 t (t ) Y
所以X2(t)是非平稳过程。
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它们不仅都是时间的函数，而且相关函数及协方差函数 还取决于不同的时刻点。
统计特征不随时间的推移而变化的随机过程?
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§ 3.1 平稳随机过程
3.1.1 严（狭义）平稳随机过程(SSS)定义 设 X(t ) 为一随机过程，如果对于任意的n 和 ，其 n 维概率密度（或分布函数）满足：
p X ( x 1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n )
2 E X( t ) mX ( t ) , X ( t ) EX 2 ( t ) , X ( t ) D X( t ) ,
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RX ( t1 , t2 ) , CX ( t1 , t2 ) , RXY ( t1 , t2 ) , CXY ( t1 , t2 ) 。
T X T T X T X T T X
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问题：
m X , RX ( )
可否分别代替
m , R ( )
X X
?
条件： 1． 随机过程是平稳的 ∵ 时间平均后的结果是与时间t无关的常数，因此统计 平均的结果也应该是常数，即 E X ( t ) m
X
lim 集合平均＝统计平均 (均值,方差,相关系数) N
集合平均的意义: 求统计平均必须知道概率密度函数; 集合平均则可通过多次实 验求得.可避免由概率密度函数求均值和相关函数 (有极高的实际意 义) 其难点是： 但N→∞, 需要无穷多个平行的试验样本值。
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问题的提出： 能否可以用同一次试验在不同时刻的随机试验结果来 代替很多次试验在同一时刻平行得到的随机试验结果 呢？ 如果可以，就能用单一实验试验结果来表征一个随机 过程的特性。
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p X ( x1 , x 2 , , x n ; t1 , t 2 , , t n ) 则称 X(t ) 是严（狭义）平稳随机过程。

即：严平稳随机过程的统计特性不随时间的平移而变 化。
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例：针对同一个平稳随机过程，上午 8点测得的统 计特性与下午2点测得的统计特性是相同的。
C X (t1 , t 2 ) RX (t1 , t 2 ) m X (t1 )m X (t 2 ) RX ( ) m X m X
2 RX ( ) m X C X ( )
严平稳随机过程的数学期望和方差都是常数，与时间无关;
相关函数只是时间差的函数，而与时间起点无关。
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2
1 d 2
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[a cos(0 t )a cos(0 (t ) )] a2 E[cos 0 cos(20 t 0 2 )] 2 a2 cos 0 RX ( ) 2
2 ( x1 m X )2 p X ( x1 )dx1 X


RX (t1, t2 ) x1 x2 pX (x1, x2;t1, t2 )dx dx x1 x2 pX (x1, x2; )dx dx 1 2 1 2

RX ( ), t2 t1
1 2 , 0 2 f ( ) (t) 的均值，自相关函数 和均方根分别为
m X (t ) E[ X (t )] x (t ) f ( )d 0 a cos( 0 t ) 0
3.1.4

集合平均与时间平均
同一时刻，平行的、独立的对同一过程做有限 次试验，所得的样本函数称为集合。 该集合是t=ti时的随机变量不完全集合。
x (t x (t 例： x (t x (t
1 2 i
N
1 1
1
1
) ) x ( t ) 表示第 i 次试验，在t1 其中， ) 时刻的随机试验的结果。 )
i 1
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包含有限个样本的集合的各种平均特性，称为有限集合平均。
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集合平均定义:
可以证明:
1 m ( t ) lim x (t ) N 1 R ( t , t ) lim x ( t )x ( t ) N
N X 1 N i 1 i 1 N X 1 2 N i 1 i 1 i 2

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例2：设两个随机过程X1(t)=Y，X2(t)=tY， Y是随机变 量，试讨论它们的平稳性。 解： E[ X1 (t )] E[Y ] mY
2 RX1 (t , t ) E[ X1 (t ) X1 (t )] E[Y 2 ] Y 2 E[ X12 (t )] RX1 (0) Y
a2 E[ X (t )] RX (t , t ) RX (0) 2
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过程X(t)的均值是常数，自相关函数仅与时间差 有关，均方值有限，因为X(t)是平稳的。
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对于随机过程X(t)=cos(ot +)而言，当在(0， 2 )或 (- ，) 上均匀分布时，X( t )是平稳的。 当在(0，)上或在(0， /2) 上均匀分布时， X(t) 是非平稳过程。 因为当在(0，)上均匀分布时，E[X(t)]=(-2 / )sin ot≠常数 当在(0,/2) 上均匀分布时，E[X(t)]=2 / (sin ot-cos ot ) ≠常数
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第三章
平稳随机过程
平稳随机过程的定义 集平均/时间平均/各态历经 平稳过程相关函数的性质 高斯随机过程
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上一章讨论的随机过程 X(t)： 时间函数族: { x 1 (t), x 2(t),… x n(t)…… } 或:不同时刻t所对应的n维R.V向量:{ X(t1), X (t2),… X (tn)} 统计研究方法:
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问题---如何判定一个过程是严格平稳的
按定义只有了解了概率密度函数的特性才能 判断随机过程的严（狭义）平稳性。 往往很难获得定义中的条件。
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3.1.2 宽（广义）平稳随机(WSS)过程
设X(t)为一随机过程，若满足：
EX ( t ) m R ( t , t ) R ( ), t t EX ( t )
同理：E X ( t )X ( t ) R ( ) ，即自相关函数只与时间差 有关。
X
2．随机过程具有各态历经性 样本函数 x( t ) 在任意时刻的取值，都能够充分反映任 一时刻随机变量的可能取值。 即 x ( t ) 能够遍历其随机过程 X ( t )所有可能的取值状态。
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各态历经 的平稳过 mx+ 程
由定义得到下列性质： （1）一维概率密度与时间t无关：
pX ( x1;t1) pX ( x1;t1 ) pX ( x1;0) pX ( x)

令 t1
物理含义： 平稳随机过程在任一时刻的随机变量 的概率密度都是相同的。
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（2）二维概率密度只与时间差 t 2 t 1 有 关，而与时间起点无关：
个随机变量的联合概率密度都是相同的。
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由严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，二维 概率密度只与时间差 t 2 t 1 有关，可得下列推论：
EX(t )
DX (t )
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xpX ( x)dx mX
2 2 2 E X ( t ) x p ( x ) dx 1 X 1 1 X
E[ Z (t )] E[ X (t ) Y ] m X mY RZ (t , t ) E[ Z (t ) Z (t )] E{[ X (t ) Y ][ X (t ) Y ] E[ X (t ) X (t )] E[ X (t )] E[Y ] E[ X (t )]E[Y ] E[Y 2 ] RX ( ) 2m X mY E[Y 2 ] RZ ( ) E[ Z 2 (t )] RZ (0) 2m X mY E[Y 2 ]
X X 1 2 2 X 2
1
则称X(t)是宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。

2 2 X E X ( t ) (t ) 表示随机过程平均功率有界。

宽（广义）平稳随机过程的定义是从统计平均的意义 上考察随机过程的平稳性。
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3.1.3 严（狭义）平稳与宽(广义) 平稳间关系
RX ( ) E X(t ) X(t ) RX ( )
绝大部分的平稳过程都具有各态历经性，但并 非全体都具有各态历经性。
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例3：设随机过程 Z (t ) X (t ) Y ，其中 X(t)是一平稳 过程，Y是与X(t)无关的随机变量，试讨论过程Z(t) 的各态历经性。 解：各态历经的前提是它必为平稳过程，因此首先必须 判断Z(t)是否平稳。
pX ( x1 , x2 ; t1 ,t 2 ) pX ( x1 , x2 ; t1 ,t 2 ) ( 令 t1 ) pX ( x1 , x2 ;0 ,t 2 t1 ) pX ( x1 , x2 ; ), t 2 t1