概率论基础复习资料
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论基础
第1章概率论基础＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝本章将复习与总结概率论的基本知识也扩充一些新知识点，比如：1）利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，2）随机变量的条件数学期望3）特征函数4）瑞利与莱斯分布5）随机变量的基本实验方法＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3随机变量的函数1.4数字特征与条件数学期望121.5特征函数1.6典型分布1.7随机变量的仿真与实验＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量此句作为后面每页ppt的标题＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝随机试验（Random Experiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。
样本空间（Sample space）：随机试验所有的基本可能结果构成的集合称Ω。
Ω的元素为样本点（Sample point）。
事件（Event）是试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是Ω的子集。
各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为事件域F。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件是随机的。
赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（Probability ）。
“可能性的度量值”是 “宏观”意义下（即大数量的情形下）的比例值，由相对频率（Relative frequency ）来计算，()AA n P A n ≈=试验中出现的次数总试验次数 （n 很大）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝概率公理： 任何事件A 的概率满足：（1） 非负性：任取事件A ，()0P A ≥ （2） 归一性：()=1P Ω（3） 可加性：若事件,A B 互斥，即，A B ⋂=∅，则，()()()=P A B P A P B ⋃+＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件概率的基本性质：（1） ()=0P ∅ （2） ()01P A ≤≤（3） ()()P A P B ≤，如果A B ⊆ （4） ()()()P AB P A P A B ≤≤⋃＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 条件事件：A B B A =事件发生条件下的事件 条件概率（Conditional probability ），()()()P AB P B A P A =， ()0P A >＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件A 与B 独立（Independent ）等价地定义为()()()P AB P A P B =多个事件12,,,n A A A 彼此独立，()()()()1212m m k k k k k k P A A A P A P A P A =＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件的最基本运算：（参见教材）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例1.1 分析掷均匀硬币问题。
概率论的基础知识
概论论的基础知识
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目录
6s
第一部分 概率基础知识 第二部分 随机变量及其分布
概率基础知识
6s
事件
（一）随机现象
1、定义：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。
随机现象的特点：
⑴随机现象的结果至少有两个；
⑵至于哪一个出现，事先人们并不知道。
2、样本点（抽样单元）：随机现象中的每一个可能结果，称为一个样本点，又称为抽 样单元。
正态分布有两个参数和常记为n读作miu为分布的标准差随机变量及其分布常用连续分布正态分布09357随机变量及其分布常用连续分布正态分布2标准正态分布的一些运算公式随机变量及其分布常用连续分布正态分布随机变量及其分布常用连续分布正态分布2标准正态分布的分位数一般说来对任意介于0与1之间的实数标准正态分布n01的分位数是这样一个数它的左侧面积恰好为它的右侧面积恰好为1用概率的语言来说u的分位数u随机变量及其分布常用连续分布正态分布随机变量及其分布常用连续分布正态分布2正态分布的标准转化某产品的质量特性2008则最大值应为随机变量及其分布常用连续分布正态分布2正态分布的标准转化产品质量特性的不合格品率的计算1质量特性的分布在受控的情况下常为正态分布
3、样本空间：随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 Ω （读Omega ）。
一切可能发生 认识一个随机现象首要就是能罗列出它的
的基本结果。
概率基础知识
事件
[例]
⑴一天内进某超市的顾客数: Ω ={0,1,2,······}
⑵一顾客在超市购买的商品数: Ω ={0,1,2,······}
性质8：假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概 率P(A|B)等于事件A的(无条件)概率P(A)。
第一章_概率论基础
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论基础复习资料
概率论基础复习资料训练题选：1、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 至少有一个发生可表示为？2、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 都不发生可表示为？3、设事件A 的概率为31)(=A P ，事件B 的概率为21)(=B P ，且41)(=AB P ，求．)(B A P 4、设41)(=A P ，31)(=A B P ，21)(=B A P ，求)(B A P . 5、某人射击三次，以)3,2,1(=n A n 表示事件“第n 次射击时击中目标”，，试用)3,2,1(=n A n 表示事件“至多击中目标一次”。
6、甲、乙两个班级进行篮球比赛，设事件A=“甲胜”，则事件A 表示什么事件？7、某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，求5次射击中恰有3次命中的概率。
8、设某盒子中有２４个球，现随机抽取一上是红球的概率是25.0，求盒子中红球的数量。
9、盒中有3红2白共5个球，从中任取2个球，则取到两个同色球的概率是多少？10、设在随机试验中事件A 的概率为61)(=A P ，求在6次独立重复试验中，事件A 出现的2次的概率11、设随机变量设)4,1(~N X ，已知设6915.0)5.0(=Φ，计算)21(≤≤X P12、某篮球运动员投篮命中率为0.8，求其两次投篮没有全中的概率13、若A 与B 相互独立，43)(=A P ，41)(=AB P ，求)(B P 14、在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共十个不同的号码中随机地不放回抽取一个号码，求第三次抽取时恰好抽到8号球的概率是多少？15、从1,2,3,4,5中任取3个数字，计算则三个数字中不含1的概率。
16、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个乒乓球，现随机地从中取出5个球，求取到的五个乒乓球中最大号码为7的概率，最小号码为7的概率。
17、已知随机变量X 只能取值-1,0,1,2四个数值，其相应的概率为设cc c c 162,85,43,21，求常数C 18、设随机变量X 服从正态分布，即X ～),(2οu N ，计算⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-0οu X P 13、设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，即X ～]1,0[U ，计算()1≤X P20、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，即X ～)3(P ，求)2(≤X P21、设X 服从[]41，上的均匀分布，求)53(<<X P 22、设随机变量X,Y 相互独立，且()16,0.5X B ,Y 服从参数为9的泊松分布，求)12(+-Y X D 23、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F 11ln 10)(，求概率密度)(x f24、设设随机变量X 服从区间)1,0(上的均匀分布，即：X ~)1,0(U ，其密度函数为25、⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1001)(x x f X ，分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=110010)(x x x x x F X求随机变量12+=X Y 的密度函数)(y f Y26、设随机变量X 服从正态分布)4,5.1(N 8413.0)1(=Φ，,试求（1） )5.3(<X P ； （2）)5.35.1(<<X P27设随机变量Y 与X 的关系是12+=X Y ，且X 的方差是3，求Y 的方差28、设X 与Y 是两个随机变量，4)(,3)(==x D X E ，计算下列各题：（1）)32(Y X E + （2）)32(Y X D +29、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，计算)(2X E30、设随机变量X 与Y 相互独立，且{}{}111,123P X P Y ≤=≤=, 计算)1,1(≤≤Y X P31、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即X ～)(λE ，其密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-其它001)(x e x f x λλ，则计算)12(+X E 与)12(-X D 32、设离散型二维随机变量()Y X ,相互独立，且31)3(==X P ，41)4(==Y P ，计算)4,3(==Y X P 。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
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概率论基础复习资料
训练题选：
1、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 至少有一个发生可表示为？
2、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 都不发生可表示为？
3、设事件A 的概率为31)(=
A P ，事件
B 的概率为21)(=B P ，且4
1)(=AB P ，求．)(B A P 4、设41)(=A P ，31)(=A B P ，2
1)(=B A P ，求)(B A P . 5、某人射击三次，以)3,2,1(=n A n 表示事件“第n 次射击时击中目标”，，试用
)3,2,1(=n A n 表示事件“至多击中目标一次”。
6、甲、乙两个班级进行篮球比赛，设事件A=“甲胜”，则事件A 表示什么事件？
7、某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，求5次射击中恰有3次命中
的概率。
8、设某盒子中有２４个球，现随机抽取一上是红球的概率是25.0，求盒子中红
球的数量。
9、盒中有3红2白共5个球，从中任取2个球，则取到两个同色球的概率是多
少？
10、设在随机试验中事件A 的概率为6
1)(=A P ，求在6次独立重复试验中，事件A 出现的2次的概率
11、设随机变量设)4,1(~N X ，已知设6915.0)5.0(=Φ，计算)21(≤≤X P
12、某篮球运动员投篮命中率为0.8，求其两次投篮没有全中的概率
13、若A 与B 相互独立，4
3)(=A P ，41)(=AB P ，求)(B P 14、在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共十个不同的号码中随机地不放回抽取
一个号码，求第三次抽取时恰好抽到8号球的概率是多少？
15、从1,2,3,4,5中任取3个数字，计算则三个数字中不含1的概率。
16、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个乒乓球，现随机地从
中取出5个球，求取到的五个乒乓球中最大号码为7的概率，最小号码为7的概
率。
17、已知随机变量X 只能取值-1,0,1,2四个数值，其相应的概率为设
c
c c c 162,85,43,21，求常数C 18、设随机变量X 服从正态分布，即X ～),(2οu N ，计算⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤-0οu X P 13、设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，即X ～]1,0[U ，计算()1≤X P
20、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，即X ～)3(P ，求)2(≤X P
21、设X 服从[]41，
上的均匀分布，求)53(<<X P 22、设随机变量X,Y 相互独立，且()16,0.5X B ,Y 服从参数为9的泊松分布，
求)12(+-Y X D 23、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F 11ln 10)(，求概率密度)(x f
24、设设随机变量X 服从区间)1,0(上的均匀分布，即：X ~)1,0(U ，其密度
函数为
25、⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1001)(x x f X ，分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤=110010)(x x x x x F X
求随机变量12+=X Y 的密度函数)(y f Y
26、设随机变量X 服从正态分布)4,5.1(N 8413.0)1(=Φ，,试求
（1） )5.3(<X P ； （2）)5.35.1(<<X P
27设随机变量Y 与X 的关系是12+=X Y ，且X 的方差是3，求Y 的方差
28、设X 与Y 是两个随机变量，4)(,3)(==x D X E ，计算下列各题：
（1）)32(Y X E + （2）)32(Y X D +
29、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，计算)(2X E
30、设随机变量X 与Y 相互独立，且{}{}111,123
P X P Y ≤=≤=, 计算)1,1(≤≤Y X P
31、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即X ～)(λE ，其密度函数为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-其它0
01)(x e x f x λλ，则计算)12(+X E 与)12(-X D 32、设离散型二维随机变量()Y X ,相互独立，且31)3(==X P ，4
1)4(==Y P ，计算)4,3(==Y X P 。
33、设X 是连续型随机变量，)(x F 为分布函数且3
1)0(=F ，计算)0(≤X P
34、设X 为连续型随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0101)(2
x x c x f ，计算
（1）确定c 的值； （2）求X 的分布函数)(x F ；（3）计算概率)2
21(<≤-X P 35、设随机变量X 服从正态分布，即：X ~),(2οu N ，其中3=u ，2=ο，求：
（1）)3(≤X P 与（2）)51(≤<X P （提示：8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ）
36、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为
⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它0
10,102),(y x y x y x F ， 求（1）),(Y X 的关于X ，Y 的边缘概率密度；
（2）判断随机变量X 与Y 是否相互独立.
37、盒子里有5个白球3个黑球，问：（1）若连续有放回的连续取两次，每次取一个球，求第二次取到白球的概率？（2）若连续不放回的连续取两次，每次取一个球，求第二次取到白球的概率？
38、某机器生产的螺栓长度X （长度：cm ）服从正态分布)06.0,05.10(2N ，规定长度在范围10.050.12±内为合格，求一螺栓不合格的概率.（9772.0)2(=Φ）
39、假如生三胞胎的概率为410-，求在100 000次生育中（1）仅有一次生三胞胎的概率；（2）至少有4次生三胞胎的概率.（当10λ=时，对于函数∑=-=x k k e k x F 0!)(λλ,有 0103.0)3(,000025.0)2(,00005.0)1(,0)0(====F F F F ）
40、 一大楼有5个同类型的供水设备，调查表明在任意时刻，每个设备被使用的概率为0.1，计算
（1）在同一时刻恰有2台设备正在使用的概率；
（2）在同一时刻至少有1台设备被使用的概率.
41、设连续型随机变量X 的概率密度为⎩
⎨⎧<<=其它100)(x Ax x f ， 求（1）常数A ； （2）X 的分布函数)(x F .
42、某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为23
，如果命中就停止射击，否则一直射击至子弹用尽，用X 表示消耗的子弹数，求
（1）X 的分布； （2）)(X E （3）)(X D。