(整理)考研数学超强题型总结

第一讲 求极限的各种方法 教学 目的

通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极

限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求)()(limxgxf极限 ；利用Taylor公式求极限；数列极限转化成函数极限求解

重 点 难 点

1．用等价无穷小量代换求极限 2．用罗必塔法则求极限 3．用对数恒等式求)()(limxgxf极限

4．利用Taylor公式求极限 5．数列极限转化成函数极限求解

教

学 提

纲

1．约去零因子求极限 2．分子分母同除求极限 3．分子(母)有理化求极限 4．应用两个重要极限求极限 5．用等价无穷小量代换求极限 6．用罗必塔法则求极限 7．用对数恒等式求)()(limxgxf极限

8．数列极限转化成函数极限求解 9．n项和数列极限问题 10．单调有界数列的极限问题 第一讲 求极限的各种方法 求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。 用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求)()(limxgxf极限是重点，及时分离极限式中的非

零因子是解题的重要技巧。 1．约去零因子求极限 例1：求极限11lim41xxx 【说明】1x表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121xxxxxxxx 2．分子分母同除求极限 例2：求极限13lim323xxxx

【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim13lim311323xxxxxxx 【评注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；

(2) nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim011011 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim22xxx 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222xxxxxxxxxx 0132lim22xxx

例4：求极限30sin1tan1limxxxx 【解】xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim3030 41sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300xxxxxxxxxxx

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时．．分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键

4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11(lim)11(lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限xxxx11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1，最后凑指数部分。

【解】2221212112111lim121lim11limexxxxxxxxxxx 例6：(1)xxx211lim；(2)已知82limxxaxax，求a。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0x 时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx1ex, abxaxxxb~11,21~cos12；

(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； xxxx30tansinlim＝0lim0＝３xxxx是不正确的

(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。

例7：求极限0ln(1)lim1cosxxxx

【解】 002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx.

例8：求极限xxxx30tansinlim 【解】xxxx30tansinlim613lim31coslimsinlim222102030xxxxxxxxxx 例9：求极限40sinsinsinsinlimxxxxx. 【解】 4300(sinsinsin)sinsinsinsinlimlimxxxxxxxxx20coscos(sin)coslim3xxxxxg 200cos(1cos(sin))sin(sin)coslimlim36xxxxxxxxg0sin1lim66xxx



6．用罗必塔法则求极限 例10：求极限220)sin1ln(2coslnlimxxxx

【说明】或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。 【解】220)sin1ln(2coslnlimxxxxxxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim20 3sin112cos222sinlim20xxxxx

例11：求 .sin)cos(lim1002202xdttxxx 【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 【解】94010022010022010cos22limcoslimsincoslim22xxxxxdttxxdttxxxxxx 1015lim5cos1lim88210840xxxxxx

7．用对数恒等式求)()(limxgxf极限

例12：极限xxx20)]1ln(1[lim 【说明】（１）该类问题一般用对数恒等式降低问题的难度 （２）注意0x时，xx~)1ln(

【解】 xxx20)]1ln(1[lim=)]1ln(1ln[20limxxxe=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00eeexxxxxx 例13：求极限3012coslim13xxxx.

【解】 原式2cosln3301limxxxex202cosln3limxxx 20cos1ln3limxxx

（1）

20cos11lim36xxx



【又如】 xxxxex10)1(lim 8．数列极限转化成函数极限求解 例14：极限21sinlimnnnn 【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

【解】考虑辅助极限611sin11011sin222limlim1sinlimeeexxyyyyxxxxxx

所以，6121sinlimennnn 9．n项和数列极限问题 n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算； (2)利用两边夹法则求极限。

例15：极限22222212111limnnnnn 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(xf看成［0,1］定积分。10)(211limdxxfnnfnfnfnn

【解】原式＝222112111111limnnnnnn 1212ln2111102dx

x

例16：极限nnnnn22212111lim 【说明】 (1)该题与上一题类似，但是不能凑成nnfnfnfnn211lim的形式，因而用两边夹法则求解； (2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

【解】nnnnn22212111lim

因为 11211122222nnnnnnnnn 又 nnnn2lim11lim2nnn 所以 nnnnn22212111lim＝１ 例17：求 nnnnnnnnn1221212lim21 【说明】该题需要把两边夹法则与定积分的定义相结合方可解决问题。 【解】

)222(11221212)222(11212121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

)222(1lim)222(11lim2121nnnnnnnnnnnnnn 2ln1|2ln221010xxdx



nnnnnnnnn1221212lim21

2ln

1

10．单调有界数列的极限问题 例18：已知11x，2,1111nxxxnnn，证明limnnx存在，并求该极限 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【解】 211111nnnxxx

)(91)1)(1(1111111111nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx 0)(91121xxn

该数列单调增加有上界，所以limnnx存在，设 limnnx＝Ａ

对于,1111nnnxxx令n，,1!AAA得Ａ＝251 即 limnnx＝251