因式分解练习题(含提高题).doc9,22
整式的乘法因式分解复习课件
因式分解
1.运用前两节所学的知识填空
1).m(a+b+c)= ma+mb+你m能. c发现这 2).(a+b)(a-b)= a2-b2 两组.等式之 3).(a+b)2= a2+2ab.+b2间区的别联吗系? 和
2.试一试 填空:
1).ma+mb+mc= m•( a+b+c )
2).a2-b2=((a+b)(a-b))
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)²
C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
D. 4) -4a²+1分解因式的结果应是 （D ）
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
B. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)
整式的乘法因式分解复习课件
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 指数相减。 整式的乘法因式分解复习课件
保留在商里 作为因式。
解： (1).(2x²y)³·(–7xy²)÷(14x4y³)
=8x6y3 ·(–7xy²)÷(14x4y³)
=-56x7y5 ÷(14x4y³) = -4x3y2 解：(2).(2a+b)4÷(2a+b)²
整式的乘法因式分解复习课件
a a a 同底数幂的乘法
m · n = m+n
幂的乘方
a a ( m )n = mn
整 式
积的乘方
( ab )n= an b n
的 乘
单项式的乘法
4a2x5 ·(-3a3bx2)
一元二次方程——公式法及因式分解法
一元二次方程——公式法及因式分解法知识点1：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，式子x=242b b ac a-±-就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式． 知识点2：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况① b 2-4ac>0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根，反之也成立；② b 2-4ac=0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；③ b 2-4ac<0，ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根，反之也成立；知识点3：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号．．．．．．．．．．．。
3)计算b 2-4ac ，若0ac 4b 2<-，方程无解； 4）若0ac 4b 2≥-，代入求根公式，算出结果。
【经典例题】例1.不解方程，判断下列方程的根的情况。
（1）04x 3x 22=-+ （2）y 249y 162=+ （3）0x 7)1x (52=-+例2．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x+2=0 (2)2x 2-3x+2=0 （3）-3x 2+2=5x（4）02y y 2=-- （5）1622=+x x （6）x x 4322=+-例3．已知方程0k x 4x 22=+-。
（1）当k 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当k 时，方程有两个相等的实数根；（3）当k 时，方程没有实数根。
例4. 已知关于x 的一元二次方程)0a (01bx ax 2≠=++有两个相等的实数根，求4b )2a (ab 222-+-的值。
拓展：（1）已知关于x 的方程04k kx 2x )1k (222=++-+，求证：此方程没有实数根。
八年级(上)期末数学试卷含答案解析
八年级（上）期末数学试卷一、你是最聪明的，该怎样选你一定很清楚吧（每小题2分，共20分）1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，82．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（）A．3.1×10﹣9米B．3.1×109米C．﹣3.1×109米D．0.31×10﹣8米3．下列计算正确的是（）A．a•a2=a2B．（a2）2=a4 C．a2•a3=a6D．（a2b）3=a2•a34．三角形的两个内角分别为60°和80°，则它的第三个内角的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．6．如图案是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列算式计算结果为x2﹣4x﹣12的是（）A．（x+2）（x﹣6）B．（x﹣2）（x+6）C．（x+3）（x﹣4）D．（x﹣3）（x+4）8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD 等于（）A．30°B．36°C．38°D．45°9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣110．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD=OE；④CE+CD=BC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、比一比，看谁填得最好（每小题2分，共20分）11．若分式的值为0，则x的值等于．12．六边形的内角和等于度．13．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是．14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．15．已知x m=6，x n=4，则x m+n的值为．16．分解因式：a4﹣16=．17．已知，则的值是．18．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=度．19．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需填一个即可）20．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）．三、解答题（每小题5分，共15分）21．计算：．22．因式分解：（x﹣y）3﹣4（x﹣y）．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．（1）求∠BDC的度数．（2）求AC的长度．四、（每小题5分，共15分）24．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+b）（b﹣a），其中a=2，b=﹣1．25．解方程：．26．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．五、（每小题7分，共14）27．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．28．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA．判断DF与BC的位置关系，并说明理由．六、（每小题8分，共16分）29．列方程解应用题为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．30．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．参考答案与试题解析一、你是最聪明的，该怎样选你一定很清楚吧（每小题2分，共20分）1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．4，5，9 C．6，8，10 D．5，15，8【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形任意两边之和都大于第三边逐个判断即可．【解答】解：A、1+2=3，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；B、4+5=9，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；C、6+8＞10，6+10＞8，8+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；D、5+8＜15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对三角形的三边关系定理的理解能力，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为（）A．3.1×10﹣9米B．3.1×109米C．﹣3.1×109米D．0.31×10﹣8米【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000000031=3.1×10﹣9，故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列计算正确的是（）A．a•a2=a2B．（a2）2=a4 C．a2•a3=a6D．（a2b）3=a2•a3【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、C，根据幂的乘方，可判断B，根据积的乘方，可判断D．【解答】解：A a•a2=a3，故A错误；B （a2）2=a4，故B正确；C a2•a3=a5，故C错误；D（a2b）3=a6b3，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方与积得乘方，幂的乘方底数不变指数相乘，积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．三角形的两个内角分别为60°和80°，则它的第三个内角的度数是（）A．70°B．60°C．50°D．40°【考点】三角形内角和定理．【分析】因为三角形的内角度数和是180°，已知两个内角，先用减法求出第三个内角的度数由此得解．【解答】解：180°﹣60°﹣80°=40°．故选D．【点评】此题主要考查三角形的内角和，关键是根据三角形的内角和是180度解答．5．下列分式是最简分式的是（）A．B．C．D．【考点】最简分式．【分析】要判断分式是否是最简分式，只需判断它能否化简，不能化简的即为最简分式．【解答】解：A.不能约分，是最简分式，B.=，C.=，D.=﹣1，故选：A．【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．6．如图案是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形；第二个图形不是轴对称图形；第三个图形不是轴对称图形；第四个图形是轴对称图形．所以轴对称图形有第一个与第四个共2个图形．故选B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．7．下列算式计算结果为x2﹣4x﹣12的是（）A．（x+2）（x﹣6）B．（x﹣2）（x+6）C．（x+3）（x﹣4）D．（x﹣3）（x+4）【考点】多项式乘多项式．【分析】利用十字相乘法分解因式即可得到结果．【解答】解：x2﹣4x﹣12=（x+2）（x﹣6），则（x+2）（x﹣6）=x2﹣4x﹣12．故选A．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在BC上，且BD=AB，连接AD，则∠CAD 等于（）A．30°B．36°C．38°D．45°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B，∠BAD，然后根据∠CAD=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=108°，∴∠B=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣108°）=36°，∵BD=AB，∴∠BAD=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，等边对等角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．9．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x+1 C．x2+2x﹣1 D．x2﹣2x﹣1【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：A、x2+x+1，无法分解因式，故此选项错误；B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；C、x2+2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；D、x2﹣2x﹣1，无法分解因式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC 的面积等于四边形CDOE面积的2倍；③OD=OE；④CE+CD=BC，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】结论①错误．因为图中全等的三角形有3对；结论②正确．由全等三角形的性质可以判断；结论③正确．利用全等三角形的性质可以判断．结论④正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．【解答】解：结论①错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．结论②正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论③正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴OD=OE；结论④正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∵AB=AC，∴CD=EB，∴CD+CE=EB+CE=BC．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质等重要几何知识点．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．二、比一比，看谁填得最好（每小题2分，共20分）11．若分式的值为0，则x的值等于1．【考点】分式的值为零的条件．【专题】计算题．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴x=1，故答案为1．【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．六边形的内角和等于720度．【考点】多边形内角与外角．【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【解答】解：（6﹣2）•180=720度，则六边形的内角和等于720度．【点评】解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．13．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（﹣3，﹣2）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．【解答】解：点P的坐标是（3，﹣2），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是：（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．14．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．故其周长是35cm．故答案为：35．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．15．已知x m=6，x n=4，则x m+n的值为24．【考点】同底数幂的乘法．【专题】计算题；实数．【分析】原式逆用同底数幂乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵x m=6，x n=4，∴x m+n=x m•x n=6×4=24．故答案为：24．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．分解因式：a4﹣16=（a+2）（a﹣2）（a2+4）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据平方差公式进行分解即可，注意分解因式要彻底．【解答】解：a4﹣16=（a2﹣4）（a2+4）=（a+2）（a﹣2）（a2+4）．故答案为：（a+2）（a﹣2）（a2+4）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆平方差公式是解题关键．17．已知，则的值是﹣2．【考点】分式的加减法．【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得=，再利用比例性质可得ab=﹣2（a﹣b），再利用等式性质易求的值．【解答】解：∵﹣=，∴=，∴ab=2（b﹣a），∴ab=﹣2（a﹣b），∴=﹣2．故答案是：﹣2．【点评】本题考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出=是解题关键．18．如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A=50度．【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【分析】根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠A+∠B=∠ACE，∴∠A=∠ACE=×100°=50°．故答案为：50．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．19．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．（只需填一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．【解答】解：增加一个条件：∠A=∠F，显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．20．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为4n+2（用含n的代数式表示）．【考点】规律型：图形的变化类．【专题】压轴题；规律型．【分析】分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个．【解答】解：第一个图案正三角形个数为6=2+4；第二个图案正三角形个数为2+4+4=2+2×4；第三个图案正三角形个数为2+2×4+4=2+3×4；…；第n个图案正三角形个数为2+（n﹣1）×4+4=2+4n=4n+2．故答案为：4n+2．【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．三、解答题（每小题5分，共15分）21．计算：．【考点】分式的混合运算．【分析】根据运算顺序，先算括号里面的，再约分即可．【解答】解：原式=÷=•=．【点评】本题考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．22．因式分解：（x﹣y）3﹣4（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]=（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．（1）求∠BDC的度数．（2）求AC的长度．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，根据线段垂直平分线的性质，易得AD=BD，即可求得∠ABD的度数，又由三角形外角的性质，即可求得答案；（2）易得△BCD是含30°角的直角三角形的性质，继而求得BD的长，则可求得答案．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，∴∠CBD=30°，∴BD=ACD=2×3=6，∴AD=BD=6，∴AC=AD+CD=9．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．四、（每小题5分，共15分）24．先化简，再求值：（a+2b）2+（a+b）（b﹣a），其中a=2，b=﹣1．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题．【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2+4ab+4b2+b2﹣a2=4ab+5b2，当a=2，b=﹣1时，原式=﹣8+5=﹣3．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程去分母，得（x﹣1）（x+2）﹣（x2﹣4）=8，解这个方程，得x=6，经检验，x=6是原方程的根，则原方程的解为x=6．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．26．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．五、（每小题7分，共14）27．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；（2）如图2所示，点C2的坐标（﹣3，2）．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．28．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE=DE，BC=DA．判断DF与BC的位置关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：垂直关系，理由如下：∵BE⊥CD于点E，在Rt△BEC与Rt△AED中，，∴Rt△BEC≌Rt△AED（HL），∴∠B=∠D，∵∠D+∠EAD=90°，∠EAD=∠FAB，∴∠B+∠FAB=90°，∴DF⊥BC．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用HL证明Rt△BEC与Rt△AED全等．六、（每小题8分，共16分）29．列方程解应用题为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．【考点】分式方程的应用．【分析】根据题意，设原来火车的速度是x千米/时，进而利用从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，得出等式求出即可．【解答】解：设原来火车的速度是x千米/时，根据题意得：﹣=11，解得：x=80，经检验，是原方程的根且符合题意．故80×3.2=256（km/h）．答：高铁的行驶速度是256km/h．【点评】此题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．30．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】（1）易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；（2）易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB﹣∠CED=60°；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．。
用因式分解法解一元二次方程 (3)
用因式分解法解一元二次方程教学目标知识与技能：1．复习因式分解的几种方法；２．学会用因式分解的几种方法解一元二次方程；3．了解十字相乘法，体会它实质是二项式乘法的逆过程；４．学习含字母的因式的分解。
过程与方法：通过课前导学及时复习因式分解，在课堂探究中让学生进一步体会因式分解法解一元二次方程的过程及特点。
情感、态度价值观：通过课前导学培养学生自学的习惯，通过解含字母的一元二次方程，给学生渗透分类讨论的数学思想方法。
教学重点、难点：重点：用因式分解的几种方法解一元二次方程难点：对十字相乘法的理解，含字母的一元二次方程的解法教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题．（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，•另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0x1=0，x2=（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=4例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=03a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b当a=-b时，原式=-=3当a=b时，原式=-3．三、巩固练习教材P45 练习1、2．四、应用拓展例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．五、归纳小结本节课要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、•十字相乘法等解一元二次方程及其应用．（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．区别：①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．六、布置作业教材P46 复习巩固5 综合运用8、10 拓广探索11．第六课时作业设计一、选择题1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．- B．-1 C．D．1二、填空题1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．三、综合提高题1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）。
2024-2025学年年八年级数学人教版下册专题整合复习卷第16章 分式期末复习水平测试(A)及答案
2024-2025学年年八年级数学人教版下册专题整合复习卷第16章 分式期末复习水平测试(A)及答案第十六章 分式期末复习水平测试(A)一、精心选一选，你一定能选准！（每题3分，共30分）1．下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 2．如果把yx y322-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）A 、扩大5倍B 、不变C 、缩小5倍D 、扩大4倍 3．分式：①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中，最简分式有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4．计算21424m m ++-的结果是 （ ）Ａ．2m +Ｂ．2m -Ｃ．12m + Ｄ．12m - 5．下列分式的运算中，正确的是（ ）A 、ba b a +=+211 B 、()323a a a = C 、b a b a b a +=++22 D 、319632-=+--a a a a 6．在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，若设车队走西线所用的时间为x 小时，根据题意可列方程 （ ）A 、1880800-=x x B 、8008018x x =+ C 、8008018x x =+ D 、8080018x x =+ 7．下列四种说法（1）分式的分子、分母都乘以（或除以）（2+a ），分式的值不变；（2）分式y -83的值不可能等于零；（3）方程11111-=++++x x x 的解是1-=x ；（4）12+x x 的最小值为零；其中正确的说法有 （ ）A 、 1个B 、2 个C 、3 个D 、 4 个 8．计算4222x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭的结果是 ( )A 、12x + B 、－12x + C 、－1 D 、1 9．如果有m 个人完成一项工作需要d 天，则()m n +个人完成这项工作需要的天数为( )A 、d n +B 、d n -C 、md m n + D 、dm n+ 10．一件工作,甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要( )A 、（11a b +）小时 B 、1ab 小时 C 、1a b +小时 D 、aba b+小时 二、耐心填一填，你一定能填好！（每题3分，共30分）11．计算xy yy x x ---＝ 。
一元二次方程的解法综合练习题
1 适用能因式分解适用无一次项的
一元二次方程阶段复习 【一元二次方程之概念】 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【一元二次方程的解法——核心思想是降次】 1、因式分解法 ①移项：使方程右边为0 ②因式分解：将方程左边因式分解； 方法：一提，二套，三十字，四分组 ③由A∙B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程
2、开平方法 )0(2aax
3、配方法 ①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移项要变号．．．．．） ②同除：方程两边同除二次项系（每项都要除．．．．．） ③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．． ④开平方：注意别忘根号和正负 ⑤解方程：解两个一元一次方程 4、公式法 ① 将方程化为一般式 ② 写出a、b、c ③ 求出acb42， ④ 若b2-4ac＜0，则原方程无实数解
⑤ 若b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式24x=2bbaca求解 ⑥ 若b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式2bxa求解。 练习1、利用因式分解法解下列方程 (x－2) 2＝(2x-3)2 042xx 3(1)33xxx
x2-23x+3=0 0165852xx
axax21
)0(2aabx
解两个一元一次方程abx
2 练习2、利用开平方法解下列方程
51)12(212y
4（x-3）2=25 24)23(2x
练习3、利用配方法解下列方程 25220xx 012632xx
7x=4x2+2 01072xx 练习4、利用公式法解下列方程 －3x 2＋22x－24＝0 3x2+5(2x+1)=0
练习5、选择适当方法解方程 (x＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 22(21)9(3)xx 2230xx
八年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
八年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）1．计算a2•a的结果是（）A．a2B．2a3C．a3D．2a22．下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（）A．B． C．D．3．下列算式结果为﹣3的是（）A．﹣31B．（﹣3）0C．3﹣1D．（﹣3）24．如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值（）A．扩大为原来的10倍B．扩大为原来的5倍C．缩小为原来的D．不变5．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．正方形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．含30°的直角三角形6．下列变形，是因式分解的是（）A．x（x﹣1）=x2﹣x B．x2﹣x+1=x（x﹣1）+1C．x2﹣x=x（x﹣1） D．2a（b+c）=2ab+2ac7．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°8．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，要使得△AOB≌△DOC，还需补充一个条件，下面补充的条件不一定正确的是（）A．OA=OD B．AB=DC C．OB=OC D．∠ABO=∠DCO9．如图，D是AB的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上点F处，若∠B=50°，则∠EDF的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°10．某厂接到加工720件衣服的订单，每天做48件正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题4分，满分24分）11．分式有意义的x的取值范围为．12．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为m．13．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6cm，则CD的长等于．14．一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n°，求n的值=．15．a+2﹣=．16．如图，AB=AC=10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则边BC的长度的取值范围是．17．因式分解：（x﹣1）（x+4）+4．18．解分式方程：．19．如图，∠A=∠C，∠1=∠2．求证：AB=CD．四、解答题（二）（共3个小题，每小题7分，满分21分）20．化简：（﹣）+，再选取一个适当的x的数值代入求值．21．如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB1最短，画出图形并写出P点的坐标．22．如图，在△ABC中，∠A=72°，∠BCD=31°，CD平分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求∠ADC的度数．23．甲乙两车站相距450km，一列货车从甲车站开出3h后，因特殊情况在中途站多停了一会，耽误了30min，后来把货车的速度提高了0.2倍，结果准时到达乙站，求这列货车原来的速度．24．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．（1）求∠EFD的度数；（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．25．如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE 和CD，AE分别交BD、CD于点P、M，CD交BE于点Q，连接PQ．求证：（1）∠DMA=60°；（2）△BPQ为等边三角形．参考答案与试题解析一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）1．计算a2•a的结果是（）A．a2B．2a3C．a3D．2a2【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：a2•a=a3．故选：C．2．下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是（）A．B． C．D．【考点】L1：多边形；K4：三角形的稳定性．【分析】根据三角形的稳定性进行解答．【解答】解：含有三角形结构的支架不容易变形．故选：B．3．下列算式结果为﹣3的是（）A．﹣31B．（﹣3）0C．3﹣1D．（﹣3）2【考点】6F：负整数指数幂；1E：有理数的乘方；6E：零指数幂．【分析】结合负整数指数幂、有理数的乘方以及零指数幂的概念和运算法则进行求解即可．【解答】解：A、﹣31=﹣3，本选项正确；B、（﹣3）0=1≠﹣3，本选项错误；C、3﹣1=≠﹣3，本选项错误；D、（﹣3）2=9≠﹣3，本选项错误．故选A．4．如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值（）A．扩大为原来的10倍B．扩大为原来的5倍C．缩小为原来的D．不变【考点】65：分式的基本性质．【分析】根据题意将10x与10y代入原式后化简即可求出答案．【解答】解：由题意可知：==故选（D）5．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．正方形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．含30°的直角三角形【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可．【解答】解：A、正方形是轴对称图形，不合题意；B、等腰直角三角形是轴对称图形，不合题意；C、等边三角形是轴对称图形，不合题意；平行四边形不是轴对称图形，符合题意；D、含30°的直角三角形不是轴对称图形，符合题意；故选：D．6．下列变形，是因式分解的是（）A．x（x﹣1）=x2﹣x B．x2﹣x+1=x（x﹣1）+1C．x2﹣x=x（x﹣1） D．2a（b+c）=2ab+2ac【考点】51：因式分解的意义．【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、是符合因式分解的定义，故本选项正确；D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选C．7．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°【考点】KH：等腰三角形的性质．【分析】由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角与②若40°为底角去分析求解即可求得答案．【解答】解：∵等腰三角形中有一个角等于40°，∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2=100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．故选：C．8．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，要使得△AOB≌△DOC，还需补充一个条件，下面补充的条件不一定正确的是（）A．OA=OD B．AB=DC C．OB=OC D．∠ABO=∠DCO【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】根据ASA可以推出两三角形全等；根据AAS可以推出两三角形全等；根据AAS可以推出两三角形全等；根据AAA不能推出两三角形全等．【解答】解：A、∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（ASA），正确，故本选项错误；B、∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），正确，故本选项错误；C、∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），正确，故本选项错误；D、根据三个角对应相等的两个三角形不全等，错误，故本选项正确；故选D．9．如图，D是AB的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上点F处，若∠B=50°，则∠EDF的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；K7：三角形内角和定理．【分析】连接AF交DE于G，由翻折的性质可知点G是AF的中点，故此DG是△ABF的中位线，于是得到DG∥BF，由平行线的性质可求得∠ADE=50°．【解答】解：如图所示：连接AF交DE于G．∵由翻折的性质可知：AG=FG．∴点G是AF的中点．又∵D是AB的中点，∴DG是△ABF的中位线．∴DG∥FB．∴∠ADE=∠B=∠EDF=50°．故选B．10．某厂接到加工720件衣服的订单，每天做48件正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（）A．B．C．D．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程．【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，可以列出方程：．故选：A二、填空题（共6个小题，每小题4分，满分24分）11．分式有意义的x的取值范围为x≠1．【考点】62：分式有意义的条件．【分析】分式有意义时，分母不等于零．【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．故答案是：x≠1．12．禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为 1.02×10﹣7m．【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000000102=1.02×10﹣7．故答案为：1.02×10﹣7．13．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6cm，则CD的长等于6cm．【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】根据题意，可得∠AOC=∠BOC，又因为CD∥OB，求得∠C=∠AOC，则CD=OD可求．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB，∴∠C=BOC，∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=6cm．故答案为：6cm．14．一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n°，求n的值=135．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给五边形有三个角是直角，另两个角都等于n，列方程可求解．【解答】解：依题意有3×90+2n=（5﹣2）•180，解得n=135．故答案为：135．15．a+2﹣=．【考点】6B：分式的加减法．【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．【解答】解：a+2﹣=+=．故答案为：．16．如图，AB=AC=10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则边BC的长度的取值范围是0＜BC＜10．【考点】KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，∴AE=BE，∴AE+CE=AC=10，∴0＜BC＜10，故答案为：0＜BC＜10．三、解答题（一）（共3个小题，每小题6分，满分18分）17．因式分解：（x﹣1）（x+4）+4．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用提取公因式法分解因式得出答案．【解答】解：原式=x2+3x﹣4+4=x2+3x=x（x+3）．18．解分式方程：．【考点】B3：解分式方程．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣2），得3（x﹣2）=x，解得x=3．检验：把x=3代入x（x﹣2）=3≠0．∴原方程的解为：x=3．19．如图，∠A=∠C，∠1=∠2．求证：AB=CD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABD和∠△CDB中，，∴△ABD≌△CDB，∴AB=CD．四、解答题（二）（共3个小题，每小题7分，满分21分）20．化简：（﹣）+，再选取一个适当的x的数值代入求值．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先化简题目中的式子，然后选取合适的值代入化简后的式子即可解答本题，注意x不能取0或1．【解答】解：（﹣）+======，当x=2时，原式==3．21．如图，在平面直角坐标中，△ABC各顶点都在小方格的顶点上．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB1最短，画出图形并写出P点的坐标．【考点】P7：作图﹣轴对称变换；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用对称点求最短路线的性质得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1为所求作的三角形；（2）如图，点P的坐标为：（0，1）．22．如图，在△ABC中，∠A=72°，∠BCD=31°，CD平分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求∠ADC的度数．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACB，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠BCD=31°，∴∠ACD=∠BCD=31°，∴∠ACB=62°，∵在△ABC中，∠A=72°，∠ACB=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣72°﹣62°=46°；（2）在△BCD中，由三角形的外角性质得，∠ADC=∠B+∠BCD=46°+31°=77°．五、解答题（三）（共3个小题，每小题9分，满分27分）23．甲乙两车站相距450km，一列货车从甲车站开出3h后，因特殊情况在中途站多停了一会，耽误了30min，后来把货车的速度提高了0.2倍，结果准时到达乙站，求这列货车原来的速度．【考点】B7：分式方程的应用．【分析】设货车原来的速度为x km/h，根据等量关系：按原速度行驶所用时间﹣提速后时间=，列出方程，求解即可【解答】解：设货车原来的速度为x km/h，根据题意得：﹣=，解得：x=75．经检验：x=75是原方程的解．答：货车原来的速度是75 km/h．24．在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F．（1）求∠EFD的度数；（2）判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义计算求解；（2）在AC上截取AG=AE，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°∴∠BAC=30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠FAC=∠BAC=15°，∠FCA=∠ACB=45°∴∠AFC=180°﹣∠FAC﹣∠FCA=120°，∴∠EFD=∠AFC=120°；（2）FE与FD之间的数量关系为FE=FD；证明：在AC上截取AG=AE，连接FG，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2又∵AF为公共边在△EAF和△GAF中∵，∴△AEF≌△AGF∴FE=FG，∠AFE=∠AFG=60°，∴∠CFG=60°，又∵FC为公共边，∠DCF=∠FCG=45°在△FDC和△FGC中∵，∴△CFG≌△CFD，∴FG=FD∴FE=FD．25．如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE 和CD，AE分别交BD、CD于点P、M，CD交BE于点Q，连接PQ．求证：（1）∠DMA=60°；（2）△BPQ为等边三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质，可证明△ABE≌△DBC，可求得∠BAE=∠BDC，则可证得∠ABD=∠DMA=60°；（2）由等边三角形的性质，结合（1）中的结论可证明△ABP≌△DBQ，可得BP=BQ，则可证得结论．【解答】证明：（1）∵△ABD、△BCE均为等边三角形，∴AB=DB，EB=CB，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，即∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC （SAS），∴∠BAE=∠BDC，在△ABP和△DMP中，∠BAE=∠BDC，∠APB=∠DPM，∴∠DMA=∠ABD=60°；（2）∵△ABD、△BCE均为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠EBC=60°，∵点A、B、C在一条直线上，∴∠DBE=60°，即∠ABD=∠DBE，由（1）得∠BAE=∠BDC，在△ABP和△DBQ中∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形．。
因式分解——公式法教案（推荐阅读）
因式分解——公式法教案（推荐阅读）第一篇：因式分解——公式法教案14.3.2因式分解——公式法（1）一．教学内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材分析分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。
因此公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习重点。
三．教学目标知识与技能：理解和掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式分解因式过程与方法：1.培养学生自主探索、合作交流的能力2.培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力和数学应用意识，渗透整体思想情感、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦，从而增强学好数学的愿望和信心四．教学重难点重点：会运用平方差公式分解因式难点：准确理解和掌握公式的结构特征，并善于运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不彻底五．教学设计（一）温故知新1.什么是因式分解？下列变形过程中，哪个是因式分解？为什么？2（1）（2x-1）=4x2-4x+1;(2)3x2+9xy-3x=3x(x+3y+1);(3)x2-4+2x=(x+2)(x-2)+2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将下列多项式分解因式。
（1）a3b3-2a2b-ab;(2)-9xy+3xy-6xy.22【设计意图】通过复习因式分解的定义和方法，为继续学习公式法作好铺垫。
3.根据乘法公式进行计算：（1）（x+1）(x-1)；（2）（x+2y）(x-2y).4.根据上题结果分解因式：（1）x2-1；（2）x2-4y2.由以上3、4两题，你发现了什么？【设计意图】通过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解从而引出课题。
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因式分解习题精选一、填空：1、 2x 3y 2与12x 6y 的公因式是—2、 若16(a b)2 M 25是完全平方式M= ____________ 若9x 2 k y 2是完全平方式，则k= __________ _________________________________________，其结果是9、若 x 2 4x 4的值为 0，则 3x 2 12x 5的值是 10、若 x 2 ax 15 (x 1)(x 15)则 a = 11、因式分解：9x 2— y 2 — 4y — 4=3、 若 x 2 2(m 3)x 16是完全平方式，则 m的值等于4、x 26x (x 3)2， x 2(x 3)2115、 若 x m y n =(x y 2)(x y 2)(x 2y 4)，则 m=6、 x 2 x m (x n)2 则 m = __________ n = x 2)x 2 (x 2)(x7、 在多项式 m 2 n 2, a 2 b 2,x 4 4y 2, 4s 29t 4 中，可以用平方差公式分解因式的8、已知 1 x x 22004 2005 2006x x 0,则 x11、若x y 4,x2y2 6 则xy ___。
12、方程x24x 0，的解是、选择题：a(a x)(x B、a(a kx 9 (2x b) ab(a x)(b x) 的公因式是( ) x)(x b) C、a(a x) D、a(x a)1 、多项式A、—a、3)2，则m k的值分别是( 2、若mx2A m=— 2, k=6, B> m=2 k=12, C 、m=— 4, k=—12、D m=4 k=12、8把代数式3x 3 6x 2y 3xy 2分解因式，结果正确的是9、把x 2— y 2 — 2y — 1分解因式结果正确的是()三、代数式求值11、已知 2x y -， xy 2，求 2x 4 y 3 x 3y 4 的值33、已知 a b 2，求(a 2 b 2)2 8(a 2 b 2)的值10、分解因式：x 2 2xy 2y x y 的结果是() A. x y x y 1 B. x y x y 1 C. x y xy 1D.x y x y 1A.( x + y + 1) (x — y —1)3、 F 列名式：x 2 y 2, x 2 y 2, x 2y 2,( x)2( y)y 4中能用平方差公式分解因式的有4、 5、6、) A 、1 个，B 2 个，C 、3个，D 4个111计算(1 T 2)(1不)(1"2)(12 3 9把a 4— 2a 2b 2+ b 4分解因式，结果是a 2(a 2— 2b 2) + b 4 B 、(a 2— b 2)2 C 、(a — b)41-2)的值是( 102( ) 丄C.丄,D“ 20 10 20、(a + b) (a — b) 若 a 2-3ab-4b 2=0,则 a的值为()A 1 B 、-1 b C 、4 或-17、已知a 为任意整数，且 a 132 a 2的值总可以被n(n 为自然数，且n 1)整除，贝U n 的值为()A. 13C . 13 或 26D .13的倍数A. x(3x y)(x 3y) B23x(x 2xyy 2) C . x(3x y)23x(x y)2B.( x + y — 1) (x — y — 1) 2、若x 、y 互为相反数，且(x 2)2(y 1)24，求 x 、y 的值4、( 1)已知 x y 2,xy 2，求 x 2 y 2 6xy 的值;(2)已知 x 2 y 2 1,x y 1，求 x y 的值;3，求(1) (a b)2; (2) a 3b 2a 2b 2 ab 3 85、已知：a 2 a 10,36( 1) 0.753.66 3 2.66(2)47、先分解因式，然后计算求值：（本题 6分）2 2&已知 x(x — 1) — (x 2— y) = — 2 .求-——— xy 的值. 2(4)已知 4x 2 16y 2 4x 16y 5 0，求 x+y 的值;(5)已知 m n 8, mn15,求 m 2 mn n 2的值(1)求2a 22a 的值;32(2)求 a 2a 1999 的值(a 2+b 2— 2ab )— 6 (a — b )+9,其中 a=10000, b=9999。
1(3)已知 a b - , ab22001 2000(3) 2 22562 8 56 222 44221、8a 3b 2 12ab 3c2、2a(b c) 3(b c)23、 8m n 2mn4、12xyz 9x 2y 25、2a(y-z)-3b(z-y)2 2 2 2 26、p(a +b )-q(a +b )7、4x -9 28、(x+p)-(x+q)9、 x 4310、 a b ab11、a1 25b 22 212、9a -4b4 13、x y-4y 14、 a 16 215、 16x +24x+92 216、-x +4xy-4y17、 3ax 2 +6axy+3ay 18、(a+b) 2-12(a+b)+36 19、x 2 +12x+362 220、-2xy-x -y21、2a +2a+122 2 322、4x -4x+123、ax +2a x+ a2 224、-3x +6xy-3y3 225、15a 10a 226、12abc-3bc27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a)2 29、 1-36b 30、2 2 12x -3y231、0.49p -1442 232、(2x+y) -(x+2y)33、1+10t+25t2 34、m -14m+49 235、y +y+0.2536、(m+n)-4m(m+n)+4m37、25a2-80a+64 2 2 238、a +2a(b+c)+(b+c) 39、(a-b) +4ab 40、(p-4)(p+1)+3p2 23 41、4xy -4x y- y2 242、3ax -3ay 43、x2-169 44、5x 2-2045、x 2-3x+2 46、x2+7x+10 47、X2-2X-8 48、X2-7X+122 49、X +7X-182 250、25X -16y2 251、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y) 52、a -4ab+4b53、4+12(x-y)+9(x-y) 54、X3-9X 455、16 X -12 2 356、6xy -9X y- y2 2 4 1 4^2 1 457、(2a-b) +8ab 58、2X -32 y 59、 a b c3 2760、16 4y42 2 61、4(2a+b) -9(a-b)2 262、8(x+y) -50(2x-y)2 2 c 663、(3x+y+z) -4(x-y-z) 64、2a 3265、25(x-2y+z) 2-81(x+y-3z) — 4 2 2 2. 2 4 一6—666、X y z a b c 67、X 64y1 2 2 1 4 6& - a a3 3 369、(x-y)+(y-x) 70、9-6(x-y)+(y-x) 71、4a2-2a+0.25 2272、-4x 2-4y 2-8xy3 2 2 3 73、3x y 6x y 3xy2 2 2 2 274、(x2+y2)2-4x2y22 2 23 275、(x2+4) 2-16x 276、a3b 4a2b 4ab22 77、(x y +1)2 2 2-4x y 78、x -4x-45 79、 2x -5x-36280、x +15x+56281、x 2-17x+72282、a2-4a+4283、a2+29a+100284、x 2-11x-80285、y -3y-40286、0.5x -1.5x+1287、2x +7x+6 88、23x -10x+889、5x2-7x-6 90、8x 2-31x+21 2291、6x2-8x-14 92、3p2-5p-1293、(x 2+1) 2 -4x(x +1)+4x 2294、 a -6ab+9b -42295、4x -y +4x+12296、 a b+ab -ma-mb 97、15b(2a-b) 22+25(b-2a) 2298、x y-xy +xz-yz2299、a2-a-b2+0.253 2 2 100 、x x y xy。